201*年湖南省高考數(shù)學(xué)理科真題文字版有詳解

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201*年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖南卷）

數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）

本試卷包括選擇題、填空題和解答題三部分，共5頁(yè)，時(shí)量120分鐘，滿分150分。

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.復(fù)數(shù)zi1ii為虛數(shù)單位在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

2.某學(xué)校有男、女學(xué)生各500名.為了解男女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛好方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是A．抽簽法B．隨機(jī)數(shù)法C．系統(tǒng)抽樣法D．分層抽樣法3.在銳角中ABC，角A,B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b.若2asinB3b,則角A等于A．

B．C．D．12643y2x4.若變量x,y滿足約束條件xy1，則x2y的最大值是

y1555A．-B．0C．D．

3225.函數(shù)fx2lnx的圖像與函數(shù)gxx24x5的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為A．3B．2C．1D．0

b0.若向量c滿足cab1,則c的取值范圍是6.已知a,b是單位向量，a,2+1,2+2A．2-1，B．2-1，,2+2,2+1C．1，D．1，7．已知棱長(zhǎng)為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能等于．．．

第1頁(yè)共1頁(yè)

A．1B．2C．

2-12+1D．228.在等腰三角形ABC中，AB=AC4，點(diǎn)P是邊AB上異于A,B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC,CA發(fā)射后又回到原點(diǎn)P（如圖1）.若光線QR經(jīng)過(guò)ABC的中心，則AP等于

A．2B．1

84C．D．

33

二、填空題：本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分，共35分.

（一）選做題（請(qǐng)考生在第9、10、11三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題計(jì)分）

xt,x3cos,l:(t為參數(shù))過(guò)橢圓C:9.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，若ytay2sin

(為參數(shù))的右頂點(diǎn)，則常數(shù)a的值為.10.已知a,b,c,a2b3c6,則a24b29c2的最小值為.11.如圖2，在半徑為7的O中,弦AB,CD相交于點(diǎn)P,PAPB2,

PD1，則圓心O到弦CD的距離為.

（一）必做題（12-16題）

12.若x2dx9,則常數(shù)T的值為.

0T

13.執(zhí)行如圖3所示的程序框圖，如果輸入a1,b2,則輸出的a的值為.

x2y214．設(shè)F1,F2是雙曲線C:221(a0,b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，

ab若PF1PF26a,且PF1F2的最小內(nèi)角為30，則C的離心率為___。

第2頁(yè)共2頁(yè)

15．設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Sn(1)ann1,nN,則n2（1）a3_____；

（2）S1S2S100___________。

16．設(shè)函數(shù)f(x)axbxcx,其中ca0,cb0.

（1）記集合M(a,b,c)a,b,c不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，M所對(duì)且a=b，則(a,b,c)應(yīng)的f(x)的零點(diǎn)的取值集合為____。

（2）若a,b,c是ABC的三條邊長(zhǎng)，則下列結(jié)論正確的是.（寫出所有正確結(jié)

論的序號(hào)）

①x,1,fx0;

②xR,使xax,bx,cx不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)；③若ABC為鈍角三角形，則x1,2,使fx0.

三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17．（本小題滿分12分）

已知函數(shù)f(x)sin(xx)cos(x).g(x)2sin2。63233。求g()的值；5（I）若是第一象限角，且f()（II）求使f(x)g(x)成立的x的取值集合。

18．（本小題滿分12分）

某人在如圖4所示的直角邊長(zhǎng)為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)（指縱、橫的交叉點(diǎn)記憶三角形的頂點(diǎn)）處都種了一株相同品種的作物。根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)，一株該種作物的年收獲量Y（單位：kg）與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：X1234Y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過(guò)1米。（I）從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率；（II）從所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望。

第3頁(yè)共3頁(yè)

19．（本小題滿分12分）

如圖5，在直棱柱ABCDA1BC11D1中，AD//BC，BAD90,ACBD,BC1,ADAA13.

（I）證明：ACB1D；

（II）求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值。

20．（本小題滿分13分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將從點(diǎn)M出發(fā)沿縱、橫方向到達(dá)點(diǎn)N的任一路徑成為M到N的一條“L路徑”。如圖6所示的路徑

MM1M2M3N與路徑MN1N都是M到N的“L路徑”。某地有三個(gè)新建的居

民區(qū)，分別位于平面xOy內(nèi)三點(diǎn)A(3,20),B(10,0),C(14,0)處�，F(xiàn)計(jì)劃在x軸上方區(qū)域（包含x軸）內(nèi)的某一點(diǎn)P處修建一個(gè)文化中心。

（I）寫出點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長(zhǎng)度最小值的表達(dá)式（不要求證明）；

