高中數學必修5知識點總結

高中數學必修5知識點總結

（一）解三角形：

1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對邊，，則有a(R為C的外接圓的半徑)

2、正弦定理的變形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；②sin④

sinbc2RsinsinCab，sin，sinCc；③a:b:csin:sin:sinC；2R2R2Rabcabc．

sinsinsinCsinsinsinC2223、三角形面積公式：SC1bcsin1absinC1acsin．

2b2c2a24、余弦定理：在C中，有abc2bccos，余弦定理的推論：cos

2bc22a2c2b2bac2accoscos

2ac222a2b2c2cab2abcosCcosC

2ab222（二）數列：1.數列的有關概念：

（1）數列：按照一定次序排列的一列數。數列是有序的。數列是定義在自然數N*或它的有限子集

{1,2,3,,n}上的函數。

（2）通項公式：數列的第n項an與n之間的函數關系用一個公式來表示，這個公式即是該數列的通項公式。如:an2n21。

（3）遞推公式：已知數列{an}的第1項（或前幾項），且任一項an與他的前一項an-1（或前幾項）可

以用一個公式來表示，這個公式即是該數列的遞推公式。如:a11,a22,anan1an2(n2)。

2．數列的表示方法：

（1）列舉法：如1，3，5，7，9，…（2）圖象法：用（n,an）孤立點表示。

（3）解析法：用通項公式表示。（4）遞推法：用遞推公式表示。3．數列的分類：

常數列:an2有窮數列n遞增數列:an2n1,an2按項數按單調性無窮數列遞減數列:ann21

擺動數列:a(1)n2nn4．數列{an}及前n項和之間的關系:

S1,(n1)Sna1a2a3ananSS,(n2)n1n5．等差數列與等比數列對比小結：等差數列一、定義二、公式等比數列anq(n2)an1anan1d(n2)1．ana1n1d1．ana1qnanamnmd,nm2．Snanamqnm,(nm)2．na1q1Sna11qnaaqn1q11q1qnn1na1anna1d221．a,b,c成等差2bac，稱b為a與c的等差中項1．a,b,c成等比b2ac，稱b為a與c的等比中項三、性質2．若mnpq（m、，2．若mnpq（m、，q*）n、p、n、p、q*）則amanapaq則amanapaq3．Sn，S2nSn，S3nS2n成等差數列3．Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數列（三）不等式

1、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

2、不等式的性質：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0anbnn,n1；

⑧ab0nanbn,n1．

小結：代數式的大小比較或證明通常用作差比較法：作差、化積（商）、判斷、結論。在字母比較的選擇或填空題中，常采用特值法驗證。3、一元二次不等式解法：

（1）化成標準式：ax2bxc0,(a0)；（2）求出對應的一元二次方程的根；（3）畫出對應的二次函數的圖象；（4）根據不等號方向取出相應的解集。二次函數的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關系：判別式b4ac二次函數201*yax2bxca0的圖象一元二次方程axbx2有兩個相異實數根有兩個相等實數根c0a0的根bx1,2x1x22abx1x22a沒有實數根ax2bxc0一元二次不等式的解集a0ax2bxc0xxx1或xx2xxxx2bxx2aRa04.線性規(guī)劃問題：

11）了解線性約束條件、目標函數、可行域、可行解、最優(yōu)解

2）線性規(guī)劃問題：求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值問題．3）解線性規(guī)劃實際問題的步驟：

（1）將數據列成表格；（2）列出約束條件與目標函數；（3）根據求最值方法：①畫：畫可行域；②移：移與目標函數一致的平行直線；③求：求最值點坐標；④答；求最值；（4）驗證。兩類主要的目標函數的幾何意義:

①zaxby-----直線的截距；②z(xa)2(yb)2-----兩點的距離或圓的半徑；③z的斜率

2abab4、均值定理：若a0，b0，則ab2ab，即ab．aba0,b0；22yb-----兩點xaab稱為正數a、b的算術平均數，ab稱為正數a、b的幾何平均數．25、均值定理的應用：設x、y都為正數，則有

