第十四章一次函數(shù)小結(jié)

第十四章一次函數(shù)小結(jié)

昆明市實(shí)驗(yàn)中學(xué)初二（５）班陳璇

一、函數(shù)的有關(guān)概念

（１）變量與常量

在某一變化過(guò)程中，可以取不同的量叫做常量，保持不變的量叫做常量。

注意：變量和常量往往是相對(duì)而言的，在不同研究過(guò)程中，常量和變量的身份是可以相互轉(zhuǎn)換的。（２）函數(shù)與自變量

一般地，如果在一個(gè)變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量，例如ｘ和ｙ，對(duì)于ｘ的每一個(gè)值，ｙ都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，我們就說(shuō)ｘ是自變量，ｙ是因變量，此時(shí)也稱ｙ是ｘ的函數(shù)。

注意：函數(shù)體現(xiàn)的是一個(gè)變化的過(guò)程，在這一變化過(guò)程中，要著重把握以下三點(diǎn)：（１）只能有兩個(gè)變量。

（２）一個(gè)變量的數(shù)值隨著另一個(gè)變量的數(shù)值變化而變化。

（３）對(duì)于自變量的每一個(gè)確定的值，函數(shù)都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)。二、函數(shù)的表示方法

函數(shù)的表示方法有三種：解析法、列表法和圖像法。

（１）解析法：

兩個(gè)變量之間的關(guān)系，有時(shí)可以用一個(gè)含有這兩個(gè)變量的等式表示，這種表示方法叫做解析式。用解析式表示一個(gè)函數(shù)關(guān)系時(shí)，因變量ｙ放在等式的左邊，自變量ｘ的代數(shù)式放在右邊，其實(shí)質(zhì)是用ｘ的代數(shù)式表示ｙ。

注意：解析法簡(jiǎn)單明了，能準(zhǔn)確地反應(yīng)整個(gè)變化過(guò)程中自變量與因變量的關(guān)系，但不直觀，且有的函數(shù)關(guān)系不一定能用解析法表示出來(lái)。

（２）列表法：

把自變量ｘ的一系列值和函數(shù)ｙ的對(duì)應(yīng)值列成一個(gè)表來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做列表法。

注意：列表法優(yōu)點(diǎn)是一目了然，使用方便，但其列出的對(duì)應(yīng)值是有限的而且從表中不易看出自變量和函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律。

（３）圖像法：

用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法。

注意：圖像法形象直觀，是研究函數(shù)的一種很重要的方法。

在解決問(wèn)題時(shí)，我們常常綜合運(yùn)用三種方法來(lái)表示函數(shù)。三、函數(shù)自變量取值范圍及函數(shù)值

函數(shù)自變量的取值范圍是指函數(shù)有意義的自變量的取值的全體。求自變量的取值范圍通常從兩個(gè)方面考慮：一是要使函數(shù)的解析式有意義；二是符合客觀實(shí)際。下面給出一些簡(jiǎn)單函數(shù)解析式中自變量范圍的確定方法。

（１）當(dāng)函數(shù)的解析式是整式時(shí)，自變量取任意實(shí)數(shù)（即全體實(shí)數(shù)）。

（２）當(dāng)函數(shù)的解析式是分式時(shí)，自變量取值是使分母不為零的任意實(shí)數(shù)。

（３）當(dāng)函數(shù)的解析式是開(kāi)平方的無(wú)理式時(shí)，自變量值是使被開(kāi)放的式子為非負(fù)的實(shí)數(shù)。

（４）當(dāng)函數(shù)解析式中自變量出現(xiàn)在零次冪或負(fù)整數(shù)次冪的底數(shù)中時(shí)，自變量值取值是使底數(shù)不為零的實(shí)數(shù)。

對(duì)于自變量在取值范圍內(nèi)的一個(gè)值，如當(dāng)ｘ＝ａ時(shí)，函數(shù)有唯一確定的對(duì)應(yīng)值，這個(gè)值就是當(dāng)ｘ＝ａ時(shí)的函數(shù)值。

注意：若已知函數(shù)解析式及自變量的值求函數(shù)值，其實(shí)質(zhì)就是求關(guān)于自變量ｘ的代數(shù)式的值。若已知函數(shù)解析式及函數(shù)值求自變量的值，其實(shí)質(zhì)就是解關(guān)于自變量ｘ的方程。四、函數(shù)的圖像

（１）函數(shù)圖像的意義

一般來(lái)說(shuō)，函數(shù)的圖像是由直角坐標(biāo)系中的一系列點(diǎn)組成。圖像上每一點(diǎn)的坐標(biāo)（ｘ，ｙ）代表了函數(shù)的一對(duì)對(duì)應(yīng)值，他的橫坐標(biāo)ｘ表示自變量的某一個(gè)值，縱坐標(biāo)ｙ表示與它對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。（２）函數(shù)圖像的畫(huà)法

