高中數(shù)學必修3第二章知識點總結(jié)及練習

高中數(shù)學必修3知識點總結(jié)

第二章統(tǒng)計

2.1.1簡單隨機抽樣

1．總體和樣本：在統(tǒng)計學中,把研究對象的全體叫做總體．把每個研究對象叫做個體．把總體中個體的總數(shù)叫做總體容量．為了研究總體的有關(guān)性質(zhì)，一般從總體中隨機抽取一部分：

，，，

研究，我們稱它為樣本．其中個體的個數(shù)稱為樣本容量．

2．簡單隨機抽樣，也叫純隨機抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨機地抽取調(diào)查單位。特點是：每個樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個單位完全獨立，彼此間無一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。簡單隨機抽樣是其它各種抽樣形式的基礎。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時，才采用這種方法。3．簡單隨機抽樣常用的方法：

（1）抽簽法；⑵隨機數(shù)表法；⑶計算機模擬法；⑷使用統(tǒng)計軟件直接抽取。

在簡單隨機抽樣的樣本容量設計中，主要考慮：①總體變異情況；②允許誤差范圍；③概率保證程度。

4．抽簽法:（1）給調(diào)查對象群體中的每一個對象編號；（2）準備抽簽的工具，實施抽簽（3）對樣本中的每一個個體進行測量或調(diào)查例：請調(diào)查你所在的學校的學生做喜歡的體育活動情況。

5．隨機數(shù)表法：例：利用隨機數(shù)表在所在的班級中抽取10位同學參加某項活動。2.1.2系統(tǒng)抽樣

1．系統(tǒng)抽樣（等距抽樣或機械抽樣）：

把總體的單位進行排序，再計算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個樣本采用簡單隨機抽樣的辦法抽取。

K（抽樣距離）=N（總體規(guī)模）/n（樣本規(guī)模）

前提條件：總體中個體的排列對于研究的變量來說，應是隨機的，即不存在某種與研究變量相關(guān)的規(guī)則分布�？梢栽谡{(diào)查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對比幾次樣本的特點。如果有明顯差別，說明樣本在總體中的分布承某種循環(huán)性規(guī)律，且這種循環(huán)和抽樣距

第1頁共5頁離重合。

2．系統(tǒng)抽樣，即等距抽樣是實際中最為常用的抽樣方法之一。因為它對抽樣框的要求較低，實施也比較簡單。更為重要的是，如果有某種與調(diào)查指標相關(guān)的輔助變量可供使用，總體單元按輔助變量的大小順序排隊的話，使用系統(tǒng)抽樣可以大大提高估計精度。2.1.3分層抽樣

1．分層抽樣（類型抽樣）：

先將總體中的所有單位按照某種特征或標志（性別、年齡等）劃分成若干類型或?qū)哟�，然后再在各個類型或?qū)哟沃胁捎煤唵坞S機抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本。

兩種方法：

1．先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。2．先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。

2．分層抽樣是把異質(zhì)性較強的總體分成一個個同質(zhì)性較強的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進而代表總體。

分層標準：

（1）以調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關(guān)的變量作為分層的標準。

（2）以保證各層內(nèi)部同質(zhì)性強、各層之間異質(zhì)性強、突出總體內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變量作為分層變量。（3）以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。3．分層的比例問題：

（1）按比例分層抽樣：根據(jù)各種類型或?qū)哟沃械膯挝粩?shù)目占總體單位數(shù)目的比重來抽取子樣本的方法。

（2）不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會非常少，此時采用該方法，主要是便于對不同層次的子總體進行專門研究或進行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時，則需要先對各層的數(shù)據(jù)資料進行加權(quán)處理，調(diào)整樣本中各層的比例，使數(shù)據(jù)恢復到總體中各層實際的比例結(jié)構(gòu)。2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征

第2頁共5頁1、本均值：xx1x2xn

n2(x1x)2(x2x)2(xnx)22、．樣本標準差：ss

n3．用樣本估計總體時，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會有偏差。在隨機抽樣中，這種偏差是不可避免的。

雖然我們用樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標準差并不是總體的真正的分布、

均值和標準差，而只是一個估計，但這種估計是合理的，特別是當樣本量很大時，它們確實反映了總體的信息。

4．（1）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個共同的常數(shù)，標準差不變（2）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)乘以一個共同的常數(shù)k，標準差變?yōu)樵瓉淼膋倍（3）一組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值對標準差的影響，區(qū)間(x3s,x3s)的應用；“去掉一個最高分，去掉一個最低分”中的科學道理2.3.2兩個變量的線性相關(guān)

1、概念:（1）回歸直線方程（2）回歸系數(shù)2．最小二乘法3．直線回歸方程的應用

（1）描述兩變量之間的依存關(guān)系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個變量間依存

的數(shù)量關(guān)系

（2）利用回歸方程進行預測；把預報因子（即自變量x）代入回歸方程對預報量（即

因變量Y）進行估計，即可得到個體Y值的容許區(qū)間。

（3）利用回歸方程進行統(tǒng)計控制規(guī)定Y值的變化，通過控制x的范圍來實現(xiàn)統(tǒng)計控

制的目標。如已經(jīng)得到了空氣中NO2的濃度和汽車流量間的回歸方程，即可通過控制汽車流量來控制空氣中NO2的濃度。

4．應用直線回歸的注意事項：（1）做回歸分析要有實際意義；

（2）回歸分析前,最好先作出散點圖；（3）回歸直線不要外延。

第3頁共5頁數(shù)學必修3第二章《統(tǒng)計》微型試卷

一、選擇題：(本大題共10小題，每小題4分，共40分)

1.某學校為了了解高一年級學生對教師教學的意見，打算從高一年級201*名學生中抽取50名進行抽查，若采用下面的方法選�。合扔煤唵坞S機抽樣從201*人中剔除7人，剩下201*人再按系統(tǒng)抽樣的方法進行，則每人入選的機會（）A.不全相等B.均不相等C.都相等D.無法確定

2．有20位同學，編號從1至20，現(xiàn)在從中抽取4人作問卷調(diào)查，用系統(tǒng)抽樣方法確定所抽的編號為()

A.5，10，15，20B.2，6，10，14C.2，4，6，8D.5，8，11，14

3．某公司在甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150個、120個、180個、150個銷售點，公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本，記這項調(diào)查為(1)；在丙地區(qū)中有20個特大型銷售點，要從中抽取7個調(diào)查其銷售收入和售后服務情況，記這項調(diào)查為(2)。則完成(1)、(2)這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是（）A.分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法B.分層抽樣法，簡單隨機抽樣C.系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法D.簡單隨機抽樣法，分層抽樣法4.頻率分布直方圖中,小長方形的面積等于()

A.相應各組的頻數(shù)B.相應各組的頻率C.組數(shù)D.組距

5.從一群學生中抽取一個一定容量的樣本對他們的學習成績進行分析,已知不超過70分的人數(shù)為8人,其累計頻率為0.4,則這樣的樣本容量是()A.20人B.40人C.70人D.80人

6．在下列各圖中，每個圖的兩個變量具有相關(guān)關(guān)系的圖是（）

（1）（2）（3）（4）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（2）（3）7.下表是某小賣部一周賣出熱茶的杯數(shù)與當天氣溫的對比表：氣溫/℃杯數(shù)182413341039451-163若熱茶杯數(shù)y與氣溫x近似地滿足線性關(guān)系，則其關(guān)系式最接近的是（）A.yx6B.yx42C.y2x60D.y3x78

8．根據(jù)某水文觀測點的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)，得到某條河流水位的頻率分布直方圖如下．從圖中可以看出，該水文觀測點平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（）A．48米B．49米C．50米D．51米

第4頁共5頁頻率組距2%1%0.5%30313233

48495051水位（米）

9．由小到大排列的一組數(shù)據(jù):x1,x2,x3,x4,x5,其中每個數(shù)據(jù)都小于2,則樣本

2,x1,x2,x3,x4,x5的中位數(shù)可以表示為（）

x2x32x5x3x4x2x1A.B.C.D.

