復變函數(shù)與積分變換總結(jié)

第二章小結(jié)

本章主要介紹了解析函數(shù)的概念，給出了一些初等函數(shù)的定義，并研究了這些初等函數(shù)的性質(zhì),主要知識點有

一、與函數(shù)解析有關的問題：要看解析，先看可導

1.解析與可導的關系：

區(qū)域內(nèi)等價，一點處并不等價，一點處解析是比一點處可導更強的概念

2.一元實變函數(shù)具有的一些求導運算法則對復變函數(shù)同樣成立，如四則運算、復合運算、反函數(shù)求導等

3.形式較簡單的函數(shù)在一點可導的判斷及求導方法(1).可導定義

(2).轉(zhuǎn)化為這些復變函數(shù)對應的兩個二元實變函數(shù)的討論a.判斷可導：可微性、C-R方程

b.求導：f"(z)uvixx4.形式較復雜函數(shù)在一點可導判斷及求導步驟：

拆解為一些形式較簡單的函數(shù)；研究這些函數(shù)的可導性并求導；利用求導法則得原函數(shù)的可導性及導數(shù)

二、與初等函數(shù)有關的問題及要求

1.熟記各種初等函數(shù)的定義公式、解析性及求導公式2.高數(shù)中的初等函數(shù)與復變函數(shù)中初等函數(shù)的區(qū)別

ez僅是一個記號、指數(shù)函數(shù)的周期為2ki(kZ)；負實數(shù)的對數(shù)有意義、

LnznLnz,Lnz1nn1n在復數(shù)范圍內(nèi)不再成立；abebLna(a0)；Lnzsinz1,cosz1在復數(shù)范圍內(nèi)不再成立

三、與三角函數(shù)及雙曲函數(shù)有關的復數(shù)方程的求解步驟

1.根據(jù)三角函數(shù)及雙曲函數(shù)的定義將所給方程用e或e表示2.整理為關于e或e的一元二次方程后并配方、開方3.利用方程ez解的公式得原方程解公式例求解方程shzi

wizzizz

擴展閱讀：復變函數(shù)與積分變換重要知識點歸納

復變函數(shù)復習重點

(一)復數(shù)的概念

1.復數(shù)的概念：zxiy，x,y是實數(shù),

xRez,yImz.i21.

注：一般兩個復數(shù)不比較大小，但其模（為實數(shù)）有大小.2.復數(shù)的表示1）模：zx2y2；

2）幅角：在z0時，矢量與x軸正向的夾角，記為Argz（多值函數(shù)）；主值argz是位于(,]中的幅角。3）argz與arctany之間的關系如下：

xy；xyxyx當x0,

argzarctany0,argzarctan當x0,y0,argzarctan；

4）三角表示：zzcosisin，其中argz；注：中間一定是“+”號。

5）指數(shù)表示：z(二)復數(shù)的運算

1.加減法：若z1x1iy1,z2x2iy2，則z1z2x1x2iy1y22.乘除法：

1）若z1x1iy1,z2x2iy2，則

z1z2x1x2y1y2ix2y1x1y2；

zei，其中argz。

z1x1iy1x1iy1x2iy2x1x2y1y2y1x2y2x1i2222z2x2iy2x2iy2x2iy2x2y2x2y2z1ei1,z2z2ei2,

。

2）若z1則

z1z2z1z2e1i2；z1z2z1z2e1i2

3.乘冪與方根1）若z2）若zn1nz(cosisin)zei，則znz(cosnisinn)zeinnn。

z(cosisin)zei，則

2k2kzzcosisinnn(k0,1,2n1)（有n個相異的值）

（三）復變函數(shù)

1．復變函數(shù)：wfz，在幾何上可以看作把z平面上的一個點集D變到w平面上的一個點集G的映射.2．復初等函數(shù)

1）指數(shù)函數(shù)：ezexcosyisiny，在z平面處處可導，處處解析；且ezez。

注：ez是以2i為周期的周期函數(shù)。（注意與實函數(shù)不同）3）對數(shù)函數(shù)：

Lnzlnzi(argz2k)(k0,1,2)（多值函數(shù)）；

主值：lnzlnziargz。（單值函數(shù)）

Lnz的每一個主值分支lnz在除去原點及負實軸的z平面內(nèi)處處

解析，且lnz1；

z注：負復數(shù)也有對數(shù)存在。（與實函數(shù)不同）

3）乘冪與冪函數(shù)：abebLna(a0)；zbebLnz(z0)

