高中數(shù)學(xué)必修5__第一章_解三角形復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與練習(xí)

高中數(shù)學(xué)必修5第一章解三角形復(fù)習(xí)

一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

【正弦定理】

1．正弦定理:

asinAbsinBcsinC2R(R為三角形外接圓的半徑).

2.正弦定理的一些變式：

iabcsinAsinBsinC；iisinAa2R,sinBb2R,sinCc2R；2R

iiia2RsinA,b2RsinB,b2RsinC；（4）

3．兩類正弦定理解三角形的問(wèn)題：

（1）已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.

abcsinAsinBsinC（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他邊角.（可能有一解，兩解，無(wú)解）4.在ABC中，已知a,b及A時(shí)，解得情況：解法一：利用正弦定理計(jì)算解法二：圖形一解兩解一解一解無(wú)解A為銳角A為鈍角或直角關(guān)系式解的個(gè)數(shù)【余弦定理】

a2b2c22bccosA2221．余弦定理：bac2accosB

222cba2bacosC222bcacosA2bc222acb.cosB2ac222baccosC2ab2.推論：

設(shè)a、b、c是C的角、、C的對(duì)邊，則：①若abc，則C90；②若abc，則C90；③若abc，則C90．

3.兩類余弦定理解三角形的問(wèn)題：（1）已知三邊求三角.

（2）已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角.

1

2222222

【面積公式】

已知三角形的三邊為a,b,c,

1.S1aha1absinC1r(abc)（其中r為三角形內(nèi)切圓半徑）

2222.設(shè)p12(abc),Sp(pa)(pb)(pc)(海倫公式)

【三角形中的常見結(jié)論】

（1）ABC(2)sin(AB)sinC,cos(AB)cosC,tan(AB)tanC,

AB2C2AB2C2sincos,cossin;sin2A2sinAcosA,

（3）若ABCabcsinAsinBsinC若sinAsinBsinCabcABC（大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角）

（4）三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊（5）三角形中最大角大于等于60，最小角小于等于60

(6)銳角三角形三內(nèi)角都是銳角三內(nèi)角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.

鈍角三角形最大角是鈍角最大角的余弦值為負(fù)值（7）ABC中，A,B,C成等差數(shù)列的充要條件是B60.

(8)ABC為正三角形的充要條件是A,B,C成等差數(shù)列，且a,b,c成等比數(shù)列.二、題型匯總

題型1【判定三角形形狀】

判斷三角形的類型

（1）利用三角形的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀:判定三角形形狀時(shí)，可利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式.

abcA是直角ABC是直角三角形222（2）在ABC中，由余弦定理可知:abcA是鈍角ABC是鈍角三角形

222abcA是銳角ABC是銳角三角形222（注意：A是銳角ABC是銳角三角形）

(3)若sin2Asin2B，則A=B或AB2.

例1.在ABC中，c2bcosA，且(abc)(abc)3ab，試判斷ABC形狀.

題型2【解三角形及求面積】

一般地，把三角形的三個(gè)角A,B,C和它們的對(duì)邊a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形.

例2.在ABC中，a1，b

例3.在ABC中，內(nèi)角A,B,C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a,b,c，已知c2，C3，A300，求的值

3．

（Ⅰ）若ABC的面積等于3，求a,b；

（Ⅱ）若sinCsin(BA)2sin2A，求ABC的面積．

題型3【證明等式成立】

證明等式成立的方法：（1）左右，（2）右左，（3）左右互相推.

例4.已知ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，求證：abcosCccosB.

題型4【解三角形在實(shí)際中的應(yīng)用】

仰角俯角方向角方位角視角

例5．如圖所示，貨輪在海上以40km/h的速度沿著方位角（從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平轉(zhuǎn)角）為140°的方向航行，為了確定船位，船在B點(diǎn)觀測(cè)燈塔A的方位角為110°，航行半小時(shí)到達(dá)C點(diǎn)觀測(cè)燈塔A的方位角是65°，則貨輪到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，與燈塔A的距離是多少？

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高中數(shù)學(xué)必修五第一章解三角形知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)及經(jīng)典練習(xí)

一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

abc2R或變形：a:b:csinA:sinB:sinC.1．正弦定理:

sinAsinBsinC推論：①定理：若α、β＞0，且α+β＜，則α≤βsinsin，等號(hào)當(dāng)且當(dāng)α=β時(shí)成立。

②判斷三角解時(shí)，可以利用如下原理：sinA＞sinBA＞Ba＞bcosAcosBAB（ycosx在(0,)上單調(diào)遞減）

b2c2a2cosA2bca2b2c22bccosA

2a2c2b2222．余弦定理：bac2accosB或cosB.

