中考復(fù)習(xí)：一次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

【基本要點(diǎn)】

1、變量：在一個(gè)變化過(guò)程中可以取不同數(shù)值的量。常量：在一個(gè)變化過(guò)程中只能取同一數(shù)值的量。

例題：在勻速運(yùn)動(dòng)公式svt中,v表示速度,t表示時(shí)間,s表示在時(shí)間t內(nèi)所走的路程,則變量是________,常量是_______。在圓的周長(zhǎng)公式C=2πr中，變量是________，常量是_________.2、函數(shù)：一般的，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x和y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數(shù)。注：這是課本對(duì)于函數(shù)的定義，在理解與實(shí)際運(yùn)用中我們要注意以下幾點(diǎn)：

1、函數(shù)只能描述兩個(gè)變量之間的關(guān)系，多一個(gè)少一個(gè)變量都是不對(duì)的；如：y=xz中有三個(gè)變量，就不是函數(shù)；y=0中只有一個(gè)變量，也不是函數(shù)；而y=0（x＞0）卻是函數(shù)，因?yàn)槔ㄌ?hào)中標(biāo)明了自變量的取值范圍；

2、當(dāng)自變量去每一個(gè)確定的值時(shí)因變量只能取唯一確定的值相對(duì)應(yīng)，反之，當(dāng)因變量取每一個(gè)確定的值時(shí)自變量可以去若干個(gè)值相對(duì)應(yīng)；因?yàn)檫@兩個(gè)變量有先變與后變的問(wèn)題，讓后變的先取一個(gè)值，先變的就不一定只取一個(gè)值；

3、我們只能說(shuō)函數(shù)值是自變量的函數(shù)，或用自變量來(lái)表示函數(shù)值，如：a是b的函數(shù)就說(shuō)明a是函數(shù)值，b是自變量；用y表示x就說(shuō)明y是自變量，x是函數(shù)值；任何函數(shù)都要標(biāo)明誰(shuí)是誰(shuí)的函數(shù)，不能隨便說(shuō)一個(gè)解析式是不是函數(shù)，如：Y=x，只能說(shuō)y是x的函數(shù)，就不能說(shuō)x是y的函數(shù)；

4、函數(shù)解析式的表示：只有函數(shù)值寫(xiě)在等號(hào)左邊，含有自變量的式子寫(xiě)在等號(hào)右邊；注意不能寫(xiě)成2y=3x-3或y=3x-3的形式；5、任何函數(shù)都包含自變量的取值范圍，如果沒(méi)指明說(shuō)明自變量的取值范圍是任意實(shí)數(shù)。自變量的取值范圍從以下幾個(gè)方面把握：（1）關(guān)系式為整式時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)槿�體實(shí)數(shù)；（2）關(guān)系式含有分式時(shí)，分式的分母不等于零；（3）關(guān)系式含有二次根式時(shí)，被開(kāi)放方數(shù)大于等于零；（4）關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時(shí)，底數(shù)不等于零；

（5）實(shí)際問(wèn)題中，函數(shù)定義域還要和實(shí)際情況相符合，使之有意義。例題：寫(xiě)出下列函數(shù)中自變量x的取值范圍y=2x___________.y=221___________.y=4x2___________.y=x2x2___________.x23、函數(shù)的圖像

一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象．4、函數(shù)解析式：用含有表示自變量的字母的代數(shù)式表示因變量的式子叫做解析式。5、描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)圖形的一般步驟

第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值）；

第二步：描點(diǎn)（在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)）；第三步：連線（按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把所描出的各點(diǎn)用平滑曲線連接起來(lái)）。6、函數(shù)的表示方法

列表法：一目了然，使用起來(lái)方便，但列出的對(duì)應(yīng)值是有限的，不易看出自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律。

