因式分解所有方法歸納總結(jié)

因式分解的十二種方法:

把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解。因式分解的方法多種多樣，現(xiàn)總結(jié)如下：1、提公因法

如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式。

例1、分解因式x-2x-x(201*淮安市中考題)x-2x-x=x(x-2x-1)2、應(yīng)用公式法

由于分解因式與整式乘法有著互逆的關(guān)系，如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式。例2、分解因式a+4ab+4b(201*南通市中考題)解：a+4ab+4b=（a+2b）3、分組分解法

要把多項(xiàng)式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前兩項(xiàng)分成一組，并提出公因式a，把它后兩項(xiàng)分成一組，并提出公因式b，從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，從而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m+5n-mn-5m解：m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n=(m-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法

對(duì)于mx+px+q形式的多項(xiàng)式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，則多項(xiàng)式可因式分解為(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x-19x-6分析：1-3722-21=-19

解：7x-19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法

對(duì)于那些不能利用公式法的多項(xiàng)式，有的可以利用將其配成一個(gè)完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解。

例5、分解因式x+3x-40解x+3x-40=x+3x+()-()-40=(x+)-()=(x++)(x+-)=(x+8)(x-5)6、拆、添項(xiàng)法

可以把多項(xiàng)式拆成若干部分，再用進(jìn)行因式分解。例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、換元法

有時(shí)在分解因式時(shí)，可以選擇多項(xiàng)式中的相同的部分換成另一個(gè)未知數(shù)，然后進(jìn)行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來。例7、分解因式2x-x-6x-x+2解：2x-x-6x-x+2=2(x+1)-x(x+1)-6x=x[2(x+)-(x+)-令y=x+,x[2(x+)-(x+)-6=x[2(y-2)-y-6]=x(2y-y-10)=x(y+2)(2y-5)=x(x++2)(2x+-5)=(x+2x+1)(2x-5x+2)=(x+1)(2x-1)(x-2)8、求根法

令多項(xiàng)式f(x)=0,求出其根為x,x,x,……x,則多項(xiàng)式可因式分解為f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x)例8、分解因式2x+7x-2x-13x+6解：令f(x)=2x+7x-2x-13x+6=0

通過綜合除法可知，f(x)=0根為，-3，-2，1則2x+7x-2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9、圖象法

令y=f(x)，做出函數(shù)y=f(x)的圖象，找到函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)x,x,x,……x，則多項(xiàng)式可因式分解為f(x)=f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x)例9、因式分解x+2x-5x-6解：令y=x+2x-5x-6

作出其圖象，見右圖，與x軸交點(diǎn)為-3，-1，2則x+2x-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10、主元法

先選定一個(gè)字母為主元，然后把各項(xiàng)按這個(gè)字母次數(shù)從高到低排列，再進(jìn)行因式分解。例10、分解因式a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)

分析：此題可選定a為主元，將其按次數(shù)從高到低排列解：a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=a(b-c)-a(b-c)+(bc-cb)=(b-c)[a-a(b+c)+bc]=(b-c)(a-b)(a-c)11、利用特殊值法

將2或10代入x，求出數(shù)P，將數(shù)P分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合，并將組合后的每一個(gè)因數(shù)寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。例11、分解因式x+9x+23x+15

解：令x=2，則x+9x+23x+15=8+36+46+15=105將105分解成3個(gè)質(zhì)因數(shù)的積，即105=3×5×7

注意到多項(xiàng)式中最高項(xiàng)的系數(shù)為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時(shí)的值則x+9x+23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）

12、待定系數(shù)法

首先判斷出分解因式的形式，然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項(xiàng)式因式分解。例12、分解因式x-x-5x-6x-4

分析：易知這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有一次因式，因而只能分解為兩個(gè)二次因式。解：設(shè)x-x-5x-6x-4=(x+ax+b)(x+cx+d)=x+(a+c)x+(ac+b+d)x+(ad+bc)x+bd所以解得

則x-x-5x-6x-4=(x+x+1)(x-2x-4)

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因式分解知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)二

概述

定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫作分解因式。

意義：它是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具。因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用。學(xué)習(xí)它，既可以復(fù)習(xí)的整式四則運(yùn)算，又為學(xué)習(xí)分式打好基礎(chǔ)；學(xué)好它，既可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察、注意、運(yùn)算能力，又可以提高學(xué)生綜合分析和解決問題的能力。分解因式與整式乘法互為逆變形。