在直角坐標(biāo)系中，如果描出以自變量的值為橫坐標(biāo)、相應(yīng)函數(shù)值為縱坐標(biāo)的點(diǎn)，那么所有這樣的點(diǎn)組成的圖形叫做這個(gè)函數(shù)的圖像。

知道了函數(shù)解析式要畫(huà)出函數(shù)的圖像，一般經(jīng)歷以下三步：①列表：

取自變量的一些值，計(jì)算出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，由這一系列的對(duì)應(yīng)值得到一系列的有序?qū)崝?shù)對(duì)。②描點(diǎn)：

在直角坐標(biāo)系中，描出這些有序?qū)崝?shù)對(duì)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。③連線：

用平滑的曲線依次把這些點(diǎn)連起來(lái)，即可得到這個(gè)函數(shù)的圖像。五、數(shù)學(xué)思想方法

（１）數(shù)形結(jié)合思想

本章中比較廣泛地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)研究問(wèn)題。數(shù)形結(jié)合，直觀形象，由數(shù)思形，由形思數(shù)，兩者巧妙結(jié)合，為分析問(wèn)題和解決問(wèn)題創(chuàng)造了有利條件，幫助我們?nèi)シ治龊徒鉀Q問(wèn)題。

（２）函數(shù)思想

研究一個(gè)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，首先從問(wèn)題中抽象出特定的函數(shù)關(guān)系，然后利用函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論，最后把結(jié)論應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中去，從而得到實(shí)際問(wèn)題的研究結(jié)果。將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，通過(guò)建立函數(shù)模型，利用函數(shù)性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題。

（３）轉(zhuǎn)化思想

將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，將未知轉(zhuǎn)化為已知，將抽象轉(zhuǎn)化為具體，這是數(shù)學(xué)中常用的思想方法。六、一次函數(shù)（正比例函數(shù)）的概念

解析式是用自變量的一次整式表示的函數(shù)，我們稱之為一次函數(shù)。一次函數(shù)的一般形式為ｙ＝ｋｘ＋ｂ，其中ｋ、ｂ為常數(shù)，ｋ≠０，特別地，當(dāng)ｋ＝０時(shí)，一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ（常數(shù)ｋ≠０）也叫做正比例函數(shù)。

注意：（１）如果一個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)，則含有自變量ｘ的式子是一次的，系數(shù)ｋ不等于０，而ｂ可以為任意實(shí)數(shù)。

（２）自變量ｘ的取值范圍是任意實(shí)數(shù)。

（３）ｋ≠０這個(gè)條件不可忽略。

（４）正比例函數(shù)與一次函數(shù)之間的關(guān)系：

①正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)，即一次函數(shù)包含正比例函數(shù)。

②一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù)，在一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）中，當(dāng)ｂ＝０時(shí)，

ｙ是ｘ的正比例函數(shù)；當(dāng)ｂ≠０時(shí)ｙ不是ｘ的正比例函數(shù)。七、一次函數(shù)的圖像

（１）一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）的圖像是一條直線，通常也稱為直線ｙ＝ｋｘ＋ｂ，一方面，一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ的圖像可以用描點(diǎn)法畫(huà)出；另一方面，由于兩點(diǎn)確定一條直線，故畫(huà)一次函數(shù)的圖像時(shí)，只要先描出兩點(diǎn)，再連成直線就可以了，為了方便，常用圖像與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)（０，ｂ）和（－，０）

（２）正比例函數(shù)ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的圖像是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（０，０）的一條直線，通常畫(huà)正比例函數(shù)ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的圖像只需取一點(diǎn)（１，ｋ），然后過(guò)原點(diǎn)和這一點(diǎn)畫(huà)直線。八、對(duì)一次函數(shù)的ｙ＝ｋｘ＋ｂ中的系數(shù)ｋ、ｂ的理解

（１）直線ｙ＝ｋｘ＋ｂ中ｋ表示直線向上的方向與ｘ軸正方向夾角的大小程度，即直線的傾斜程度；ｂ是直線與ｙ軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，ｂ＞０時(shí)，直線與ｙ軸交于正半軸上；ｂ＝０時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)，是正比例函數(shù)；ｂ＜０時(shí)，直線與ｙ軸交于正半軸上；ｂ＝０時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)，是正比例函數(shù)；ｂ＜０時(shí)，直線與ｙ軸交于負(fù)半軸上。

（２）兩直線ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１（ｋ１≠０）與ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ２（ｋ２≠０）的位置關(guān)系。①當(dāng)ｋ１＝ｋ２，ｂ１≠ｂ２時(shí)，兩直線平行。②當(dāng)ｋ１＝ｋ２，ｂ１＝ｂ２時(shí)，兩直線重合。