解析式法：簡(jiǎn)單明了，能夠準(zhǔn)確地反映整個(gè)變化過(guò)程中自變量與函數(shù)之間的相依關(guān)系，但有些實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系，不能用解析式表示。圖象法：形象直觀，但只能近似地表達(dá)兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系。7、正比例函數(shù)及性質(zhì)

一般地，形如y=kx(k是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù).注：正比例函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx(k不為零)①k不為零②x指數(shù)為1③b取零

當(dāng)k>0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過(guò)三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當(dāng)k0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)一、三象限；k0，y隨x的增大而增大；k一般地，形如y=kx＋b(k,b是常數(shù)，k≠0)，那么y叫做x的一次函數(shù).當(dāng)b=0時(shí)，y=kx＋b即y=kx，所以說(shuō)正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).注：一次函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx+b(k不為零)①k不為零②x指數(shù)為1③b取任意實(shí)數(shù)

一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過(guò)（0，b）和（-（1）解析式：y=kx+b(k、b是常數(shù)，k0)（2）必過(guò)點(diǎn)：（0，b）和（-

b，0）兩點(diǎn)的一條直線，我們稱它為直線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到.（當(dāng)b>0時(shí)，向上平移；當(dāng)b0，圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限；k0，圖象經(jīng)過(guò)第一、二象限；b0，y隨x的增大而增大；k0時(shí)，將直線y=kx的圖象向上平移b個(gè)單位；

當(dāng)by2，則x1與x2的大小關(guān)系是（）A.x1>x2B.x10，且y1>y2。根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)“當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大”，得x1>x2。故選A。2、若m＜0,n＞0,則一次函數(shù)y=mx+n的圖象不經(jīng)過(guò)（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3、一次函數(shù)y=kx+b滿足kb>0，且y隨x的增大而減小，則此函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解：由kb>0，知k、b同號(hào)。因?yàn)閥隨x的增大而減小，所以k（2）二元一次方程組a1xb1yc1acac的解可以看作是兩個(gè)一次函數(shù)y=1x1和y=2x2的圖象交點(diǎn).

b1b1b2b2a2xb2yc2【考點(diǎn)指要】

一次函數(shù)常與反比例函數(shù)、二次函數(shù)及方程、方程組、不等式綜合在一起，以選擇題、填空題、解答題等題型出現(xiàn)在中考題中，解決這類(lèi)問(wèn)題常用到分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法；為方便大家計(jì)算以及分析題目，現(xiàn)介紹一些解題過(guò)程中可以運(yùn)用的公式與性質(zhì)，希望大家能反復(fù)揣摩、理解、運(yùn)用以期熟練地掌握，這樣可以化繁為簡(jiǎn)！這里要強(qiáng)調(diào)的是以下這些公式不要隨便外傳！切記！

1、一次函數(shù)解析式的幾種類(lèi)型

①ax+by+c=0[一般式]