2222

二、填空題：（本大題共5小題，每小題4分，共20分）

11．管理人員從一池塘內(nèi)撈出30條魚，做上標記后放回池塘。10天后，又從池塘內(nèi)撈出50條魚，其中有標記的有2條。根據(jù)以上數(shù)據(jù)可以估計該池塘內(nèi)共有條魚。12.某校高中部有三個年級，其中高三有學生1000人，現(xiàn)采用分層抽樣法抽取一個容量為185的樣本，已知在高一年級抽取了75人，高二年級抽取了60人，則高中部共有___學生。13已知200輛汽車通過某一段公路時的時速

頻率的頻率分布直方圖如右圖所示，則時速在

組距[60,70]的汽車大約有_________輛.00400314．已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)為

002x0123001y135-a7+a4050607080時速（km）

則y與x的回歸直線方程ybxa必過定點______

15.已知樣本9,10,11,x,y的平均數(shù)是10，標準差是2，則xy參考答案

一、選擇題：CABBA，DCCCB

二、填空題：11、75012、370013、8014、(,4)15、96

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高中數(shù)學必修3知識點

第一章算法初步

1.1.1

算法的概念

1、算法概念：

在數(shù)學上，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來解決的某一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成.2.算法的特點:

(1)有限性：一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的.(2)確定性：算法中的每一步應該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不應當是模棱兩可.

(3)順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進行下一步，并且每一步都準確無誤，才能完成問題.

(4)不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法.(5)普遍性：很多具體的問題，都可以設計合理的算法去解決，如心算、計算器計算都要經(jīng)過有限、事先設計好的步驟加以解決.1.1.2

程序框圖

1、程序框圖基本概念：

（一）程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準確、直觀地表示算法的圖形。

一個程序框圖包括以下幾部分：表示相應操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要文字說明。

1

（二）構(gòu)成程序框的圖形符號及其作用

程序框起止框輸入、輸出框處理框法中任何需要輸入、輸出的位置。賦值、計算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公式等分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框內(nèi)。判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標判斷框明“是”或“Y”；不成立時標明“否”或“N”。不可少的。表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在算名稱功能表示一個算法的起始和結(jié)束，是任何流程圖學習這部分知識的時候，要掌握各個圖形的形狀、作用及使用規(guī)則，畫程序框圖的規(guī)則如下：1、使用標準的圖形符號。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。3、除判斷框外，大多數(shù)流程圖符號只有一個進入點和一個退出點。判斷框具有超過一個退出點的唯一符號。4、判斷框分兩大類，一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個結(jié)果；另一類是多分支判斷，有幾種不同的結(jié)果。5、在圖形符號內(nèi)描述的語言要非常簡練清楚。（三）、算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。

1、順序結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)是最簡單的算法結(jié)構(gòu)，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進行的，它是由若干個依次執(zhí)行的處理步驟組成的，它是任何一個算法都離不開的一種基本算法結(jié)構(gòu)。

順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而下地連接起來，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中，A框和B框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完A框指定的操作后，才能接著執(zhí)行B框所指定的操作。2、條件結(jié)構(gòu)：

2

AB條件結(jié)構(gòu)是指在算法中通過對條件的判斷根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結(jié)構(gòu)。

條件P是否成立而選擇執(zhí)行A框或B框。無論P條件是否成立，只能執(zhí)行A框或B框之一，不可能同時執(zhí)行A框和B框，也不可能A框、B框都不執(zhí)行。一個判斷結(jié)構(gòu)可以有多個判斷框。

3、循環(huán)結(jié)構(gòu)：在一些算法中，經(jīng)常會出現(xiàn)從某處開始，按照一定條件，反復執(zhí)行某一處理步驟的情況，這就是循環(huán)結(jié)構(gòu)，反復執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)又稱重復結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)可細分為兩類：

（1）、一類是當型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下左圖所示，它的功能是當給定的條件P成立時，執(zhí)行A框，A框執(zhí)行完畢后，再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，再執(zhí)行A框，如此反復執(zhí)行A框，直到某一次條件P不成立為止，此時不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。

（2）、另一類是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下右圖所示，它的功能是先執(zhí)行，然后判斷給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，則繼續(xù)執(zhí)行A框，直到某一次給定的條件P成立為止，此時不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。

AAPP成立成立不成立不成立p

當型循環(huán)結(jié)構(gòu)直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)

注意：1循環(huán)結(jié)構(gòu)要在某個條件下終止循環(huán)，這就需要條件結(jié)構(gòu)來判斷。因此，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)，但不允許“死循環(huán)”。2在循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個計數(shù)變量和累加變量。計數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，累加變量用于輸出結(jié)果。計數(shù)變量和累加變量一般是同步執(zhí)行的，累加一次，計數(shù)一次。1.2.1

輸入、輸出語句和賦值語句

1、輸入語句

（1）輸入語句的一般格式

圖形計算器格式INPUT“提示內(nèi)容”；變量INPUT“提示內(nèi)容”，變量（2）輸入語句的作用是實現(xiàn)算法的輸入信息功能；（3）“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息，變量是指程序在運行時其值是可以變化的量；（4）輸入語句要求輸入的值只能是具體的常數(shù)，不能是函數(shù)、變量或表達式；（5）提示內(nèi)容與變量之間用分號“；”隔開，若輸入多個變量，變量與變量之間用逗號“，”隔開。2、輸出語句

（1）輸出語句的一般格式

圖形計算器格式PRINT“提示內(nèi)容”；表達式Disp“提示內(nèi)容”，變量（2）輸出語句的作用是實現(xiàn)算法的輸出結(jié)果功能；（3）“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息，表達式是指程序要輸出的數(shù)據(jù)；（4）輸出語句可以輸出常量、變量或表達式的值以及字符。3、賦值語句

（1）賦值語句的一般格式

（2）賦值語句的作用是將表達式所代表的值賦給變量；（3）賦值語句中的“＝”稱作賦值號，與數(shù)學中的等號的意義是不同的。賦值號的左右兩邊不能對換，它將賦值號右邊的表達式的值賦給賦值號左邊的變量；（4）賦值語句左邊只能是變量名字，而不是表達式，右邊表達式可以是一個數(shù)據(jù)、常量或算式；（5）對于一個變量可以多次賦值。

注意：①賦值號左邊只能是變量名字，而不能是表達式。如：2=X是錯誤的。②賦值號左

右不能對換。如“A=B”“B=A”的含義運行結(jié)果是不同的。③不能利用賦值語句進行代數(shù)式的演算。（如化簡、因式分解、解方程等）④賦值號“=”與數(shù)學中的等號意義不同。

1．2．2條件語句

1、條件語句的一般格式有兩種：（1）IFTHENELSE語句；（2）IFTHEN語句。2、IFTHENELSE語句

IFTHENELSE語句的一般格式為圖1，對應的程序框圖為圖2。

圖形計算器變量＝表達式格式表達式變量IF條件THEN語句1ELSE語句2ENDIF滿足條件？是語句1否語句24

圖1圖2

分析：在IFTHENELSE語句中，“條件”表示判斷的條件，“語句1”表示滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容；“語句2”表示不滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容；ENDIF表示條件語句的結(jié)束。計算機在執(zhí)行時，首先對IF后的條件進行判斷，如果條件符合，則執(zhí)行THEN后面的語句1；若條件不符合，則執(zhí)行ELSE后面的語句2。3、IFTHEN語句

