七八年級數(shù)學(xué)教學(xué)總結(jié)

七八年級數(shù)學(xué)教學(xué)總結(jié)本學(xué)期我都擔(dān)任七年級兩個班和八年級一個班的數(shù)學(xué)教學(xué)，我深感肩上的壓力之大，責(zé)任之重。在這一學(xué)期的實(shí)際教學(xué)中，我按照新課程的標(biāo)準(zhǔn)要求，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，全面實(shí)施素質(zhì)教育，努力提高自身的業(yè)務(wù)水平和教學(xué)能力。為了克服不足，總結(jié)經(jīng)驗，使今后的工作更上一層樓，現(xiàn)對本學(xué)期教學(xué)工作作出如下總結(jié)：一做好課前備課，提高課堂效率課前做好認(rèn)真?zhèn)湔n，對學(xué)生可能出現(xiàn)的疑難。困惑進(jìn)行分析強(qiáng)調(diào)。預(yù)測在預(yù)習(xí)時哪些地方會遇到困難，適時適地的進(jìn)行分析和提示，讓學(xué)生沿著我們設(shè)置的“路標(biāo)”正確的前進(jìn)。課堂上對學(xué)案的使用。在課堂上我們的重點(diǎn)除了講授知識還要運(yùn)用大量的時間注重檢查和落實(shí)反饋。學(xué)生在預(yù)習(xí)時我強(qiáng)調(diào)要把重點(diǎn)的概念和性質(zhì)法則勾畫出來引起注意，做好鞏固練習(xí)及時反饋，課堂上對學(xué)生的檢查和督促必須不能放松。二、增強(qiáng)上課技能，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體性充分進(jìn)行教學(xué)的理論的學(xué)習(xí)和實(shí)踐的探究，力求講解清晰化、條理化、準(zhǔn)確化、情感化、生動化，做到線索清晰，層次分明，言簡意賅，深入淺出。在課堂上特別注意調(diào)動學(xué)生的積極性，加強(qiáng)師生交流，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生學(xué)得容易，學(xué)得輕松，學(xué)得愉快；注意精講精練，在課堂上老師講得盡量少，學(xué)生動口動手動腦盡量多；同時在每一堂課上都充分考慮每一個層次的學(xué)生學(xué)習(xí)需求和學(xué)習(xí)能力，讓各個層次的學(xué)生都得到提高。三注意分層教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力做到培優(yōu)輔差，讓不同層次的學(xué)生盡量都學(xué)到一些知識。針對以上這些情況，下階段準(zhǔn)備采取的措施：1、對過多的題，進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮Y選。2、還給學(xué)生一片思維空間，讓學(xué)生受到適當(dāng)?shù)?挫折"教育，以加深對問題的認(rèn)識。3、學(xué)生有不同想法單獨(dú)與教師交談，好的想法給予鼓勵并加以推廣；不對的想法，給予單獨(dú)的指正。這樣，學(xué)生既可以大膽放心的說出自己的想法，又可以把一些教學(xué)中的漏洞補(bǔ)上。4、精心設(shè)置問題的坡度，使學(xué)生步步深入，并探究出規(guī)律。課堂上注意課堂節(jié)奏，盡量讓中下游的學(xué)生跟上老師的步伐，多給學(xué)生自己練習(xí)的時間，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體，做到不僅是老師完成任務(wù)，還要學(xué)生完成任務(wù)。5、弄清例題的指導(dǎo)思想、命題的基本原則、試卷的結(jié)構(gòu)等，以便在以后的教學(xué)中有的放矢。6、數(shù)學(xué)中的折疊、旋轉(zhuǎn)、動態(tài)圖形問題是近年來的中考熱點(diǎn)問題，學(xué)生有些陌生感、畏懼感，尤其是折疊問題，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意折疊前后的線段、角的相等關(guān)系。作為發(fā)散學(xué)生思維的一個重要手段，應(yīng)該注重多種方法的運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力；平時訓(xùn)練題目時難易結(jié)合，現(xiàn)在出試卷變化莫測，有時很難有時很簡單，關(guān)鍵還是要重基礎(chǔ)，基礎(chǔ)題的分?jǐn)?shù)占得比例比較高。

總之，一學(xué)期的教學(xué)工作，既有成功的喜悅，也有失敗的困惑，如對新課改理念的學(xué)習(xí)和探討上、信息基礎(chǔ)教育上、自己的教學(xué)經(jīng)驗及方法上等方面。本人今后將在教學(xué)工作中，汲取別人的長處，彌補(bǔ)自己的不足，力爭取得更好的成績。

擴(kuò)展閱讀：輔導(dǎo)-七八年級數(shù)學(xué)教案

編寫說明

在輔導(dǎo)外孫學(xué)習(xí)過程中，本人編寫了一套初中數(shù)學(xué)家庭輔導(dǎo)資料。編后覺得這套資料即可作為家長們輔導(dǎo)孩子學(xué)習(xí)時使用，也可作為孩子或成人自學(xué)時使用，因此產(chǎn)生了上傳的念頭。

本人不是教師，雖然也在中專、職工大學(xué)帶過課，但畢竟不是專職教師，所以有幾點(diǎn)需要說明：

1.資料來源：從三種渠道，其一，201*年華東師大版教材；其二，網(wǎng)絡(luò)資料；其三，本人知識與經(jīng)驗。由于原來只為自用，所以引用資料都未注明出處，特向原作者和有關(guān)網(wǎng)絡(luò)表示歉意。由于本人沒有牟利目的，所以今后新編資料仍取此種模式，望見諒。

2.所有引用的網(wǎng)絡(luò)資料都經(jīng)過本人分析研究，對其中的錯誤(不一定是原作者錯誤)進(jìn)行了更正，有些插圖和圖表進(jìn)行了重新繪制。

3.本人水平有限，所編資料難免有錯誤或不當(dāng)之處，愿接受網(wǎng)友們批評指導(dǎo)。

柯普翁

201*.6.23于長治

家庭輔導(dǎo)

初中數(shù)學(xué)七年級(上)

第一章走進(jìn)數(shù)學(xué)世界

知識結(jié)構(gòu)：數(shù)學(xué)伴我們成長與數(shù)學(xué)交朋友人類離不開數(shù)學(xué)人人都能學(xué)會數(shù)學(xué)走進(jìn)數(shù)學(xué)世界跟我學(xué)讓我們來做數(shù)學(xué)試試看

應(yīng)知：

數(shù)學(xué)和語文一樣是知識的基礎(chǔ)，人人離不開數(shù)學(xué)，也能夠?qū)W會數(shù)學(xué)，而且數(shù)學(xué)是有趣的、美麗的，應(yīng)該對數(shù)學(xué)產(chǎn)生深厚的興趣，并主動用數(shù)學(xué)去解決一些實(shí)際問題，還要從中尋找規(guī)律，提高運(yùn)算能力。

應(yīng)會

1.分析問題，尋找規(guī)律。2.整理知識，綜合運(yùn)用。

例題：

1.如何使下列四個數(shù)通過四則運(yùn)算得24？①1，5，5，5；②1，3，4，6

觀察與分析：①5？=24，24245454411444，，由5可得到得到由5得到44555555②要得24可能有兩條路：⑴46，但1，3，4無法形成4。答案：[5-（15）]5＝246(1－34)＝2413311⑵6，由11可得到得到由得到44444答案：①(5－15)5＝24②6(1－34)＝242.找規(guī)律

552588641212144462479631113143

從上3式看出什么規(guī)律？已知2525＝625，請計算：2426＝？如果aa＝m那么(a+1)(a-1)=?觀察與分析：實(shí)際上這就是公式(a+b)(a-b)=a2-b2的實(shí)際應(yīng)用。由此可以推知：已知2525＝625，那么2327＝621，2129＝609，……(a+1)(a-1)=m－13.只允許添兩個“一”、一個“十”和一個括號，不改變數(shù)字順序，把1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數(shù)字連成結(jié)果為100的算式：

123456789=100觀察與分析：結(jié)果要得100，第一個數(shù)可以大于100或小于100，即為123或12，如果是12，要加的數(shù)就必須是345，顯然其余的數(shù)減兩次無法滿足題設(shè)條件，所以答案是：123－（45＋67－89）＝1004.幻方解法

三階：中間數(shù)填在中間，與它等差的兩個數(shù)分別填在對角(偶數(shù))或?qū)��?奇數(shù))。南宋數(shù)學(xué)家楊輝曾用“九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出”的方法完成填充。四階：先把1～16十六個數(shù)字順序排4行，然后把對角線上的數(shù)字對稱調(diào)換。

第二章有理數(shù)

知識結(jié)構(gòu)：有理數(shù)比較大小相反意義的量正數(shù)相反數(shù)絕對值零有理數(shù)數(shù)軸有理數(shù)的運(yùn)算負(fù)數(shù)法則運(yùn)算律加減法乘除法乘方交換律結(jié)合律分配律

應(yīng)知：

一、基本概念

自然數(shù)：零和正整數(shù)稱為自然數(shù)。注意

①0不是正整數(shù)，也不是負(fù)整數(shù)，但它是整數(shù)。0可以表示沒有，也可以表示一個實(shí)際存在的數(shù)量，如0℃．

②自然數(shù)又可分為奇數(shù)(2n-1)和偶數(shù)(2n)；0是偶數(shù)。質(zhì)數(shù)(又稱素數(shù)。指在一個大于1的自然數(shù)中，除了1和此整數(shù)自身外，沒法被其他自然數(shù)整除的數(shù)。)與合數(shù)(比1大但不是素數(shù)的整數(shù))。零(0)和1既非質(zhì)數(shù)也非合數(shù)。

