初三圓知識(shí)點(diǎn)匯總

第五章圓知識(shí)要點(diǎn)解析

知識(shí)點(diǎn)1圓的有關(guān)概念

（1）圓心和半徑：圓心確定位置，半徑確定大小。等圓或同圓的半徑都相等。（2）（3）（4）（5）

弦：圓上任意兩點(diǎn)之間的線(xiàn)段。直徑是圓中最長(zhǎng)的弦。

�。簣A上任意兩點(diǎn)之間的部分。完全重合的弧叫做等�。◤�(qiáng)調(diào)度數(shù)相等且長(zhǎng)度相等）三角形的外心是三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，它到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。經(jīng)過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)唯一確定一個(gè)圓。

【常作輔助線(xiàn)1】連接圓心和圓上的點(diǎn)，形成半徑。

⌒上，且

1．（201*玉林市、防城港市）如圖1，四邊形PAOB是扇形OMN的內(nèi)接矩形，頂點(diǎn)P在MN

⌒上移動(dòng)時(shí)，矩形PAOB的形狀、大小隨之變化，則不與M，N重合，當(dāng)P點(diǎn)在MNAB的長(zhǎng)度（）

Ａ．變大

Ｂ．變小

Ｃ．不變Ｄ．不能確定

ＮＰＢCD

BA

EABOOＯＭＡ

D圖1圖2C

圖32．（201*江蘇揚(yáng)州）如圖2，AB為⊙O直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，則∠AOD＝__________．

3．如圖AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB與CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E，且AB＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度數(shù)。

知識(shí)點(diǎn)2圓的有關(guān)性質(zhì)

（1）圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形，也是軸對(duì)稱(chēng)圖形。

(2)弧、弦、圓心角的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦中，有一組量相等，那么它們所對(duì)的其余各組量都分別相等。

(3)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，也平分弦所對(duì)的優(yōu)弧和劣弧。

(4)圓周角的性質(zhì)：①同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于它所對(duì)的圓心角的一半

②直徑所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

【解題方法1】半徑、弦長(zhǎng)、弓高、圓心到弦的距離這四個(gè)量的關(guān)系是只要知道其中的兩個(gè)就能求出另兩個(gè)。

【解題方法2】當(dāng)弦長(zhǎng)=R時(shí)，弦所對(duì)的圓心角=60°,當(dāng)弦長(zhǎng)=2R時(shí)，弦所對(duì)的圓心角=90°當(dāng)弦長(zhǎng)=3R時(shí)，弦所對(duì)的圓心角=120°，一條弦所對(duì)的圓周角中，同側(cè)相等，異側(cè)互補(bǔ)。

用心愛(ài)心專(zhuān)心

【圓周角定理1的理解】①同弧所對(duì)的圓周角相等；②等弧所對(duì)的圓心角相等；③圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧所對(duì)圓心角的一半；④圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧度數(shù)的一半；

【常作輔助線(xiàn)2】過(guò)圓心向弦作垂線(xiàn)，形成垂徑定理的條件，構(gòu)造直角三角形應(yīng)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算�！境Ｗ鬏o助線(xiàn)3】利用直徑，構(gòu)造直角。

4.（201*白銀）高速公路的隧道和橋梁最多．如圖3是一個(gè)隧道的橫截面，若它的形狀是以O(shè)為圓心的圓的一部分，路面AB=10米，凈高CD=7米，則此圓的半徑OA=（）

A．5B．7C．D．

57CC3737A

ＯOD圖4

BＡAODB

Ｂ圖5圖6圖7

圖8

5.（201*連云港）如圖5，將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心O，則折痕AB的長(zhǎng)為

（）

A．2cm

B．3cm

C．23cm

D．25cm

6.已知⊙O的半徑為R，弦AB的長(zhǎng)也是R，則∠AOB的度數(shù)是________．

7.（201*黃石）如圖6，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，BAC50，則ADC．8.（201*湖北黃石）如圖7，⊙O中，OA⊥BC,∠AOB＝60°,則∠ADC＝.⌒

9.（201*黃岡）如圖8，⊙O中，MAN的度數(shù)為320°，則圓周角∠MAN＝___________

10.如圖9，在△ABC中，AD⊥BC于D，以AE為直徑畫(huà)圓，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，求證：∠BAE=∠CAD