因式分解的方法

因式分解沒有普遍的方法，初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提公因式法、公式法。而在競(jìng)賽上，又有拆項(xiàng)和添減項(xiàng)法，分組分解法和十字相乘法，待定系數(shù)法，雙十字相乘法，對(duì)稱多項(xiàng)式輪換對(duì)稱多項(xiàng)式法，余數(shù)定理法，求根公式法，換元法，長(zhǎng)除法，除法等。注意三原則1分解要徹底

2最后結(jié)果只有小括號(hào)

3最后結(jié)果中多項(xiàng)式首項(xiàng)系數(shù)為正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)）

基本方法

⑴提公因式法

各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。

如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

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具體方法：當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的次數(shù)取最低的。

如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出“-”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)成為正數(shù)。提出“-”號(hào)時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)。

口訣：找準(zhǔn)公因式，一次要提凈；全家都搬走，留1把家守；提負(fù)要變號(hào)，變形看奇偶。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

注意：把2a^2+1/2變成2(a^2+1/4)不叫提公因式

⑵公式法

如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項(xiàng)式分解因式，這種方法叫公式法。

平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2；

注意：能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式必須是三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)能寫成兩個(gè)數(shù)(或式)的平方和的形式，另一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)(或式)的積的2倍。立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；完全立方公式：a3±3a2b＋3ab2±b3=(a±b)3．公式：a3+b3+c3+3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)例如：a2+4ab+4b2=(a+2b)2。（3）分解因式技巧

1.分解因式與整式乘法是互為逆變形。2.分解因式技巧掌握：①等式左邊必須是多項(xiàng)式；

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②分解因式的結(jié)果必須是以乘積的形式表示；

③每個(gè)因式必須是整式，且每個(gè)因式的次數(shù)都必須低于原來多項(xiàng)式的次數(shù)；④分解因式必須分解到每個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止。

注：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應(yīng)從系數(shù)和因式兩個(gè)方面考慮。

3.提公因式法基本步驟：（1）找出公因式；

（2）提公因式并確定另一個(gè)因式：

①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)在確定字母；②第二步提公因式并確定另一個(gè)因式，注意要確定另一個(gè)因式，可用原多項(xiàng)式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個(gè)因式，也可用公因式分別除去原多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，求的剩下的另一個(gè)因式；

③提完公因式后，另一因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。

競(jìng)賽用到的方法

⑶分組分解法

分組分解是解方程的一種簡(jiǎn)潔的方法，我們來學(xué)習(xí)這個(gè)知識(shí)。

能分組分解的方程有四項(xiàng)或大于四項(xiàng)，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。比如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)

我們把a(bǔ)x和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分配律，兩兩相配，立即解除了困難。

同樣，這道題也可以這樣做。

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ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)幾道例題：

1.5ax+5bx+3ay+3by解法：=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)

說明：系數(shù)不一樣一樣可以做分組分解，和上面一樣，把5ax和5bx看成整體，把3ay和3by看成一個(gè)整體，利用乘法分配律輕松解出。2.x3-x2+x-1解法：=(x3-x2)+(x-1)=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1)

利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合輕松解決。3.x2-x-y2-y

解法：=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)

利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解決。

⑷十字相乘法

這種方法有兩種情況。

①x²+(p+q)x+pq型的式子的因式分解

這類二次三項(xiàng)式的特點(diǎn)是：二次項(xiàng)的系數(shù)是1；常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的積；一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)的和。因此，可以直接將某些二次項(xiàng)的系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)．

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②kx²+mx+n型的式子的因式分解

如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m時(shí)，那么kx²+mx+n=(ax+b)(cx+d)．

圖示如下：×cd例如：因?yàn)?-3×72

-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，所以7x²-19x-6=(7x+2)(x-3)．

十字相乘法口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中

⑸拆項(xiàng)、添項(xiàng)法

這種方法指把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)），使原式適合于提公因式法、運(yùn)用公式法或分組分解法進(jìn)行分解。要注意，必須在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形。例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)．

⑹配方法

對(duì)于某些不能利用公式法的多項(xiàng)式，可以將其配成一個(gè)完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法。屬于拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形。