正數(shù)和負(fù)數(shù)：用來表示具有相反意義的量的一對數(shù)。一般說，大于0的數(shù)稱為正數(shù)，小于0的數(shù)稱為負(fù)數(shù)。但在表示具有相反意義的量時，負(fù)數(shù)只是正數(shù)加上“-”號，不表示小于0。

整數(shù)：正整數(shù)(除0外的自然數(shù))、負(fù)整數(shù)和0統(tǒng)稱為整數(shù)。

有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)（包括有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)）。

注意常見的不是有理數(shù)的數(shù)有π和有規(guī)律的但不循環(huán)的小數(shù)。如：0.0100100010001000010000010000001……將來會學(xué)到，這叫無理數(shù)，屬實(shí)數(shù)范圍。

數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。劃線部分稱為數(shù)軸三要素。相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零。

數(shù)的絕對值：一個數(shù)的絕對值就是在數(shù)軸上表示這個數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。一個正數(shù)

的絕對值是它本身，一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值是零。

注意

①絕對值的代數(shù)定義用數(shù)學(xué)符號語言表達(dá)：如果a＞0，那么a=a；如果a＜0，那么

a=-a；如果a=0，那么

a=0。實(shí)數(shù)絕對值的形式定義是：aR，

a,a0aa,a＜0

②“||”有兩重作用，即絕對值和括號。

③-(-5)讀作-5的相反數(shù)，-|-5|讀作-5絕對值的相反數(shù)。

④若表示兩個非負(fù)數(shù)的式子和為0（或這兩個式子互為相反數(shù)），則這兩個式子都等于0。如：若x3xy702，則x302(即x30),

xy70.

倒數(shù)：兩個數(shù)乘積是1的數(shù)互為倒數(shù)，0沒有倒數(shù)。乘方：求幾個相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方。

：乘方的結(jié)果叫做。an讀作a的n次方，或a的n次。式中a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)。

近似數(shù)：與實(shí)際數(shù)非常接近的數(shù)稱為近似數(shù)。注意

①近似數(shù)的精確度。

②近似數(shù)一般是用四舍五入的方法得到的，但實(shí)際生活中，有時也用估算法或進(jìn)一法得到。

精確度：近似數(shù)與實(shí)際數(shù)近似的程度叫做精確度。

有效數(shù)字：一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說它精確到哪一位，這時，從左邊第一個不是零的數(shù)字起到右邊精確的數(shù)位止的所有數(shù)字，都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。

科學(xué)記數(shù)法：把一個數(shù)寫作叫做科學(xué)記數(shù)法。二、基本法則

1.有理數(shù)大小比較法則(注：學(xué)了實(shí)數(shù)后，實(shí)數(shù)大小的比較與此相同)：

①正數(shù)都大于零，負(fù)數(shù)都小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。

②兩個正數(shù)，絕對值大的則大；兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。③在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。④求差比較：設(shè)a、b是有理數(shù)，ab＞0a＞b,　ab0ab,　ab＜0a＜ba10n的形式，其中1a10，n是整數(shù)，這種記數(shù)法

⑤求商比較法：設(shè)a、b是兩正有理數(shù)，

ab＞1a＞b,ab1ab,ab＜1a＜b

⑥絕對值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)有理數(shù)，a⑦平方比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)有理數(shù)，a2bab2

bab

2.有理數(shù)運(yùn)算法則(注：實(shí)數(shù)運(yùn)算法則與此同)

①加法交換律：兩個有理數(shù)相加，交換加數(shù)的位，和不變。用代數(shù)式表示：abba

②加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。用代數(shù)式表示：(ab)ca(bc)

③乘法交換律：兩個有理數(shù)相乘，交換乘數(shù)的位，積不變。用代數(shù)式表示：abba

④乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積不變。用代數(shù)式表示：(ab)ca(bc)

⑤乘法對加法的分配律：兩個數(shù)相加再乘另一個數(shù),等于把這個數(shù)分別同兩個加數(shù)相乘,再把兩個積相加,得數(shù)不變。

用代數(shù)式表示：a(bc)abac

⑥有理數(shù)的運(yùn)算順序

先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。注意

①減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。

②除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。零不能作除數(shù)。

③正數(shù)的任何次都是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次是正數(shù)。

應(yīng)會：

1.有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及混合運(yùn)算。

注意①運(yùn)算順序。②運(yùn)用各種運(yùn)算律各公式，尋求簡易算法。③去括號時的變號。

2.用代數(shù)式表示運(yùn)算律。

3.在數(shù)軸上表示數(shù)、比較數(shù)的大小、確定數(shù)集。4.科學(xué)記數(shù)法。(注意：有效數(shù)字的位數(shù)。)5.取近似數(shù)。6.使用計算器。

例題

一、填空題

1.在整數(shù)集合里的數(shù)是，在分?jǐn)?shù)集合里的數(shù)是；2.整數(shù)和分?jǐn)?shù)合起來叫做．

3.當(dāng)a＞1時，|a-1|=________；當(dāng)a＜1時，|a-1|=________。4.若

，則

，.

xy5.已知，|x|=5，y=3，則．

6.在有理數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“☆”，其規(guī)則為：☆b=，則方程（4☆3）☆x=13

的解為x=。二、選擇題

1.在以下說法中，正確的是[]A．非負(fù)有理數(shù)就是正有理數(shù)B．零表示沒有，不是有理數(shù)C．正整數(shù)和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)D．整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)

2.在算式4-|-3□5|中的□所在位，填入下列哪種運(yùn)算符號，計算出來的值最�。ˋ.+B.-C.D.3.

的相反數(shù)是（）

A、B、C、D、

三、判斷題：

在下列各題中，正確的在括號中打“√”號，不正確的在括號中打“”號：

(1)兩個數(shù)相加，和一定大于任一個加數(shù)．（(2)兩個數(shù)相加，和小于任一個加數(shù)，那么這兩個數(shù)一定都是負(fù)數(shù)．（(3)兩數(shù)和大于一個加數(shù)而小于另一個加數(shù)，那么這兩數(shù)一定是異號．（(4)當(dāng)兩個數(shù)的符號相反時，它們差的絕對值等于這兩個數(shù)絕對值的和．（(5)兩數(shù)差一定小于被減數(shù)．（(6)零減去一個數(shù)，仍得這個數(shù)．（(7)兩個相反數(shù)相減得0．（(8)兩個數(shù)和是正數(shù)，那么這兩個數(shù)一定是正數(shù)．（四、解答題

1.a的絕對值是多少？在數(shù)軸上如何表示？

2.絕對值小于3的數(shù)有哪些?絕對值小于3的整數(shù)有哪幾個?3.若|a|+|b-1|=0，求a，b4.計算

ab7

mm2）））））））））

5.a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m的絕對值是3，求－cd的值

參考答案

一、1.正整數(shù)，零，負(fù)整數(shù)；正分?jǐn)?shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)。2.有理數(shù)

3.a－1，1－a4.4，－35.2，－86.6二、1.D2.A3.B三、(1)(5)～(8)(2)～(4)√

四、1.

a,a＞0a0,a0a,a＜0a＜0a=00a＞0aa

2.解：絕對值小于3的數(shù)是從-3到3中間的所有的有理數(shù)(注：學(xué)了實(shí)數(shù)后，則包括無理數(shù))，有無數(shù)多個；但絕對值小于3的整數(shù)只有五個：-2，-1，0，1，2。3.

解：因為|a|+|b-1|=0，所以a=0，b-1=0，所以a=0，b=1。

4.解：原式=2+1-9+1=-5

5.觀察與分析：∵a與b互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，∴a+b=0，cd=1

解：m－cd=0+4－1=3

m觀察與分析：若a+b=0，則a，b互為相反數(shù)或a，b都是0。因為絕對值是非負(fù)數(shù)，若|a|+|b-1|=0，則只能|a|=0，|b-1|=0，由絕對值意義得a=0，b-1=0。ab2

第三章整式的加減

知識結(jié)構(gòu)：單項式的次數(shù)、系數(shù)用字母表示數(shù)單項式代數(shù)式整式多項式列代數(shù)式去(添)括號合并同類項多項式的項、次數(shù)求代數(shù)式的值升(降)整數(shù)的加減排列

應(yīng)知：

一、基本概念

代數(shù)式：用運(yùn)算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨(dú)的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式。注意等式不是代數(shù)式。

代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，按照代數(shù)式指明的運(yùn)算，計算出結(jié)果，叫做代數(shù)式的值。注意

①求代數(shù)式的值，一般是先將代數(shù)式化簡，然后再將字母的取值代入。②求代數(shù)式的值，有時求不出其字母的值，需要利用技巧，“整體”代入。③解題格式：例：當(dāng)a=－3時，求代數(shù)式－2a的值。解：當(dāng)a=－3時，原式=-2－3=6

單項式：只含有數(shù)字與字母的積的代數(shù)式叫做單項式。單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù)。注意

①單項式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的，其中系數(shù)不能用帶分?jǐn)?shù)表示，如

413ab2，這種表示就是錯誤的，應(yīng)寫成133ab2。

②一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)。如5a3b2c是6次單

項式。

多項式：幾個單項式的和叫做多項式。其中每個單項式叫做這個多項式的項。多項式中不含字母的項叫做常數(shù)項。多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)。整式：單項式和多項式統(tǒng)稱整式。

同類項：所有字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項叫做同類項。幾個常數(shù)項也是同類項。