IFTHEN語句的一般格式為圖3，對應的程序框圖為圖4。IF條件THEN語句ENDIF（圖3）

是滿足條件？否（圖4）執(zhí)行的操語句注意：“條件”表示判斷的條件；“語句”表示滿足條件時

作內(nèi)容，條件不滿足時，結(jié)束程序；ENDIF表示條件語句的結(jié)束。計算機在執(zhí)行時首先對IF后的條件進行判斷，如果條件符合就執(zhí)行THEN后邊的語句，若條件不符合則直接結(jié)束該條件語句，轉(zhuǎn)而執(zhí)行其它語句。

1．2．3循環(huán)語句

循環(huán)結(jié)構(gòu)是由循環(huán)語句來實現(xiàn)的。對應于程序框圖中的兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)，一般程序設計語言中也有當型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）兩種語句結(jié)構(gòu)。即WHILE語句和UNTIL語句。

1、WHILE語句

（1）WHILE語句的一般格式是對應的程序框圖是

循環(huán)體WHILE條件循環(huán)體WEND滿足條件？否是（2）當計算機遇到WHILE語句時，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執(zhí)行WHILE與WEND之間的循環(huán)體；然后再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執(zhí)行循環(huán)體，這個過程反復進行，直到某一次條件不符合為止。這時，計算機將不執(zhí)行循環(huán)體，直接跳到WEND語句后，接著執(zhí)行WEND之后的語句。因此，當型循環(huán)有時也稱為“前測試型”循環(huán)。

5

2、UNTIL語句

（1）UNTIL語句的一般格式是對應的程序框圖是

DO循環(huán)體LOOPUNTIL條件循環(huán)體滿足條件？是否（2）直到型循環(huán)又稱為“后測試型”循環(huán)，從UNTIL型循環(huán)結(jié)構(gòu)分析，計算機執(zhí)行該語句時，先執(zhí)行一次循環(huán)體，然后進行條件的判斷，如果條件不滿足，繼續(xù)返回執(zhí)行循環(huán)體，然后再進行條件的判斷，這個過程反復進行，直到某一次條件滿足時，不再執(zhí)行循環(huán)體，跳到LOOPUNTIL語句后執(zhí)行其他語句，是先執(zhí)行循環(huán)體后進行條件判斷的循環(huán)語句。分析：當型循環(huán)與直到型循環(huán)的區(qū)別：（先由學生討論再歸納）（1）當型循環(huán)先判斷后執(zhí)行，直到型循環(huán)先執(zhí)行后判斷；

在WHILE語句中，是當條件滿足時執(zhí)行循環(huán)體，在UNTIL語句中，是當條件不滿足時執(zhí)行循環(huán)

1.3.1輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)

1、輾轉(zhuǎn)相除法。也叫歐幾里德算法，用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：（1）：用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個商為m，n的最大公約數(shù)；若（3）：若商

S2R1R0S0和一個余數(shù)

R0R0；（2）：若

S1R0＝0，則n

R1≠0，則用除數(shù)n除以余數(shù)

R1得到一個商

R0和一個余數(shù)

R1；

＝0，則

R2R1為m，n的最大公約數(shù)；若≠0，則用除數(shù)除以余數(shù)

Rn1得到一個

和一個余數(shù)；依次計算直至

Rn＝0，此時所得到的即為所求的最

大公約數(shù)。2、更相減損術(shù)

我國早期也有求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術(shù)。在《九章算術(shù)》中有更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟：可半者半之，不可半者，副置分母子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。

翻譯為：（1）：任意給出兩個正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步。（2）：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。例2用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù).

6

分析：（略）

3、輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別：

（1）都是求最大公約數(shù)的方法，計算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計算次數(shù)相對較少，特別當兩個數(shù)字大小區(qū)別較大時計算次數(shù)的區(qū)別較明顯。

（2）從結(jié)果體現(xiàn)形式來看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0則得到，而更相減損術(shù)

則以減數(shù)與差相等而得到

1.3.2秦九韶算法與排序1、秦九韶算法概念：

f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值問題

f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0=((anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0

=......=(...(anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0

求多項式的值時，首先計算最內(nèi)層括號內(nèi)依次多項式的值，即v1=anx+an-1然后由內(nèi)向外逐層計算一次多項式的值，即v2=v1x+an-2v3=v2x+an-3......vn=vn-1x+a0

這樣，把n次多項式的求值問題轉(zhuǎn)化成求n個一次多項式的值的問題。2、兩種排序方法：直接插入排序和冒泡排序1、直接插入排序

基本思想：插入排序的思想就是讀一個，排一個。將第１個數(shù)放入數(shù)組的第１個元素中，以后讀入的數(shù)與已存入數(shù)組的數(shù)進行比較，確定它在從大到小的排列中應處的位置．將該位置以及以后的元素向后推移一個位置，將讀入的新數(shù)填入空出的位置中．（由于算法簡單，可以舉例說明）2、冒泡排序

基本思想：依次比較相鄰的兩個數(shù),把大的放前面,小的放后面.即首先比較第1個數(shù)和第2個數(shù),大數(shù)放前,小數(shù)放后.然后比較第2個數(shù)和第3個數(shù)......直到比較最后兩個數(shù).第一趟結(jié)束,最小的一定沉到最后.重復上過程,仍從第1個數(shù)開始,到最后第2個數(shù)......由于在排序過程中總是大數(shù)往前,小數(shù)往后,相當氣泡上升,所以叫冒泡排序.

1.3.3進位制

7

1、概念：進位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值。可使用數(shù)字符號的個數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為n，即可稱n進位制，簡稱n進制�，F(xiàn)在最常用的是十進制，通常使用10個阿拉伯數(shù)字0-9進行記數(shù)。對于任何一個數(shù)，我們可以用不同的進位制來表示。比如：十進數(shù)57，可以用二進制表示為111001，也可以用八進制表示為71、用十六進制表示為39，它們所代表的數(shù)值都是一樣的。

一般地，若k是一個大于一的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進制可以表示為：

anan1...a1a0(k)(0ank,0an1,...,a1,a0k)，

而表示各種進位制數(shù)一般在數(shù)字右下腳加注來表示,如111001(2)表示二進制數(shù),34(5)表示5進制數(shù)

基礎型訓練

一、選擇題

1．下面對算法描述正確的一項是：（）

A．算法只能用自然語言來描述B．算法只能用圖形方式來表示

C．同一問題可以有不同的算法D．同一問題的算法不同，結(jié)果必然不同2．用二分法求方程x220的近似根的算法中要用哪種算法結(jié)構(gòu)（）

A．順序結(jié)構(gòu)B．條件結(jié)構(gòu)C．循環(huán)結(jié)構(gòu)D．以上都用3．將兩個數(shù)a8,b17交換,使a17,b8,下面語句正確一組是()

a=bb=ac=bb=aa=cb=aa=ba=cc=bb=a

A．B．C．D．

4．計算機執(zhí)行下面的程序段后，輸出的結(jié)果是（）

a1b3aabbab

PRINTa，b

A．1,3B．4,1C．0,0D．6,05．當a3時，下面的程序段輸出的結(jié)果是（）IFa10THEN

y2a

8

else

yaa

PRINTy

A．9B．3C．10D．6

二、填空題

1．把求n!的程序補充完整

“n=”，ni=1s=1i<=ns=s*ii=i+1PRINTsEND2．用“冒泡法”給數(shù)列1,5,3,2,7,9按從大到小進行排序時，經(jīng)過第一趟排序后得到的新數(shù)列為．