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例如：x²+3x-40=x²+3x+2.25-42.25=(x+1.5)²-(6.5)²

=(x+8)(x-5)．

⑺應(yīng)用因式定理

對(duì)于多項(xiàng)式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．

例如：f(x)=x²+5x+6，f(-2)=0，則可確定x+2是x²+5x+6的一個(gè)因式。(事實(shí)上，x²+5x+6=(x+2)(x+3)．)

注意：1、對(duì)于系數(shù)全部是整數(shù)的多項(xiàng)式，若X=q/p（p,q為互質(zhì)整數(shù)時(shí)）該多項(xiàng)式值為零，則q為常數(shù)項(xiàng)約數(shù)，p最高次項(xiàng)系數(shù)約數(shù)；

2、對(duì)于多項(xiàng)式f(a)=0,b為最高次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)，則有a為c/b約數(shù)

⑻換元法

有時(shí)在分解因式時(shí)，可以選擇多項(xiàng)式中的相同的部分換成另一個(gè)未知數(shù)，然后進(jìn)行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來，這種方法叫做換元法。

注意:換元后勿忘還元.

例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12時(shí)，可以令y=x²+x,則原式=(y+1)(y+2)-12

=y²+3y+2-12=y²+3y-10=(y+5)(y-2)

=(x²+x+5)(x²+x-2)

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=(x²+x+5)(x+2)(x-1)．也可以參看右圖。

⑼求根法

令多項(xiàng)式f(x)=0,求出其根為x1，x2，x3，……xn，則該多項(xiàng)式可分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．

例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6時(shí)，令2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=0，則通過綜合除法可知，該方程的根為0.5，-3，-2，1．所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．

⑽圖象法

令y=f(x)，做出函數(shù)y=f(x)的圖象，找到函數(shù)圖像與X軸的交點(diǎn)x1,x2,x3,……xn，則多項(xiàng)式可因式分解為f(x)=f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．與方法⑼相比，能避開解方程的繁瑣，但是不夠準(zhǔn)確。例如在分解x^3+2x^2-5x-6時(shí)，可以令y=x^3;+2x^2-5x-6.作出其圖像，與x軸交點(diǎn)為-3，-1，2則x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．⑾主元法

先選定一個(gè)字母為主元，然后把各項(xiàng)按這個(gè)字母次數(shù)從高到低排列，再進(jìn)行因式分解。

⑿特殊值法

將2或10代入x，求出數(shù)p，將數(shù)p分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合，并將組合后的每一個(gè)因數(shù)寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。

例如在分解x^3+9x^2+23x+15時(shí)，令x=2，則x^3+9x^2+23x+15=8+36+46+15=105，將105分解成3個(gè)質(zhì)因數(shù)的積，即105=3×5×7．

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注意到多項(xiàng)式中最高項(xiàng)的系數(shù)為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時(shí)的值，

則x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，驗(yàn)證后的確如此。⒀待定系數(shù)法

首先判斷出分解因式的形式，然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項(xiàng)式因式分解。

例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4時(shí)，由分析可知：這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有一次因式，因而只能分解為兩個(gè)二次因式。

于是設(shè)x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)

=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd由此可得a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4．

解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．

則x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)．也可以參看右圖。⒁雙十字相乘法

雙十字相乘法屬于因式分解的一類，類似于十字相乘法。雙十字相乘法就是二元二次六項(xiàng)式，啟始的式子如下:

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ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+fx、y為未知數(shù)，其余都是常數(shù)用一道例題來說明如何使用。

例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12．

分析：這是一個(gè)二次六項(xiàng)式，可考慮使用雙十字相乘法進(jìn)行因式分解。解：圖如下，把所有的數(shù)字交叉相連即可x2y2①②③x3y6

∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．雙十字相乘法其步驟為：

①先用十字相乘法分解2次項(xiàng)，如十字相乘圖①中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)；

②先依一個(gè)字母（如y）的一次系數(shù)分?jǐn)?shù)常數(shù)項(xiàng)。如十字相乘圖②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6)；

③再按另一個(gè)字母（如x）的一次系數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，如十字相乘圖③，這一步不能省，否則容易出錯(cuò)。