②y=kx+b[斜截式]（k為直線斜率，b為直線縱截距，正比例函數(shù)b=0）

③y-y1=k(x-x1)[點(diǎn)斜式]（k為直線斜率,(x1,y1)為該直線所過(guò)的一個(gè)點(diǎn)）

x1x2y1y2xy⑤=0[截距式]（a、b分別為直線在x、y軸上的截距）

abxx2、求函數(shù)圖像的k值：12（（x1,y1）與（x2,y2）為直線上的兩點(diǎn)）

y1y2④

xx1=

yy1[兩點(diǎn)式]（（x1,y1）與（x2,y2）為直線上的兩點(diǎn)）

3、求任意線段的長(zhǎng)：x1x22y1y22（（x1,y1）與（x2,y2）為直角坐標(biāo)系任意兩點(diǎn)）

4、求任意兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)坐標(biāo)：（

x1x2yy，12）

225、若兩條直線y=k1x+b1與y=k2x+b2互相平行，那么k1=k2，b1≠b2

6、若兩條直線y=k1x+b1與y=k2x+b2互相垂直，那么k1×k2=-1

7、將y=kx+b向上平移n個(gè)單位后變成y=kx+b+n；向下平移n個(gè)單位變成y=kx+b-n

8、將y=kx+b向左平移n個(gè)單位后變成y=k（x+n）+b；將y=kx+b向右平移n個(gè)單位后變成y=k（x-n）+b（任何圖像的平移都遵循上加下減，左加右減的規(guī)則）9、若y=k1x+b1與y=k2x+b2關(guān)于x軸對(duì)稱，那么k1+k2=0、b1+b2=010、若y=k1x+b1與y=k2x+b2關(guān)于y軸對(duì)稱，那么k1+k2=0、b1=b2

11、同理，y=k1x與y=k2x關(guān)于平行、垂直、平移、對(duì)稱也滿足以上性質(zhì)

b212、y=kx+b與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為

2k13、y=kx（k是常數(shù)，k≠0）必過(guò)點(diǎn)：（0，0）、（1，k）14、y=kx+b必過(guò)點(diǎn)：（0，b）和（-，0）

【例題講解】

例題1：若y是x的一次函數(shù)，圖像過(guò)點(diǎn)（－3,2），且與直線y4x6交于x軸上一點(diǎn)，求此函數(shù)的解析式。

變式練習(xí)1：求滿足下列條件的函數(shù)解析式：與直線y2x平行且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,-1)的直線的解析式；

例題2：已知直線ykxb經(jīng)過(guò)(,0),且與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為

3

bk5225，求該直線的表達(dá)式。

變式練習(xí)2：一次函數(shù)yk1x4與正比例函數(shù)yk2x的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，-1），

（1）分別求出這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求這兩個(gè)函數(shù)的圖象與x軸圍成的三角形的面積。

【鞏固練習(xí)】

1，一次函數(shù)y=-2x+4的圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)是，與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是2，如圖，一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且與正比例函數(shù)yx的圖象交于點(diǎn)B，則該一次函數(shù)的表達(dá)式為（）

A．yx2B．yx2C．yx2D．yx2

yxABy21Ox3．已知一次函數(shù)ymxm1的圖象與y軸交于（0，3），且y隨x值的增大而增大，則m的值為（）A．2B．-4C．-2或-4D．2或-4

4，將直線y2x向右平移2個(gè)單位所得的直線的解析式是（）。

A、y＝2x＋2B、y＝2x－2C、y＝2(x－2)D、y＝2(x＋2)

5，把直線y2x1向下平移兩個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位后所得直線的解析式是。6，若函數(shù)yx4與x軸交于點(diǎn)A，直線上有一點(diǎn)M，若△AOM的面積為8，則點(diǎn)M的坐標(biāo)

7，已知直線ykxb的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，0），（4，3），（m，6），求m的值。8，已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，1）和（-1，-3）

（1）求此一次函數(shù)表達(dá)式；

（2）求此一次函數(shù)與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）求此一次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積。

9，已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,-5),且與正比例函數(shù)y=x的圖象相交于點(diǎn)(2,a),求(1)a的值(2)k,b的值

(3)這兩個(gè)函數(shù)圖象與x軸所圍成的三角形面積.

10，已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-6，0），與y軸交于點(diǎn)B，若△AOB的面積是12，且y隨x的增大而減小，求這個(gè)一次函數(shù)的關(guān)系式。

4

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201*中考復(fù)習(xí)專(zhuān)題一次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一變量：

自變量：自己變化的量；在一個(gè)變化的過(guò)程中，我們稱數(shù)值變化的量是自變量．常量：有些量的數(shù)值是始終不變的量叫常量．函數(shù)：被變量是自變量的函數(shù)．

函數(shù)值：當(dāng)自變量確定一個(gè)值，被變量隨之確定的一個(gè)值．

因變量：自變量的變化引起另一個(gè)量的變化，另一個(gè)量是因變量．

二一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念

1．概念：若兩個(gè)變量x，y間的關(guān)系式可以表示成y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的形式，則稱y是x的一次函數(shù)（x為自變量），特別地，當(dāng)b=0時(shí)，稱y是x的正比例函數(shù).（1）一次函數(shù)的自變量的取值范圍是一切實(shí)數(shù)，但在實(shí)際問(wèn)題中要根據(jù)函數(shù)的實(shí)際意義來(lái)確定.

