山東省高中英語會(huì)考知識(shí)點(diǎn)匯總 終極版~~

山東省會(huì)考�？贾�識(shí)點(diǎn)總結(jié)

（MadebyAndychen）

一、時(shí)態(tài)、語態(tài)的考查

1.單純考查動(dòng)作發(fā)生的和時(shí)間/狀態(tài)

.Jennyisnowoutofjob.She_____goingbacktoschool,buthehasnotdecidedyet.A.ConsideredB.hadconsideredC.isconsideringD.willconsiderSincetheInternet______China,ithasdevelopedatasurprisingspeed.

A.WascometoB.introducedtoC.isbroughtinD.wasintroducedtoAsweallknow,thenextsummerOlympics_____inLondonin201*.A.WillholdB.willbeheldC.istoholdD.areheld2.條件/時(shí)間狀語從句中用現(xiàn)在時(shí)表將來（主將從現(xiàn)）.Hundredsofjobs____,ifthefactorycloses.

A.willbelostB.loseC.arelostD.willlose

3.現(xiàn)在完成時(shí)（動(dòng)作的延續(xù)；考查過去發(fā)生的事對(duì)現(xiàn)在造成的影響）

----Whyaren’tyouatworktoday?-----I_____adayoff.

A.havegivenB.havebeengivenC.willgiveD.willbegiven

Theunemploymentrateinthisdistrict____from6%to5%inthepasttwoyears.A.hasfallenB.hadfallenC.isfallingD.wasfalling

4.Always與現(xiàn)在進(jìn)行時(shí)連用表達(dá)一定的感情色彩（批評(píng)、表?yè)P(yáng)等）

.You____footballafterschool.Whynotgohomeanddoyourhomeworkfirst?

A.AlwaysplayedB.havealwaysplayedC.arealwaysplayingD.havealwaysbeenplaying

二、情態(tài)動(dòng)詞的選擇

1．表示推測(cè)（對(duì)現(xiàn)在/過去事實(shí)的推測(cè)）

.---Listen!IsprofessorJohnsongivingareportinthehall?

-----No,it___behim.HehasgonetoJapan.

A.Needn’tB.maynotC.mustn’tD.can’t----Howisyourfriendcoming?

-----I’mnotsure.He_____drivehere.A.mayB.canC.mustD.will

.She_____haveleftschool,forherbikeisstillhere.A.can’tB.wouldn’tC.shouldn’tD.needn’t2.根據(jù)情態(tài)動(dòng)詞具體的含義及其否定的考查

.Perhapsyou____stopplayingcomputergamesnow.Yourbossmaybeturningupintheofficeatanymoment.

A.willB.mustC.shouldD.can

Accordingtotheairtrafficrulesyou____switchoffyourmobilephonebeforeboarding.A.mayB.canC.wouldD.should

Itlookslikerain,soyou’dbetter_____withoutanumbrella.

A.goB.nottogoC.goingD.notgo

3.對(duì)情態(tài)動(dòng)詞must的考查（引導(dǎo)的一般疑問句的回答/特殊含義/只能用于肯定句中/mustn’t表示禁止）.-----MustIanswerthisquestioninEnglish?------No,you______.

A.Mustn’tB.needn’tC.can’tD.shouldn’t

.Why____itrainonSunday?Wecan’tgocampingasplanned.Whatapity!A.ShouldB.canC.mustD.may.----Lilyhasn’tcomebackyet.

----Well,where_____shehavegoneonsuchanight?A.mustB.wouldC.couldD.will

Asastudent,you___spendsomuchtimeplayingcomputergames,whichisawasteoftime.A.MaynotB.mustn’tD.needn’tD.won’t4.表示虛擬（特殊含義/should+do等）

.Iwasreallyanxiousaboutyou.You_____homewithoutanumbrella.

A.Mustn’tleaveB.shouldn’thaveleftC.couldn’thaveleftD.needn’tleave.Theheadmastersuggestedthatagoodpreparation______aheadoftime.

A.MustbemadeB.shouldbemadeC.willbemadeD.canbemade

三、狀語從句

1．“帽子”的選擇

.Whatareyouplanningtodointhefuture?

Noidea.Afterall,Istillhavethreetermstogo______Igraduate.A.ifB.whenC.beforeD.since

TheArtclubisformembersonly.Youcan’tgoin______youareamember.A.UnlessB.becauseC.ifD.though

.______thisdifficultyisovercome,otherproblemswillbeeasytosolve.A.WhileB.UnlessC.BeforeD.Once.___volleyballishermainfocus,she’salsogreatatbasketball.A.SinceB.OnceC.UnlessD.While2.when/while/as

._____dayswentby,hedidn’tsucceedinanythinghehadplanned.A.withB.whenC.asD.while

.Iwaswalkingtowardstheschool_____Iheardmynamecalled.A.whenB.thenC.whileD.after

3.狀語從句的省略（謂語動(dòng)詞為實(shí)義動(dòng)詞/系動(dòng)詞）

.Thefootballerdidn’tsucceedinscoring,though______severalchancesbyhisteammates.A.WasgivenB.beinggivenC.givenD.giving

.Unless_____tospeak,youshouldremainsilentattheconference.A.InvitedB.invitingC.beinginvitedD.havinginvited4.時(shí)間狀語從句中用現(xiàn)在時(shí)表將來

.Itwillnotbealongtime______Mr.Black____backfromabroad.

A.Before;comesB.since;hascomeC.before;willcomeD.after;willcome.Iamsickoftheweather!

Hopefully,whenwe______uptomorrowmorning,thesunwillbeshining.A.wakeB.wokeC.willwakeD.arewaking

四、定語從句[“帽子”的選擇（抓住先行詞/看先行詞在從句中作不作成分）]

.Theboystillrememberedthenight___thegreatmusicianplayedwonderfulmusicforhim.A.WhichB.whereC.whenD.why

.___isreported,FoxcomcompanyisgoingtosetupanothernewfactoryinHenan.A.AsB.IsC.WhatD.That

Theschool____heoncestudiedinisfamous.