s2⑴若xys（和為定值），則當xy時，積xy取得最大值．

4⑵若xyp（積為定值），則當xy時，和xy取得最小值2p．注意：在應用的時候，必須注意“一正二定三等”三個條件同時成立。1．在C中，a1,bA．

3,A6，則∠B等于（）

C．

3B．

2或

335或

66D．

232．（江蘇）在△ＡＢＣ中，已知ｃ＝１０，Ａ＝４５°，Ｃ＝３０°，則ｂ=5(62)（正弦定理）

3.10-11的1,15題；11-12中的12,16題；模擬1中的8,13,15題，模擬2中的1,6,11,15題4．（江蘇）已知正數x,y滿足x2y1，則

11的最小值為322（提示：1用x2y表示）xy5.10-11的第3、7、14、17題；11-12的第4、8、17題6.四張試卷中的選擇填空中的數列題目

S1,(n1)7.an的應用：

SS,(n2)n1n在數列{an}中，Sn14an2,a11；（1）設bnan12an，求證數列{bn}是等比數列；（2）設cnan，求證：數列{cn}是等差數列；2n（3）求數列{an}的通項公式已知數列{an}中，Snn22n，求數列{an}的通項公式8.分組求和法：數列1111,2,3,4,5,,nn,的前n項之和等于21111n(n1)1Sn(123n)(23n)1n222222裂項求和法：模擬1中的18題（2）問：數列bn,bn1的前n項之和為2n(2n2)Sn1111111111111n()2446682n(2n2)22446682n2n24n41111()(kN*)n(nk)knnk裂項公式錯位相減法求和：數列an,ann2n1的前n項之和為Sn120221322423n2n12Sn121222323424n2nSn122222Sn12nn2n0123n112nnn2n212n

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高中數學必修5知識點

第一章：解三角形

1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對邊，R為C的外接圓的半徑，則有

asinbsina2RcsinC2R．

2、正弦定理的變形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；

②sin，sinb2R，sinCc2R；（正弦定理的變形經常用在有三角函數的等式中）

③a:b:csin:sin:sinC；④

abcsinsinsinCsinsinsinC111bcsinabsinCacsin．222abc．

3、三角形面積公式：SC4、余定理：在C中，有a2b2c22bccos，b2a2c22accos，

cab2abcosC．

2225、余弦定理的推論：cosbca2bc222，cosacb2ac222，cosCabc2ab222．

6、設a、b、c是C的角、、C的對邊，則：①若a2b2c2，則C90為直角三角形；

②若a2b2c2，則C90為銳角三角形；③若a2b2c2，則C90為鈍角三角形．

第二章：數列

1、數列：按照一定順序排列著的一列數．2、數列的項：數列中的每一個數．

3、有窮數列：項數有限的數列．

4、無窮數列：項數無限的數列．

5、遞增數列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數列．6、遞減數列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數列．

7、常數列：各項相等的數列．

8、擺動數列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列．9、數列的通項公式：表示數列an的第n項與序號n之間的關系的公式．

10、數列的遞推公式：表示任一項an與它的前一項an1（或前幾項）間的關系的公式．

11、如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，則這個數列稱為等差數列，這個

常數稱為等差數列的公差．

12、由三個數a，，b組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列，則稱為a與b的等差中項．若

bac2，則稱b為a與c的等差中項．

13、若等差數列an的首項是a1，公差是d，則ana1n1d．

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通項公式的變形：①anamnmd；②a1ann1d；③d⑤danamnmana1n1；④nana1d1；

．

14、若an是等差數列，且mnpq（m、n、p、q*），則amanapaq；若an是等差

數列，且2npq（n、p、q*），則2anapaq；下角標成等差數列的項仍是等差數列；連續(xù)m項和構成的數列成等差數列。15、等差數列的前n項和的公式：①Snna1an2；②Snna1nn12d．

16、等差數列的前n項和的性質：①若項數為2nn*，則S2nnanan1，且S偶S奇nd，

S奇S偶anan1．②若項數為2n1n*，則S2n12n1an，且S奇S偶an，

S奇S偶nn1（其中

S奇nan，S偶n1an）．

17、如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，則這個數列稱為等比數列，這個

常數稱為等比數列的公比．

18、在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，則G稱為a與b的等比中項．若G2ab，則

稱G為a與b的等比中項．

n119、若等比數列an的首項是a1，公比是q，則ana1q．

nm20、通項公式的變形：①anamq；②a1anqn1；③qn1ana1；④qnmanam．

*21、若an是等比數列，且mnpq（m、n、p、q），則amanapaq；若an是等比數

*列，且2npq（n、p、q），則anapaq；下角標成等差數列的項仍是等比數列；連續(xù)m

2項和構成的數列成等比數列。

na1q122、等比數列an的前n項和的公式：Sna11qnaaq．

1nq11q1qq1時，Sna11qa11qq，即常數項與q項系數互為相反數。

nn23、等比數列的前n項和的性質：①若項數為2nn*，則SS偶奇q．

n②SnmSnqSm．③Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數列．

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24、an與Sn的關系：anSnSn1S1n2n1

一些方法：

一、求通項公式的方法：

1、由數列的前幾項求通項公式：待定系數法

①若相鄰兩項相減后為同一個常數設為anknb，列兩個方程求解；

②若相鄰兩項相減兩次后為同一個常數設為anan2bnc，列三個方程求解；③若相鄰兩項相減后相除后為同一個常數設為anaq2、由遞推公式求通項公式：

①若化簡后為an1and形式，可用等差數列的通項公式代入求解；②若化簡后為an1anf(n),形式，可用疊加法求解；

③若化簡后為an1anq形式，可用等比數列的通項公式代入求解；

④若化簡后為an1kanb形式，則可化為(an1x)k(anx)，從而新數列{anx}是等比數列，用等比數列求解{anx}的通項公式，再反過來求原來那個。（其中x是用待定系數法來求得）3、由求和公式求通項公式：