多項(xiàng)式因式分解的一般步驟：

①如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式；

②如果各項(xiàng)沒有公因式，那么可嘗試運(yùn)用公式、十字相乘法來分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組、拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法來分解；④分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止。

也可以用一句話來概括：“先看有無公因式，再看能否套公式。十字相乘試一試，分組分解要合適�！睅椎览�題

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1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2．

解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（補(bǔ)項(xiàng)）

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方）=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2

=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．

2．求證：對(duì)于任何實(shí)數(shù)x,y，下式的值都不會(huì)為33：x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5．

解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．（分解因式的過程也可以參看右圖。）

當(dāng)y=0時(shí)，原式=x^5不等于33；當(dāng)y不等于0時(shí)，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四個(gè)以上不同因數(shù)的積，所以原命題成立。3.．△ABC的三邊a、b、c有如下關(guān)系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求證：這個(gè)三角形是等腰三角形。

分析：此題實(shí)質(zhì)上是對(duì)關(guān)系式的等號(hào)左邊的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。證明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0，∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．∴(a-c)(a+2b+c)=0．

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∵a、b、c是△ABC的三條邊，∴a＋2b＋c＞0．∴a－c＝0，

即a＝c，△ABC為等腰三角形。

4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．

因式分解四個(gè)注意：

因式分解中的四個(gè)注意，可用四句話概括如下：首項(xiàng)有負(fù)常提負(fù)，各項(xiàng)有“公”先提“公”，某項(xiàng)提出莫漏1，括號(hào)里面分到“底”。現(xiàn)舉下例可供參考例1把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。

解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）

這里的“負(fù)”，指“負(fù)號(hào)”。如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出負(fù)號(hào)，使括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)系數(shù)是正的。防止學(xué)生出現(xiàn)諸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的錯(cuò)誤

例2把－12x2ｎyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1）

這里的“公”指“公因式”。如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么先提取這個(gè)公因式，再進(jìn)一步分解因式；這里的“1”，是指多項(xiàng)式的某個(gè)整項(xiàng)是公因式時(shí)，先提出這個(gè)公因式后，括號(hào)內(nèi)切勿漏掉1。

分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止。即分解到底，不能半途而廢的意思。其中包含提公因式要一次性提“干凈”，不留“尾巴”，并使每一個(gè)括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式都不能再分解。防止學(xué)生出現(xiàn)諸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y(tǒng)2（4x4－5x2－9）＝y(tǒng)2（x2＋1）（4x2－9）的錯(cuò)誤�？荚嚂r(shí)應(yīng)注意：

在沒有說明化到實(shí)數(shù)時(shí)，一般只化到有理數(shù)就夠了

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由此看來，因式分解中的四個(gè)注意貫穿于因式分解的四種基本方法之中，與因式分解的四個(gè)步驟或說一般思考順序的四句話：“先看有無公因式，再看能否套公式，十字相乘試一試，分組分解要合適”是一脈相承的。

因式分解的應(yīng)用

1、應(yīng)用于多項(xiàng)式除法。2、應(yīng)用于高次方程的求根。

3、應(yīng)用于分式的運(yùn)算。

因式分解練習(xí)題

(1)(mn)(pq)(nm)(pq)(2)m(mn)2n(nm)2

(3)x4y4(4)(3m2n)2(mn)2

(5)xn13xn2xn1(6)x315x2y16xy2

(7)y3y211y(8)8x842全國(guó)中考信息資源門戶網(wǎng)站全國(guó)中考信息資源門戶網(wǎng)站

(9)

(11)14b24aba2(12)(a4b)(ab)ab

(13)126a225a4(14)(xy)4(xy)220

(15)(3x22x8)2(x22x8)2(16)(x22x)22(x22x)1

1x3x3(10)3(xy)26(xy)243

(17)(x2)(x3)x24(18)(x22x)27(x22x)8

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(19)x2(ab)16(ba)(20)(x29y2)236x2y2

(21)(x1)(x2y1)y2(22)(x27x6)(x27x8)45

(23)(a2b21)24a2b2(24)(ab1)2a2b22ab

(25)(x1)(x2)(x3)(x4)24

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友情提示：本文中關(guān)于《因式分解所有方法歸納總結(jié)》給出的范例僅供您參考拓展思維使用，因式分解所有方法歸納總結(jié)：該篇文章建議您自主創(chuàng)作。

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