A.WhereB.inwhichC.inthatD.that

.TherearemanyplacesintheUS______Englishisnotcommonlyused.A.whichB.thatC.whenD.where

.Peoplewhoseldomdosportsor_____dietishighinfatwillputonweightquickly.A.WhoB.whoseC.whichD.what2．引導(dǎo)詞只用that的地方（1&2&3&4）

Thethoughofgoingbackhomewas___kepthimhappywhilehewasworkingabroad.A.thatB.allthatC.allwhatD.which

五、冠詞的考查

1．元音（不是元音字母）之前用an；

.Tommadethesamemistakefor______secondtime,dropping______“n”intheword“government”.A.a;/B.a;aC.the;/D.a;an2.固定搭配中的冠詞考查

e.g.makeamess/leaveoffice/makeprogress/haveaneffecton/inthemonthofMay.etc.3.形容詞最高級(jí)、序數(shù)詞之前需用the(注意：序數(shù)詞之前的a/an表示“再一、又一”).Thisareaexperienced___heaviestrainfallin___monthofMay.A./;aB.a;theC.the;theD.the;aHowIwishtobegivenathirdchance!

4.世界上獨(dú)一無二的東西要加the(space除外).Ihopewecanflytothemoononeday.

5.一些抽象名詞之前加a或an，表示具體含義

.Asafilmstarshewasasuccess,butasawifeshewasafailure,sotheirmarriageendedinfailure.

六、不定代詞的考查

1.theother/other/others/theothers/another

.LilyandhersisteraresoalikethatIcan’ttellonefrom____

Noprogresswasmadeinthetradetalkasneithersidewouldaccepttheconditionsof____.A.AnotherB.theotherC.otherD.others2.neither/both/all/none

Helikedneitherofthetwopictures.

3.more“再一/又一”&that指代用法

I’mstillhungry.CouldIhavetwomorepiecesofbread,please.

.TheEnglishspokenintheUSisonlyslightlydifferentfrom___spokeninEnglandA.WhichB.whatC.thatD.theone

4.形容詞修飾不定代詞放在后面（nothingserious/somethingimportant…）5.few/afew/little/alittle

七、名詞性從句

1．“帽子”的選擇

.Humanbeingsaredifferentfromanimals__theycanuselanguageasatooltocommunicate.A.InthatB.forthatC.inwhichD.onwhich

.___reallypuzzlesthescientistis___thecloudofdustcomesfrom.A.what;whatB.what;whereC.what;thatD.what;/.Ihadtheimpression____hedidn’ttrustme.A.onB.onthatC.onwhichD.that

.____leavestheroomlastoughttoturnoffthelights.A.ThepersonB.AnyoneC.WhoD.Whoever.____hewaschosenmadeusveryhappy.A.WhatB.ThatC.WhyD.How2.語序/時(shí)態(tài)問題

-----Canyoutellme______?

------Bydoingmorespeaking.A.howIcanimprovemyEnglishB.whichwaycanIchoose

C.howdoIdealwithmyEnglishD.what’swrongwithmyEnglish

.Thepassengertoldthepolicehecouldn’tbelieve____atfirst.A.WhatdoesthecaptainsayB.whatthecaptainsaysC.whatdidthecaptainsayD.whatthecaptainsaid

八．非謂語動(dòng)詞

1．作狀語

.Itwasgettingcolderdaybyday,____itmoredifficulttoliveonforthepoor.A.MakeB.makesC.tomakeD.making

.____specialtraining,theysucceededinclimbingtothetopofthemountain.A.ReceivedB.BeingreceivedC.ToreceivedD.Havingreceived.Theoldman,___abroadfor20years,isonthewaybacktohismotherland.A.toworkB.workingC.tohaveworkedD.havingworked

.___aloneinthelargehouse,thelittleboyhadtolearntosurvivebyhimself.A.ToleaveB.LeavingC.LeftD.Beingleft

.______thecriesforhelp,thesoldiersrushedintotheburninghouse.A.TohearB.HearC.HearingD.Heard.Somepeopletrytoknockmedown,only___memoredeterminedtodobetter.A.tomakeB.makesC.havingmakeD.make2.作定語

Themeeting___tomorrowwillbeofgreatimportance.Allofusshouldattendit.A.heldB.tobeheldC.beingheldD.isgoingtobeheld

Oneday,thefarmerfoundthatthegoldenegg__byhisonlyhenwasstolen.A.liedB.lainC.laidD.lay3.其他用法

.Thedeterminedmotherhasdevotedallshehasto___hersonoutoftrouble.A.helpingB.helpC.havehelpedD.havinghelped.Wecanavoid___withrestandabalanceddiet.A.illB.togetillC.gettingillD.beill

.Allthestaffinourcompanyareconsidering___tothecitycentreforthefashionshow.A.togoB.goingC.tohavegoneD.havinggone

九．?dāng)?shù)詞考查

1．特殊數(shù)詞的考查（dozen/score/hundred/thousand/million/billion）.HaveyouseentheCCTVnewsonTV?

Yes,__childrenhadagoodfestivalonthe___Children’sDay.A.millionsof;sixtyB.tenmillion;sixtyC.millionsof;sixtiethD.tenmillion;sixtieth

.Itisreportedthat___peopleintheworldaresufferingfromtheH1N1flu.A.severalthousandsofB.tenthousandsC.thousandsofD.thousands2.分?jǐn)?shù)/百分?jǐn)?shù)的考查.twothirds;

.___ofthelandinthatdistrict___coveredwithtreesandgrass.

A.Twofifth;isB.Twofifth;areC.Twofifths;isD.Twofifths;are

十．特殊句式（強(qiáng)調(diào)句/感嘆句/祈使句and&or陳述句等）

1.強(qiáng)調(diào)句

.ItwasonTuesdayevening___Ifinishedtheexperiment.A.whichB.whenC.whileD.that

.Itisimagination___makestheworldcolorful,fullofvigorandvitality.A.whereB.whatC.thatD.when2.祈使句+and/or+陳述句

.Getdressedquickly,___you’lllateforschool.A.soB.andC.orD.but

.Standoverther,___youwillgetabetterviewofthewholecity.A.andB.butC.oneD.it3.it作形式主語/賓語

.Ifind___importanttoknowabouttheculturewhenlearningalanguage.A.thatB.itC.oneD.this

.Doyoufind__impossibleforhimtotellthetruth.A.thisB.itC.thatD.what

.___makesalotofdifferencewhethereveryonetriestolivealowcarbonlife.A.WhatB.ItC.ThatD.As4.多個(gè)動(dòng)作并列的并列句

.Herushedintothekitchen,___upaglassofwateranddrankitquickly.A.takeB.totakeC.tookD.taking5.感嘆句

.___terribleweatherwearehavingthesedays!A.HowaB.WhataC.HowD.What十一.形容詞比較級(jí)/最高級(jí)十二.倒裝/半倒裝

.----Whycan’tIsmokehere?

-----Atnotime___inthemeetingroom.

A.IssmokingpermittedB.smokingispermittedC.smokingisitpermittedD.doessmokingpermitted

Onlyafterthewomanhadherownchild___howdifficultitwastobeamother.A.SherealizedB.hadsherealizedC.shehadrealizedD.didsherealizeOnthewall___twolargeportraits.