11．(201*年溫州)如圖10，已知正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為8，⊙0的半徑為2，圓心在正方形的中心上，將紙片按圖示方式折疊，使EA′恰好與⊙0相切于點(diǎn)A′(△EFA′與⊙0除切點(diǎn)外無(wú)重疊部分)，延長(zhǎng)FA′交CD邊于點(diǎn)G，則A′G的長(zhǎng)是

知識(shí)點(diǎn)3與圓有關(guān)的位置關(guān)系

（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：圓的半徑為r,點(diǎn)到圓心的距離為d①點(diǎn)在圓內(nèi)dr②點(diǎn)在圓上內(nèi)dr③點(diǎn)在圓外dr（2）直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系圓的半徑為r,直線(xiàn)到圓的距離為d

①直線(xiàn)與圓相交點(diǎn)在圓內(nèi)dr②直線(xiàn)與圓相切點(diǎn)在圓內(nèi)dr③直線(xiàn)與圓相離點(diǎn)在圓內(nèi)

用心愛(ài)心專(zhuān)心

2

HM圖9

圖

dr

（1）圓與圓的位置關(guān)系①兩圓外離dRr②兩圓外切dRr③兩圓相交

RrdRr④兩圓內(nèi)切dRr⑤兩圓內(nèi)含0dRr

（2）切線(xiàn)的性質(zhì)：圓的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。

（3）切線(xiàn)的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端點(diǎn)且垂直于該半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)。（4）切線(xiàn)長(zhǎng)定義：從圓外一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，該點(diǎn)到切點(diǎn)的距離叫切線(xiàn)長(zhǎng)。

（5）切線(xiàn)長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)作出圓的兩條切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(zhǎng)相等，且該點(diǎn)到圓心的連線(xiàn)平分兩切線(xiàn)的夾角。

（6）三角形的內(nèi)心：是三個(gè)角的平分線(xiàn)的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等。

【解題方法3】證切線(xiàn)的兩種方法：①當(dāng)直線(xiàn)與圓有交點(diǎn)字母時(shí)，連接，證垂直②當(dāng)直線(xiàn)與圓無(wú)交點(diǎn)字母時(shí)，作垂直，證dr

【解題方法4】求線(xiàn)段的長(zhǎng)：把要求的線(xiàn)段放進(jìn)一個(gè)已知一邊長(zhǎng)的△中，再找一個(gè)已知三邊長(zhǎng)的△，證相似，運(yùn)用比例線(xiàn)段計(jì)算。

【常作輔助線(xiàn)4】連接圓心和切點(diǎn)得垂直。

【常作輔助線(xiàn)5】當(dāng)直徑垂直于圓內(nèi)一條不是弦的線(xiàn)段時(shí)，延長(zhǎng)該線(xiàn)段與圓相交，形成直徑垂直于弦�！境Ｗ鬏o助線(xiàn)6】遇三角形的內(nèi)心時(shí)，連接內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn)，形成角平分線(xiàn)。

12．（201*邵陽(yáng)市）已知⊙O的半徑為3cm，點(diǎn)P是直線(xiàn)l上一點(diǎn)，OP長(zhǎng)為5cm，則直線(xiàn)l與⊙O的位置關(guān)系為（）

DA.相交B.相切C.相離D.相交、相切、相離都有可能13．（201*山東淄博）如圖11，D是半徑為R的⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線(xiàn)交直徑AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)C，下列四個(gè)條件：①AD＝CD；②∠A＝30°；③∠ADC＝120°；④DC＝3R．其中,使得BC＝R的有（）

A．①②B。①③④C。②③④D。①②③④14．（201*仙桃）如圖12，AB為⊙O的直徑，D是⊙O上的一點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作AB的垂線(xiàn)交AD于點(diǎn)E，交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)C，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，且FD＝FE．(1)請(qǐng)?zhí)骄縁D與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若⊙O的半徑為2，BD＝3，求BC的長(zhǎng)．

AAOBC

圖C11FDEO

B

圖12

15．如圖13，P是∠BAC的平分線(xiàn)上一點(diǎn)，PD⊥AC，垂足為D.AB與以P為圓心、PD為半徑的圓相切嗎？為什么？

16．已知如圖14，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是⊙O的直徑，CE⊥AD，點(diǎn)E為垂足，CE的延長(zhǎng)線(xiàn)交AB于點(diǎn)F。求證：ACABAF