（2）一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意義相同，即自變量x的次數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)k必須是不為零的常數(shù)，b可為任意常數(shù).

★判斷一個(gè)等式是否是一次函數(shù)先要化簡(jiǎn)

（3）當(dāng)b=0，k≠0時(shí)，y=kx仍是一次函數(shù).(正比例函數(shù))（4）當(dāng)b=0，k=0時(shí)，它不是一次函數(shù).

2.函數(shù)的表示方法：１）解析法，２）列表法，３）圖象法．列表法直觀但不完全解析法準(zhǔn)確完全但不直觀

圖象法直觀形象但不夠準(zhǔn)確也不太完全

圖象的畫(huà)法：一列表、二描點(diǎn)、三連線（順次用平滑的曲線）解析式的列法：一）實(shí)際問(wèn)題，確定自變量的取值二）符合題意

三函數(shù)的圖象

把一個(gè)函數(shù)的自變量x與所對(duì)應(yīng)的y的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象．畫(huà)函數(shù)圖象一般分為三步：列表、描點(diǎn)、連線．

一次函數(shù)的圖象

由于一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的圖象是一條直線，所以一次函數(shù)y=kx+b的圖象也稱為直線y=kx+b．

由于兩點(diǎn)確定一條直線，描出適合關(guān)系式的兩點(diǎn)，再連成直線，一般選取兩個(gè)特殊點(diǎn)：直線與y軸的交點(diǎn)（0，b），直線與x軸的交點(diǎn)（-只要描出點(diǎn)（0，0），（1，k）即可.

四一次函數(shù)性質(zhì)

1.一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的性質(zhì)（1）k的正、負(fù)決定直線的傾斜方向；

①k＞0時(shí)，y的值隨x值的增大而增大；

b，0）.畫(huà)正比例函數(shù)y=kx的圖象時(shí)，k用心愛(ài)心專(zhuān)心

②kO時(shí)，y的值隨x值的增大而減�。�（2）|k|大小決定直線的傾斜程度，即|k|越大，直線與x軸相交的銳角度數(shù)越大（直線陡），|k|越小，直線與x軸相交的銳角度數(shù)越�。ㄖ本�緩）；（3）b的正、負(fù)決定直線與y軸交點(diǎn)的位置；

①當(dāng)b＞0時(shí)，直線與y軸交于正半軸上；②當(dāng)b＜0時(shí)，直線與y軸交于負(fù)半軸上；③當(dāng)b=0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，是正比例函數(shù)．

（4）由于k，b的符號(hào)不同，直線所經(jīng)過(guò)的象限也不同；y=kx+b(b≠0)y=kx+b(b≠0)y=kx+b(b≠0)y=kx+b(b≠0)kk＞0bb＞0經(jīng)過(guò)的象限一,二三Y隨x的變化Y隨x的增大而增大k＞0b＜0一三四Y隨x的增大而增大k＜0b＞0一二四Y隨x的增大而減小k＜0b＜0二三四Y隨x的增大而減小

（5）由于|k|決定直線與x軸相交的銳角的大小，k相同，說(shuō)明這兩個(gè)銳角的大小相等，且它們是同位角，因此，它們是平行的．另外，從平移的角度也可以分析，例如：直線y=x＋1可以看作是正比例函數(shù)y=x向上平移一個(gè)單位得到的．2.正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的性質(zhì)