3．用“秦九韶算法”計算多項式f(x)5x54x43x32x2x1，當x=2時的值

的過程中，要經(jīng)過次乘法運算和次加法運算．

4．以下屬于基本算法語句的是．

①INPUT語句；②PRINT語句；③IF-THEN語句；④DO語句；⑤END語句；⑥WHILE語句；⑦ENDIF語句．5．將389化成四進位制數(shù)的末位是____________．三、解答題

1．把“五進制”數(shù)1234

2．用秦九韶算法求多項式f(x)7x6x5x4x3x2xx

當x3時的值．

3．編寫一個程序，輸入正方形的邊長，輸出它的對角線長和面積的值．

4．某市公用電話（市話）的收費標準為：3分鐘之內(nèi)（包括3分鐘）收取0.30元；超過3分鐘部分按0.10元/分鐘加收費．設計一個程序，根據(jù)通話時間計算話費．

9

765432(5)轉(zhuǎn)化為“十進制”數(shù)，再把它轉(zhuǎn)化為“八進制”數(shù)．提高型訓練

一、選擇題

1．下列給出的賦值語句中正確的是（）

A．4MB．MMC．BA3D．xy02．給出以下四個問題,

①x,輸出它的相反數(shù)．②求面積為6的正方形的周長．

③求三個數(shù)a,b,c中輸入一個數(shù)的最大數(shù)．

x1,x0④求函數(shù)f(x)的函數(shù)值．

x2,x0n=5s=0WHILEs2．二進制數(shù)111.11轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)是_________________．3．下左程序運行后輸出的結(jié)果為_______________．INPUT“a，b，c=”;a，b，c

IFb>aTHENx5

t=a

4．上右程序運行后實現(xiàn)的功能為_______________．ELSEyy3ENDIFPRINTx－y；y－xEND第3題y20IFx0THENxy3a=bb=tENDIFIFc>aTHENt=aa=cc=tENDIFIFc>bTHENt=bb=cc=tENDIF三、解答題

1．已知一個三角形的三邊邊長分別為2,3,4，設計一個算法，求出它的面積．

52．用二分法求方程x3x10在(0,1)上的近似解，精確到c0.001，寫出算

法．畫出流程圖，并寫出算法語句．

11

第二章2.1.1簡單隨機抽樣

1．總體和樣本

統(tǒng)計

在統(tǒng)計學中,把研究對象的全體叫做總體．把每個研究對象叫做個體．

把總體中個體的總數(shù)叫做總體容量．

為了研究總體的有關(guān)性質(zhì)，一般從總體中隨機抽取一部分：研究，我們稱它為樣本．其中個體的個數(shù)稱為樣本容量．

2．簡單隨機抽樣，也叫純隨機抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨機地抽取調(diào)查單位。特點是：每個樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個單位完全獨立，彼此間無一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。簡單隨機抽樣是其它各種抽樣形式的基礎。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時，才采用這種方法。3．簡單隨機抽樣常用的方法：

（1）抽簽法；⑵隨機數(shù)表法；⑶計算機模擬法；⑷使用統(tǒng)計軟件直接抽取。

在簡單隨機抽樣的樣本容量設計中，主要考慮：①總體變異情況；②允許誤差范圍；③概率保證程度。

4．抽簽法:

（1）給調(diào)查對象群體中的每一個對象編號；（2）準備抽簽的工具，實施抽簽

（3）對樣本中的每一個個體進行測量或調(diào)查

例：請調(diào)查你所在的學校的學生做喜歡的體育活動情況。5．隨機數(shù)表法：

例：利用隨機數(shù)表在所在的班級中抽取10位同學參加某項活動。

2.1.2系統(tǒng)抽樣

1．系統(tǒng)抽樣（等距抽樣或機械抽樣）：

把總體的單位進行排序，再計算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個樣本采用簡單隨機抽樣的辦法抽取。

12

，，，K（抽樣距離）=N（總體規(guī)模）/n（樣本規(guī)模）

前提條件：總體中個體的排列對于研究的變量來說，應是隨機的，即不存在某種與研究變量相關(guān)的規(guī)則分布�？梢栽谡{(diào)查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對比幾次樣本的特點。如果有明顯差別，說明樣本在總體中的分布承某種循環(huán)性規(guī)律，且這種循環(huán)和抽樣距離重合。

2．系統(tǒng)抽樣，即等距抽樣是實際中最為常用的抽樣方法之一。因為它對抽樣框的要求較低，實施也比較簡單。更為重要的是，如果有某種與調(diào)查指標相關(guān)的輔助變量可供使用，總體單元按輔助變量的大小順序排隊的話，使用系統(tǒng)抽樣可以大大提高估計精度。

2.1.3分層抽樣

1．分層抽樣（類型抽樣）：

先將總體中的所有單位按照某種特征或標志（性別、年齡等）劃分成若干類型或?qū)哟�，然后再在各個類型或?qū)哟沃胁捎煤唵坞S機抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本。

兩種方法：

1．先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。2．先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。

2．分層抽樣是把異質(zhì)性較強的總體分成一個個同質(zhì)性較強的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進而代表總體。

分層標準：

（1）以調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關(guān)的變量作為分層的標準。

（2）以保證各層內(nèi)部同質(zhì)性強、各層之間異質(zhì)性強、突出總體內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變量作為分層變量。

（3）以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。3．分層的比例問題：

（1）按比例分層抽樣：根據(jù)各種類型或?qū)哟沃械膯挝粩?shù)目占總體單位數(shù)目的比重來抽取子樣本的方法。

13

（2）不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會非常少，此時采用該方法，主要是便于對不同層次的子總體進行專門研究或進行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時，則需要先對各層的數(shù)據(jù)資料進行加權(quán)處理，調(diào)整樣本中各層的比例，使數(shù)據(jù)恢復到總體中各層實際的比例結(jié)構(gòu)。

2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征

1、本均值：xx1x2xnn

2、．樣本標準差：ss2(x1x)(x2x)(xnx)n222

3．用樣本估計總體時，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會有偏差。在隨機抽樣中，這種偏差是不可避免的。

雖然我們用樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標準差并不是總體的真正的分布、

均值和標準差，而只是一個估計，但這種估計是合理的，特別是當樣本量很大時，它們確實反映了總體的信息。

4．（1）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個共同的常數(shù)，標準差不變（2）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)乘以一個共同的常數(shù)k，標準差變?yōu)樵瓉淼膋倍（3）一組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值對標準差的影響，區(qū)間(x3s,x3s)的應用；“去掉一個最高分，去掉一個最低分”中的科學道理2.3.2兩個變量的線性相關(guān)1、概念:

（1）回歸直線方程（2）回歸系數(shù)2．最小二乘法

3．直線回歸方程的應用

（1）描述兩變量之間的依存關(guān)系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個變量間依存

的數(shù)量關(guān)系

（2）利用回歸方程進行預測；把預報因子（即自變量x）代入回歸方程對預報量（即

因變量Y）進行估計，即可得到個體Y值的容許區(qū)間。

14

（3）利用回歸方程進行統(tǒng)計控制規(guī)定Y值的變化，通過控制x的范圍來實現(xiàn)統(tǒng)計控

制的目標。如已經(jīng)得到了空氣中NO2的濃度和汽車流量間的回歸方程，即可通過控制汽車流量來控制空氣中NO2的濃度。

4．應用直線回歸的注意事項

（1）做回歸分析要有實際意義；（2）回歸分析前,最好先作出散點圖；（3）回歸直線不要外延。

基礎型訓練

一、選擇題

1．10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,設其平均數(shù)為a,中位數(shù)為b,眾數(shù)為c，則有()A．a(chǎn)bcB．bcaC．cabD．cba2．下列說法錯誤的是()