注意同類項中有兩個相同：①字母，②同字母的指數(shù)；兩個不同：①系數(shù)，②系數(shù)前面的正負(fù)號。

降排列：把多項式按某個字母指數(shù)從大到小的順序排列，叫做多項式按這個字母降冪排列。

升排列：把多項式按某個字母指數(shù)從小到大的順序排列，叫做多項式按這個字母升冪排列。

二、基本法則

1.合并同類項的法則：把同類項的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。

2.去(添)括號法則：①括號前面是“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里各項都不改變正負(fù)號；括號前面是“-”號，把括號和它前面的“-”號去掉，括號里各項都改變正負(fù)號。②所添括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不改變正負(fù)號；所添括號前面是“-”號，括到括號里的各項都改變正負(fù)號。

3.整式的加減法：一般步驟是先去括號，再合并同類項。

4.分離系數(shù)法：把參加加減運(yùn)算的各整式按同一字母降排列，然后只把系數(shù)取出，每個整式的系數(shù)帶符號按應(yīng)有位順序排成一行，最后進(jìn)行豎式相加，得出結(jié)果后，再把字母和相應(yīng)的指數(shù)補(bǔ)充上去，這種方法叫做分離系數(shù)法。

應(yīng)會

1.列代數(shù)式。2.求代數(shù)式的值。3.合并同類項。4.升(降)排列。

5.整式的加減(用分離系數(shù)法)。

例題

一、選擇題

1.按下列圖示的程序計算，若開始輸入的值為x=3，則最后輸出的結(jié)果是()

A．6B．21C．156D．231

2．一批電腦進(jìn)價為a元，加上20％的利潤后優(yōu)惠8％出售，則售出價為（）A、a(1＋20％)B、a(1＋20％)8％C、a(1＋20％)（1－8％）D、8%a3.一輛汽車在a秒內(nèi)行駛A．

m3m6米，則它在2分鐘內(nèi)行駛（），請說明理由。

10ma米B．

20ma米C．米D．

120ma米

4.幾個同學(xué)在日歷縱列上圈出了三個數(shù)，算出它們的和，其中錯誤的一個是（）請說明理由。

A.28B.33C.45D.575.觀察下列各式。你會發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律：

3515421；5735621；…11131431221；……

將猜想到的規(guī)律用只含一個字母n的代數(shù)式表示出來是（）

A.n(nC.n(n2)n21

2B.n(n2)(n1)221

2)(n1)1D.n(n2)(n2)110

6、下列去括號中，正確的是（）

A．a(chǎn)2-（2a-1）=a2-2a-1B．a(chǎn)2+（-2a-3）=a2-2a+3C．3a-[5b-（2c-1）]=3a-5b+2c-1D．-（a+b）+（c-d）=-a-b-c+d7.下列說法正確的是（）

A．字母相同的項是同類項B．只有系數(shù)不同的項，才是同類項C．-1與0.1是同類項D．-x2y與xy2是同類項二、填空題

1.下列圖案由邊長相等的黑、白兩色正方形按一定規(guī)律拼接而成，依此規(guī)律，第n個圖案中白色正方形的個數(shù)為___________．

2.當(dāng)x=2時，多項式ax5

……第n個

第一個

第二個

bx3第三個

cx5的值為

7，則當(dāng)x=-2時，這個多項式的值為。

3．單項式3x2yn1z是關(guān)于x、y、z的五次單項式，則n；

4.觀察下列算式：21＝2、22＝4、23＝8、24＝16、55＝32、26＝64、27＝128、28＝256……。觀察后，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出223的末位數(shù)字是。

5.已知│a-1│+(2a-b)2=0,那么3ab15b2-6ab+15a-2b2等于_______．三、解答題

1.在如圖所示的201*年１月份日歷中，用一個長方形的方框圈出任意33個數(shù)．

⑴如果從左下角到右上角的“對角線”上的3個數(shù)字的和為48，那么這9個數(shù)的和為

，在這9個日期中，最后一天是號；

⑵在這個月的日歷中，用方框能否圈出“總和為126”的9個數(shù)？如果能，請求出這9個日期分別是幾號；如果不能，請推測下個月的日歷中，能否用方框圈出，如果能，請推測圈出的9個數(shù)中最后一天是星期幾？

2.圖1是一個半開的鋁合金推拉窗示意圖，圖2是圖1的完全關(guān)閉狀態(tài)．

（1）請按圖2中所標(biāo)注的尺寸，用含a、b的代數(shù)式表示制作該推拉窗所需鋁合金材料的總長度（鋁合金材料的寬度都相同，接口用料忽略不計，外框材料另算）；

（2）若a＝32cm，b＝5cm，請求出該窗戶的最大透光面積．

星期日6132027星期一星期二18152229星期三29162330星期四310172431adg星期五4111825beh星期六5121926cfi71421285ab圖18a圖2

3.（1）已知一個多項式與a2－2a+1的和是a2+a－1，求這個多項式。（2）已知A=2x2＋y2+2z,B=x2－y2+z,求2A－B4.（1）已知（a－2）2＋b+1＝0，求5ab2－[2a2b－（4ab2－2a2b）]的值。

（2）有這樣一道計算題：“計算（２x3－３x2y－２xy2）－（x3－2xy2＋y3）＋（－x3＋３x2y－y3）的值，其中x=，y=－1”，甲同學(xué)把x＝看錯成x＝－

221112，但計算結(jié)果

仍正確，你說是怎么一回事？

5.化簡下列各式并求值:（1）

2312a2-8a-

+6a-

23a2+，其中a=

4112；

14（2）3x2y2+2xy-7x2y2-

32xy+2+4x2y2，其中x=2，y=

．

（3）3a2-2（2a2+a）+2（a2-3a），其中a=-2；

6.已知A=4x＋y－2,B=2x－2y＋3，求當(dāng)x=201*,y=403.2時A－2B的值7．把多項式x5-3x3y2-3y2+3x2-y5寫成兩個整式的和，使其中一個只含5次項．

參考答案

一、1.D2.C3.B4.B，理由：所圈三個數(shù)的和必是3的倍數(shù)。

5.B6.C7.C

二、1.3+5n2.-173.44.8

5.-59(提示：從已知條件知：│a-1│=0，(2a-b)2=0.)

三、1.(1)14424

∵a=e-8，b=e-7，c=e-6，d=e-1，f=e+1，g=e+6，h=e+7，i=e+8，∴g+e+c=3e=48e=16a+b+c+d+e+f+g+h+i=9e=169=144，

(2)能，5，7，8，13，14，15，20，21，22；星期二2.(1)36a-6b(2)(8a-3b)(5a-2b)=241150=36150(cm2)3.(1)(a2+a－1)－(a2－2a+1)=3a－2.

(2)2(2x2＋y2+2z)－(x2－y2+z)=3x2+3y2+3z4.(1)從已知條件知：（a－2）2=0，

∴原式=10－[-8－（8-8）]=34

(2)簡化：原式＝２x3－３x2y－２xy2－x3+2xy2－y3－x3＋３x2y－y3=-2y3

∴計算結(jié)果與x的值無關(guān)。

5.(1)原式=-2a-1414b+1=0.由此得：a=2，b=-1

=-1

(2)原式=-

12xy+2=

122

14+2=2

14.

(3)原式=a2－8a=20

6.原式=4x＋y－2－2(2x－2y＋3)=5y-8=5403.2-8=201*

5325)22

7.原式=(x-3xy-y-(3y－3x)

第四章圖形的初步認(rèn)識

14

知識結(jié)構(gòu)：視圖圖形的初步認(rèn)識立體圖形平面展開圖角相交線等角的余角相等，等角的補(bǔ)角相等對頂角相等同位角相等，兩直線平行平面圖形點(diǎn)和線平行線的判定內(nèi)錯角相等，兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行兩點(diǎn)之間，線段最短平行線兩直線平行，同位角相等平行線的性質(zhì)兩直線平行，內(nèi)錯角相等兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

應(yīng)知

一、基本概念

立體圖形：各個部分不都在同一平面內(nèi)的幾何圖形，叫做立體圖形。平面圖形：各個部分都在同一平面內(nèi)的幾何圖形，叫做平面圖形。注意

（1）幾何圖形的組成

點(diǎn)：線和線相交的地方是點(diǎn)，它是幾何圖形中最基本的圖形。線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線。面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。體：幾何體也簡稱體。

（2）點(diǎn)動成線，線動成面，面動成體。

直線：一根拉得很緊的線，就給我們以直線的形象，直線是直的，并且是向兩方無限延伸的。

射線：直線上一點(diǎn)和它一旁的部分叫做射線。這個點(diǎn)叫做射線的端點(diǎn)。

線段：直線上兩個點(diǎn)和它們之間的部分叫做線段。這兩個點(diǎn)叫做線段的端點(diǎn)。垂線：兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。平行線：在同一個平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。注意

（1）平行線是無限延伸的，無論怎樣延伸也不相交。

（2）當(dāng)遇到線段、射線平行時，指的是線段、射線所在的直線平行。

角平分線：一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。角：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫做角的邊。

角的平分線：一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。平角：當(dāng)角的兩邊在一條直線上時，組成的角叫做平角。直角：平角的一半叫做直角。銳角：小于直角的角叫做銳角。

鈍角：大于直角且小于平角的角叫做鈍角。

余角：如果兩個角的和是一個直角，那么這兩個角叫做互為余角，其中一個角叫做另一個角的余角。

補(bǔ)角：如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角叫做互為補(bǔ)角，其中一個角叫做另一個角的補(bǔ)角。

對頂角：我們把兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，有公共頂點(diǎn)但沒有公共邊的兩個角叫做對頂角。