2acc2b2a22bacosC

b2a2c2

cosC

2ab

3．（1）兩類正弦定理解三角形的問(wèn)題：1、已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.

2、已知兩角和其中一邊的對(duì)角，求其他邊角.（2）兩類余弦定理解三角形的問(wèn)題：1、已知三邊求三角.

2、已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角.4．判定三角形形狀時(shí)，可利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式.5．三角形中的基本關(guān)系：sin(AB)sinC,cos(AB)cosC,tan(AB)tanC,sin已知條件一邊和兩角（如a、B、C）ABCABCABCcos,cossin,tancot222222一般解法由A+B+C=180，求角A，由正弦定理求出b與c，在有解時(shí)有一解。定理應(yīng)用正弦定理兩邊和夾角(如a、b、c)余弦定理由余弦定理求第三邊c，由正弦定理求出小邊所對(duì)的角，再由A+B+C=180求出另一角，在有解時(shí)有一解。三邊(如a、b、c)余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180，求出角C在有解時(shí)只有一解。

解三角形[基礎(chǔ)訓(xùn)練A組]

一、選擇題

1．在△ABC中，若C900,a6,B300，則cb等于（）A．1B．1C．23D．23

2．若A為△ABC的內(nèi)角，則下列函數(shù)中一定取正值的是（）A．sinAB．cosAC．tanAD．

1tanA3．在△ABC中，角A,B均為銳角，且cosAsinB,則△ABC的形狀是（）A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，這條高與底邊的夾角為60，則底邊長(zhǎng)為（）A．2B．

03C．3D．2325．在△ABC中，若b2asinB，則A等于（）

A．30或60B．45或60C．120或60D．30或1506．邊長(zhǎng)為5,7,8的三角形的最大角與最小角的和是（）A．90B．120C．135D．150

000000000000二、填空題

01．在Rt△ABC中，C90，則sinAsinB的最大值是_______________。

2．在△ABC中，若abbcc,則A_________。3．在△ABC中，若b2,B30,C135,則a_________。

4．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，則C_____________。5．在△ABC中，AB0022262,C300，則ACBC的最大值是________。

三、解答題

1．在△ABC中，若acosAbcosBccosC,則△ABC的形狀是什么？

abcosBcosAc()baba3．在銳角△ABC中，求證：sinAsinBsinCcosAcosBcosC。

2．在△ABC中，求證：

4．在△ABC中，設(shè)ac2b,AC3,求sinB的值。

解三角形[綜合訓(xùn)練B組]一、選擇題

1．在△ABC中，A:B:C1:2:3，則a:b:c等于（）A．1:2:3B．3:2:1C．1:3:2D．2:3:1

2．在△ABC中，若角B為鈍角，則sinBsinA的值（）A大于零B小于零C等于零D不能確定3．在△ABC中，若A2B，則a等于（）A．2bsinAB．2bcosAC．2bsinBD．2bcosB4．在△ABC中，若lgsinAlgcosBlgsinClg2，則△ABC的形狀是（）A．直角三角形B．等邊三角形C．不能確定D．等腰三角形

5．在△ABC中，若(abc)(bca)3bc,則A()A．90B．60C．135D．1506．在△ABC中，若a7,b8,cosC0000131111，則最大角的余弦是（）A．B．C．D．1457．在△ABC中，若tanABa2bab，則△ABC的形狀是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形二、填空題

1．若在△ABC中，A600,b1,SABC3,則

abcsinAsinBsinC=_______。

2．若A,B是銳角三角形的兩內(nèi)角，則tanAtanB_____1（填>或ab等于（）cABABABABA．2cosB．2cosC．2sinD．2sin

22222．在△ABC中，若C900,則三邊的比

3．在△ABC中，若a7,b3,c8，則其面積等于（）A．12B．

21C．28D．63204．在△ABC中，C90，0A45，則下列各式中正確的是（）

00A．sinAcosAB．sinBcosAC．sinAcosBD．sinBcosB

5．在△ABC中，若(ac)(ac)b(bc)，則A（）A．90B．60C．120D．150

0000tanAa22，則△ABC的形狀是（）6．在△ABC中，若

tanBbA．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能確定D．等腰三角形

二、填空題

1．在△ABC中，若sinAsinB,則A一定大于B，對(duì)嗎？填_________（對(duì)或錯(cuò)）2．在△ABC中，若cosAcosBcosC1,則△ABC的形狀是______________。3．在△ABC中，∠C是鈍角，設(shè)xsinC,ysinAsinB,zcosAcosB,則x,y,z的大小關(guān)系是___________________________。4．在△ABC中，若ac2b，則cosAcosCcosAcosC2221sinAsinC______。35．在△ABC中，若2lgtanBlgtanAlgtanC,則B的取值范圍是_______________。6．在△ABC中，若bac，則cos(AC)cosBcos2B的值是_________。