注意：（１）當(dāng)ｋ＞０時(shí)，直線必經(jīng)過(guò)一、三象限；ｋ＜０時(shí)，直線必經(jīng)過(guò)二、四象限。當(dāng)ｂ＞０時(shí)，直線與ｙ軸正半軸相交，故必過(guò)一、二象限；ｂ＝０時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)；ｂ＜０時(shí)，直線與ｙ軸負(fù)半軸相交，故直線過(guò)三、四象限。

（２）ｙ隨ｘ的增大而增大，還是ｙ隨ｘ的增大而減小，只取決于ｋ的符號(hào)，與ｂ無(wú)關(guān)。九、一次函數(shù)解析式的確定

（１）根據(jù)數(shù)學(xué)規(guī)律、關(guān)系確定函數(shù)解析式

①對(duì)于探索一系數(shù)、圖形個(gè)數(shù)等規(guī)律時(shí)，其關(guān)鍵是找出問(wèn)題的兩個(gè)變量之間存在的數(shù)量關(guān)系。②對(duì)于幾何圖形中的兩個(gè)量的關(guān)系，要能夠結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)確定兩個(gè)變量的關(guān)系。

③對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中的兩個(gè)量之間的關(guān)系，要分析出各個(gè)量之間存在的數(shù)量關(guān)系，并能正確用含一個(gè)量的代數(shù)式表示另一個(gè)量，同時(shí)注意自變量的取值范圍。

（２）待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式

先設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)已知條件確定解析式中未知的系數(shù)，從而具體寫(xiě)出函數(shù)解析式的方法，叫做待定系數(shù)法，待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式最常用的方法，其一般步驟是：

①設(shè)一次函數(shù)解析式為ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）。

②將函數(shù)圖像所經(jīng)過(guò)的任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)帶入ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）。③解此二元一次方程組，得待定系數(shù)k、b的值。④確定函數(shù)解析式。注意：（１）在正比例函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０，且為常數(shù)）中，只有一個(gè)待定系數(shù)ｋ，確定正比例函數(shù)關(guān)系式只需一個(gè)條件。

（２）在一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ、ｂ為常數(shù)，且ｋ≠０）中，有兩個(gè)待定系數(shù)ｋ和ｂ，因此確定一次函數(shù)關(guān)系式需要兩個(gè)條件。

十、一次函數(shù)與方程（組）及不等式之間的關(guān)系（１）一次函數(shù)與一元一次方程

直線ｙ＝ｋｘ＋ｂ與ｘ軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，就是一元一次方程ｋｘ＋ｂ＝０的解。

求直線ｙ＝ｋｘ＋ｂ與ｘ軸的交點(diǎn)，可令ｙ＝０得方程ｋｘ＋ｂ＝０，解方程得ｘ＝－，－是直線ｙ＝ｋｘ＋ｂ與ｘ軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。反之，由函數(shù)的圖像也能求出對(duì)應(yīng)的一元一次方程的解。（２）一次函數(shù)與二元一次方程（組）

一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ圖像上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是二元一次方程ｋｘ－ｙ＋ｂ＝０的解；以二元一次方程ｋｘ－ｙ＋ｂ＝０的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ的圖像上。

兩條直線ｌ１：ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１（ｋ１≠０）與ｌ２：ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ２（ｋ２≠０）的交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)就是方程組ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１

ｙ＝ｋ２ｘ＋ｂ２

注意：若ｋ１＝ｋ２，ｂ１≠ｂ２，則兩直線平行，無(wú)交點(diǎn)，所以方程組無(wú)解；若ｋ１＝ｋ２，ｂ１＝ｂ２，則兩直線重合，通常不研究此類情況。（３）二元一次方程組的圖像解法

畫(huà)出方程組對(duì)應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)的圖像，找出它們的交點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)就是二元一次方程組的解，這種解方程組的方法叫做二元一次方程組的圖像解法。

（４）一次函數(shù)與一元一次不等式

使一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ的函數(shù)值ｙ大于０的自變量的所有值，就是一元一次不等式ｋｘ＋ｂ＞０的解集，同樣使一次函數(shù)ｙ＝ｋｘ＋ｂ的函數(shù)值ｙ小于０的自變量的所有值，就是一元一次不等式ｋｘ＋ｂ＜０的解集。

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第十四章一次函數(shù)復(fù)習(xí)小結(jié)

一、本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

二、各個(gè)知識(shí)點(diǎn)突破

（一）1、當(dāng)x、y滿足什么條件時(shí)，y是x的函數(shù)。

答：判斷的標(biāo)準(zhǔn)：對(duì)于x取一個(gè)確定的值，y是否有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)。

2、并能夠?qū)懗龊瘮?shù)的解析式，并判斷哪些是常量、變量、自變量、函數(shù)。

常量：始終不變的量。變量：數(shù)值發(fā)生變化的量。自變量：先變的那個(gè)量。函數(shù)：隨著自變量而發(fā)生變化的量。3、自變量的取值范圍。