A.HangsB.hangC.hangedD.hanging

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201*年高中數(shù)學(xué)會(huì)考知識(shí)點(diǎn)學(xué)案

高二年級(jí)備課組

第一章集合與簡(jiǎn)易邏輯

1、集合（1）、定義：；集合中的每個(gè)對(duì)象叫集合的。集合中的元素具有三個(gè)特征：。（2）、集合的三種表示法：。（3）、集合的分類：有限集、無限集和空集（記作，是的子集，是的真子集）；（4）、元素a和集合A之間的關(guān)系：；（5）、常用數(shù)集：自然數(shù)集：；正整數(shù)集：；整數(shù)集：；有理數(shù)集：；實(shí)數(shù)集：。2、子集（1）、定義：，則A叫B的子集；記作：。注意：AB時(shí)，A有兩種情況：。

（2）、性質(zhì)：①、；②、；③、。3、真子集：（1）、定義：，記作：；（2）、性質(zhì)：①、；②、；4、補(bǔ)集：①、定義：，

A記作：；CUA②、性質(zhì)：。5、交集與并集（1）、交集：；性質(zhì)：①、，

②、。

A（2）、并集：；B

性質(zhì)：①、，②、。AB

6、一元二次不等式的解法：（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式三者之間的關(guān)系）

判別式：△=b-4ac二次函數(shù)y20y00yf(x)ax2bxc(a0)的圖象一元二次方程x1Ox2xOx1=x2xOxax2bxc0(a0)的根一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集*：不等式解集的邊界值是相應(yīng)方程的解。

*：含參數(shù)的不等式ax2＋bx＋c>0恒成立問題含參不等式ax2＋bx＋c>0的解集是R；

其解答分a＝0(驗(yàn)證bx＋c>0是否恒成立)、a≠0（a第二章函數(shù)

1、映射：，記作，若aA,bB，且元素a和元素b對(duì)應(yīng)，那么b叫a的，a叫b的。2、函數(shù)：（1）、定義：，就稱f：A→B為集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作；（2）、函數(shù)的三要素：；自變量x的取值范圍叫函數(shù)的，函數(shù)值f（x）的范圍叫函數(shù)的，定義域和值域都要用集合或區(qū)間表示；（3）、函數(shù)的表示法常用：（畫圖象的三個(gè)步驟：）；（4）、區(qū)間：滿足不等式axb的實(shí)數(shù)x的集合叫閉區(qū)間，表示為：；滿足不等式axb的實(shí)數(shù)x的集合叫開區(qū)間，表示為：；

滿足不等式axb或axb的實(shí)數(shù)x的集合叫半開半閉區(qū)間，分別表示為：；（5）、求定義域的一般方法：①、整式：全體實(shí)數(shù)，例一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域?yàn)镽；②、分式：分母0，0次冪：底數(shù)0，例：y1

2|3x|③、偶次根式：被開方式0，例：y125x2④、對(duì)數(shù)：真數(shù)0，例：yloga(1)

x（6）、求值域的一般方法：①、圖象觀察法：y0.2|x|②、單調(diào)函數(shù)：代入求值法：ylog2(3x1),x[,3]③、二次函數(shù)：配方法：yx24x,x[1,5)，y④、“一次”分式：反函數(shù)法：y13x22x2

x2x12sinx⑤、“對(duì)稱”分式：分離常數(shù)法：y⑥、換元法：yx12x

2sinx（7）、求f（x）的一般方法：

①、待定系數(shù)法：一次函數(shù)f（x），且滿足3f(x1)2f(x1)2x17，求f（x）

11)x22,求f（x）③、換元法：f(x1)x2x，求f（x）xx1④、解方程（方程組）：定義在（-1，0）∪（0，1）的函數(shù)f（x）滿足2f(x)f(x)，求f（x）

x②、配湊法：f(x3、函數(shù)的單調(diào)性：

（1）、定義：區(qū)間D上任意兩個(gè)值x1,x2，若x1x2時(shí)有，稱f(x)為D上增函數(shù)；若x1x2時(shí)有，稱f(x)為D上減函數(shù)。（一致為增，不同為減）（2）、區(qū)間D叫函數(shù)f(x)的，單調(diào)區(qū)間定義域；

（3）、判斷單調(diào)性的一般步驟：①、，②、，③、，④、。（4）、復(fù)合函數(shù)yf[h(x)]的單調(diào)性：內(nèi)外一致為增，內(nèi)外不同為減；

4、指數(shù)及其運(yùn)算性質(zhì)：（1）、，那么這個(gè)數(shù)叫a的n次方根；

na叫，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，nan；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，nan。

mn（2）、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a；負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：amn。

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義（0的負(fù)數(shù)指數(shù)冪沒有意義）；

（3）、運(yùn)算性質(zhì)：當(dāng)a0,b0,r,sQ時(shí)，；5、對(duì)數(shù)及其運(yùn)算性質(zhì)：（1）、定義：如果abN(a0,a1)，數(shù)b叫以a為底N的對(duì)數(shù)，記作，其中a叫，N叫，以10為底叫對(duì)數(shù)：記為，以e=2.7182828…為底叫對(duì)數(shù)：記為。（2）、性質(zhì)：①：，②、，③、，④、積的對(duì)數(shù)：，商的對(duì)數(shù)：，

冪的對(duì)數(shù)：，方根的對(duì)數(shù)：。6、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)函數(shù)定義圖象（非奇非偶）指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)yax（a0且a1）a>10第三章數(shù)列

（一）、數(shù)列：（1）、定義：叫數(shù)列；每個(gè)數(shù)都叫數(shù)列的；數(shù)列是特殊的函數(shù)：定義域：，

值域：，對(duì)應(yīng)法則：；（2）、通項(xiàng)公式：；例：數(shù)列1，2，…，n的通項(xiàng)公式an，1，-1，1，-1，…，的通項(xiàng)公式an；0，1，0，1，0，…，的通項(xiàng)公式an。（3）、遞推公式：已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)，且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系用一個(gè)公式表示，這個(gè)公式叫遞推公式；例：數(shù)列{an}：a11，an11，求數(shù)列{an}的各項(xiàng)。an1（4）、數(shù)列的前n項(xiàng)和：Sna1a2a3an；數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系：。（二）、等差數(shù)列：（1）、定義：，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的，公差通常用字母表示。（2）、通項(xiàng)公式：（其中首項(xiàng)是a1，公差是d；整理后是關(guān)于n的一次函數(shù)），（3）、前n項(xiàng)和：1．2.（整理后是關(guān)于n的沒有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)）（4）、等差中項(xiàng)：如果a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的。即：或。[說明]：在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮等差數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)；事實(shí)上等差數(shù)列中某一項(xiàng)是與其等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)。（5）、等差數(shù)列的判定方法：