鄰補(bǔ)角：我們把兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊的兩個角叫做鄰補(bǔ)角。

同位角：我們把兩條直線a、b被另一條直線l所截構(gòu)成的八個角中，處于直線l同一側(cè)，直線a、b同一方的一對角叫做同位角。

內(nèi)錯角：我們把兩條直線a、b被另一條直線l所截構(gòu)成的八個角中，處于直線a、b之間，直線l異側(cè)的一對角叫做內(nèi)錯角。

同旁內(nèi)角：我們把兩條直線a、b被另一條直線l所截構(gòu)成的八個角中，處于直線a、b之間，直線l同側(cè)的一對角叫做同旁內(nèi)角。

視圖：當(dāng)我們從某一角度觀察一個實(shí)物時，所看到的圖像叫做物體的一個視圖。三視圖：從正面看到的圖形稱為正視圖(常作為主視圖)；從上面看到的圖形稱為俯視圖；從側(cè)面看到的圖形稱為側(cè)視圖(分左視圖、右視圖，常用左視圖)。表面展開圖：立體圖形表面展開的形狀稱為表面展開圖。二、基本法則

1.歐拉公式：頂點(diǎn)數(shù)+面數(shù)-棱數(shù)=2。它揭示了多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)之間的關(guān)系。

2.點(diǎn)與線的表示方法：

一個點(diǎn)可以用一個大寫字母表示。如：點(diǎn)A，點(diǎn)P……

一條直線可以用一個小寫字母表示，也可用兩個大寫字母表示，如：直線a，直線l……或直線AB，直線MN……

一條射線可以用端點(diǎn)和射線上另一點(diǎn)來表示。如：射線OC，射線OP……一條線段可用它的端點(diǎn)的兩個大寫字母來表示。如：線段AB，線段EF……垂線的表示方法：垂直用符號“⊥”，如“AB⊥CD”，讀作“AB垂直于CD”。平行線的表示方法：平行用符號“∥”，如“AB∥CD”，讀作“AB平行于CD”。注意

（1）表示點(diǎn)、直線、射線、線段時，都要在字母前面注明點(diǎn)、直線、射線、線段。（2）直線和射線無長度，線段有長度。

（3）直線無端點(diǎn)，射線有一個端點(diǎn)，線段有兩個端點(diǎn)。（4）點(diǎn)和直線的位關(guān)系有兩種：

①點(diǎn)在直線上，或者說直線經(jīng)過這個點(diǎn)。②點(diǎn)在直線外，或者說直線不經(jīng)過這個點(diǎn)。

（5）同一平面內(nèi)，兩條直線的位關(guān)系只有兩種：相交或平行。3.直線的性質(zhì)：

（1）直線公理：經(jīng)過兩個點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線。它可以簡單地說成：過兩點(diǎn)有且只有一條直線。

（2）過一點(diǎn)的直線有無數(shù)條。

（3）直線是是向兩方面無限延伸的，無端點(diǎn)，不可度量，不能比較大小。（4）直線上有無窮多個點(diǎn)。

（5）兩條不同的直線至多有一個公共點(diǎn)。

4.線段的性質(zhì)：

（1）線段公理：所有連接兩點(diǎn)的線中，線段最短。也可簡單說成：兩點(diǎn)之間線段最短。

（2）連接兩點(diǎn)的線段的長度，叫做這兩點(diǎn)的距離。（3）線段的中點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等。

（4）線段的大小關(guān)系和它們的長度的大小關(guān)系是一致的。5.垂線的性質(zhì)：

性質(zhì)1：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。

性質(zhì)2：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短。簡稱：垂線段最短。

6.線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理：

垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。

線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等。

逆定理：和一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。7.平行線的性質(zhì)：

（1）兩直線平行，同位角相等。（2）兩直線平行，內(nèi)錯角相等。（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

8.平行線公理及其推論：

平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。9.平行線的判定：

（1）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行。簡稱：同位角相等，兩直線平行。

（2）兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么兩直線平行。簡稱：內(nèi)錯角相等，兩直線平行。

（3）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么兩直線平行。簡稱：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。

（4）平行于同一條直線的兩直線平行。（5）垂直于同一條直線的兩直線平行。（6）平行線的定義。10.角平分線性質(zhì)：

（1）角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等。（2）到一個角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上。11.角的表示：

角可以用大寫英文字母、阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫的希臘字母表示，具體的有一下四種表示方法：

①用數(shù)字表示單獨(dú)的角，如∠1，∠2，∠3等。

②用小寫的希臘字母表示單獨(dú)的一個角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。

③用一個大寫英文字母表示一個獨(dú)立（在一個頂點(diǎn)處只有一個角）的角，如∠B，∠C等。

④用三個大寫英文字母表示任一個角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。

注意用三個大寫英文字母表示角時，一定要把頂點(diǎn)字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側(cè)。

12.角的度量：角的度量有如下規(guī)定：

把一個平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，用“°”表示，1度記作“1°”，n度記作“n°”。

把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分記作“1’”。把1’的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒記作“1””。1°=60’，1’=60”

13.角的性質(zhì)：

（1）角的大小與邊的長短無關(guān)，只與構(gòu)成角的兩條射線的幅度大小有關(guān)。（2）角的大小可以度量，可以比較（3）角可以參與運(yùn)算。

應(yīng)會

1.畫正方體、長方體、圓柱體、三棱柱體、三棱錐體的三視圖、側(cè)面展開圖、表面展開圖。

2.比較線段的長短、比較角的大小、角的加減運(yùn)算。3.證明兩線段平行。

例題

一、選擇題

1.5點(diǎn)20分時，時鐘的時針和分針的夾角為（）A．30°B．40°C．45°D．50°2.平面上有三個點(diǎn)，可以確定直線的條數(shù)是（）A、1B．2C．3D．1或3

3.如果線段AB=12cm，PA+PB＝14cm，那么下面說法正確的是（）A．P點(diǎn)在AB上B．P點(diǎn)在直線AB上C．P點(diǎn)在直線AB外D．P點(diǎn)可能在直線AB上，也可能在直線AB外

4.如果直線a∥b，b∥c，那么a∥c，這個推理的根據(jù)是（）A等量代換B平行線定義

C經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行D平行于同一條直線的兩直線平行

5.在同一平面內(nèi)，下列說法正確的個數(shù)有（），是哪幾條()（1）過兩點(diǎn)有且只有一條直線

（2）兩條不相同的直線有且只有一個公共點(diǎn)（3）過兩點(diǎn)有且只有一條線段

（4）過一點(diǎn)有且只有一條直線與另一條直線平行A1個B2個C3個D4個

6.將左邊的正方體展開能得到的圖形是（）

7.小強(qiáng)拿了一張正方形的紙如圖（1），沿虛線對折一次得圖（2），再對折一次得圖（3），然后用剪刀沿圖（3）中的虛線（虛線與底邊平行）剪去一個角，再打開后的形狀應(yīng)是（）

8.小明用如下圖所示的膠滾沿從左到有的方向?qū)�圖案滾涂到墻上，下列給出的四個圖案中，符合圖示膠滾涂出的圖案是（）

9．用一個平面去截一個正方體，截出的截面不可能是()A．三角形B．四邊形C．六邊形D．七邊形二、判斷題(正確的畫“√”，不正確的畫“”)(1).射線AO與射線OA不是同一條射線．（

））

(2).平面上有三個點(diǎn).經(jīng)過每兩個點(diǎn)畫直線，一定可以畫出三條直線．（(3).連結(jié)兩點(diǎn)的線段叫做兩點(diǎn)之間的距離．（(4).兩條射線組成的圖形叫做角．（(5).角的大小與角的兩邊的長短無關(guān)．（(6).不相交的兩條直線叫做平行線．（

））

）

））

(7).平面內(nèi),有且只有一條直線與已知直線垂直．（(8).兩個互補(bǔ)的角中必有一個是鈍角()(9).一個角的補(bǔ)角一定比這個角大()

(10).兩個互余的角都是銳角()

9.互不重合的三條直線的公共點(diǎn)的個數(shù)是（），說明理由。A、只可能是0，1或3B、只可能是0，1或2C、只可能是0，2或3D、0，1，2，3都有可能

三、填空題

1．三棱錐的展開圖是由個形組成的。2．圓錐的展開圖是由一個和一個形組成的圖形。3．請將六棱柱的三視圖名稱填在相應(yīng)的橫線上.

4.下列圖形是一些多面體的平面展開圖，說出這些多面體的名稱。

5.如圖所示CD⊥OB于D，EF⊥OA于F，則C到OB的距離是________，E到OA的距離是__________，O到CD的距離是____________O到EF

的距離是_____________.

6.如圖中，共有________個三角形，________個平行四邊形，_________個梯形。

7.用棋子擺下面一組正方形圖案

aACFODEB

……

○1○2○31)依照規(guī)律填寫表中空格：圖形序列每邊棋子顆數(shù)棋子總顆數(shù)1○242○383○……4○……5○………10○2)照這樣的規(guī)律擺下去，當(dāng)每邊有n顆棋子時，這個圖形所需要棋子總顆數(shù)是_____________，第100個圖形需要的棋子顆數(shù)是_____________。

四、解答題1．下面這些圖形經(jīng)過折疊可以圍成一個棱柱嗎？如不行，請說明理由。

⑴⑵⑶

2.⑴用5塊正方體的木塊搭出如圖所示的圖形，畫出它的三視圖。⑵在上面的實(shí)物圖中，再添加一個小正方體，使得它的主視圖和左視圖不變。操作后，畫出可能的俯視圖。

3.如圖，這是一個由小立方塊搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示該位的小立方塊的個數(shù)。請你畫出它的主視圖與左視圖。

4.如圖所示，在正方體能見到的面上寫上數(shù)1、2、3，而在展開的圖中

也已分別寫上了兩個和一個指定的數(shù)。請你在展開圖的其它各面上寫上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使得相

對的面上兩數(shù)的和等于7。321321

5.如圖，O為直線AB上一點(diǎn)，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°（1）請你數(shù)一數(shù)，圖中有多少個小于平角的角；（2）求出∠BOD的度數(shù)；

（3）試判斷OE是否平分∠BOC，并說明理由．

參考答案

一、1.B2.D3.C4.D5.B6.B7.D

8.A9.