（II）若以原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)部是保護(hù)區(qū)，“L路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū)，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置，使其到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度值和最小。

21．（本小題滿分13分）

過(guò)拋物線E:x22py(p0)的焦點(diǎn)F作斜率分別為k1,k2的兩條不同的直線l1,l2，且

k1k22，l1與E相交于點(diǎn)A，B，l2與E相交于點(diǎn)C，D。以AB，CD為直徑的圓M，圓N（M，

N為圓心）的公共弦所在的直線記為l。

2（I）若k10,k20，證明；FMFN2P；

（II）若點(diǎn)M到直線l的距離的最小值為

75，求拋物線E的方程。522．（本小題滿分13分）

已知a0，函數(shù)f(x)xa。

x2a第4頁(yè)共4頁(yè)

（I）記f(x)在區(qū)間0,4上的最大值為g(a),求g(a)的表達(dá)式；

（II）是否存在a，使函數(shù)yf(x)在區(qū)間0,4內(nèi)的圖像上存在兩點(diǎn)，在該兩點(diǎn)處的切線相互垂直？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

第5頁(yè)共5頁(yè)

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201*年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(江西卷)

數(shù)學(xué)(理科)

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至2頁(yè)，第Ⅱ卷3至4頁(yè)。全卷滿分150分�？荚嚂r(shí)間120分鐘�？忌�注意：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名填寫在答題卡上。考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘帖的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致。

2.第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。第Ⅱ卷用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答，若在試題卷上答題，答案無(wú)效。

4.考試結(jié)束，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回。

第Ⅰ卷（選擇題共50分）

一、選擇題：本大題共10小題。每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)集合M={1，2，zi},i為虛數(shù)單位，N=｛3，4｝，M∩N=｛4｝，則復(fù)數(shù)z=（）

A.-2iB.2iC.-4iD.4i2.函數(shù)y=）

A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]

3.等比數(shù)列x，3x+3，6x+6，的的第四項(xiàng)等于（）

A.-24B.0C.12D.24

4.總體由編號(hào)為01，02，，19，20的20個(gè)個(gè)體組成.利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右一次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為（）

第1頁(yè)共1頁(yè)

xln（1-x）的定義域?yàn)椋?/p>

781665720802631407024369972801983204923449348201*623486969387481A.08B.07C.02D.015.（x2-錯(cuò)誤！未找到引用源。）5展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A．80B.-80C.40D.-40

6.若，A.s1＜s2＜s3

C.s2＜s3＜s1

B.s2＜s1＜s3

則s1,s2,s3的大小關(guān)系為

D.s3＜s2＜s1

7.閱讀如下程序框圖，如果輸出i=5，那么在空白矩形框中應(yīng)填入的語(yǔ)句為

A.S=2*i-2C.S=2*I

B.S=2*i-1D.S=2*i+4

8.如果，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB//CD，正方體的六個(gè)面所在的平數(shù)分別記

第2頁(yè)共2頁(yè)

面與直線CE,EF相交的平面?zhèn)�為m，n，那么m+n=

A.8

B.9

C.10

D.11

引直線ι

的斜率等于

的曲線，O

9.過(guò)點(diǎn)（錯(cuò)誤！未找到引用源。，0）

為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取最大值時(shí)，直線ι

A.錯(cuò)誤！未找到引用源。B.-錯(cuò)誤！未找到引用源。C.錯(cuò)誤！未找到引用源。D-錯(cuò)誤！未找到引用源。

10.如圖，半徑為1的半圓O與等邊三角形ABC夾在兩平行線ιι//ι

11

，ι

2

之間，

，ι與半圓相交于F,G兩點(diǎn)，

與三角形ABC兩邊相交于E,D兩點(diǎn)。設(shè)弧FG的長(zhǎng)為x(0＜x＜π),y=EB+BC+CD，若ι圖像大致是

從ι

1

平行移動(dòng)到ι

2

，則函數(shù)y=f(x)的

第Ⅱ卷

注意事項(xiàng)：

第卷共2頁(yè)，須用黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答。若在試題卷上作答，答案無(wú)效。二．填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

第3頁(yè)共3頁(yè)

11．函數(shù)y=sin2x+2錯(cuò)誤！未找到引用源。sin

2

x的最小正周期T為_______.

12．設(shè)e1，e2為單位向量。且e1、e2的夾角為錯(cuò)誤！未找到引用源。，若a=e1+3e2，b=2e1，則向量a在b方向上的射影為________.

13．設(shè)函數(shù)f(x)在（0，+∞）內(nèi)可導(dǎo)，且f(ex)=x+ex，則f’（1）=__________.

14．拋物線x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線錯(cuò)誤！未找到引用源。-錯(cuò)誤！未找到引用源。=1相交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF為等邊三角形，則p=___________.