A．在統(tǒng)計里，把所需考察對象的全體叫作總體

B．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定大于這組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)

C．平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢D．一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動越大

3．某同學使用計算器求30個數(shù)據(jù)的平均數(shù)時，錯將其中一個數(shù)據(jù)105輸入為15，

那么由此求出的平均數(shù)與實際平均數(shù)的差是()

A．3.5B．3

C．3D．0.54．要了解全市高一學生身高在某一范圍的學生所占比例的大小，需知道相應樣本的()

A．平均數(shù)B．方差

C．眾數(shù)D．頻率分布

5．要從已編號（1~60）的60枚最新研制的某型導彈中隨機抽取6枚來進行發(fā)射試驗，用每部分選取的號碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法確定所選取的6枚導彈的編號可能是（）

A．5,10,15,20,B．3,13,23,33,C．1,2,3,4,D．2,4,8,16,32,48

6．容量為100的樣本數(shù)據(jù)，按從小到大的順序分為8組，如下表：組號123456

78頻數(shù)1013x14151141312131149第三組的頻數(shù)和頻率分別是()

A．14和0.14B．0.14和14C．

和0.14D．

和

二、填空題

1．為了了解參加運動會的201*名運動員的年齡情況，從中抽取100名運動員；就這個問題，下列說法中正確的有；

①201*名運動員是總體；②每個運動員是個體；③所抽取的100名運動員是一個樣本；④樣本容量為100；⑤這個抽樣方法可采用按年齡進行分層抽樣；⑥每個運動員被抽到的概率相等．

2．經(jīng)問卷調(diào)查，某班學生對攝影分別執(zhí)“喜歡”、“不喜歡”和“一般”三種態(tài)度，其中執(zhí)“一般”態(tài)度的比“不喜歡”態(tài)度的多12人，按分層抽樣方法從全班選出部分學生座談攝影，如果選出的2位“喜歡”攝影的同學、1位“不喜歡”攝影的同學和3位執(zhí)“一般”態(tài)度的同學，那么全班學生中“喜歡”攝影的比全班人數(shù)的一半還多人．3．數(shù)據(jù)70,71,72,73的標準差是______________．4．數(shù)據(jù)a1,a2,a3,...,an的方差為2，平均數(shù)為，則

（1）數(shù)據(jù)ka1b,ka2b,ka3b,...,kanb,(kb0)的標準差為，平均數(shù)為．

（2）數(shù)據(jù)k(a1b),k(a2b),k(a3b),...,k(anb),(kb0)的標準差為，

平均數(shù)為．

5．觀察新生嬰兒的體重，其頻率分布直方圖如圖所示，則新生嬰兒體重在2700,3000的頻率為．頻率/組距0．00240027003000330036003900體重三、解答題

1．對某校初二男生抽取體育項目俯臥撐，被抽到的50名學生的成績?nèi)缦拢撼煽儯ù危?0987654316

人數(shù)865164731試求全校初二男生俯臥撐的平均成績．

2．為了了解初三學生女生身高情況，某中學對初三女生身高進行了一次測量，所得數(shù)據(jù)整理后列出了頻率分布表如下：

組別145．5～149．5149．5～153．5153．5～157．5157．5～161．5161．5～165．5165．5～169．5合計頻數(shù)14201*8頻率0．020．080．400．300．16MMnN（1）求出表中m,n,M,N所表示的數(shù)分別是多少？（2）畫出頻率分布直方圖．

（3）全體女生中身高在哪組范圍內(nèi)的人數(shù)最多？

3．某校高中部有三個年級，其中高三有學生1000人，現(xiàn)采用分層抽樣法抽取一個容量

為185的樣本，已知在高一年級抽取了75人，高二年級抽取了60人，則高中部共有多少學生？

4．從兩個班中各隨機的抽取10名學生，他們的數(shù)學成績?nèi)缦拢?/p>

甲班乙班7686748482629676667876927882727452886885

畫出莖葉圖并分析兩個班學生的數(shù)學學習情況．

17

提高型訓練

一、選擇題

1．某企業(yè)有職工150人，其中高級職稱15人，中級職稱45人，一般職員90人，現(xiàn)抽取

30人進行分層抽樣，則各職稱人數(shù)分別為（）

A．5,10,1B．3,9,18C．3,10,17D．5,9,162．從N個編號中抽取n個號碼入樣，若采用系統(tǒng)抽樣方法進行抽取，則分段間隔應為（）

A．

NnB．nC．

NND．nn13．有50件產(chǎn)品編號從1到50,現(xiàn)在從中抽取5件檢驗,用系統(tǒng)抽樣確定所抽取的編號為

()A．5,10,15,20,25B．5,15,20,35,40

C．5,11,17,23,29D．10,20,30,40,50

4．用樣本頻率分布估計總體頻率分布的過程中，下列說法正確的是（）

A．總體容量越大，估計越精確B．總體容量越小，估計越精確C．樣本容量越大，估計越精確D．樣本容量越小，估計越精確5．對于兩個變量之間的相關(guān)系數(shù)，下列說法中正確的是（）A．r越大，相關(guān)程度越大

B．r0,，r越大，相關(guān)程度越小，r越小，相關(guān)程度越大C．r1且r越接近于1，相關(guān)程度越大；r越接近于0，相關(guān)程度越小D．以上說法都不對

二、填空題

1．相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的區(qū)別是．2．為了了解1200名學生對學校某項教改試驗的意見，打算從中抽取一個容量為40的樣

18

考慮用系統(tǒng)抽樣，則分段的間隔k為_______________

3．從10個籃球中任取一個，檢驗其質(zhì)量，則應采用的抽樣方法為_______________．4．采用簡單隨機抽樣從含10個個體的總體中抽取一個容量為4的樣本，個體a前兩次未被抽到，第三次被抽到的概率為_____________________

5．甲，乙兩人在相同條件下練習射擊，每人打5發(fā)子彈，命中環(huán)數(shù)如下

甲68998乙107779則兩人射擊成績的穩(wěn)定程度是__________________．三、解答題

1．如圖，從參加環(huán)保知識競賽的學生中抽出60名，將其成績（均為整數(shù)）整理后畫出的

頻率分布直方圖如下：觀察圖形，回答下列問題：

（1）79.5~89.5這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少？

（2）估計這次環(huán)保知識競賽的及格率（60分及以上為及格）

2．以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù)：

（1）畫出數(shù)據(jù)對應的散點圖；

（2）求線性回歸方程，并在散點圖中加上回歸直線；

（3）據(jù)（2）的結(jié)果估計當房屋面積為150m時的銷售價格．

219

第三章概率

3.1.13.1.2隨機事件的概率及概率的意義

1、基本概念：

（1）必然事件：在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的必然事件；（2）不可能事件：在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的不可能事件；（3）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件；

（4）隨機事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件S的隨機事件；（5）頻數(shù)與頻率：在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試

驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件A出現(xiàn)的比例

nAfn(A)=n為事件A出現(xiàn)的概率：對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P（A），稱為事件A的概率。