注：在除去原點及負實軸的z平面內(nèi)處處解析，且zbbzb1。

eizeizeizeizsinzcosz,cosz,tgz,ctgz4）三角函數(shù)：sinz2i2coszsinz

sinz,cosz在z平面內(nèi)解析，且sinzcosz,coszsinz

注：有界性sinz1,cosz1不再成立；（與實函數(shù)不同）

4）雙曲函數(shù)

shzezezezezshz,chz22；

平面內(nèi)解析，且

奇函數(shù)，chz是偶函數(shù)。在sh,zchzzshzc,hzchz。shz

（四）解析函數(shù)的概念1．復變函數(shù)的導數(shù)1）點可導：

fz0=limfz0zfz0zz0；

2）區(qū)域可導：fz在區(qū)域內(nèi)點點可導。2．解析函數(shù)的概念

1）點解析：fz在z0及其z0的鄰域內(nèi)可導，稱fz在z0點解析；2）區(qū)域解析：fz在區(qū)域內(nèi)每一點解析，稱fz在區(qū)域內(nèi)解析；3）若f(z)在z0點不解析，稱z0為fz的奇點；

3．解析函數(shù)的運算法則：解析函數(shù)的和、差、積、商（除分母為零的點）仍為解析函數(shù)；解析函數(shù)的復合函數(shù)仍為解析函數(shù)；（五）函數(shù)可導與解析的充要條件

1．函數(shù)可導的充要條件：fzux,yivx,y在zxiy可導

ux,y和vx,y在x,y可微，且在x,y處滿足CD條件：

uvyxuv,xy此時，有fzuiv。

xx2．函數(shù)解析的充要條件：fzux,yivx,y在區(qū)域內(nèi)解析

ux,y和vx,y在x,y在

uv；yxD內(nèi)可微，且滿足

CD條件：

uv,xy此時fzuiv。

xx注意：若ux,y,vx,y在區(qū)域D具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則ux,y,vx,y在區(qū)域D內(nèi)是可微的。因此在使用充要條件證明時，只要能說明u,v具有一階連續(xù)偏導且滿足CR條件時，函數(shù)f(z)uiv一定是可導或解析的。

3．函數(shù)可導與解析的判別方法

1）利用定義（題目要求用定義，如第二章習題1）2）利用充要條件（函數(shù)以fzux,yivx,y形式給出，如第二章習題2）

3）利用可導或解析函數(shù)的四則運算定理。（函數(shù)fz是以z的形式給出，如第二章習題3）

（六）復變函數(shù)積分的概念與性質(zhì)

1．復變函數(shù)積分的概念：cfzdzlimfkzk，c是光滑曲線。nk1注：復變函數(shù)的積分實際是復平面上的線積分。2．復變函數(shù)積分的性質(zhì)1）2）

nfzdzccc1fzdz（c1與c的方向相反）；

cc[fzgz]dzfzdzgzdz,,是常數(shù)；

123）若曲線c由c1與c2連接而成，則cfzdzcfzdzcfzdz。

3．復變函數(shù)積分的一般計算法

1）化為線積分：cfzdzcudxvdyicvdxudy；（常用于理論證明）2）參數(shù)方法：設曲線c：

zzt(t)，其中對應曲線c的起

點，對應曲線c的終點，則cfzdz[f)。tdtz]t(z（七）關于復變函數(shù)積分的重要定理與結(jié)論

1．柯西古薩基本定理：設fz在單連域B內(nèi)解析，c為B內(nèi)任一閉曲線，則

fzdz0

c2．復合閉路定理：設fz在多連域D內(nèi)解析，c為D內(nèi)任意一條簡單閉曲線，c1,c2,cn是c內(nèi)的簡單閉曲線，它們互不包含互不相交，并且以c1,c2,cn為邊界的區(qū)域全含于D內(nèi)，則

fzdz,其中c與ck均取正向；①fzdzk1cckn1②fzdz0，其中由c及c(k1,2,n)所組成的復合閉路。

3．閉路變形原理：一個在區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)fz沿閉曲線c的積分，不因c在D內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值，只要在變形過程中c不經(jīng)過使fz不解析的奇點。

4．解析函數(shù)沿非閉曲線的積分：設fz在單連域B內(nèi)解析，Gz為fz在B內(nèi)的一個原函數(shù)，則zz21fzdzGz2Gz1(z1,z2B)