①、定義法：對(duì)于數(shù)列an，若an1and(常數(shù))，則數(shù)列an是等差數(shù)列。②、等差中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列an，若2an1anan2，則數(shù)列an是等差數(shù)列。

（6）、等差數(shù)列的性質(zhì)：

①、等差數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果an是等差數(shù)列的第n項(xiàng)，am是等差數(shù)列的第m項(xiàng)，且mn，公差為d，則有；

②、等差數(shù)列an，若nmpq，則。

a1ana,a2,a3,,an2,an1,an

，如圖所示：1a2an1*也就是：a1ana2an1a3an2③、若數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，kN，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等差數(shù)列。

S3ka1a2a3akak1a2ka2k1a3k

如下圖所示：SkS2kSkS3kS2k④、設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，S奇是奇數(shù)項(xiàng)的和，S偶是偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的和，Sn是前n項(xiàng)的和，則有：前n項(xiàng)的和SnS奇S偶，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S偶S奇當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則S奇S偶a中，S奇nd，其中d為公差；2n1n1。a中，S偶a中（其中a中是等差數(shù)列的中間一項(xiàng)）

22anS2n1""⑤、等差數(shù)列an的前2n1項(xiàng)的和為S2n1，等差數(shù)列bn的前2n1項(xiàng)的和為S2，則。n1bnS2n1（三）、等比數(shù)列：（1）、定義：，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的，公比通常用字母表示（q0）。（2）、通項(xiàng)公式：（其中：首項(xiàng)是a1，公比是q）

（3）、前n項(xiàng)和：（推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減）

aanqa1(1qn)(q1)(q1)○說明：①Sn2Sn11q1q3當(dāng)q1時(shí)為常數(shù)列，Snna1，非0的常數(shù)列既是等差數(shù)列，也是等比數(shù)列○

（4）、等比中項(xiàng)：

如果在a與b之間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的。

Gb也就是，如果是的等比中項(xiàng)，那么，即（或Gab，等比中項(xiàng)有個(gè)）

aG（5）、等比數(shù)列的判定方法：①、定義法：對(duì)于數(shù)列an，若

an1q(q0)，則數(shù)列anan是等比數(shù)列。

2②、等比中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列an，若anan2anan是等比數(shù)列。1，則數(shù)列（6）、等比數(shù)列的性質(zhì)：

①、等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果an是等比數(shù)列的第n項(xiàng)，am是等比數(shù)列的第m項(xiàng)，且mn，公比為q，則有。

②、對(duì)于等比數(shù)列an，若nmuv，則。

a1ana,a2,a3,,an2,an1,an

。如圖所示：1a2an1也就是：a1ana2an1a3an2③、若數(shù)列an是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比數(shù)列。

S3ka1a2a3akak1a2ka2k1a3k

如下圖所示：SkS2kSkS3kS2k（7）、求數(shù)列的前n項(xiàng)和的常用方法：分析通項(xiàng)，尋求解法

n(n1)1122232n2n(n1)(2n1)，135(2n1)n2，

2612n①公式法：“差比之和”的數(shù)列：(235)(235)(235)123n②、并項(xiàng)法：1234(1)③、裂項(xiàng)相消法：1n1n

11126(n1)n1111

122334nn12n1④、到序相加法：

⑤、錯(cuò)位相減法：“差比之積”的數(shù)列：12x3xnx

第四章三角函數(shù)

1、角：（1）、正角、負(fù)角、零角：逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)正角，順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)負(fù)角，不做任何旋轉(zhuǎn)零角；（2）、與終邊相同的角，連同角在內(nèi)，都可以表示為集合：。（3）、象限的角：在直角坐標(biāo)系內(nèi)，頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊落在第幾象限，就是第幾象限的角；角的終邊落在坐標(biāo)軸上，這個(gè)角yP（x，y）不屬于任何象限。2、弧度制：（1）、定義：叫做1弧度的角，r用弧度做單位叫弧度制。22rxy0（2）、度數(shù)與弧度數(shù)的換算：。0（3）、弧長(zhǎng)公式：。x扇形面積：。3、三角函數(shù)（1）、定義：（如圖）（2）、各象限的符號(hào)：

y

yyr+sin　　　tan　　　sec　　rxxOxxrcos　　　cot　　　csc_

ryy+_

x__

y+Ox_Oy+_x++

（3）、特殊角的三角函數(shù)值sincos

120tan

的角度0的弧度sin30456090135150180270360costan4、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式（１）平方關(guān)系：（２）商數(shù)關(guān)系：（３）倒數(shù)關(guān)系：

（4）同角三角函數(shù)的常見變形：（活用“1”）

222sin

costan1cot

sec

2csc

①、sin1cos，sin1cos2；cos1sin，cos1sin2；

cos2sin22cos2sin22cos2②tancot，cottan2cot2

sincossin2sincossin2③(sincos)212sincos1sin2，1sin2|sincos|

5、誘導(dǎo)公式：（奇變偶不變，符號(hào)看象限）

公式一：公式二：公式三：公式四：公式五：

補(bǔ)充：

2,3與的三角函數(shù)關(guān)系：2補(bǔ)充：

6、兩角和與差的正弦、余弦、正切

S()：sin()S()：sin()C()：cos(a)C()：cos(a)

)T()：tan(T()：tan()

)(1tantan)T()的整式形式為：tantantan(例：若AB45，則(1tanA)(1tanB)2．（反之不一定成立）

7、輔助角公式：asinxbcosxa2b2absinxcosx2222ababa2b2(sinxcoscosxsin)a2b2sin(x)

（其中稱為輔助角，的終邊過點(diǎn)(a,b)，tanb）（多用于研究性質(zhì)）a8、二倍角公式：（1）、S2：sin2（2）、降次公式：（多用于研究性質(zhì)）C2：cos2sincos1sin221cos2112cos2sin2221cos211ncos2cos2T2：ta2222（3）、二倍角公式的常用變形：①、1cos22|sin|，1cos22|cos|；

②、

11cos2|sin|，11cos2|cos|

2222422sin2244③、sincos12sincos1；cossincos2；

24④半角：sin2sin1cos1cos1cos1cos，cos，tan

sin1cos22221cos9、三角函數(shù)的圖象性質(zhì)