三．選做題：請(qǐng)?jiān)谙铝袃深}中任選一題作答，若兩題都做按其中一題評(píng)閱計(jì)分。本題共5分。15（1）．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）設(shè)曲線C的參數(shù)方程為：x=t，y=t2（t為參數(shù)），若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸簡(jiǎn)歷極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為_______.（2）．（不等式選做題）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不等式|x-2|-1的解集為___________.

四．解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。16．（本小題滿分12分）

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知cosC+（conA-錯(cuò)誤！未找到引用源。sinA）cosB=0.

（1）求角B的大��；

（2）若a+c=1，求b的取值范圍17．（本小題滿分12分）

正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；

（2）令bn=錯(cuò)誤！未找到引用源。，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn．證明：對(duì)于任意n∈N*，都有Tn

5＜。64

||

18.（本小題滿分12分）

小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學(xué)校合唱團(tuán)還是參加學(xué)校排球隊(duì)，游戲規(guī)則為：以0為起點(diǎn)，再?gòu)腁1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8（如圖）這8個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別分終點(diǎn)得到兩個(gè)向量，記這兩個(gè)向量的數(shù)量積為X。若X=0就參加學(xué)校合唱團(tuán)，否則就參加學(xué)校排球隊(duì)。

第4頁(yè)共4頁(yè)

（1）求小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率；（2）求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。19（本小題滿分12分）

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為BD的中點(diǎn)，G為PD的中點(diǎn)，△DAB

△DCB，EA=EB=AB=1，PA=錯(cuò)誤！未找到引用源。，連接

CE并延長(zhǎng)交AD于F

（1）求證：AD⊥平面CFG；

（2）求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值20．（本小題滿分13分）如圖，橢圓

經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1.錯(cuò)誤！未找到引用源。），

離心率e=錯(cuò)誤！未找到引用源。，直線l的方程為x=4.

（1）求橢圓C的方程；

第5頁(yè)共5頁(yè)

（2）AB是經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F的任一弦（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P），設(shè)直線AB與直線l相交

于點(diǎn)M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3。問(wèn)：是否存在常數(shù)λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，說(shuō)明理由21.（本小題滿分14分）

已知函數(shù)f（x）=a（1-2丨x-錯(cuò)誤！未找到引用源。丨），a為常數(shù)且a＞0.（1）證明：函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線x=錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)稱；（2）若x0滿足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，則稱x0為函數(shù)f（x）的二

階周期點(diǎn)，如果f（x）有兩個(gè)二階周期點(diǎn)x1，x2，試確定a的取值范圍；（3）對(duì)于（2）中的x1，x2，和a，設(shè)x3為函數(shù)f（f（x））的最大值點(diǎn)，A

（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（x3，0），記△ABC的面積為S（a），討論S（a）的單調(diào)性。

第6頁(yè)共6頁(yè)

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201*年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（江西卷）

理科數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。

1.C2.D3.A4.D5.C6.B7.C8.A9.B10.D二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。11.12.三、選做題：本大題5分。

15.（1）cos2sin0（2）0,4四、解答題：本大題共6小題，共75分。16.（本小題滿分12分）

解：（1）由已知得cos(AB)cosAcosB3sinAcosB0

即有sinAsinB3sinAcosB0

因?yàn)閟inA0，所以sinB3cosB0，又cosB0，所以tanB3，又0B，所以B2513.214.6232。

2（2）由余弦定理，有bac2accosB。因?yàn)閍c1,cosB11212，有b3(a)。224又0a1，于是有

11b21，即有b1。4217.（本小題滿分12分）

22S(nn)（1）解：由Sn(n2n1)Sn(n2n)0，得n(Sn1)0。

由于an是正項(xiàng)數(shù)列，所以Sn0,Snn2n。

于是a1S12,n2時(shí)，anSnSn1nn(n1)(n1)2n。綜上，數(shù)列an的通項(xiàng)an2n。（2）證明：由于an2n,bn22n1。2(n2)2an第7頁(yè)共7頁(yè)

則bnn1111。224n2(n2)216n(n2)Tn11111111111…2222222221632435(n1)(n1)n(n2)1111122162n(1)n(22)115。(12)16264

18.（本小題滿分12分）

2解：（1）從8個(gè)點(diǎn)中任意取兩點(diǎn)為向量終點(diǎn)的不同取法共有C828種，

0時(shí)，兩向量夾角為直角共有8種情形；所以小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的

概率為P(0)82。287（2）兩向量數(shù)量積的所有可能取值為2,1,0,1,2時(shí)，有兩種情形；1時(shí)，有8種情形；1時(shí)，有10種情形。所以的分布列為：PE(2)2101114514272715223+(1)01。1414771419.（本大題滿分12分）