說明：解析函數(shù)fz沿非閉曲線的積分與積分路徑無關，計算時只要求出原函數(shù)即可。

5�？挛鞣e分公式：設fz在區(qū)域D內(nèi)解析，c為D內(nèi)任一正向簡單閉曲線，c的內(nèi)部完全屬于

4

D，z0為c內(nèi)任意一點，則

zzdz2ifz

c00fz6．高階導數(shù)公式：解析函數(shù)fz的導數(shù)仍為解析函數(shù)，它的n階導數(shù)為

fz2idzc(zz)n1n!0fnz0(n1,2)

其中c為fz的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞z0的任何一條正向簡單閉曲線，而且它的內(nèi)部完全屬于D。7．重要結(jié)論：

2i,1dzn1(za)0,cn0n0。（c是包含a的任意正向簡單閉曲

線）

8．復變函數(shù)積分的計算方法

1）若fz在區(qū)域D內(nèi)處處不解析，用一般積分法

fzdzcf[zt]ztdt

2）設fz在區(qū)域D內(nèi)解析，

c是D內(nèi)一條正向簡單閉曲線，則由柯西古薩定理，cfzdz0c是D內(nèi)的一條非閉曲線，z1,z2對應曲線c的起點和終點，則有

z2z1cfzdzfzdzFz2Fz1

3）設fz在區(qū)域D內(nèi)不解析

fzdz2ifz0czz0曲線c內(nèi)僅有一個奇點：（f(z)在c內(nèi)解析）fzdz2ifnz0c(zz)n1n!0n曲線c內(nèi)有多于一個奇點：fzdz（ci內(nèi)只有一個奇fzdzck1ck

點zk）

或：fzdz2iRes[f(z),zk]（留數(shù)基本定理）

ck1n若被積函數(shù)不能表示成算。

fz(zzo)n1，則須改用第五章留數(shù)定理來計

（八）解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關系

1．調(diào)和函數(shù)的概念：若二元實函數(shù)(x,y)在D內(nèi)有二階連續(xù)偏導數(shù)

22且滿足220，

xy(x,y)為D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。

2．解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關系

解析函數(shù)fzuiv的實部u與虛部v都是調(diào)和函數(shù)，并稱虛部v為實部u的共軛調(diào)和函數(shù)。

兩個調(diào)和函數(shù)u與v構(gòu)成的函數(shù)f(z)uiv不一定是解析函數(shù)；但是若u,v如果滿足柯西

黎曼方程，則uiv一定是解析函數(shù)。

3．已知解析函數(shù)fz的實部或虛部，求解析函數(shù)fzuiv的方法。1）偏微分法：若已知實部uux,y，利用CR條件，得v,v；

xy對vu兩邊積分，得vudygx（*）

yxx再對（*）式兩邊對x求偏導，得vxudygxxx（**）

gx；

由CR條件，uv，得uyxyudygx，可求出xx

代入（*）式，可求得虛部vudygx。

x2）線積分法：若已知實部

dvvvuudxdydxdy，xyyxx,y00uu,xy，利用

CR條件可得

故虛部為vx,yudxudyc；

yx由于該積分與路徑無關，可選取簡單路徑（如折線）計算它，其中x0,y0與x,y是解析區(qū)域中的兩點。

3）不定積分法：若已知實部uux,y，根據(jù)解析函數(shù)的導數(shù)公式和CR條件得知，

fzuvuuiixyxy將此式右端表示成z的函數(shù)Uz，由于fz仍為解析函數(shù)，故

fzUzdzc（c為實常數(shù)）注：若已知虛部v也可用類似方法求出實部u.（九）復數(shù)項級數(shù)1．復數(shù)列的極限

1）復數(shù)列{n}{anibn}（n1,2）收斂于復數(shù)abi的充要條件為

limana,nlimbnb

n（同時成立）

2）復數(shù)列{n}收斂實數(shù)列{an},{bn}同時收斂。2．復數(shù)項級數(shù)