（1）、函數(shù)的周期性：①、定義：對(duì)于函數(shù)f（x），若存在一個(gè)非零常數(shù)T，當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值

時(shí)，都有：，那么函數(shù)f（x）叫周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫這個(gè)函數(shù)的；②、如果函數(shù)f（x）的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，這個(gè)最小的正數(shù)叫f（x）的。（2）、函數(shù)的奇偶性：①、定義：對(duì)于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，

都有：，則稱f（x）是奇函數(shù)，則稱f（x）是偶函數(shù)。

②、奇函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱；③、奇函數(shù)，偶函數(shù)的定義域關(guān)于對(duì)稱；（3）、正弦、余弦、正切函數(shù)的性質(zhì)（kZ）函數(shù)定義域值域周期性奇偶性遞增區(qū)間遞減區(qū)間ysinxycosxytanxysinx圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：；ycosx圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：；

y1ysinx022322x32yy-11ycosx02o232x22322xytanx-1ysinx的對(duì)稱中心為；對(duì)稱軸是直線；yAsin(x)的周期為；ycosx的對(duì)稱中心為；對(duì)稱軸是直線；yAcos(x)的周期為；

ytanx的對(duì)稱中心為點(diǎn)和點(diǎn)；yAtan(x)的周期為；

(4)、函數(shù)yAsin(x)(A0,0)的相關(guān)概念：

函數(shù)定義域值域振幅周期頻率相位初相圖象yAsin(x)yAsin(x)的圖象與ysinx的關(guān)系：

當(dāng)A1時(shí)，圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的A倍

當(dāng)0A1時(shí)，圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的A倍①、振幅變換：ysinx

當(dāng)當(dāng)01時(shí)，圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的

1②、周期變換：ysinx1倍倍

1時(shí)，圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的

當(dāng)0時(shí)，圖象上的各點(diǎn)向左平移個(gè)單位倍

③、相位變換：ysinx當(dāng)0時(shí)，圖象上的各點(diǎn)向右平移||個(gè)單位倍

個(gè)單位倍④、平移變換：yAsinx|個(gè)單位倍當(dāng)0時(shí)，圖象上的各點(diǎn)向右平移|

當(dāng)0時(shí)，圖象上的各點(diǎn)向左平移

常敘述成：①、把ysinx上的所有點(diǎn)向左（0時(shí)）或向右（0時(shí)）平移||個(gè)單位得到

ysin(x)；

②、再把ysin(x)的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（1）或伸長(zhǎng)（01）到原來的

1倍（縱坐標(biāo)不

變）得到y(tǒng)sin(x)；③、再把ysin(x)的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（A1）或縮短（0A1）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變）得到y(tǒng)Asin(x)的圖象。先平移后伸縮的敘述方向：yAsin(x)

先平移后伸縮的敘述方向：yAsin(x)Asin[(x10、反三角函數(shù)：求角條件)]當(dāng)x為鈍角時(shí)x的值x的范圍sinxa（1a1）cosxa（1a1）tanxa（aR）11、三角函數(shù)求值域

（1）一次函數(shù)型：yAsinxB，例：y2sin(3x用輔助角公式化為：yasinxbcosx12)5，ysinxcosx

a2b2sin(x)，例：y4sinx3cosx

（2）二次函數(shù)型：①、二倍角公式的應(yīng)用：ysinxcos2x②、代數(shù)代換：ysinxcosxsinxcosx

第五章、平面向量

1、空間向量：（1）、定義：叫做向量，向量都可用同一平面內(nèi)的表示。（2）、零向量：長(zhǎng)度為的向量叫零向量，記作0；零向量的方向是任意的。（3）、單位向量：長(zhǎng)度等于的向量叫單位向量；

（4）、平行向量：的非零向量叫平行向量也叫共線向量，記作a//b；規(guī)定0與任何向量平行；

（5）、相等向量：的向量叫相等向量，零向量與零向量相等；2、向量的運(yùn)算：（1）、向量的加減法：

向量的減法向量的加法

三角形法則平行四邊形法則a

baabba首位連結(jié)abbbbabaaab指向被減數(shù)（2）、實(shí)數(shù)與向量的積：①、定義：實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，記作：；②：它的長(zhǎng)度：|a|；

③：它的方向：當(dāng)0，a與向量a的方向；當(dāng)0，a與向量a的方向；當(dāng)0時(shí)，

a=0；

3、平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1,2，使；不共線的向量e1,e2叫這個(gè)平面內(nèi)所有向量的一組基向量，{e1,e2}叫。

4、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：（１）、運(yùn)算性質(zhì)：abba,abcabc,a00aa（２）、坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)ax1,y1,bx2,y2，則ab。

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），則AB。

（3）、實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律:設(shè)ax,y，則λa。（4）、平面向量的數(shù)量積：①、定義：ab，0a。①、平面向量的數(shù)量積的幾何意義：向量a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos的乘積；③、坐標(biāo)運(yùn)算:設(shè)ax1,y1,bx2,y2,則ab；

向量a的模|a|：|a|2aax2y2；模|a|④、設(shè)是向量ax1,y1,bx2,y2的夾角，則cos，ab。5、重要結(jié)論：（1）、兩個(gè)向量平行的充要條件：a//b(R)

設(shè)ax1,y1,bx2,y2，則a//b。（2）、兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：ab，

設(shè)ax1,y1,bx2,y2，則ab。（3）、兩點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,y2的距離：|AB|（4）、P分線段P1P2的：設(shè)P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），且P（即1PPP2，

|P1P||PP2|）

xx則定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式。

yy"x,（5）、平移公式：如果點(diǎn)P（x，y）按向量ah,k平移至P′（x′，y′），則"

y.6、解三角形：（1）、三角形的面積公式：S。（2）、在△ABC中：ABC180，

因?yàn)锳B180C：sin(AB)sinC，cos(AB)cosC，tan(AB)tanC因?yàn)?/p>

AB90C：sin(AB)cosC，cos(AB)sinC，tan(AB)cotC

22222222（3）、正弦定理，余弦定理

①、正弦定理：；②、余弦定理：。求角：cosA。

第六章：不等式

1、不等式的性質(zhì)：（1）、對(duì)稱性：ab；（2）、傳遞性：ab,bc；（3）、abacbc；ab,cdacbd

（4）、ab,若c0acbc，若c0acbc；ab0,cd0acbd（5）、ab0anbn,nanb,(nN,n1)（沒有減法、除法）1、基本不等式：（1）、

22ab（ab）

2yab2)一正、二定、三相等（2）、ab2ab或ab(2不滿足相等條件時(shí)，注意應(yīng)用函數(shù)f(x)x2aaax1圖象性質(zhì)（如圖）x2a應(yīng)用：證明（注意1的技巧），求最值，實(shí)際應(yīng)用（3）、對(duì)于n個(gè)正數(shù)：a1,a2,a3,an(n2)，那么：