二、⑴⑵⑷⑹⑺⑽，⑶⑸⑻⑼√

三、1.4三角形2.圓矩形3.俯視圖正視圖左視圖4.三棱錐三棱柱四棱錐長方體5.CDEFODOF6.1315157.(1)6112040(2)4(n-1)400四、1.⑵⑶可以，⑴不行，理由：作兩底的小方塊在一端。2.(1)(2)

3.4.

主視圖俯視圖左視圖俯視圖主視圖左視圖352313264654

5.(1)9個(2)155°

(3)∵∠COE＝90－∠DOC＝90°－25°＝65°

∠BOE＝180°－∠AOD－∠DOE＝180°－25°－90°＝65°∴OE平分∠BOC。

第五章

數(shù)據(jù)的收集與表示

24

知識結(jié)構(gòu)：整理和描述數(shù)據(jù)提出問題收集數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)回答問題頻數(shù)頻率統(tǒng)計圖表

應(yīng)知

一、基本概念

頻數(shù)：表示每個對象出現(xiàn)的次數(shù)。

頻率：表示每個對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值或百分比。二、基本法則1.常用統(tǒng)計圖

通常用條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖或折線統(tǒng)計圖來直觀地反映數(shù)據(jù)揭示的信息。條形統(tǒng)計圖能夠顯示每組中的具體數(shù)據(jù)，易于比較數(shù)據(jù)之間的差別；扇形統(tǒng)計圖反映了各部分在總體中所占的百分比的大小，易于顯示每組數(shù)據(jù)相對于總數(shù)的大小。折線統(tǒng)計圖能反映各段的變化趨勢。

條形統(tǒng)計圖：就是用坐標(biāo)的形式和直條的圖形來描述統(tǒng)計數(shù)據(jù)，如下圖：左為單式條形圖；右為復(fù)式條形圖。

某產(chǎn)品一季度生產(chǎn)量統(tǒng)計圖某兩種產(chǎn)品一季度銷售量統(tǒng)計圖甲產(chǎn)品臺504030201*0一月二月三月433062臺504030201*0一月二月三月50303743乙產(chǎn)品6251

扇形統(tǒng)計圖：用一個圓代表總體，然后將各部分所占的百分比將圓分成若干個部分，再在各部分中標(biāo)出相應(yīng)的百分比和名稱。如下左圖。

折線統(tǒng)計圖：是用折線表示數(shù)量變化規(guī)律的統(tǒng)計圖(下右圖)。

某農(nóng)場作物種植統(tǒng)計圖小麥43.30%玉米27.25%谷子16.53%綠豆12.92%某電器前三季度銷售情況統(tǒng)計表臺60504030201*0123456789月份2.通過調(diào)查收集數(shù)據(jù)的步驟：①明確調(diào)查的問題；②確定調(diào)查對象；③選擇調(diào)查方法；④展開調(diào)查；⑤記錄數(shù)據(jù)；⑥得出結(jié)論。

應(yīng)會

1.通過調(diào)查收集數(shù)據(jù)。2.制作圖表以表示數(shù)據(jù)。3.讀懂圖表。

4.用計算機(jī)制作圖表(學(xué)會用Excel軟件)。

例題

1、宏達(dá)百貨商店201*年全年營業(yè)額如下：第一季度40萬元，第二季度35萬元，第三季度45萬元，第四季度60萬元，根據(jù)上面的數(shù)據(jù)，完成下面的折線統(tǒng)計圖，并回答問題．

706050(2)這一年平均每個月營業(yè)額是多少萬元？4030(3)第四季度比第一季度增加百分之幾？201*(4)第三季度的營業(yè)額比第四季度少百分之幾？0

(1)這一年平均每季度營業(yè)額是多少萬元？下的統(tǒng)計圖：

①你能說出王聰一家這次旅游的費(fèi)用支出情況嗎？哪方面的費(fèi)用支出最高？

第一季度

第二季度第三第四季度季度

2.王聰一家三口隨旅游團(tuán)去九寨溝旅游，王聰把這次旅游的費(fèi)用支出情況制成了如

②若他們共花費(fèi)人民幣8600元，則在食宿上用去多少元？往返的路費(fèi)又是多少元？

3.下表是某次對“我喜歡的電視節(jié)目”的調(diào)查統(tǒng)計表。

（1）請畫出反映喜愛某節(jié)目的人數(shù)的統(tǒng)計圖。

（2）請畫出反映喜愛某節(jié)目人數(shù)比例的統(tǒng)計圖。

A新聞B體育C動畫D娛樂E戲曲合計青少年成年人老年人合計百分比1147557413201*25114531763250010363185957300239224126309102100023.90%22.40%12.60%30.90%10.20%100%參考答案

1.(1)45萬元。(2)15萬元。宏達(dá)百貨商店201*年全年營業(yè)額統(tǒng)計圖(3)50%(4)25%

7060502.(1)王聰一家費(fèi)用支出情況：路費(fèi)45%，4030食宿30%，購物25%。路費(fèi)支出最高。201*(2)食宿用去2580元，路費(fèi)是3870元。03.以喜愛娛樂節(jié)目的人為例：

(1)人數(shù)(2)

1801601401201*07480604020青少年成年人老年人成年人19.09%23.95%第一季度

第二季度

第三第四季度季度

176老年人青少年5956.96%七年級(下)

第六章一元一次方程

知識結(jié)構(gòu)：實(shí)際問題分析數(shù)量關(guān)系抽象設(shè)元等量關(guān)系一元一次方程方程變形解一元一次方程運(yùn)算一元一次方程的解

應(yīng)知

一、基本概念

方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。

一元一次方程：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程。

方程的解：能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。解方程：求方程解的過程叫做解方程。注意解方程時，要用到等式的性質(zhì)：

（1）等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果仍是等式。（2）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能是零），所得結(jié)果仍是等式。二、基本法則

1.列一元一次方程的步驟：

①弄清題意(設(shè)未知數(shù))：求什么？用字母表示適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；

②分析條件(找等量關(guān)系)：找出已給出的數(shù)量及未知數(shù)之間的等量關(guān)系；

③組織方程(列方程)：對等量關(guān)系中涉及的量，列出所需的表達(dá)式，根據(jù)等量關(guān)系得到方程。

注意此三步驟適用于列各種方程。2.解一元一次方程的步驟：①去分母。②去括號。

③移項。(根據(jù)等式性質(zhì)推出：a.方程兩邊都加上或都減去同一個數(shù)或同一個整式，方程的解不變；2)方程兩邊都乘以或都除以同一個不為零的數(shù)，方程的解不變)。

④合并同類項。⑤化未知項的系數(shù)為1。

⑥檢驗方程的解(一般不需答出，但要養(yǎng)成檢驗的習(xí)慣)。

應(yīng)會

1.列一元一次方程。2.解一元一次方程。

3.用一元一次方程解答實(shí)際問題。注意

1.判斷一個方程是不是一元一次方程，首先在整式方程前提下，化簡后滿足只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1，系數(shù)不等于0的方程，像

1x2，2x22x1等都

不是一元一次方程.

2.解方程的基本思想就是應(yīng)用等式的基本性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，要注意：①方程兩邊不能乘以（或除以）含有未知數(shù)的整式，否則所得方程與原方程不同解；②去分母時，不要漏乘沒有分母的項；③解方程時一定要注意“移項”要變號.

例題

1.解下列方程：

（1）10x－4（3－x）－5（2＋7x）=15x-9（x－2）（2）3（2－3x）－3[3（2x－3）＋3]=5（3）x2111314x23x3

2.一個黑白足球的表面一共有32個皮塊，其中有若干塊黑色五邊形和白色六邊形，黑、白皮塊的數(shù)目之比為3：5，問黑色皮塊有多少？

3.小明和小紅做游戲，小明拿出一張日歷：“我用筆圈出了22的一個正方形，它們數(shù)字的和是76，你知道我圈出的是哪幾個數(shù)字嗎？”你能幫小紅解決嗎？

4.有一個班的同學(xué)去劃船，他們算了一下，如果增加一條船，正好每條船坐6人，如果送還了一條船，正好每條船坐9人，問這個班共多少同學(xué)？

5.丟番圖的墓志銘：“墳中安葬著丟番圖，多么令人驚訝，它忠實(shí)地記錄了所經(jīng)歷的道路．上帝給予的童年占六分之一。又過十二分之一，兩頰長胡．再過七分之一，點(diǎn)燃起結(jié)婚的蠟燭．五年之后天賜貴子，可憐遲到的寧馨兒，享年僅及其父之半，便進(jìn)人冰冷的墓．悲傷只有用數(shù)論的研究去彌補(bǔ)，又過四年，他也走完了人生的旅途．”請你列出方程算一算，丟番圖去世時的年齡？

6.某學(xué)校組織學(xué)生春游，如果租用若干輛45座的客車，則有15個人沒有座位，如果租用相同數(shù)量60座的客車，則多出1輛，其余車恰好坐滿，已知租用45座的客車日租金為每輛車250元，60座的客車日租金為300元，問租用哪種客車更合算？租幾輛車？