（6）頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)nA與試驗總次數(shù)n

nA的比值n，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數(shù)叫做隨機事件的概率，概率從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復試驗的前提下可以近似地作為這個事件的概率

3.1.3概率的基本性質(zhì)

1、基本概念：

（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件

（2）若A∩B為不可能事件，即A∩B=ф，那么稱事件A與事件B互斥；

（3）若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件；（4）當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；若事件A與B為對立

事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)

20

2、概率的基本性質(zhì)：

1）必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P(A)≤1；2）當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；

3）若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)；

4）互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗中不會同時發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：（1）事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；（2）事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生；（3）事件A與事件B同時不發(fā)生，而對立事件是指事件A與事件B有且僅有一個發(fā)生，其包括兩種情形；（1）事件A發(fā)生B不發(fā)生；（2）事件B發(fā)生事件A不發(fā)生，對立事件互斥事件的特殊情形。3.2.13.2.2古典概型及隨機數(shù)的產(chǎn)生

1、（1）古典概型的使用條件：試驗結(jié)果的有限性和所有結(jié)果的等可能性。（2）古典概型的解題步驟；①求出總的基本事件數(shù)；

A包含的基本事件數(shù)②求出事件A所包含的基本事件數(shù)，然后利用公式P（A）=總的基本事件個數(shù)

3.3.13.3.2幾何概型及均勻隨機數(shù)的產(chǎn)生

1、基本概念：

（1）幾何概率模型：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；（2）幾何概型的概率公式：

構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）積）；

P（A）=試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體（3）幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．

21

基礎型訓練

一、選擇題

1．下列敘述錯誤的是（）

A．頻率是隨機的，在試驗前不能確定，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率一般會越來越接近

概率B．若隨機事件A發(fā)生的概率為pA，則0pA1C．互斥事件不一定是對立事件，但是對立事件一定是互斥事件

D．5張獎券中有一張有獎，甲先抽，乙后抽，那么乙與甲抽到有獎獎券的可能性相同2．從三件正品、一件次品中隨機取出兩件，則取出的產(chǎn)品全是正品的概率是（）

A．

14B．

12C．

18D．無法確定

3．有五條線段長度分別為1,3,5,7,9，從這5條線段中任取3條，則所取3條線段能構(gòu)成一個三角形的概率為（）

102104．從12個同類產(chǎn)品（其中10個是正品，2個是次品）中任意抽取3個的必然事件是（）

A．

110B．

3C．

1D．

7

A.3個都是正品B．至少有1個是次品

C．3個都是次品D．至少有1個是正品

5．某產(chǎn)品分為甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，若生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級品的概率為0.03,出現(xiàn)丙級品的概率為0.01,則對產(chǎn)品抽查一次抽得正品的概率是()A．0.09B．0.98C．0.97D．0.96

6．從一批羽毛球產(chǎn)品中任取一個，其質(zhì)量小于4.8g的概率為0.3，質(zhì)量小于4.85g的概率為0.32，那么質(zhì)量在4.8,4.85（g）范圍內(nèi)的概率是（）

8A．0.62B．0.38C．0.02D．0.6

二、填空題

1．有一種電子產(chǎn)品，它可以正常使用的概率為0.992，則它不能正常使用的概率是．

2．一個三位數(shù)字的密碼鍵,每位上的數(shù)字都在0到9這十個數(shù)字中任選,某人忘記后一個

號碼,那么此人開鎖時,在對好前兩位數(shù)碼后,隨意撥動最后一個數(shù)字恰好能開鎖的概率為___

3．同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，則出現(xiàn)兩個正面朝上的概率是．

4．從五件正品，一件次品中隨機取出兩件，則取出的兩件產(chǎn)品中恰好是一件正品，一件次品的概率是．

5．在5張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,5,然后將它們混合,再任意排列成一行,則得到的數(shù)能被2或5整除的概率是．

三、解答題

22

1．從甲、乙、丙、丁四個人中選兩名代表，求：

（１）甲被選中的概率（２）丁沒被選中的概率

2．現(xiàn)有一批產(chǎn)品共有10件，其中8件為正品，2件為次品：

（1）如果從中取出一件，然后放回，再取一件，求連續(xù)3次取出的都是正品的概率；（2）如果從中一次取3件，求3件都是正品的概率．

3．某路公共汽車5分鐘一班準時到達某車站，求任一人在該車站等車時間

少于3分鐘的概率（假定車到來后每人都能上）．

4．一個路口的紅綠燈,紅燈的時間為30秒,黃燈的時間為5秒,綠燈的時間為

40秒,當你到達路口時看見下列三種情況的概率各是多少?(1)紅燈(2)黃燈(3)不是紅燈

數(shù)學必修3第三章概率初步試卷

班級：姓名：座號：評分：

一、選擇題：（本大題共10題，每小題5分，共50分）1.下列說法正確的是（）

A.任何事件的概率總是在（0，1）之間B.頻率是客觀存在的，與試驗次數(shù)無關(guān)

C.隨著試驗次數(shù)的增加，頻率一般會越來越接近概率

D.概率是隨機的，在試驗前不能確定2.擲一枚骰子，則擲得奇數(shù)點的概率是（）A.

16B.

12C.

13`D.

14

3.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果連續(xù)拋擲1000次，那么第999次出現(xiàn)正面朝上的概率是（）A.

1999B.

11000C.

9991000D.

12

4.從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設A=“三件產(chǎn)品全不是次品”，B=“三件產(chǎn)品全是次品”，C=“三件產(chǎn)品不全是次品”，則下列結(jié)論正確的是（）A.A與C互斥B.B與C互斥C.任何兩個均互斥D.任何兩個均不互斥

5.從一批羽毛球產(chǎn)品中任取一個，其質(zhì)量小于4.8g的概率為0.3，質(zhì)量小于4.85g的概率為0.32，那么質(zhì)量在[4.8，4.85]（g）范圍內(nèi)的概率是（）A.0.62B.0.38C.0.02D.0.68

6.同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，則出現(xiàn)兩個正面朝上的概率是（）A.

12B.

14C.

13D.

18

7.甲，乙兩人隨意入住兩間空房，則甲乙兩人各住一間房的概率是（）A.

13.B.

14C.

12D.無法確定

8.從五件正品，一件次品中隨機取出兩件，則取出的兩件產(chǎn)品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（）A.1B.

12C.

13D.

23

9.一個袋中裝有2個紅球和2個白球，現(xiàn)從袋中取出1球，然后放回袋中再取出

一球，則取出的兩個球同色的概率是（）A.

12B.

13C.

14D.

25

10.現(xiàn)有五個球分別記為A，C，J，K，S，隨機放進三個盒子，每個盒子只能

24

放

一個球，則K或S在盒中的概率是（）A.

110B.

35C.

310D.

910

11.設A,B為互斥事件,則A,B()

A.一定互斥,B.一定不互斥,C不一定互斥D.與A+B彼此互斥

12.如果A,B互斥,那么()

A,A+B是必然事件B.AB是必然事件C.A與B一定互斥D.