a1a2an叫做n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，na1a2an叫做n個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)；

n3、不等式的證明，常用方法：

（1）比較法：①、作差：ab0ab,ab0ab，（作差、變形、確定符號(hào)）

②、作商：a1(b0)ab(b0),a1(b0)ab(b0)

bb;　　,　;（2）綜合法：由因到果，格式：,�。�3）分析法：執(zhí)果索因，格式：原式，　，　，　，（4）反證法：從結(jié)論的反面出發(fā)，導(dǎo)出矛盾。4、不等式的解法：（不等式解集的邊界值是相應(yīng)方程的解）一元二次不等式（x的系數(shù)為正數(shù)）：0時(shí)“>”取兩邊,“”取兩邊,“f（x）|x2||x3||x2||3x||x23x|5（最大值）

第七章：直線和圓的方程

1、傾斜角和斜率：（1）、傾斜角：①、范圍：②、定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線，如果把x軸饒交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)的最小正角記為，則叫直線的傾斜角；當(dāng)直線與和x軸平行或重合時(shí)，傾斜角為；

當(dāng)直線與和x軸垂直時(shí)，傾斜角為。

（2）、斜率：，k(,)o2當(dāng)k是特殊角的三角函數(shù)值時(shí)，直接寫出角；

當(dāng)k0時(shí),　當(dāng)k不是特殊角的三角函數(shù)值時(shí)，可用反三角表示斜率：當(dāng)k0時(shí),　

（3）、直線上兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)，則斜率為，

直線的方向向量P1P2(x2x1,y1y2),或P1P21(x2x1,y1y2)（1，k）x2x1所以直線的方向向量P1P2(1,k)或P,k)1P2(12、直線方程：直線方程的五種形式（1）、點(diǎn)斜式：；（2）、斜截式：；（3）、兩點(diǎn)式：；（4）、截距式：（截距是直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，可正可負(fù)可為零）（5）、一般式：（A、B不同時(shí)為0）斜率kCA，y軸截距為

BB3、兩直線的位關(guān)系（1）、平行：l1//l2A1B1C1時(shí)，l1//l2；

A2B2C2垂直：k1k21A1A2B1B20l1l2；

A1xB1yC10;的解。（2）、相交：k1k2A1B1，交點(diǎn)就是方程組A2B2A2xB2yC20.f1(x,y)0任意曲線的交點(diǎn)就是：曲線方程構(gòu)成的方程組的解f(x,y)02（3）、點(diǎn)到直線的距離公式（直線方程必須化為一般式）

兩平行線間的距離公式：（即一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的距離）4、線性規(guī)劃：（1）、二元一次不等式表示的平面區(qū)域：不等式AxBxC0（或≤，或>，或<）表示直角坐標(biāo)系中以直線為分界的直線某一側(cè)的平面區(qū)域。（2）、求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條

14

件的解(x,y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域；

使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解。最優(yōu)解常在區(qū)域的交點(diǎn)或邊界上。（3）、具體解題的步驟：畫出圖形，求交點(diǎn)，代入目標(biāo)函數(shù)求值，確定最大值或最小值注意實(shí)際問題中的整數(shù)解（整點(diǎn)）5、曲線方程：（1）、曲線和方程的關(guān)系：在直角坐標(biāo)系中，曲線C的點(diǎn)與方程F（x，y）=0的實(shí)數(shù)解滿足：①、曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F（x，y）=0的解，

②、方程F（x，y）=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上，那么，方程叫曲線的方程，曲線叫方程的曲線（2）曲線方程步驟：①建系，設(shè)點(diǎn)；②列方程；③化簡(jiǎn)（注明條件）。（3）、方法：直接法：直接把相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程；

定義法：常用的是圓、橢圓、雙曲線的定義；

代入法：用所求的點(diǎn)的坐標(biāo)表示已知曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入已知曲線方程；參數(shù)法：常用的參數(shù)有角、斜率、題中的字母系數(shù)；6、圓的方程：（1）、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為C(a,b)，半徑為r

D2E2D2E24F（2）圓的一般方程為（配方：(x)(y)）

224D2E24F0時(shí)，表示一個(gè)以(D,E)為圓心，半徑為

2212D2E24F的圓

xrcos（3）、圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），圓心在原點(diǎn)時(shí)：yrsin（4）、點(diǎn)與圓的位關(guān)系：判斷方法上(xa)2(yb)2r2，外0,內(nèi)0，上=0（5）、直線與圓位關(guān)系：已知直線AxByC0和圓(xa)(yb)r①、圓心到直線的距離d與r比較，相離dr，相切dr，相交dr；

222Ax2BxC0②、利用根的判別式：聯(lián)立消元后得一元二次方程的判別式，

222(xa)(yb)r0直線和圓相交，0直線和圓相切，0直線和圓相離；

相關(guān)問題：求弦長(zhǎng)：弦心距，半徑，弦的一半組成Rt

（6）、求圓的切線方程：設(shè)點(diǎn)斜式，用圓心到切線的距離等于半徑，求斜率；

①、過圓xyr上一點(diǎn)M(x0,y0)的切線只有一條，方程為：。②、過圓外一點(diǎn)的切線一定有兩條；（若只解出一個(gè)斜率，另一條沒有斜率，切線方程為：xx0）③、斜率確定的切線一定有兩條。（7）、圓中的最值問題：數(shù)形結(jié)合，尋求解法。

222第八章：圓錐曲線

1、圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖象、幾何性質(zhì)曲線第一定義

橢圓雙曲線拋物線第二定義標(biāo)準(zhǔn)方程圖象y0xy0xy0xFFFFF圓錐曲線的幾何性質(zhì)曲線圖象焦點(diǎn)頂點(diǎn)對(duì)稱軸離心率準(zhǔn)線漸近線

橢圓yF1雙曲線y拋物線y0F2x22F10F2x02Fx(c,0),cab(c,0),cab2(p,0)2(a,0),(0,b)x軸，y軸ce(0,1)aa2xc(a,0)ce(1,)abxa(0,0)x軸e1xp2yx2y2x2y2y2x2yxb由雙曲線求漸近線：22122022yx

baaababbabyxy2x2x2y2x2y2由漸近線求雙曲線：yx2222022

ababaabab2、求離心率e：方法一：用e的定義ecc；法二：得到與a、b、c有關(guān)的方程，解方程，求；

aab2b2（離心率e與a、b、c的關(guān)系可以互相表示：橢圓e12，雙曲線e12）

aa3、直線和圓錐曲線的位關(guān)系：

（1）、判斷直線與圓錐曲線的位關(guān)系的方法（基本思路）

直線方程→消元→一元二次方程→判別式Δ

聯(lián)立圓錐曲線方程（方程的思想）（2）、求弦長(zhǎng)的方法：①求交點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間距離公式求弦長(zhǎng)；