2三、解答題

1．在△ABC中，若(ab)sin(AB)(ab)sin(AB)，請(qǐng)判斷三角形的形狀。

2．如果△ABC內(nèi)接于半徑為R的圓，且2R(sin2Asin2C)(2ab)sinB,

求△ABC的面積的最大值。

22223．已知△ABC的三邊abc且ac2b,AC

2，求a:b:c

4．在△ABC中，若(abc)(abc)3ac，且tanAtanC33，AB邊上的高為43，求角A,B,C的

大小與邊a,b,c的長(zhǎng)

[基礎(chǔ)訓(xùn)練A組]

一、選擇題

b001.Ctan30,batan3023,c2b44,cb23a2.A0A,sinA03.CcosAsin(4.D作出圖形

5.Db2asinB,sinB2sinAsinB,sinA2A)sinB,2A,B都是銳角，則

2AB,AB2,C2

1,A300或150025282721,600,18006001200為所求6.B設(shè)中間角為，則cos2582二、填空題

1111.sinAsinBsinAcosAsin2A222b2c2a21AA,10202.120cos2bc203.62A15,0abbsinA62,a4sinA4sin1504sinAsinBsinB404.120a∶b∶csinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，

a2b2c21,C1200令a7k,b8k,c13kcosC2ab2ACBCABACBCAB,,ACBCsinBsinAsinCsinBsinAsinCABAB2(62)(sinAsinB)4(62)sincos

22AB4cos4,(ACBC)max4

2三、解答題

5.4

1.解：acosAbcosBccosC,sinAcosAsinBcosBsinCcosC

sin2Asin2Bsin2C,2sin(AB)cos(AB)2sinCcosCcos(AB)cos(AB),2cosAcosB0cosA0或cosB0，得A所以△ABC是直角三角形。

2或B2

a2c2b2b2c2a22.證明：將cosB，cosA代入右邊

2ac2bc

a2c2b2b2c2a22a22b2)得右邊c(

2abc2abc2aba2b2ab左邊，

abba∴

abcosBcosAc()baba3．證明：∵△ABC是銳角三角形，∴AB∴sinAsin(2,即

2A2B0

B)，即sinAcosB；同理sinBcosC；sinCcosA

2∴sinAsinBsinCcosAcosBcosC

ACACBBcos4sincos，4.解：∵ac2b,∴sinAsinC2sinB，即2sin2222∴sinBB1AC3B13，而0,∴cos，cos22222424∴sinB2sinBB31339cos222448[綜合訓(xùn)練B組]

一、選擇題

1.CA6,B3,C2,a:b:csinA:sinB:sinC132::1:3:22222.AAB,AB，且A,B都是銳角，sinAsin(B)sinB3.DsinAsin2B2sinBcosB,a2bcosB4.DlgsinAsinAlg2,2,sinA2cosBsinC

cosBsinCcosBsinCsin(BC)2cosBsinC,sinBcosCcosBsinC0,sin(BC)0,BC，等腰三角形

5.B(abc)(bca)3bc,(bc)a3bc,

22b2c2a21sA,bca3bc,coA2bc22220606.Ccab2abcosC9,c3，B為最大角，cosB22217ABABsinABabsinAsinB22，7.Dtan2absinAsinB2sinABcosAB222cos

ABAB2,tanAB0，或tanAB1tanAB222tan2所以AB或AB

2tan二、填空題

1.

113239SABCbcsinAc22233c,a42,a13,13

abca13239sinAsinBsinCsinA332sin(B)22.AB,AB，即tanAtan(B)

222cos(B)2cosB11,tanAtanB1，tanAsinBtanBtanBsinBsiCnBtaCn3.2tan

cosBcoCssinBcosCcosBsinCsin(BC)2sinA1cosBcosCsinAsinA24.銳角三角形C為最大角，cosC0,C為銳角

8433bca311045.60cosA2bc6222(31)22222222a2b2c6．(5,13)a2c2bc2b2a13c2222,4c9,5c13,5c1322c942三、解答題