解：（1）在ABD中，因?yàn)镋是BD的中點(diǎn)，所以EAEBEDAB1,故BAD2,ABEAEB3，

因?yàn)镈ABDCB,所以EABECB,從而有FEDFEA，

故EFAD,AFFD,又因?yàn)镻GGD,所以FG∥PA。又PA平面ABCD，

所以GFAD,故AD平面CFG。（2）以點(diǎn)

A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，則

33A(0,0,0),B(1,0,0),C(,,0),D(0,3,0),

2213333333P(0,0,)，故BC(，，0),CP(，,),CD(,,0)

22222222第8頁(yè)共8頁(yè)

13y0221設(shè)平面BCP的法向量n1(1,y1,z1)，則，

33y3z0112223y1323解得，即n1(1,,)。

33z21332設(shè)平面DCP的法向量n2(1,y2,z2)，則323y20y32，解得2，33z22y2z20224n1n223即n2(1,3,2)。從而平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值為cos。416n1n28920.（本大題滿分13分）解：（1）由P(1,①

依題設(shè)知a2c，則b3c②②代入①解得c21,a24,b23。

22319)在橢圓上得，2212a4bx2y21。故橢圓C的方程為43（2）方法一：由題意可設(shè)AB的斜率為k，則直線AB的方程為yk(x1)③

代入橢圓方程3x24y212并整理，得(4k23)x28k2x4(k23)0，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則有

8k24(k23)x1x22,x1x2④24k34k3在方程③中令x4得，M的坐標(biāo)為(4,3k)。

333y23k2,k2,k2k1。從而k123x11x21412y1第9頁(yè)共9頁(yè)

注意到A,F,B共線，則有kkAFkBF，即有

y1y2k。x11x2133y222y1y23(11)所以k1k2x11x21x11x212x11x22y12kx1x223⑤2x1x2(x1x2)18k22234k3④代入⑤得k1k22k2k1，8k224(k23)2124k34k3又k3k1，所以k1k22k3。故存在常數(shù)2符合題意。2方法二：設(shè)B(x0,y0)(x01)，則直線FB的方程為：yy0(x1)，x01令x4，求得M(4,3y0)，x012y0x01，

2(x01)從而直線PM的斜率為k3y0y(x1)x015x83y0,)，聯(lián)立，得A(0222x52x500xy143則直線PA的斜率為：k12y02x052y03，直線PB的斜率為：k2，

2(x01)2(x01)所以k1k22y02x052y032y0x012k3，

2(x01)2(x01)x01故存在常數(shù)2符合題意。

21.（本大題滿分14分）

（1）證明：因?yàn)閒(x)a(12x),f(x)a(12x)，有f(x)f(x)，

12121212所以函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x1對(duì)稱。2第10頁(yè)共10頁(yè)

1,214ax,2（2）解：當(dāng)0a時(shí)，有f(f(x))2

124a(1x),x.2x所以f(f(x))x只有一個(gè)解x0，又f(0)0，故0不是二階周期點(diǎn)。

1,x,12當(dāng)a時(shí)，有f(f(x))

121x,x.2x所以f(f(x))x有解集x|x期點(diǎn)。

11x，又當(dāng)時(shí)，f(x)x，故x|x221中的所有點(diǎn)都不是二階周21,4a4a2x,11x,212a4ax,4a2當(dāng)a時(shí)，有f(f(x))

222a(12a)4ax,1x4a1,4a24a2x,24a4a1x.4ax2a2a2a2a4a2f(0)0,f(),,所以f(f(x))x有四個(gè)解0,，又，2212a12a14a12a14a2a2a4a4a2a4a2f(),f(),，故只有是f(x)的二階周期點(diǎn)。綜上所述，22222214a14a14a14a14a14a所求a的取值范圍為a1。22a4a2,x2（3）由（2）得x1，

14a214a2因?yàn)閤3為函數(shù)f(f(x))的最大值點(diǎn)，所以x314a1或x3。4a4a當(dāng)x312a1時(shí)，S(a)。求導(dǎo)得：S"(a)4a4(14a2)2(a1212)(a)22，(14a2)2所以當(dāng)a(,11212)時(shí)，S(a)單調(diào)遞增，當(dāng)a(,)時(shí)S(a)單調(diào)遞減；

222第11頁(yè)共11頁(yè)

4a18a26a112a24a3當(dāng)x3時(shí)，S(a)，求導(dǎo)得：S"(a)，

4a4(14a2)2(14a2)2112a24a3因a，從而有S"(a)0，2222(14a)所以當(dāng)a(,)時(shí)S(a)單調(diào)遞增。

12

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