7.學(xué)校田徑隊的小剛在400米跑測試時，先以6米／秒的速度跑完了大部分路程，

最后以8米／秒的速度沖刺到達(dá)終點(diǎn)，成績?yōu)?分零5秒，問小剛在沖刺以前跑了多少時間？

8.甲、乙兩人，同時出發(fā)，相對而行，距離是50km，甲每小時走3km，乙每小時走2km，問：

①他倆幾小時可以碰到？

②有一只小狗每小時走5km，它同甲一起出發(fā)，碰到乙時它又往甲這邊走，碰到甲它又往乙這邊走，問小狗在甲、乙相遇時，一共走了多少千米？

③如果甲、乙、小狗都從一點(diǎn)出發(fā)，同向而行，其速度皆不變，乙和小狗先出發(fā)3小時，甲再出發(fā)追趕乙，當(dāng)甲追上乙時，小狗跑了多少米？

④如果甲、乙、小狗從同一點(diǎn)出發(fā)，同向而行，而甲先出發(fā)5小時，乙才和小狗一起出發(fā)，當(dāng)小狗追上甲時，甲走了多少米？乙還能追上甲嗎？為什么？

9.某商品的進(jìn)價是1000元，售價為1500元，由于情況不好，商店決定降價出售，但又要保證利潤率不低于5%，那么商店可降多少元出售此商品。

10.一年定期的存款，年利率為1.98%，到期取款時須扣除利息的20%，作為利息稅上繳國庫，假如某人存入一年的定期儲蓄1000元，到期扣稅后可得利息多少元？

11.某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件成本價是400元，銷售價為510元，本季度銷售了m件，為進(jìn)一步擴(kuò)大市場，該企業(yè)決定在降低銷售價的同時降低生產(chǎn)成本，經(jīng)過市場調(diào)研，預(yù)測下季度這種產(chǎn)品每件銷售價降低4%，銷售量將提高10%，要使銷售利潤（銷售利潤=銷售價-成本價）保持不變，該產(chǎn)品每件的成本應(yīng)降低多少元？

12.一份試卷共25道題，每道題都給出四個答案，其中只有一個是正確的，要求學(xué)生把正確答案選出來，每題選對得4分，不選或選錯扣1分，如果一個學(xué)生得90分，那么他選對幾題？現(xiàn)有500名學(xué)生參加考試，有得83分的同學(xué)嗎？為什么？

13.濃度為18％的鹽水一桶，加入50千克水后，濃度變?yōu)?5％，求原有鹽水多少千克?

參考答案

1.(1)去括號：10x－12+4x－10－35x=15x-9x+18合并同類項：-27x=40x=-11327

(2)去括號：6－9x－18x＋27－9=5合并同類項：-27x=-19x=(3)去括號：

12x1213121927

14x3413x233

合并同類項：

x1312x=-1

2.解：設(shè)黑色皮塊x個，則白色皮塊為5x個。x＋

5x=32，

8x=32

333解得：x=12

答：黑色皮塊12個。

3.解：設(shè)小明圈出的日子是a，b，c，d，根據(jù)日歷上日子的排列規(guī)律，有：b=a+1，c=a+7，d=a+8

∴a+(a+1)+(a+7)+(a+8)=4a+16=76解得:a=15，b=16，c=22，d=23答：小明圈出的日子是15，16，22，23。4.解：設(shè)該班有x個人，則：xx691

x182解得：x=36

答：該班有36人。

5.解：設(shè)丟番圖去世時的年齡為x歲，則：111x612172x54

328x9x=84

答：丟番圖去世時的年齡為84歲。

6.解：設(shè)租用45座客車x輛，則：租用60座客車x-1輛。由題意：45x+15=60(x-1)15x=75x=5如果租用45座客車，需租金2505=1250元。如果租用60座客車，需租金3004=1200元。

答：租用60座客車更合算，租4輛。

7.解：設(shè)小剛在沖刺以前跑了x秒，則沖刺用了(65-x)秒

由題意：6x+8(65-x)=400，解得：x=60(秒)答：小剛在沖刺以前跑了1分鐘(60秒)。

8.(1)設(shè)t小時可以碰到，由題意：3t+2t=50,解得：t=10(小時)答：他們10小時可以碰到。

(2)根據(jù)題意，小狗在他們碰到前沒有停止行走，∴5t=50(千米)答：小狗走了50千米。

(3)設(shè)x小時甲追上乙，則小狗跑了5(x+3)千米。由題意：3x=2(x+3)解得：x=6(小時)，5(x+3)=45(千米)答：小狗跑了45千米。

(4)設(shè)小狗x小時后追上甲，則甲走了3(x+5)千米。由題意：5x=3(x+5)解得：x=7.5(小時)，3(x+5)=37.5(千米)

答：小狗追上甲時，甲走了37.5千米。乙追不上甲，因為乙比甲速度慢，甲又先

走5小時。

9.解：設(shè)可降x元，由題意：1500-x=1000(1+5%)，解得：x=450

答：可降450元。

10.解：設(shè)可得利息為x元，由題意：x(1-20%)=10001.98%1.25x=19.8得：x=15.84

答：可得利息為15.84元。

11.解：設(shè)該產(chǎn)品每件的成本應(yīng)降低x元，由題意：

［510(1-4%)-(400-x)］〃(1+10%）=510-400，解得：x=10.4

答：該產(chǎn)品每件的成本應(yīng)降低10.4元。12.解問題一：設(shè)答對了x道題，由題意：4x-(25-x)=90解得：x=23答：答對了23道題。

解問題二：由題意：4x-(25-x)=83解得：x=21.6答：沒有人得83分，因為題數(shù)只能是整數(shù)。13.解：設(shè)原有鹽水x千克，由題意：

x〃18%=(x+50)〃15%3x=750解得：x=250答：原有鹽水250千克。

第七章二元一次方程組

知識結(jié)構(gòu)：

實(shí)際問題二元一次方程二元一次方程組二元一次方程組的解法

應(yīng)知

一、基本概念

二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且未知項的最高次數(shù)是1的整式方程叫做二元一次方程。

二元一次方程的解：使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的一個解。

二元一次方程組：兩個方程中，每個方程都含有兩個未知數(shù)（x和y），并且未知數(shù)

的指數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程。

二元一次方程組的解：二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解。

二、基本法則

二元一次方程組的解法主要運(yùn)用“消元”思想。主要方法有兩種：

代入消元法：將一個未知數(shù)用另一個未知數(shù)來表示，然后代入方程中，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程。這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法。

加減消元法：兩個二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法。

注意更多時候同一未知數(shù)的系數(shù)需經(jīng)簡單變形后，才成為相反數(shù)或相等。

應(yīng)會

1.列二元一次方程式(組)。2.解二元一次方程組。

3.用二元一次方程組解實(shí)際問題。

例題

1.下列方程組是不是二元一次方程組。不是的請說明理由。

x3y4(1)2x5y7xy4(2)2x5y72

x3y4(3)2xz7

x3y4(4)2x5y7

2.（1）方程（a＋2）x+(b-1)y=3是二元一次方程，試求a、b的取值范圍.（2）方程xa1+(a-2)y=2是二元一次方程，試求a的值.3.已知下列三對值：

x＝－6x＝10x＝10y＝－9y＝－6y＝－1（1）

哪幾對數(shù)值使方程

12x－y＝6的左、右兩邊的值相等？

（2）4.若1xy6哪幾對數(shù)值是方程組22x31y11的解？

xayb是方程2x+y=2的解，求8a+4b-3的值。

5.解下列方程組：

y2x（1）xy12

n2m（2）22m3n12

3x2y21（3）3x4y3

6.已知方程組3xy54x7y1的解也是方程組ax2y43x-by5的解，則

a=_______，b=________,3a+2b=___________。7.當(dāng)k=______時，方程組2xy78.已知x2y84x3y1（k1）y3kx的解中x與y的值相等。

，則

xyxy=_________.

9.小張和父親預(yù)定搭乘家門口的公共汽車趕往火車站，去家鄉(xiāng)看望爺爺．在行駛了三分之一路程后，估計繼續(xù)乘公共汽車將會在火車開車后半小時到達(dá)火車站，便隨即下車改乘出租車，車速提高了一倍，結(jié)果趕在火車開車前15分鐘到達(dá)火車站．已知公共汽車

的平均速度是40千米／時，問小張家到火車站有多遠(yuǎn)？

10.王大伯承包了25畝土地,今年春季改種茄子和西紅柿兩種大棚蔬菜,用去了44000元,其中種茄子每畝用了1700元,獲純利2400元,種西紅柿每畝用了1800元,獲純利2600元,問王大伯一共獲純利多少元?

11.一旅游者從下午2時步行到晚上7時,他先走平路,然后登山,到山頂后又沿原路下山回到出發(fā)點(diǎn),已知他走平路時每小時走4千米,爬山時每小時走3千米,下坡時每小時走6千米,問旅游者一共走了多少路?

12.運(yùn)輸360噸化肥，裝載了6節(jié)火車皮與15輛汽車；運(yùn)輸440噸化肥，裝載了8節(jié)火車皮與10輛汽車，每節(jié)火車皮與每輛汽車平均各裝多少噸化肥？

13.“家電下鄉(xiāng)”農(nóng)民得實(shí)惠．村民小鄭購買一臺雙門冰箱，在扣除13%的政府財政補(bǔ)貼后，再減去商場贈送的“家電下鄉(xiāng)”消費(fèi)券100元，實(shí)際只花了1726.13元錢，那么他購買這臺冰箱節(jié)省了多少元錢？

參考答案

1.②不是，因為xy是二次項。③不是，因為有三個未知數(shù)(三元)。④不是，因為x2是二次項。

1，且a≠2，∴a=-12.(1)∵x和y的系數(shù)不能為0，∴a≠-2b≠1。(2)∵a1

3.(1)A、C(2)C4.55.(1)

6.解法：解方程組

3xy5代入方程組解x7y14x2得：y1x4y8(2)

m3n2(3)

x5y3

答案：3，1，11

a3得：

b1ax2y43x-by5177.解法：∵x=y，由①得：x=y=

4x3y1①1k1k：33②解得：k=11kx（k1）y77代入②式8.