（1）正比例函數(shù)y=kx的圖象必經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；

（2）當(dāng)k＞0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限,y隨x的增大而增大；（3）當(dāng)k＜0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限,y隨x的增大而減�。�

y=kx(k>0)y=kx(k

確定正比例函數(shù)及一次函數(shù)表達(dá)式的條件

（1）由于正比例函數(shù)y=kx（k≠0）中只有一個(gè)待定系數(shù)k，故只需一個(gè)條件（如一對(duì)x，y的值或一個(gè)點(diǎn)）就可求得k的值．

（2）由于一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）中有兩個(gè)待定系數(shù)k，b，需要兩個(gè)獨(dú)立的條件確定兩個(gè)關(guān)于k，b的方程，求得k，b的值，這兩個(gè)條件通常是兩個(gè)點(diǎn)或兩對(duì)x，y的值．

五一次函數(shù)與方程

1.一元一次方程、一元一次不等式及一次函數(shù)的關(guān)系

一次函數(shù)及其圖像與一元一次方程及一元一次不等式有著密切的關(guān)系，函數(shù)y=ax+b（a≠0，a，b為常數(shù)）中，函數(shù)的值等于0時(shí)自變量x的值就是一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解，所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)（－

b，0）是直線y=ax+b與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，反過(guò)來(lái)也成立；直線ay=ax+b在x軸的上方，也就是函數(shù)的值大于零，x的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x軸的下方也就是函數(shù)的值小于零，x的值是不等式ax+b

（4）將k、b的之帶入y=kx+b，得到函數(shù)表達(dá)式。

例如：已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，1）和（-1，-3）求此一次函數(shù)的關(guān)系式．解：設(shè)一次函數(shù)的關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），由題意可知，

12kb,k4,4,解3kb3∴此函數(shù)的關(guān)系式為y=3x53．b53.

六知識(shí)規(guī)律小結(jié)

1．常數(shù)k，b對(duì)直線y=kx+b(k≠0）位置的影響．①當(dāng)b＞0時(shí)，直線與y軸的正半軸相交；當(dāng)b=0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；

當(dāng)b0時(shí)，直線與y軸的負(fù)半軸相交．②當(dāng)k，b異號(hào)時(shí)，即-bk＞0時(shí)，直線與x軸正半軸相交；當(dāng)b=0時(shí)，即-

bk=0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；當(dāng)k，b同號(hào)時(shí)，即-bk0時(shí)，直線與x軸負(fù)半軸相交．

③當(dāng)k＞O，b＞O時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限；當(dāng)k＞0，b=0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限；

當(dāng)b＞O，b＜O時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限；當(dāng)kO，b＞0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限；當(dāng)kO，b=0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限；

當(dāng)k＜O，b＜O時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限．

2．直線y=kx+b（k≠0）與直線y=kx(k≠0)的位置關(guān)系．直線y=kx+b(k≠0)平行于直線y=kx(k≠0)

當(dāng)b＞0時(shí)，把直線y=kx向上平移b個(gè)單位，可得直線y=kx+b；當(dāng)bO時(shí)，把直線y=kx向下平移|b|個(gè)單位，可得直線y=kx+b．3．直線b1=k1x+b1與直線y2=k2x+b2（k1≠0，k2≠0）的位置關(guān)系．①k1≠k2y1與y2相交；②k1k2by1與y2相交于y軸上同一點(diǎn)（0，b1）或（0，b2b）；

12③k1k2,k1kb1byy2,1與2平行；④2by1與y2重合.