②弦長(zhǎng)公式l1k2xx(1k2)[(xx)24xx]　�。ㄏ鹹）121212

1112|y1y2|(12)[(y1y2)24y1y2]　　　（消x）

kk（3）、與弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題常用“點(diǎn)差法”：

把弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，作差→弦的斜率與中點(diǎn)的關(guān)系；（弦的中點(diǎn)與弦的斜率可以相互表示）（4）、與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線：一相切，二與漸近線平行

與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線：一相切，二與對(duì)稱軸平行4、圓錐曲線的最值問題：（1）、利用第二定義，把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離求最值；（2）、結(jié)合曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值；在y22px上的點(diǎn)常設(shè)(y2x222p,y)，在x2py上的點(diǎn)常設(shè)(x,2p)

（3）、利用數(shù)形結(jié)合求最值；基本思路：與直線平行，與曲線相切.

（橢圓中，長(zhǎng)軸是最長(zhǎng)的弦；雙曲線中，實(shí)軸是最短的弦。）

17

第九章直線平面簡(jiǎn)單的幾何體

1、平面的性質(zhì)：

公理1：。公理2：。（兩平面相交，只有一條交線）Pl且Pla公理3：。(強(qiáng)調(diào)“不共線”)（三個(gè)推論：1、直線和直線外一點(diǎn)，2、兩條相交直線，3、兩條平行直線，確定一個(gè)平面）

空間圖形的平面表示方法：斜二測(cè)畫法（水平長(zhǎng)不變，豎直長(zhǎng)減半）

2、兩條直線的位關(guān)系：。不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫。（1）、異面直線判斷方法：①定義，

②判定：連結(jié)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線．（兩在兩不

a在）

（2）、兩條直線垂直：兩條異面直線所成的角是直角，這兩條直線互相垂直．Aα垂直相交（共面）、異面垂直，都叫兩條直線互相垂直．

a∩α=A（3）、空間平行直線：公理4：。

3、直線與平面的位關(guān)系：直線在平面內(nèi)，記作

直線在平面外直線與平面相交，記作直線與平面平行，記作4、直線與平面平行：定義：。a（1）、判定定理：。

（線線平行線面平行）l,m,且l//ml//

αa//αP（2）、性質(zhì)定理：。（線面平行線線平行）

l//,l,ml//m

5、兩個(gè)平面平行：定義：。

（1）、判定定理：。（線面平行面面平行）推論：。（2）、性質(zhì)定理：①。（面面平行線線平行）②；（面面平行線面平行）

③夾在兩個(gè)平行平面間的兩條平行線段相等。

平行間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系：線線平行線面平行面面平行

6、直線和平面垂直：定義：。（常用于證明

線線垂直：線面垂直線線垂直）（1）、判定定理：。（線線垂直線面垂直）（2）、性質(zhì)定理：①過一點(diǎn)和已知平面垂直的直線只有一條，過一點(diǎn)和已知直線垂直的平面只有一條。

②如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，另一條也垂直于這個(gè)平面。③線段垂直平分面內(nèi)的任意一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等。

‘

（3）正射影：自一點(diǎn)P向平面引垂線，垂足P叫點(diǎn)P在內(nèi)的正射影（簡(jiǎn)稱射影）斜線在平面內(nèi)的射影：過斜線上斜足外一點(diǎn)，作平面的垂線，過垂足和斜足的直線叫斜線在平面內(nèi)的射影。（4）三垂線定理：。

逆定理：。

P

ADaAOBEaC

7、兩個(gè)平面垂直：定義：平面角是直角的二面角叫直二面角，相交成直二面角的兩個(gè)平面垂直。（1）、判定定理：。（線面垂直面面垂直）（2）、性質(zhì)定理：。（面面垂直線面垂直）

垂直間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系：線線垂直線面垂直面面垂直

8、空間向量：在空間具有大小和方向的量，空間任意兩個(gè)向量都可用同一平面內(nèi)的有向線段表示。（1）、共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量a，b（b0），a//b（R）

P空間直線的向量參數(shù)表達(dá)式（P在面MAB內(nèi)的充要條件）：BaAOPOAta或OPOAtAB(1t)OAtOB（a叫直線AB的方向向量）當(dāng)t1時(shí)，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，則。2O（2）、共面向量定理：兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與a，b共面p（x,yR）平面的向量表達(dá)式（P在面MAB內(nèi)的充要條件）：MPxMAyMB或OPOMxMAyMB

O為空間任一點(diǎn)，當(dāng)OPxOAyOBzOC且xyz1時(shí)，P、A、B、C四點(diǎn)共面。

（3）、空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)的唯一有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p，{a，b，c}叫基底，a、b、c叫基向量。如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么空間向量組成的集合為。（4）、兩個(gè)向量的數(shù)量積：ab，向量a的模|a|：|a|2aa

向量a在單位向量e方向的正射影是一個(gè)向量，即ae|a|cosa,e，ab。（5）、共線向量或平行向量：所在的直線平行或重合的向量；直線的方向向量：和直線平行的向量；

共面向量：平行于同一平面的向量；平面的法向量：和平面垂直的向量。法向量的求法：設(shè)a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3)是平行于平面的兩個(gè)不共線向量，

19

zyan0是平面的法向量，則：。n(x,y,z)bn09、空間直角坐標(biāo)系：?jiǎn)挝徽�交基底常用{i,j,k}來表示。（如圖）

i（1，0，0）j（0，1，0）k（0，0，1）其中：i1，j1，k1，ij0，ik0，

222jk0，

1、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)，則（1）ab；（2）ab；

（3）a(a1,a2,a3)（R）；（4）a∥b（即

a1a2a3；）

b1b2b3（5）abab0．

（6）aba1b1a2b2a3b3；∵a〃b＝|a||b|cos＜a，b＞

∴a〃b=a1b1a2b2a3b3＝a1a2a3〃b1b2b3〃cos＜a，b＞由此可以得出：兩個(gè)向量的夾角公式cos＜a，b＞＝

222222a1b1a2b2a3b3aaa212223bbb212223

當(dāng)cos＜a、b＞＝1時(shí)，a與b同向；當(dāng)cos＜a、b＞＝－1時(shí)，a與b反向；當(dāng)cos＜a、b＞＝0時(shí)，a⊥b．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，AB。A、B兩點(diǎn)間的距離公式：dA、B。A、B中點(diǎn)M坐標(biāo)公式：OM1xx2y1y2z1z2(OAOB)＝(1,,)222210、角