1）復數(shù)項級數(shù)n(nanibn)收斂的充要條件是級數(shù)an與bn同

n0n0n0時收斂；

n0。2）級數(shù)收斂的必要條件是limn

注：復數(shù)項級數(shù)的斂散性可以歸納為兩個實數(shù)項級數(shù)的斂散性問題的討論。

（十）冪級數(shù)的斂散性

1．冪級數(shù)的概念：表達式cn(zz0)或cnzn為冪級數(shù)。

nn0n02．冪級數(shù)的斂散性

1）冪級數(shù)的收斂定理阿貝爾定理(Abel)：如果冪級數(shù)cnzn在z00n0處收斂，那么對滿足zz0的一切z，該級數(shù)絕對收斂；如果在的一切z，級數(shù)必發(fā)散。

z0處發(fā)散，那么對滿足zz02）冪級數(shù)的收斂域圓域

冪級數(shù)在收斂圓域內(nèi)，絕對收斂；在圓域外，發(fā)散；在收斂圓的圓周上可能收斂；也可能發(fā)散。

3）收斂半徑的求法：收斂圓的半徑稱收斂半徑。

cn1比值法如果limncn0，則收斂半徑R1；

根值法

limcn0，則收斂半徑Rn1；

如果0，則R；說明在整個復平面上處處收斂；

如果，則R0；說明僅在zz0或z0點收斂；

注：若冪級數(shù)有缺項時，不能直接套用公式求收斂半徑。（如cnz2n）

n03．冪級數(shù)的性質(zhì)

1）代數(shù)性質(zhì)：設anz,bnzn的收斂半徑分別為R1與R2，記

nn0n0RminR1,R2，

則當zR時，有

nn(an0nbn)zanzbnzn

n0n0（線性運算）

（乘積運算）

(anz)(bnz)(anb0an1b1a0bn)znnnn0n0n02）復合性質(zhì)：設當且gzr，

則當zr時，fannn0，當zR時，gz解析

R時，f[gz]an[gz]n。

n03）分析運算性質(zhì)：設冪級數(shù)anzn的收斂半徑為R0，則

n0其和函數(shù)fzanzn是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù)；

n0在收斂圓內(nèi)可逐項求導，收斂半徑不變；且

zR

fznanzn1

n0

在收斂圓內(nèi)可逐項求積，收斂半徑不變；0fzdzzR

zann1zn0n1

（十一）冪函數(shù)的泰勒展開1.泰勒展開：設函數(shù)fz在圓域zz0可以展開成冪級數(shù)fzn0R內(nèi)解析，則在此圓域內(nèi)fzfnz0n!n并且此展開式是唯一的。zz0；

注：若fz在z0解析，則fz在z0的泰勒展開式成立的圓域的收斂半徑Rz0a；

其中R為從z0到fz的距z0最近一個奇點a之間的距離。

2．常用函數(shù)在z00的泰勒展開式

1nz2z3zn1）ez1z

2!3!n!n0n!z12）zn1zz2zn

1zn0z

z1

(1)n2n1z3z5(1)n2n13）sinzzzz

3!5!(2n1)!n0(2n1)!z

(1)n2nz2z4(1)n2n4）coszz1z

(2n)!2!4!(2n)!n0z

3．解析函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法1）直接法：直接求出cn1fnz0n!，于是fzcnzz0n。

n02）間接法：利用已知函數(shù)的泰勒展開式及冪級數(shù)的代數(shù)運算、復合運算和逐項求導、逐項求積等方法將函數(shù)展開。（十二）冪函數(shù)的洛朗展開

1.洛朗級數(shù)的概念：cnzz0n，含正冪項和負冪項。

n2．洛朗展開定理：設函數(shù)fz在圓環(huán)域R1zz0R2內(nèi)處處解析，

c為圓環(huán)域內(nèi)繞z0的任意一條正向簡單閉曲線，則在此在圓

環(huán)域內(nèi)，有fzcnzz0n，且展開式唯一。

n3．解析函數(shù)的洛朗展開法：洛朗級數(shù)一般只能用間接法展開。*4．利用洛朗級數(shù)求圍線積分：設fz在rrzz0R內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線，則c1為f(z)在rzz0R內(nèi)洛朗展開式中

zz0R內(nèi)解析，c為

fzdz2ic。其中

c11zz0的系數(shù)。

說明：圍線積分可轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的洛朗展開式中(zz0)1的系

數(shù)。

（十三）孤立奇點的概念與分類

1。孤立奇點的定義：fz在z0點不解析,但在z0的0析。

2。孤立奇點的類型：

1）可去奇點：展開式中不含

fzc0c1zz0c2zz0

2zz0內(nèi)解

zz0的負冪項；

2）極點：展開式中含有限項zz0的負冪項；

c(m1)gzcmc12fzcc(zz)c(zz),01020(zz0)m(zz0)m1(zz0)(zz0)m其中g(shù)zcmc(m1)(zz0)c1(zz0)m1c0(zz0)m在z0解析，且gz00,m1,cm0；