A2BPCAD圖13

OFBEDC

用心愛(ài)心專(zhuān)心

3

圖

17．如圖15，△ABC中，I為內(nèi)心，AI交邊BC于點(diǎn)D，交△ABC的外接圓于點(diǎn)E，連結(jié)BE，試說(shuō)明：BE=EC=IE。

AIBDC18．（201*湖南長(zhǎng)沙）已知⊙O1、⊙O2的半徑分別是r12、r24，若兩圓相交，則圓心距O1O2可E圖15

能取的值是（）．

A、2B、4C、6D、8知識(shí)點(diǎn)4圓中的計(jì)算

nR（1）弧長(zhǎng)公式：l

180（2）扇形面積：SnR3602或S12lR

（3）圓錐的側(cè)面積：S側(cè)rl（ｒ指底面圓的半徑，l指母線(xiàn)長(zhǎng)）

【解題方法5】在扇形中，弧長(zhǎng)、半徑、圓心角、面積四個(gè)量中只要已知兩個(gè)量就能求出其余兩個(gè)。【解題方法6】在圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖中，底面圓周長(zhǎng)等于扇形弧長(zhǎng)。

19．（201*宿遷市）如圖16，在紙上剪下一個(gè)圓形和一個(gè)扇形的紙片，使之恰好能?chē)�成一個(gè)圓錐模型．若

圓的半徑為r，扇形的半徑為R，扇形的圓心角等于120°，則r與R之間的關(guān)系是

（）A．R＝2r

B．R＝3rC．R＝3r

D．R＝4r

20．一個(gè)扇形的圓心角為90°．半徑為2，則這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)為_(kāi)_____．(結(jié)果保留)21.（201*浙江寧波）如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，弦DF與半徑OB相交于點(diǎn)P，連結(jié)EF、EO，若DE=23，∠DPA=45°.(1)求⊙O的半徑；

(2)求圖中陰影部分的面積.

AD圖16

COPBFE圖17

用心愛(ài)心專(zhuān)心

擴(kuò)展閱讀：初三《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)201*.11.4

《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

一、圓的概念

集合形式的概念：1、圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念：

1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓；

（補(bǔ)充）2、垂直平分線(xiàn)：到線(xiàn)段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)（也叫

中垂線(xiàn)）；

3、角的平分線(xiàn)：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線(xiàn)；

4、到直線(xiàn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線(xiàn)且到這條直線(xiàn)的距離等于定長(zhǎng)的兩條直線(xiàn)；

5、到兩條平行線(xiàn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線(xiàn)且到兩條直線(xiàn)距離都相等的一條直線(xiàn)。

二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

1、點(diǎn)在圓內(nèi)dr點(diǎn)C在圓內(nèi)；2、點(diǎn)在圓上dr點(diǎn)B在圓上；3、點(diǎn)在圓外dr點(diǎn)A在圓外；

三、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系

1、直線(xiàn)與圓相離dr無(wú)交點(diǎn)；2、直線(xiàn)與圓相切dr有一個(gè)交點(diǎn)；3、直線(xiàn)與圓相交dr有兩個(gè)交點(diǎn)；

ArBdCdOrdd=rrd

《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

四、圓與圓的位置關(guān)系

外離（圖1）無(wú)交點(diǎn)dRr；外切（圖2）有一個(gè)交點(diǎn)dRr；相交（圖3）有兩個(gè)交點(diǎn)RrdRr；內(nèi)切（圖4）有一個(gè)交點(diǎn)dRr；內(nèi)含（圖5）無(wú)交點(diǎn)dRr；

dR圖1rRdr圖2dR圖3r

d

五、垂徑定理

圖4RrdrR圖5垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。

推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條��；（2）弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；

（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧以上共4個(gè)定理，簡(jiǎn)稱(chēng)2推3定理：此定理中共5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論，即：

①AB是直徑②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CD∴弧AC弧BD

COABCBADOED《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

六、圓心角定理

圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧相等，弦心距相等。此定理也稱(chēng)1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論中，