（1）、等角定理：，那么這兩個(gè)角相同。（2）、最小角定理：平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)任一條直線所成的角中最小的．公式：；O（3）、角的范圍：

①、異面直線所成的角的范圍：兩條直線所成的角的范圍：兩個(gè)向量所成的角的范圍：1B②、斜線與平面所成的角的范圍：A2

20C直線與平面所成的角的范圍：③、二面角的范圍：（4）、定義及求法：

①、異面直線所成的角：已知兩條異面直線a、b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作a"∥a，b"∥b，a"與b"所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）．范圍：(0,2]．

求法一：作平行線；求法二：（向量）兩條直線的方向向量的夾角的余弦的絕對(duì)值為兩直線的夾角的余弦。

②、斜線和平面所成的角：一個(gè)平面的斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影的夾角；斜線和平面不垂直，不平行。

。如果直線和平面平行或在平面內(nèi)，則直線和平面所成的角是0的角。求法一：公式coscos1cos2；

OA求法二：解直角三角形，斜線、斜線的射影、垂線構(gòu)成直角三角形；BA’，連結(jié)求法三：向量法：已知PA為平面的一條斜線，n為平面的一個(gè)法向量，過OP’作平面的垂線POOA則PAO為斜線PA和平面所成的角為，則B’sin|sin(2OP,AP)|

|nPA||n||PA|PnA|cosOP,AP||cosn,AP|O

③、二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫二面角，直線叫二面角的棱；二面角的平面角：垂直于二面角的棱，且與兩個(gè)半平面的交線所成的角。

求法一：幾何法：一作二證三計(jì)算.利用三垂線定理及其逆定理作二面角的平面角，再解直角三角形；求法一：向量法：二面角的兩個(gè)半平面的法向量所成的角（或其補(bǔ)角）n1和n2分別為平面和的法向量，記二面角l的大小為，則n1,n2或n1,n2(依據(jù)兩平面法向量的方向而定)

n1總有|cos||cosn1,n2|=|n1n2||n1||n2|，n2若該二面角為銳二面角則arccos|n1n2|lA|n1||n2|ABOA‘若二面角l為鈍二面角則arccos|n1n2|B|n1||n2|11、距離（滿足最小值原理）‘（1）、點(diǎn)到平面的距離：一點(diǎn)到它在平面內(nèi)的正射影的距離；AO求法一：解直角三角形；求法二：等積法，利用體積相等；求法三：向量法：如圖點(diǎn)P為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)A為平面內(nèi)的任一點(diǎn)，

平面的法向量為n,過點(diǎn)P作平面的垂線PO，記PA和平面所成的角為，

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則點(diǎn)P到平面的距離d|PO||PA|sin|PA||nPA||nPA|

|n||PA||n|（2）、直線到平行平面的距離：直線上任一點(diǎn)到與它平行的平面的距離；求法：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求。

（3）、兩個(gè)平行平面的距離：兩個(gè)平行平面的共垂線段的長(zhǎng)度；求法：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離來求。（4）、異面直線的距離：兩條異面直線的公垂線夾在異面直線間的部分；（公垂線是唯一的，必須垂直相交）

求法一：解直角三角形；

求法二：異面直線上任意兩點(diǎn)的距離公式：ldmn2mncos

求法三：向量法：先求兩條異面直線的一個(gè)公共法向量，再求兩條異面直線上兩點(diǎn)的連線在公共法向量上

2222d的射影長(zhǎng)。設(shè)E、F分別是兩異面直線上的點(diǎn)，n是公共法向量，則異面直線之間的距離n12、棱柱

（1）、定義：的多面體叫棱柱。斜棱柱（側(cè)棱不垂直底面）直棱柱（側(cè)棱垂直底面）正棱柱（底面是正多邊形的直棱柱）（2）、性質(zhì)：①、棱柱的側(cè)面是，所有側(cè)棱都；過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是；直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是；正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是的矩形。

②、棱柱的兩個(gè)底面與平行于底面的截面是的多邊形。（3）、平行六面體直平行六面體長(zhǎng)方體正方體，平行六面體四棱柱cb①、平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分；

②、長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于；③、正方體的對(duì)角線長(zhǎng)l，正方體的面對(duì)角線可構(gòu)成一個(gè)正四面體（如圖）。13、棱錐（1）、定義：的多面體叫棱錐；的棱錐叫正棱錐。aEFnShVh（2）、性質(zhì)：①、棱錐被平行于底面的平面所截，則112,113；中截面。S2h2V2h2②、正棱錐各側(cè)棱，斜高，各側(cè)面是三角形；③、正棱錐的高、斜高和斜高在底面的射影組成三角形，高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面的射影組成三角形。

A

14、正多面體：每個(gè)面都有相同邊數(shù)的正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)都有相同的棱數(shù)。

正多邊形正四面體正六面體正八面體正十二面體正二十面體頂點(diǎn)數(shù)V面數(shù)F棱數(shù)E歐拉公式：15、球：（1）、定義：的集合叫球體；

2223P‘ABOCCOB以各面的中心為頂點(diǎn)的正多面體ORdrO‘的集合叫球面；

（2）、性質(zhì)：①、截圓：一個(gè)平面截一個(gè)球面，截面是一個(gè)；

22rRd圓心是球心在圓面上的射影，

；NO‘過球心的截圓叫，過球面上任意兩點(diǎn)的大圓有一個(gè)或無數(shù)個(gè)；不過球心的截圓叫。平行于的小圓叫緯線或緯圓。B②、緯度：緯線上一點(diǎn)的球半徑與赤道面所成的線面角的度數(shù)；圖中：AOC,BOA都是緯度；常用OAOAOC經(jīng)度：以南北軸SN為棱的二面角的度數(shù)；

圖中：TOD,TOC都是經(jīng)度；常用經(jīng)度差CODAOB

"AOT

DC

S（3）、兩點(diǎn)的球面距離：經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧的長(zhǎng)度，是球面上兩點(diǎn)的最短連線的長(zhǎng)度。求法：球心角的弧度數(shù)乘以球半徑，即。（4）、球的體積公式：，球的表面積公式：，柱體V，錐體V。

第十一章：概率1、概率（范圍）：必然事件：P(A)1，不可能事件：P(A)0，隨機(jī)事件：0

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