A與B一定不互斥234567891011121二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

11.某小組有三名女生，兩名男生，現(xiàn)從這個小組中任意選出一名組長，

則其中一名女生小麗當選為組長的概率是___________12.擲兩枚骰子，出現(xiàn)點數(shù)之和為3的概率是_____________

13.某班委會由4名男生與3名女生組成，現(xiàn)從中選出2人擔任正副班長，

其中至少有1名女生當選的概率是______________

14.我國西部一個地區(qū)的年降水量在下列區(qū)間內(nèi)的概率如下表所示：

年降水量/mm概率[100,150)0.21[150,200)0.16[200,250)0.13[250,300]0.12則年降水量在[200，300]（m,m）范圍內(nèi)的概率是___________

三、解答題（本大題共3小題，共30分，解答應寫出文字說明，證明過程

或演算步驟）15.（8分）如圖，在邊長為25cm的正方形中挖去邊長為23cm的兩個等腰直角

三角形，現(xiàn)有均勻的粒子散落在正方形中，

問粒子落在中間帶形區(qū)域的概率是多少？

16.（8分）10本不同的語文書，2本不同的數(shù)學書，從中任意取出2本，能取出

數(shù)學書的概率有多大？

17.（14分）甲盒中有紅，黑，白三種顏色的球各3個，乙盒子中有黃，黑，白，

三種顏色的球各2個，從兩個盒子中各取1個球（1）求取出的兩個球是不同顏色的概率.

（2）請設計一種隨機模擬的方法，來近似計算（1）中取出兩個球是不同

顏色的概率（寫出模擬的步驟）.

18.擲紅,藍兩顆骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù),求至少一顆骰子出現(xiàn)偶數(shù)點的概率.

26

19.先后擲兩個均勻正方體骰子(六個面分別標有點數(shù)1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面的點數(shù)分別為X,Y,則log2XY=1的概率為多少?

20.柜子里有4雙不同的鞋,隨機地取出4只,試求下列事件的概率.

(1)取出的鞋子都不成對;(2)取出的鞋恰好有兩只成對;(3)取出的鞋至少有兩只成對;(3)取出的鞋全部成對.

27

第三章概率例題解析

高考試題中每年都會出現(xiàn)概率試題大多數(shù)試題考查相互獨立事件、互斥事件、對立事件的概率，簡單隨機變量的分布列，以及隨機變量的數(shù)學期與方差，這部分綜合性較強，涉及排列、組合、二項式定理和概率，主要考查學生對知識的綜合運用。而知識點將是今后每年必考的內(nèi)容之一，也將是近幾年高考的一個新熱點。注意以下幾個方面：⑴概率是頻率的近似值，兩者是不同概念⑵等可能事件中概率P(A)mn，P(A)∈[0，1]

⑶互斥事件A，B中有一個發(fā)生的概率：加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)特例：BA時，P(A)P(A)1，即對立事件的概率和為1⑷相互獨立事件A，B同時發(fā)生的概率P(AB)=P(A)P(B)

⑸事件A在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率Pn(k)=CnP(1-P)，其中P為事件A在一

次試驗中發(fā)生的概率，此式為二項式[(1-P)+P]n展開的第k+1項

一、隨機事件的概率。

例題1、設有關(guān)于x的一元二次方程x2axb0．

1，2，3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上（Ⅰ）若a是從0，22kkn-k

述方程有實根的概率．

（Ⅱ）若a是從區(qū)間[0，3]任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率．解:

練習1、如圖，面積為S的正方形ABCD中有一個不規(guī)則的圖形M，可按下面方

DC28

MAB法估計M的面積：在正方形ABCD中隨機投擲n個點，若n個點中有m個點落入M中，則M的面積的估計值為

mnS，假設正方形ABCD的邊長為2，M的面積為1，并向正方

形ABCD中隨機投擲10000個點，以X表示落入M中的點的數(shù)目．（I）求X的均值EX；

（II）求用以上方法估計M的面積時，M的面積的估計值與實際值之差在區(qū)間(0.0，3內(nèi)的概率．)k附表：P(k)kCt0t100000.250.75t10000t

242525740.957025750.95902424P(k)0.04030.0423解:

二、互斥事件與相互獨立事件的概率。

例題2、如圖，用A、B、C三類不同的元件連接成兩個系統(tǒng)N1、N2，當元件A、B、C都正常

工作時，系統(tǒng)N1正常工作；當元件A正常工作且元件B、C至少有一個正常工作時，系統(tǒng)N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次為0.80,0.90,0.90，分別求系統(tǒng)N1，N2正常工作的概率P1、P2.

解:

練習2、某項選拔共有四輪考核，每輪設有一個問題，能正確回答問題者進入下一輪考核，否則

29

即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問題的概率分別為

1545、、

5325、

，且各輪問題能否正確回答互不影響.

（Ⅰ）求該選手進入第四輪才被淘汰的概率;（Ⅱ）求該選手至多進入第三輪考核的概率.（注：本小題結(jié)果可用分數(shù)表示）解:

練習3、設一射手平均每射擊10次中靶4次,求在5次射擊中:(1)恰擊中1次的概率;(2)第

二次擊中的概率;(3)恰擊中2次的概率;(4)第二、三兩次擊中的概率;(5)至少擊中1次的概率.

解:

三、求離散型隨機變量分布列、期望、方差。

例題3、已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個紅球和4個黑球．現(xiàn)從甲、乙兩個盒內(nèi)各任取2個球．（Ⅰ）求取出的4個球均為黑球的概率；（Ⅱ）求取出的4個球中恰有1個紅球的概率；

（Ⅲ）設為取出的4個球中紅球的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．解:

例題4、設b和c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù)，用隨機變量表示方程

xbxc0實根的個數(shù)（重根按一個計）．

2（Ⅰ）求方程xbxc0有實根的概率；（Ⅱ）求的分布列和數(shù)學期望；

（Ⅲ）求在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下，方程xbxc0有實根的概率．解:

30

練習4、袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為

17，現(xiàn)有甲、乙

兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時即終止，每個球在每一次被取出的機會是等可能的，用表示取球終止時所需要的取球次數(shù)。

（I）求袋中原有白球的個數(shù)；(Ⅱ)甲取到白球的概率。（III）求隨機變量的概率分布列及期望。解:

概率答案

高考試題中每年都會出現(xiàn)概率試題大多數(shù)試題考查相互獨立事件、互斥事件、對立事件的概率，簡單隨機變量的分布列，以及隨機變量的數(shù)學期與方差，這部分綜合性較強，涉及排列、組合、二項式定理和概率，主要考查學生對知識的綜合運用。而知識點將是今后每年必考的內(nèi)容之一，也將是近幾年高考的一個新熱點。注意以下幾個方面：⑴概率是頻率的近似值，兩者是不同概念⑵等可能事件中概率P(A)mn，P(A)∈[0，1]

⑶互斥事件A，B中有一個發(fā)生的概率：加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)特例：BA時，P(A)P(A)1，即對立事件的概率和為1⑷相互獨立事件A，B同時發(fā)生的概率P(AB)=P(A)P(B)

⑸事件A在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率Pn(k)=CnkPk(1-P)n-k，其中P為事件A在一

次試驗中發(fā)生的概率，此式為二項式[(1-P)+P]展開的第k+1項

一、隨機事件的概率。

31

n例題1、設有關(guān)于x的一元二次方程x22axb20．

（Ⅰ）若a是從0，1，2，3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率．

（Ⅱ）若a是從區(qū)間[0，3]任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率．

解:設事件A為“方程a22axb20有實根”．

當a0，b0時，方程x22axb20有實根的充要條件為a≥b．（Ⅰ）基本事件共12個：

(0，0)，(0，，1)(0，2)，，(10)，，，，(11)(12)，(2，0)，(2，，1)(2，2)，(3，0)，(3，，1)(3，2)．其中第一個數(shù)表示a的