只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論，即：①AOBDOE；②ABDE；

③OCOF；④弧BA弧BD

七、圓周角定理

1、圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。即：∵AOB和ACB是弧AB所對(duì)的圓心角和圓周角∴AOB2ACB2、圓周角定理的推論：

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧是等�。�

即：在⊙O中，∵C、D都是所對(duì)的圓周角∴CD

推論2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓，所對(duì)的弦是直徑。

即：在⊙O中，∵AB是直徑或∵C90∴C90∴AB是直徑

推論3：若三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

即：在△ABC中，∵OCOAOB

∴△ABC是直角三角形或C90

注：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半的逆定理。

BOACAODCEFBCBOADCBOACBOA《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

八、圓內(nèi)接四邊形

圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。即：在⊙O中，

CD∵四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形

∴CBAD180BD180DAEC

九、切線(xiàn)的性質(zhì)與判定定理

（1）切線(xiàn)的判定定理：過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線(xiàn)是切線(xiàn)；兩個(gè)條件：過(guò)半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：∵M(jìn)NOA且MN過(guò)半徑OA外端∴MN是⊙O的切線(xiàn)

OBAE（2）性質(zhì)定理：切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑（如上圖）推論1：過(guò)圓心垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必過(guò)切點(diǎn)。推論2：過(guò)切點(diǎn)垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必過(guò)圓心。以上三個(gè)定理及推論也稱(chēng)二推一定理：

即：①過(guò)圓心；②過(guò)切點(diǎn)；③垂直切線(xiàn)，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。

十、切線(xiàn)長(zhǎng)定理切線(xiàn)長(zhǎng)定理：

從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(zhǎng)相等，這點(diǎn)和圓心的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角。

BMAN即：∵PA、PB是的兩條切線(xiàn)∴PAPB

POPO平分BPA

A《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

十一、圓冪定理

（1）相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線(xiàn)段的乘積相等。即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于點(diǎn)P，∴PAPBPCPD

（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線(xiàn)段的比例中項(xiàng)。

即：在⊙O中，∵直徑ABCD，∴CE2AEBE

（3）切割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)和割線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線(xiàn)與圓交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。即：在⊙O中，∵PA是切線(xiàn)，PB是割線(xiàn)∴PAPCPB

（4）割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線(xiàn)，這一點(diǎn)到每條割線(xiàn)與圓的交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等（如上圖）。

即：在⊙O中，∵PB、PE是割線(xiàn)∴PCPBPDPE

十二、兩圓公共弦定理

圓公共弦定理：兩圓圓心的連線(xiàn)垂直并且平分這兩個(gè)圓的公共弦。

如圖：O1O2垂直平分AB。

即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)∴O1O2垂直平分AB十三、圓的公切線(xiàn)

兩圓公切線(xiàn)長(zhǎng)的計(jì)算公式：

（1）公切線(xiàn)長(zhǎng)：RtO1O2C中，AB2CO12O1O22CO22；

CO22BOPCADCBOEDAADPCOBEAO1BO2的

ABO1《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

（2）外公切線(xiàn)長(zhǎng)：CO2是半徑之差；內(nèi)公切線(xiàn)長(zhǎng)：CO2是半徑之和。十四、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算（1）正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形，有關(guān)計(jì)算在RtBOD中進(jìn)行：

OD:BD:OB1:3:2；

BOACD

（2）正四邊形

同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在RtOAE中進(jìn)行，OE:AE:OA1:1:2：

（3）正六邊形

同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在RtOAB中進(jìn)行，AB:OB:OA1:3:2.

BOABODCE

十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式1、扇形：（1）弧長(zhǎng)公式：lnR180AA；

OSl（2）扇形面積公式：SnR360212lR

Bn：圓心角R：扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑l：扇形弧長(zhǎng)S：扇形面積

《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

2、圓柱：

（1）圓柱側(cè)面展開(kāi)圖

S表S側(cè)2S底=2rh2r2

（2）圓柱的體積：Vr2h

（2）圓錐側(cè)面展開(kāi)圖

（1）S表S側(cè)S底=Rrr2（2）圓錐的體積：V13r2h

ADD1母線(xiàn)長(zhǎng)底面圓周長(zhǎng)BCC1B1ORCArB

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