1b2

用心愛(ài)心專(zhuān)心

201*中考復(fù)習(xí)專(zhuān)題二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)：

1．二次函數(shù)的概念：一般地，形如yax2bxc（a，b，c是常數(shù)，a0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類(lèi)似，二次項(xiàng)系數(shù)a0，而b，二c可以為零．次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)．2.二次函數(shù)yax2bxc的結(jié)構(gòu)特征：

⑴等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2．⑵a，b，c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．二次函數(shù)的基本形式

1.二次函數(shù)基本形式：yax2的性質(zhì)：

oo

結(jié)論：a的絕對(duì)值越大，拋物線的開(kāi)口越小�？偨Y(jié)：

a的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸a0向上性質(zhì)0，00，0y軸x0時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y隨x的增大而減�。粁0時(shí)，y有最小值0．x0時(shí)，y隨x的增大而減�。粁0時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y有最大值0．a(chǎn)0向下y軸2.yax2c的性質(zhì)：

用心愛(ài)心專(zhuān)心

結(jié)論：上加下減。

a的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸a0向上性質(zhì)0，c0，cy軸x0時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y隨x的增大而減小；x0時(shí)，y有最小值c．x0時(shí)，y隨x的增大而減小；x0時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y有最大值c．a(chǎn)0總結(jié)：

向下y軸3.yaxh的性質(zhì)：

2

結(jié)論：左加右減�？偨Y(jié)：a的符號(hào)a0開(kāi)口方向向上頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸X=h性質(zhì)h，0h，0xh時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y隨x的增大而減��；xh時(shí)，y有最小值0．a(chǎn)0

向下X=hxh時(shí)，y隨x的增大而減�。粁h時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y有最大值0．4.yaxhk的性質(zhì)：

2用心愛(ài)心專(zhuān)心

總結(jié)：a的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸a0向上性質(zhì)h，kh，kX=hxh時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y隨x的增大而減��；xh時(shí)，y有最小值k．xh時(shí)，y隨x的增大而減��；xh時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y有最大值k．a(chǎn)0向下X=h二次函數(shù)圖象的平移

1.平移步驟：

k；⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)axhk，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)h，k處，具體平移方法如下：⑵保持拋物線yax2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h，向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k0)【或左(h

概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”．

三、二次函數(shù)yaxhk與yax2bxc的比較

請(qǐng)將y2x4x5利用配方的形式配成頂點(diǎn)式。請(qǐng)將yax2bxc配成yaxhk。

222

總結(jié)：

從解析式上看，yaxhk與yax2bxc是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過(guò)配b4acb2b4acb2方可以得到前者，即yax，其中h，．k2a4a2a4a22

四、二次函數(shù)yax2bxc圖象的畫(huà)法

五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)yax2bxc化為頂點(diǎn)式y(tǒng)a(xh)2k，確定

其開(kāi)口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫(huà)圖.一般我們

c、以及0，c關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)2h，c、選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)0，0，x2，0（若與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）.與x軸的交點(diǎn)x1，畫(huà)草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開(kāi)口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn).

用心愛(ài)心專(zhuān)心

五、二次函數(shù)yax2bxc的性質(zhì)

b4acb2b1.當(dāng)a0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，．

2a4a2a當(dāng)xbbb時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x2a2a2a4acb2時(shí)，y有最小值．

4ab4acb2b2.當(dāng)a0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為x，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，．當(dāng)

2a4a2axbbb時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而減�。划�(dāng)x時(shí)，y2a2a2a4acb2有最大值．

4a

六、二次函數(shù)解析式的表示方法

1.一般式：yax2bxc（a，b，c為常數(shù)，a0）；2.頂點(diǎn)式：ya(xh)2k（a，h，k為常數(shù)，a0）；

3.兩根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫(xiě)

成交點(diǎn)式，只有拋物線與x軸有交點(diǎn)，即b24ac0時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.