15

9.解：設(shè)小張家到火車站路程為s千米，出發(fā)時離火車開車時間還有t小時，由題意：

st0.540st0.2580t1解方程組得：s60

答：小張家到火車站路程為60千米。

10.解：設(shè)王大伯種茄子x畝，種西紅柿y畝，則：一共獲純利(2400x+2600y)元，

x10xy25由題意：解此方程組得：

y151700x1800y44000

2400x+2600y=63000

答：一共獲純利63000元。

11.解：設(shè)旅游者下山用時t小時，則上山用時為2t小時，單程平路用時為1.5小時。并設(shè)他一共走了s千米。

t2t21.5t7-2由題意：

2(6t41.5t)s

6t5化簡：

24ts

5t解得：6s20答：旅游者共走了15千米。

12.解：設(shè)每節(jié)火車皮平均裝x噸化肥，每輛汽車平均裝y噸化肥。由題意：

6x15y3608x10y440

x50解方程組得：

y4

答：每節(jié)火車皮平均裝50噸化肥，每輛汽車平均裝4噸化肥。13.解：設(shè)冰箱原價為x元，小鄭節(jié)省了y元。由題意：

x2099解方程組得：

y372.87x-y1726.13y-0.13x100答：小鄭節(jié)省了372.87元。

第八章一元一次不等式

知識結(jié)構(gòu)：分析，抽象實(shí)際問題(不等關(guān)系)不等式(組)不等式的性質(zhì)二元一次不等式(組)人人都能學(xué)會數(shù)學(xué)解釋

檢驗

應(yīng)知

一、基本概念

不等式：用不等號“＞”“＜”“≥”“≤”或“≠”連接兩個代數(shù)式表示不等關(guān)系的式子叫不等式。

注意“不大于”和“不小于”的說法，“不大于”相當(dāng)于“≤”；“不小于”相當(dāng)于“≥”。

不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值。不等式的解集：一個不等式的所有解的集合。

一元一次不等式：一般地，不等式中只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。

一元一次不等式組：幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組。一元一次不等式組的解：不等式組中幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做這個不等式組的解集。

注意當(dāng)任何數(shù)x都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集。

二、基本法則1.不等式的性質(zhì)：

（1）若ab，則ba，稱為反身性。（2）若ab，bc，則ac，稱為傳遞性。

（3）若ab0，則ab，反之亦然。

（4）若ab0，則ab，反之亦然。（5）若ab0，則ab，反之亦然。

（6）若ab，那么對任意實(shí)數(shù)c，都有a。即教材性質(zhì)1：不等式兩邊都加cbc上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變。

（7）若ab，c0，則acbc。即教材性質(zhì)2：不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。

（8）若ab，c0，則acbc。即教材性質(zhì)3：不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變。

（9）若ab0，則anbn（n為正整數(shù)）。

（10）若a，則ab0，cd0cbd。2.解一元一次不等式(組)的一般步驟：

（1）去分母（2）去括號（3）移項（4）合并同類項（5）將x項的系數(shù)化為1.（6）解不等式組：求不等式組中各不等式的解的公共部分。注意

①不等式的變形與方程的變形類似，但不同。根據(jù)其性質(zhì)3，當(dāng)不等式兩邊都乘以（或同除）同一個負(fù)數(shù)時，不等號要改變方向。另外，還要關(guān)注不等式中未知數(shù)的取值范圍。

②不等式中所含非未知數(shù)的字母稱為參數(shù)，解含字母系數(shù)的一次不等式要對參數(shù)進(jìn)行討論；含有參數(shù)的任何一個一元一次不等式總可以化為標(biāo)準(zhǔn)式axb（或axb），對形如axb（或axb）的不等式：

當(dāng)a0時，解為x當(dāng)a0時，解為xbabababa（或x（或x））

當(dāng)a0，b0時，不等式的解為全體實(shí)數(shù)（或無解）當(dāng)a0，b0時，不等式無解（或解為全體實(shí)數(shù)）

③若不等式axb（或axb）的解為xt（或xt），則xt是其對應(yīng)方程axb的根（且a0）。

④含多個變量的問題稱為“多變元問題”，解這類問題的關(guān)鍵是通過消元，將多元轉(zhuǎn)化為一元。

3.在數(shù)軸上表示不等式的解集：步驟是畫數(shù)軸,定界點(diǎn),走方向。注意

①實(shí)心點(diǎn)表示包括這個點(diǎn),空心點(diǎn)表示不包括這個點(diǎn)

②大于向右走,小于向左走.

4.不等式組的解集：有四種情況(數(shù)軸上表示如右圖)，若a＞b①當(dāng)

xa②當(dāng)xbxaxbxaxbxaxb時,則不等式的公共解集為x>a;①b0a時,不等式的公共解集為b

xy2mxy66.已知方程組，若方程組有非負(fù)整數(shù)解，求正整數(shù)m的值。

7.

x3(x2)≥4，不等式組12x的解集是

x1.3

8.解不等式組9.如果

0≤x13x14,2xx2.，并把它的解集表示在數(shù)軸上．

不等式組

bxxa≥222xb3的解集是

，那么a的值為．的不等式組xa≥0，52x110.已知關(guān)于是．

只有四個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

11.若不等式組xmx2有解，則m的取值范圍是.若無解，則m的

取值范圍是.

參考答案

從數(shù)軸上可以看出，A對應(yīng)的數(shù)a=1.觀察與分析

9992.觀察與分析999911999999056，B對應(yīng)的數(shù)b=16，C對應(yīng)的數(shù)c=1�！�1ab536，1ba32，1c1。答案：

1ba＞1c＞1ab

119990

答案：A=B3.

觀察與分析原不等式的解為x40

m3，其正整數(shù)解為1，2，3，

答案：3≤m≤9

24904.解：∵x＜0，∴原式就變?yōu)椋簒x1

8axa1992即

88a1992＞0解得：a＞1992

4b3a44b3a＜42ab＜9a＜8b＞75.解：由題意：2ab＜∴9

解得：

不等式的解為：x=a4bx2a3b08x1m解原方程組：6-2m

y1m2a3ba4b

2a3b＜5∴a4b＜20解得：x＞

416.

801m由題意：62m

01m解得：3

m12其正整數(shù)解為m=1.7.x≤18.解：9.

答案：a+b=110.

xaxa觀察與分析由題意：x＜2x＜2x42a由題意：觀察與分析1x＜(3b)242a01(3b)122x＞13x＜2123＜x＜2

-3-2-10113232a2b14個整數(shù)解為：-2，-1，0，1，∴2＞a≥-2答案：2＞a≥-2

11.m＜2m≥2

第九章多邊形

知識結(jié)構(gòu)：瓷磚的鋪設(shè)三角形多邊形三角形的三邊關(guān)系三角形的內(nèi)角和三角形的外角性質(zhì)三角形的外角和多邊形的內(nèi)角和多邊形的外角和用正多邊形鋪滿地面

應(yīng)知

一、基本概念

三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。

三角形內(nèi)角：在三角形中，每兩條邊所組成的角叫三角形的內(nèi)角。

三角形外角：三角形的一邊與另一邊的反向延長線組成的角叫做三角形的外角。三角形的高：從三角形的一個頂點(diǎn)，向它的對邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段，叫做三角形這條邊上的高，簡稱三角形的高。

〖定理：三角形的三條高所在直線交于一點(diǎn)(稱為三角形的垂心)�！�

三角形的中線：在三角形中，連接一個頂點(diǎn)和它對邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線�！级ɡ恚喝�角形的三條中線相交于一點(diǎn)，交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部(稱為三角形的重心)�！饺�角形的角平分線：三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交,這個角頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段，叫做三角形的角平分線。

〖定理：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部(稱為三角形的內(nèi)心)�！�

注意三角形的高、中線、角平分線都是線段。不是一般的從頂點(diǎn)向?qū)�邊所在直線作的垂線(直線)、連接頂點(diǎn)和對邊中點(diǎn)的直線或一個角的平分線(射線)。

三角形的穩(wěn)定性：如果三角形的三條邊固定，則三角形的形狀和大小完全確定，三角形的這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。

多邊形：由n條不在同一直線上的線段首尾順次連接組成的平面圖形稱為n邊形，又稱為多邊形。

正多邊形：各邊都相等，且各種角都相等的多邊形叫正多邊形。

多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線。二、基本法則1.三角形的分類：

直角三角形①按角分：銳角三角形鈍角三角形三角形有一個內(nèi)角等于三角形的三個內(nèi)角都小三角形有一個內(nèi)角大于90于9090

不等邊三角形三角形的三條邊都不相等底邊與腰不相等②按邊分：等腰三角形三角形的兩條腰相等，等邊三角形三角形的三條邊都相等2.三角形的三邊關(guān)系定理及推論：定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。注意三角形三邊關(guān)系定理與推論的用途：①判斷三條已知線段能否組成三角形②當(dāng)已知兩邊時，可確定第三邊的范圍。③證明線段不等關(guān)系。3.三角形的內(nèi)角和定理及推論：定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°。推論：(②③是外角的性質(zhì))①直角三角形的兩個銳角互余。

②三角形的一個外角等于和它不相鄰的來兩個內(nèi)角的和。③三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。

注意在同一個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角。4.三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°。5.三角形的三條高的特性：