1.解：SABC21bcsinA3,bc4,22abc2bcosA,b所以b1,c4

2c，而5cb

2.證明：∵△ABC是銳角三角形，∴AB∴sinAsin(

2,即

2A2B0

2B)，即sinAcosB；同理sinBcosC；sinCcosA

∴sinAsinBsinCcosAcosBcosC,∴tanAtanBtanC1

3.證明：∵sinAsinBsinC2sin

sinAsinBsinC1

cosAcosBcosCABABcossin(AB)22ABABABAB2sincos2sincos

2222ABABAB2sin(coscos)

222CAB2cos2coscos

222ABC4coscoscos

222ABC∴sinAsinBsinC4coscoscos

222aba2acb2bc1，只要證1，4．證明：要證2bcacabbcacc即abcab

而∵AB120,∴C60

00222a2b2c22cosC,ab2c22abcos600ab

2ab∴原式成立。

CA3bccos22221cosC1cosA3sinBsinC∴sinA222即sinAsinAcosCsinCsinCcosA3sinB

5．證明：∵acos2∴sinAsinCsin(AC)3sinB

即sinAsinC2sinB，∴ac2b

[提高訓(xùn)練C組]

一、選擇題

1.CsinAcosA2sin(A),

4而0A,2.B

4A452sin(A)1424absinAsinBsinAsinBcsinCABABABcos2cos2sin2221103.DcosA,A60,SABCbcsinA6322

4.DAB90則sinAcosB,sinBcosA，00A450,sinAcosA，450B900,sinBcosB5.Cacbbc,bcabc,cosA22222201,A1201*sinAcosBsin2AcosBsinA,,sinAcosAsinBcosB6.B

cosAsinBsin2BcosAsinBsinA2sinB2A,2或B2A2B2

二、填空題

1.對(duì)sinAsinB,則2.直角三角形

ababAB2R2R)1,1(1cosA21coBs2)2cAosB(21(cos2Acos2B)cos2(AB)0,2cos(AB)cos(AB)cos2(AB)0

cosAcosBcosC0

3.xyzAB2,A2B,siAncBosB,sinAycosz,cab,sinCsinAsinB,xy,xyz

ACACACAC,2sincos4sincos2222ACACACACcos2cos,coscos3sinsin

2222221C2Asin2則sinAsinC4sin3221cosAcosCcosAcosCsinAsinC

3AC(1cosA)(1cosC)14sin2sin2

22ACAC2sin22sin24sin2sin211

2222tanAtanC25.[,)tanBtanAtanC,tanBtan(AC)

32tanAtanC1tanAtanCtanBtan(AC)2tanB1AsiCn4．1sin2sBintan3BtanBtanAtanC2tanAtanC2tanB

tan3B3tanB,tanB0tanB3B3

22(C)cosBco2sB6．1bac,sinBsinAsinC,cosAcosAcosCsinAsinCcosB12sin2B

cosAcosCsinAsinCcosB12sinAsinCcosAcosCsinAsinCcosB1

cos(AC)cosB11

三、解答題

a2b2sin(AB)a2sinAcosBsin2A1.解：2,222absin(AB)bcosAsinBsinB

cosBsiAn,sinA2cosAsiBn∴等腰或直角三角形

siBn2A,2B或22AB2

2.解：2RsinAsinA2RsinCsinC(2ab)sinB,

asinAcsinC(2ab)sinB,a2c22abb2,

a2b2c22abc2ab,cosC,C4502ab2222

c2R,c2RsinC2R,a2b22R22ab,sinC2R22R2abab2ab,ab222221222R2SabsinCab,Smax24422另法：S212R2122absinCab2RsinA2RsinB24422RsinA2RsinB2R2sinAsinB412R2[cos(AB)cos(AB)]

2122R2[cos(AB)]222R22(1)22Smax212R此時(shí)AB取得等號(hào)2ACACACACcos4sincos22223.解：sinAsinC2sinB,2sinsinB1AC2B14BB7cos,cos,sinB2sincos222424224AC2,ACB,A3BB,C4242sinAsin(33371B)sincosBcossinB4444sinCsin(B)sincosBcossinB444714a:b:csinA:sinB:sinC(77):7:(77)

4.解：(abc)(abc)3ac,acbac,cosB2221,B6002tan(AC)tanAtanC33,3,

1tanAtanC1tanAtanCtanAtanC23，聯(lián)合tanAtanC33

00tanA23tanA1A75A45或或得，即00tanC1C45C75tanC23當(dāng)A750,C450時(shí)，b434(326),c8(31),a8sinA4346,c4(31),a8sinA當(dāng)A450,C750時(shí)，b000∴當(dāng)A75,B60,C45時(shí)，a8,b4(326),c8(31),當(dāng)A45,B60,C75時(shí)，a8,b46,c4(31)。

000

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