取值，第二個數(shù)表示b的取值．事件A中包含9個基本事件，事件A發(fā)生的概率為

P(A)91234．

D（Ⅱ）試驗的全部結(jié)束所構(gòu)成的區(qū)域為(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2．構(gòu)成事件A的區(qū)域為(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b．

32122C

M所以所求的概率為23223．

AB

練習1、如圖，面積為S的正方形ABCD中有一個不規(guī)則的圖形M，可按下

面方法估計M的面積：在正方形ABCD中隨機投擲n個點，若n個點中有m個點落入M中，則M的面積的估計值為

mnS，假設正方形ABCD的邊長為2，M的面積為1，并向

正方形ABCD中隨機投擲10000個點，以X表示落入M中的點的數(shù)目．（I）求X的均值EX；

（II）求用以上方法估計M的面積時，M的面積的估計值與實際值之差在區(qū)間(0.0，3內(nèi)的概率．)k附表：P(k)kCt0t100000.250.75t10000t

242525740.957025750.959032

2424P(k)0.04030.04解:每個點落入M中的概率均為pEX10000142500．

14．依題意知

1X~B100，004．（Ⅰ）

（Ⅱ）依題意所求概率為P0.03410.0310000X，

C100000.250.75tt10000tXP0.03410.03P(2425X2575)10000257424252574t2426．

t2426Ct100000.250.75t10000tCt0t100000.250.75t1000010.95700.04230.9147二、互斥事件與相互獨立事件的概率。

例題2、如圖，用A、B、C三類不同的元件連接成兩個系統(tǒng)N1、N2，當元件A、B、C都正常

工作時，系統(tǒng)N1正常工作；當元件A正常工作且元件B、C至少有一個正常工作時，系統(tǒng)N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次為0.80,0.90,0.90，分別求系統(tǒng)N1，N2正常工作的概率P1、P2.

解:記元件A、B、C正常工作的事件分別為A、B、C，由已知條件P(A)=0.80,P(B)=0.90,P(C)=0.90.

(1)因為事件A、B、C是相互獨立的，所以，系統(tǒng)N1正常工作的概率

P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.648,故系統(tǒng)N1正常工作的概率為0.648

(2)系統(tǒng)N2正常工作的概率P2=P(A)［1－P(BC)］=P(A)［1－P(B)P(C)］=0.80×［1－(1－0.90)(1－0.90)］=0.792故系統(tǒng)N2正常工作的概率為0.792練習2、某項選拔共有四輪考核，每輪設有一個問題，能正確回答問題者進入下一輪考核，否則

即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問題的概率分別為

1545、、

5325、

，且各輪問題能否正確回答互不影響.

（Ⅰ）求該選手進入第四輪才被淘汰的概率;（Ⅱ）求該選手至多進入第三輪考核的概率.

（注：本小題結(jié)果可用分數(shù)表示）

2，3，4)，則P(A1)解:（Ⅰ）記“該選手能正確回答第i輪的問題”的事件為Ai(i1，

45，

P(A2)35，P(A3)25，P(A4)15，

該選手進入第四輪才被淘汰的概率

P4P(A1A2A3A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(P4)4535254596625．

（Ⅱ）該選手至多進入第三輪考核的概率

P3P(A1A1A2A1A2A3)P(A1)P(A1)P(A2)P(A1)P(A2)P(A3)

154525453535101125．

練習3、設一射手平均每射擊10次中靶4次,求在5次射擊中:(1)恰擊中1次的概率;(2)第二次擊中的概率;(3)恰擊中2次的概率;(4)第二、三兩次擊中的概率;(5)至少擊中1次的概率.

解:由題設,此射手射擊1次,中靶的概率為0.4,此射手射擊5次,是一獨立重復試驗,可用公式

Pn(k)CnP(1P)kknk14（1）由n5,k1,得P5(1)C5P(1P)0.2592

(2)事件“第二次擊中”表示第一、三、四、五次擊中或擊不中都可,它不同于“擊中一次”,也不同于“第二次擊中,其他各次都不中”,不能用獨立重復試驗的概率公式,其實,“第二次擊中”的概率,就是此射手“射擊一次擊中”的概率為0.4.（3）由n5,k2,得P5(2)C52P2(1P)30.3456

(4)“第二、三兩次擊中”表示第一次、第四次及第五次可中可不中,所以概率為0.4×0.4=0.16

(5)設“至少擊中一次”為事件B,則B包括“擊中一次”,“擊中兩次”,“擊中三次”,“擊中四次”,“擊中五次”,所以概率為

P(B)P5(1)P5(2)P5(3)P5(4)P5(5)0.25920.34560.23040.07680.010240.92224

事件B是用“至少”表述的,可以考慮它的對立事件.B的對立事件是“一次也沒有擊中”,所以B事件的概率可以這樣計算:

05P(B)1P(B)1P5(0)1C5(10.4)0.92224

三、求離散型隨機變量分布列、期望、方差。

34

例題3、已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個紅球和4個黑球．現(xiàn)從甲、乙兩個盒內(nèi)各任取2個球．（Ⅰ）求取出的4個球均為黑球的概率；（Ⅱ）求取出的4個球中恰有1個紅球的概率；

（Ⅲ）設為取出的4個球中紅球的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．

解:（Ⅰ）設“從甲盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件A，“從乙盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件B．由于事件A，B相互獨立，且P(A)C3C2241212，P(B)2515C4C22625．

故取出的4個球均為黑球的概率為P(AB)P(A)P(B)．

（Ⅱ）設“從甲盒內(nèi)取出的2個球均為黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球”為事件C，“從甲盒內(nèi)取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件D．由于事件C，D互斥，且

CC41P(D)3225C4C612CCC4P(C)3222415C4C6211，

．

41515715故取出的4個球中恰有1個紅球的概率為P(CD)P(C)P(D)1，2，3．由（Ⅰ）（Ⅲ）解：可能的取值為0，，（Ⅱ）得P(0)1．

71515，P(1)，

C113P(3)3P(2)1P(0)P(1)P(3)．從而．2210C4C630的分布列為

P01571513107152130310763130的數(shù)學期望E015123．

例題4、設b和c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù)，用隨機變量表示方程

xbxc0實根的個數(shù)（重根按一個計）．

2（Ⅰ）求方程xbxc0有實根的概率；（Ⅱ）求的分布列和數(shù)學期望；（Ⅲ）求在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下，方程xbxc0有實根的概率．

35

解:（I）基本事件總數(shù)為6636，

若使方程有實根，則b24c0，即b2c。

當c1時，b2,3,4,5,6；當c2時，b3,4,5,6；當c3時，b4,5,6；當c4時，b4,5,6；當c5時，b5,6；當c6時，b5,6,目標事件個數(shù)為54332219,因此方程x2bxc0有實根的概率為

1936.

1736(II)由題意知，0,1,2，則P(0)故的分布列為

，P(1)236118,P(2)1736，

0

17361

173611181182

1736P

17361.

的數(shù)學期望E02(III)記“先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5”為事件M，“方程ax2bxc0有實根”為事件N，則P(M)1136，P(MN)736，P(NM)P(MN)P(M)711.

17練習4、袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為，現(xiàn)有甲、乙

兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時即終止，每個球在每一次被取出的機會是等可能的，用表示取球終止時所需要的取球次數(shù)。

（I）求袋中原有白球的個數(shù)；(Ⅱ)甲取到白球的概率。（III）求隨機變量的概率分布列及期望。

解:（1）設袋中原有n個白球，由題意可得

17CnC722n(n1)76n3

376351352235（2）因為甲先取，甲只能在第1次，3次，5次取到白球P(A)（3）1,2,3,4,5

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37

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