七、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1.二次項(xiàng)系數(shù)a

二次函數(shù)yax2bxc中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然a0．

⑴當(dāng)a0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，a的值越大，開(kāi)口越小，反之a(chǎn)的值越小，開(kāi)口越大；

⑵當(dāng)a0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，a的值越小，開(kāi)口越小，反之a(chǎn)的值越大，開(kāi)口越大．

用心愛(ài)心專(zhuān)心

總結(jié)起來(lái)，a決定了拋物線開(kāi)口的大小和方向，a的正負(fù)決定開(kāi)口方向，a的大小決定開(kāi)口的大�。�2.一次項(xiàng)系數(shù)b

在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對(duì)稱軸．⑴在a0的前提下，

b當(dāng)b0時(shí)，0，即拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；

2a當(dāng)b0時(shí)，當(dāng)b0時(shí)，b0，即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸；2ab0，即拋物線對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)．2a⑵在a0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即

b當(dāng)b0時(shí)，0，即拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)；

2a當(dāng)b0時(shí)，當(dāng)b0時(shí)，b0，即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸；2ab0，即拋物線對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)．2a總結(jié)起來(lái)，在a確定的前提下，b決定了拋物線對(duì)稱軸的位置．總結(jié)：

3.常數(shù)項(xiàng)c

⑴當(dāng)c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；⑵當(dāng)c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0；⑶當(dāng)c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)．總結(jié)起來(lái)，c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置．總之，只要a，b，c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的．二次函數(shù)解析式的確定：

根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问�，才能使解題簡(jiǎn)便．一般來(lái)說(shuō)，有如下幾種情況：

1.已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；

2.已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（小）值，一般選用頂點(diǎn)式；3.已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4.已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式．

二、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱

二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1.關(guān)于x軸對(duì)稱

yax2bxc關(guān)于x軸對(duì)稱后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk關(guān)于x軸對(duì)稱后，得到的解析式是yaxhk；

222.關(guān)于y軸對(duì)稱

用心愛(ài)心專(zhuān)心

yax2bxc關(guān)于y軸對(duì)稱后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk關(guān)于y軸對(duì)稱后，得到的解析式是yaxhk；

223.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

yax2bxc關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yax2bxc；yaxhk關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yaxhk；4.關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱

b2yaxbxc關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yaxbxc；

2a2222yaxhk關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yaxhk．

22n對(duì)稱5.關(guān)于點(diǎn)m，yaxhk關(guān)于點(diǎn)m，n對(duì)稱后，得到的解析式是yaxh2m2nk

22根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無(wú)論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此a永遠(yuǎn)不變．求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適

的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，然后再寫(xiě)出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式．

二次函數(shù)與一元二次方程：

1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)情況）：

一元二次方程ax2bxc0是二次函數(shù)yax2bxc當(dāng)函數(shù)值y0時(shí)的特殊情況.圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：

0，Bx2，0(x1x2)，①當(dāng)b24ac0時(shí)，圖象與x軸交于兩點(diǎn)Ax1，其中的x1，x2是一元二次方程ax2bxc0a0的兩根．這兩點(diǎn)間的距離b24acABx2x1.a②當(dāng)0時(shí)，圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；

③當(dāng)0時(shí)，圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn).

1"當(dāng)a0時(shí)，圖象落在x軸的上方，無(wú)論x為任何實(shí)數(shù)，都有y0；

2"當(dāng)a0時(shí)，圖象落在x軸的下方，無(wú)論x為任何實(shí)數(shù)，都有y0．2.拋物線yax2bxc的圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c)；

3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：

⑴求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；

⑵求二次函數(shù)的最大（�。┲敌枰�利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；

用心愛(ài)心專(zhuān)心

⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)yax2bxc中a，b，c的符號(hào)，或由二次函數(shù)中a，

b，c的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；

⑷二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).⑸與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式ax2bxc(a0)本身就是所含字母

x的二次函數(shù)；下面以a0時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：0拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值可正、可零、可負(fù)一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根0拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根.0

圖像參考：

y=2x2y=x2y=x22y=-x22y=-x2y=-2x2

用心愛(ài)心專(zhuān)心

y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2

用心愛(ài)心專(zhuān)心y=2x2+2y=2x2y=2x2-4用心

y=2x2y=2(x-4)2y=2(x-4)2-3愛(ài)心專(zhuān)心

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