①a1S1②anSnSn1③檢驗a1是否滿足an，若滿足則為an，不滿足用分段函數寫。4、其他

（1）anan1fn形式，fn便于求和，方法：迭加；

例如：anan1n1有：anan1n1a2a13a3a24anan1n1各式相加得ana134n1a1nb，q為相除后的常數，列兩個方程求解；

n4n1（2）anan12anan1形式，同除以anan1，構造倒數為等差數列；

anan1anan121an1例如：anan12anan1，則

1，即為以-2為公差的等差數列。anan1（3）anqan1m形式，q1，方法：構造：anxqan1x為等比數列；

例如：an2an12，通過待定系數法求得：an22an12，即an2等比，公比為2。（4）anqan1pnr形式：構造：anxnyqan1xn1y為等比數列；

nn（5）anqan1p形式，同除p，轉化為上面的幾種情況進行構造；

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因為anqan1pn，則

anpnqan1ppn11，若

qp1轉化為（1）的方法，若不為1，轉化為（3）的方

法

二、等差數列的求和最值問題：（二次函數的配方法；通項公式求臨界項法）

①若②若ak0，則Sn有最大值，當n=k時取到的最大值k滿足d0a0k1a10a10ak0，則Sn有最小值，當n=k時取到的最大值k滿足d0a0k1三、數列求和的方法：

①疊加法：倒序相加，具備等差數列的相關特點的，倒序之后和為定值；

②錯位相減法：適用于通項公式為等差的一次函數乘以等比的數列形式，如：an2n13；

n③分式時拆項累加相約法：適用于分式形式的通項公式，把一項拆成兩個或多個的差的形式。如：an1nn11n1n1，an12n12n1111等；

22n12n1④一項內含有多部分的拆開分別求和法：適用于通項中能分成兩個或幾個可以方便求和的部分，如：

an2n1等；

n四、綜合性問題中

①等差數列中一些在加法和乘法中設一些數為ad和ad類型，這樣可以相加約掉，相乘為平方差；②等比數列中一些在加法和乘法中設一些數為aq和aq類型，這樣可以相乘約掉。

第三章：不等式

1、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

比較兩個數的大小可以用相減法；相除法；平方法；開方法；倒數法等等。

2、不等式的性質：①abba；②ab,bcac；③abacbc；

④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0ab⑧ab0nnnn,n1；

anbn,n1．

3、一元二次不等式：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式．

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4、二次函數的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關系：

判別式b4ac

201*

二次函數yaxbxc

2a0的圖象

有兩個相異實數根

一元二次方程axbxc0

2

有兩個相等實數根

a0的根

axbxc0

一元二次不等式的解集

2x1,2b2a

x1x2b2a

沒有實數根

x1x2

a0

axbxc0

2xxx1或xx2

bxx

2aRa0

xx1xx2

5、二元一次不等式：含有兩個未知數，并且未知數的次數是1的不等式．6、二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組．

7、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的x和y的取值構成有序數對x,y，所有這樣的有序數對x,y構成的集合．

8、在平面直角坐標系中，已知直線xyC0，坐標平面內的點x0,y0．

①若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的上方．②若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的下方．

9、在平面直角坐標系中，已知直線xyC0．

①若0，則xyC0表示直線xyC0上方的區(qū)域；xyC0表示直線

xyC0下方的區(qū)域．

②若0，則xyC0表示直線xyC0下方的區(qū)域；xyC0表示直線

xyC0上方的區(qū)域．

10、線性約束條件：由x，y的不等式（或方程）組成的不等式組，是x，y的線性約束條件．

目標函數：欲達到最大值或最小值所涉及的變量x，y的解析式．線性目標函數：目標函數為x，y的一次解析式．

線性規(guī)劃問題：求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值問題．可行解：滿足線性約束條件的解x,y．

第5頁共6頁

可行域：所有可行解組成的集合．

最優(yōu)解：使目標函數取得最大值或最小值的可行解．11、設a、b是兩個正數，則

ab稱為正數a、b的算術平均數，ab稱為正數a、b的幾何平均數．

212、均值不等式定理：若a0，b0，則ab2ab，即ab2ab．

13、常用的基本不等式：

①a2b22aba,bR；

22②abab2a,bR；

③abab2a2b2ab22a0,b0；④22a,bR．

14、極值定理：設x、y都為正數，則有

s（和為定值），則當xy時，積xy取得最大值s2⑴若xy．4⑵若xyp（積為定值），則當xy時，和xy取得最小值2p．

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