答：三種情況：①一般情況下是全體實(shí)數(shù)。②有分母的，則分母不能為0。③開(kāi)平方的，被開(kāi)方數(shù)要≥0。練習(xí)：1、下列圖象中，表示y是x的函數(shù)圖象的是（）

2、設(shè)地面氣溫是20℃，如果每升高1千米，氣溫下降6℃，則氣溫T與高度h之間的函數(shù)關(guān)系式是。其中常量是，變量是，自變量是，是的函數(shù)。當(dāng)h=6時(shí)的函數(shù)值為。3、y=

1中，x的取值范圍是；y2x3中，x的取值范圍是。x2x中，x的取值范圍是；yx14、y2x1，x的取值范圍是。

（二）函數(shù)的表示方法有：列表法、解析式法、圖象法優(yōu)缺點(diǎn)：列表法：直觀準(zhǔn)確，但不完全。解析式法：準(zhǔn)確完全，但不直觀。

圖象法：直觀形象，但不夠準(zhǔn)確也不太完全。（三）正比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)。（掌握熟記，能夠隨手畫(huà)出圖象來(lái)）函數(shù)解析式圖象性質(zhì)①k>0時(shí)，圖象從左到右上升，經(jīng)過(guò)一、三象限，y隨著x的增大而增大。②k0時(shí)，圖象從左到右上升，y隨著x的增大而增大。②k0，圖象并于y軸正半軸；b0，b>0時(shí)，函數(shù)圖象過(guò)一、二、三象限k>0，b

3、下列函數(shù)當(dāng)中，①y2x1，②y2x1③，y2x1，④y2x1，⑤y11x1，⑥yx1，22y隨著x的增大而減小的有，交于y軸正半軸的有，圖象經(jīng)過(guò)一、二、四象限的有。

4、利用兩點(diǎn)法畫(huà)出下列圖象。

方法：正比例函數(shù)：確定兩點(diǎn)：原點(diǎn)（0,0）和（1,k），

一次函數(shù)：確定兩點(diǎn)：與y軸的交點(diǎn)即x=0，算出y的值（0,）、與x軸的交點(diǎn)即y=0，算出x的值（,0）。（1）y11x（2）y2x1（3）yx122

（四）能夠用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式。

方法：①先設(shè)出相應(yīng)的解析式。如正比例函數(shù)（過(guò)原點(diǎn)的圖象）則設(shè)為y=kx,若只說(shuō)是一條直線，則設(shè)為y=kx+b。②再?gòu)囊阎獥l件或圖象上確定兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。（注：若是正比例函數(shù)，只要確定一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即可）

③把點(diǎn)的坐標(biāo)的橫坐標(biāo)（作為x的值）、縱坐標(biāo)（作為y的值）代入解析式中，解出k、b的值。④k、b的值值代入原設(shè)的解析式中得出解析式。練習(xí)：1、直線過(guò)點(diǎn)（3,2）且與y軸的并點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-2），求直線的解析式。

2、直線過(guò)原點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)(0,3)，求直線的解析式。

（五）一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程組與一次函數(shù)之間的關(guān)系。（1）一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系。（注：先把一元一次方程轉(zhuǎn)化為ax+b=0的形式。）

一元一次方程ax+b=0與求自變量x為何值時(shí)，一次函數(shù)y=ax+b的值為0實(shí)際上是同一個(gè)問(wèn)題。表現(xiàn)在圖象上即直線y=ax+b與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是方程ax+b=0的解。（2）一元一次不等式與一次函數(shù)的關(guān)系。（注：先把一元一次不等式轉(zhuǎn)化為ax+b＞0或ax+b＜0的形式。）

一元一次方程ax+b＞0或ax+b＜0可以看作是：當(dāng)一次函數(shù)y=ax+b的值大于0或小于0時(shí)，求自變量相應(yīng)的取值范圍。表現(xiàn)在圖象上：ax+b＞0即直線y=ax+b在x軸上方的圖象對(duì)應(yīng)的x的取值范圍。ax+b＜0即直線y=ax+b在x軸下方的圖象對(duì)應(yīng)的x的取值范圍。（3）二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系。（注：先把每一個(gè)一元一次方程轉(zhuǎn)化為y=ax+b的形式，即用含x的式子表示y）

二元一次方程組y1kx1b1可以轉(zhuǎn)化為：兩個(gè)一次函數(shù)在自變量取何值時(shí)，函數(shù)值相等。在圖象上表現(xiàn)為：

y2kx2b2求兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo)的問(wèn)題。

練習(xí)：利用函數(shù)圖象解下列方程、不等式和方程組。

xy3（1）3x2x2(2)5x33x5(3)

3xy5

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