銳角三角形43直角三角形鈍角三角形

高在三角形內(nèi)部的數(shù)量高之間是否相交高所在的直線是否相交三條高所在直線的交點(diǎn)的位6

6.三角形的面積

三角形的面積=底高

213相交相交三角形內(nèi)部1相交相交直角頂點(diǎn)1不相交相交三角形外部7.多邊形的內(nèi)角和公式及外角和

①多邊形的內(nèi)角和等于（n-2）180°(n≥3)。②多邊形的外角和等于360°。三、其它應(yīng)知

1.三角形的穩(wěn)定性在實(shí)際生活中的應(yīng)用：

(1)窗框在未安裝好之前斜釘一根木條,分成兩個三角形.(2)鋼架橋的鋼架做成三角形(3)起重機(jī)的力臂做成三角形(4)房頂鋼架做成三角形

2.四邊形不穩(wěn)定性在實(shí)際生活中的應(yīng)用：

(1)活動掛架(2)縮放尺

3.平面鑲嵌及平面鑲嵌的條件。

(1)平面鑲嵌：用形狀相同或不同的圖形封閉平面，把平面的一部分既無縫隙，又不重疊地全部覆蓋。

(2)平面鑲嵌的條件：邊長要相等；有公共頂點(diǎn)；在一個頂點(diǎn)處各多邊形的內(nèi)角和為360°。

注意

①用同一種正多邊形鑲嵌，只要正多邊形內(nèi)角的度數(shù)整除360°，這種正多邊形就能作平面鑲嵌。只有正三角形(等邊三角形)、正方形和正六邊形三種可以。

②用兩種或三種正多邊形鑲嵌，必備條件是圖形拼合后同一個頂點(diǎn)的若干個角的和恰好等于360°。

③用一種任意的凸多邊形鑲嵌，只有三角形和四邊形兩種可以。

應(yīng)會

1.判斷三條線段能否組成三角形(看較短的兩條之和是否大于最長的一條，或看最長的

一條與最短的一條之差是否小于另一條)。

2.計算多邊形(包括三角形)的內(nèi)角和與外角和。3.用多邊形鋪地面。

例題

1.一個三角形的兩邊長分別為2和9,第三邊為奇數(shù),則此三角形的周長是多少?2.三角形的最長邊為10,另兩邊的長分別為x和4,周長為c,求x和c的取值范圍.3.如圖,

三角形.

5.如圖，一個頂角為40的等腰三角形紙片，剪去頂角后,得到一個四邊形，則

1+2=______度。

BCDABC中,AB=AC.周長為16cm.AC邊上的中線BD將ABC分成周長之差為

A2cm的兩個三角形.求ABC的各邊長.

4.已知三角形的三個內(nèi)角比為1:2:6,則這個三角形的最大角是度,這個三角形是

6.如圖：四邊形ABCD中，、分別是B、D的外角，且，那么。AC205

7.某多邊形的外角和等于內(nèi)角和的一半，那么這個多邊形是（）

A、五邊形B、六邊形C、七邊形

D、八邊形

αBA12DβC

8.邊長相等的正方形、正五邊形、正十邊形三種地板磚能否鋪滿室內(nèi)地板？說明理由。9.小張買了正方形和正六邊形兩種地板磚，但無法鋪滿衛(wèi)生間地板，請你告訴他該怎樣解決這個問題。

參考答案

1.解：設(shè)第三邊長為

x＜29x，則x＞927＜x＜11∴x=9三角形的周長為：20

2.解:已知三角形的兩邊長為10和4.那么第三邊長的范圍應(yīng)滿足：

104＜x＜104,即6＜x＜14∵10是最長邊∴6＜x≤10

∴周長c的范圍應(yīng)滿足10+4+6＜c≤10+10+4，即：20＜c≤243.

2ABBC16由題意：11

(ABACBD)-(BCACBD)222

當(dāng)AB＞BC

2ABBC16時，

ABBC2解得：AB=6BC=4AC=6

2ABBC16當(dāng)AB＜BC時，

BCAB221解得：AB=4BC=6AC=5與

33AB=AC的條件不符。

∴三角形的三邊為AB=AC=6，BC=44.120°鈍角三角形5.220°6.205°7.B(六邊形)

8.不能。因為正方形內(nèi)角為90°，正五邊形內(nèi)角=角=

10210180052518001080，正十邊形的內(nèi)

1440，三種地板磚無法滿足內(nèi)角和360°的條件。

62618009.∵正方形內(nèi)角為90°，正六邊形內(nèi)角=

1200，用兩塊正方形、一塊正

六邊形，其內(nèi)角和=90°2＋120°＝300°,360°－300°＝60°，∴再買一種正三角形地板磚即可解決這一問題。

第十章軸對稱

知識結(jié)構(gòu)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等生活中的軸對稱軸對稱圖形等腰三角形等邊三角形等邊對等角等角對等邊兩個圖形關(guān)于直線對稱軸對稱的有關(guān)性質(zhì)

應(yīng)知

一、基本概念

軸對稱：把一個圖形沿著某條直線翻折過去，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線成軸對稱，該直線叫做對稱軸。兩個圖形中的對應(yīng)點(diǎn)叫對稱點(diǎn)。(對應(yīng)點(diǎn)就是兩個圖形重合時，互相重合的兩個點(diǎn)。)

軸對稱圖形：把一個圖形沿著某條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸。

垂直平分線：垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。注意如果一個圖形是軸對稱圖形，那么連接對稱點(diǎn)的線段的垂直平分線就是該圖形的對稱軸。

等腰三角形：兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。

等腰直角三角形：頂角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形。

三線合一：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合，簡稱三線合一。

等邊三角形：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫正三角形。二、基本法則

1.軸對稱圖形的特點(diǎn)：

①它的對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等。

②連接對稱點(diǎn)的線段的垂直平分線就是該圖形的對稱軸。

2.垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個端點(diǎn)的距離相等。3.角的平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等。4.等腰三角形的性質(zhì)：

①兩底角相等(等邊對等角)。

②頂角的平分線、底邊的中線、底邊的高重合(三線合一)。③它是軸對稱圖形，三線所在的直線是它的對稱軸。④兩腰上的高、中線相等。兩底角的平分線相等。⑤等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角是頂角的一半。⑥等腰三角形頂角的外角平分線平行于這個三角形的底邊。(⑤⑥兩條隨后在第章中學(xué)到)

5.等腰三角形的判定：三角形有兩個角相等即是等腰三角形(等角對等邊)。6.等邊三角形的性質(zhì)：

①三個內(nèi)角都相等，且都等于60°。②每條邊上的高、中線和對角的平分線重合。

③它是軸對稱圖形，各邊上高所在的直線是其對稱軸，共有三條。

應(yīng)會

1.會畫軸對稱圖形或它們的對稱軸。2.會判定等腰三角形。3.會用對稱的觀點(diǎn)解題。

4.會用等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)解題。

例題

1.將一張正方形紙片按如圖所示對折兩次，并在如圖位上剪去一個圓形小洞后展開鋪平得到的圖形是()

ABC48

D

2.試證明在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.

3.如圖所示，AB=AC，BC=BD=ED=EA，求∠A的度數(shù).

4.如圖所示，在△ABC中，∠B=60°，AB=4，BC=2.求證△ABC是直角三角形。

BCA

5.如圖所示，在△ABC中，AB=AC，E在CA延長線上，AE=AF，AD是高，試判斷EF與BC的位關(guān)系，并說明理由。

6.已知等腰三角形的兩邊a，b，滿足

2a3b5+(2a+3b-13)2=0，求等腰三角形的周長。

7.如圖14－120所示，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD為BC邊上的高，延長AB到E點(diǎn)，使BE=BD，過點(diǎn)D，E引直線交AC于點(diǎn)F，則有AF=FC，為什么？

8.如圖14－119所示，某船上午11時30分在A處觀測海島B在北偏東60°方向，該船以每小時10海里的速度航行到C處，再觀測海島B在北偏東30°方向，又以同樣的速度繼續(xù)航行到D處，再觀測海島在北偏西30°方向，當(dāng)輪船到達(dá)C處時恰好與海島B相距20海里，請你確定輪船到達(dá)C處和D處的時間.

參考答案

1.B

2.已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，如右上圖所示.求證：BC=

12AB.

證明：作出△ABC關(guān)于AC對稱的△AB′C.如右下圖所示�！郃B′=AB.

又∵∠CAB=30°，∴∠B′=∠B=∠B′AB=60°.∴AB=BB′=AB′

又∵△AB′C與△ABC為對稱圖形，B′C與BC是對應(yīng)邊∴BC=B′C=3.

解：∵AB=AC，BC=BD=ED=EA，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠ABD=∠BED，∠A=∠EDA.

設(shè)∠A=α，則∠EDA=α，∠ABD=∠BED=2α，∠ABC=∠C=∠BDC=3α（根據(jù)三角形的外角性質(zhì)）.在△ABC中，∠A=α，∠ABC=∠ACB=3α，由三角形內(nèi)角和可得α+3α+3α=180°，∴α=

180718071212BB′=AB.

觀察與分析圖形中有多個等腰三角形，因而有許多對相等的角，設(shè)定其中的某個角，再用這個角把另外的角表示出來，即可解決。，∴∠A=

1807.

∴∠A的度數(shù)為4.

.

觀察與分析欲證△ABC是直角三角形，只需證明∠BCA=90°即可。證明：取AB的中點(diǎn)D，連接CD.如右圖所示�！連C=2，AB=4，∴BC=BD=AD=2.∴∠BCD=∠BDC.

又∵∠B=60°，∴∠BCD=∠BDC=60°.

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