3）本性奇點：展開式中含無窮多項zz0的負冪項；

fzcmc1mcc(zz)c(zz)010m0m(zz0)(zz0)

（十四）孤立奇點的判別方法

fzc0常數(shù)；1．可去奇點：zlimz0fz2．極點：zlimz0fz不存在且不為。3．本性奇點：zlimz04．零點與極點的關系

1）零點的概念：不恒為零的解析函數(shù)fz，如果能表示成

fz(zz0)mz，

其中z在z0解析，z00,m為正整數(shù)，稱z0為fz的m級零點；2）零點級數(shù)判別的充要條件

z0是

nfz00,fz的m級零點mfz00(n1,2,m1)

1的m級極點；fz3）零點與極點的關系：z0是fz的m級零點z0是4）重要結(jié)論

若za分別是z與z的m級與n級零點，則

za是zz的mn級零點；

z當mn時，za是的mn級零點；

zz當mn時，za是的nm級極點；

zz當mn時，za是的可去奇點；

z當mn時，za是zz的l級零點，lmin(m,n)

當mn時，za是zz的l級零點，其中l(wèi)m(n)（十五）留數(shù)的概念

1．留數(shù)的定義：設z0為fz的孤立奇點，fz在z0的去心鄰域

0zz0內(nèi)解析，c為該域內(nèi)包含z0的任一正向簡單閉曲線，則稱

c積分

fz2i1d為zfzfzdz

在

z0的留數(shù)（或殘留），記作

Res[fz,z0]c2i12．留數(shù)的計算方法

若z0是fz的孤立奇點，則Res[fz,z0]c1，其中c1為fz在

z0的去心鄰域內(nèi)洛朗展開式中(zz0)1的系數(shù)。

1）可去奇點處的留數(shù)：若z0是fz的可去奇點，則Res[fz,z

12

0]

2）m級極點處的留數(shù)

法則I若z0是fz的m級極點，則

1dm1Res[fz,z0]limm1[(zz0)mfz]

(m1)!zz0dz特別地，若z0是fz的一級極點，則Res[fz,z0]lim(zz0)fz

zz0注：如果極點的實際級數(shù)比m低，上述規(guī)則仍然有效。

Pz法則II設fz，Pz,Qz在z0解析，Pz00,

QzQz00,Qz00，則Res[PzQz,z0]Pz0Qz0（十六）留數(shù)基本定理

設fz在區(qū)域D內(nèi)除有限個孤立奇點z1,z2,zn外處處解析，c為

cD內(nèi)包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線，則

nn1fzdz2iRes[fz,z]

說明：留數(shù)定理把求沿簡單閉曲線積分的整體問題轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)fz在c內(nèi)各孤立奇點處留數(shù)的局部問題。

積分變換復習提綱

一、傅里葉變換的概念

F[f(t)]f(t)ejwtdtF(w)

F1[F()]12F()ejtdf(t)

二、幾個常用函數(shù)的傅里葉變換

F[e(t)]1j1()jF[u(t)]F[(t)]1F[1]2()

三、傅里葉變換的性質(zhì)

位移性（時域）：F[f(tt0)]ejwt00F[f(t)]

0位移性（頻域）：F[ejwtf(t)]F(w)www位移性推論：F[sinw0tf(t)]F(ww0)

1[F(ww0)F(ww0)]2j位移性推論：F[cosw0tf(t)]1[F(ww0)F(ww0)]

2微分性（時域）：F[f(t)](jw)F(w)（tF[f(n)(t)](jw)nF(w)，t,f(n1)(t)0

,f(t)0），

微分性（頻域）：F[(jt)ft]Fw,F[(jt)nf(t)]F(n)(w)相似性：F[f(at)]1wF()aa(a0)

四、拉普拉斯變換的概念

L[f(t)]0f(t)estdtF(s)

五、幾個常用函數(shù)的拉普拉斯變換

L[ekt]1；sk(m1)m!1是自然數(shù)；（)L[tm](m(1)1,(),(m1)m(m)）

sm1sm12

L[u(t)]L[1]L[(t)]1

1；sL[sinkt]k,s2k2kL[shkt]2,sk2設

ss2k2sL[chkt]2sk2T1則L[f()（f(t)是以T為周期的周期f(tT)f(t)，]t()ftdt。Ts01eL[coskt]函數(shù)）

六、拉普拉斯變換的性質(zhì)

微分性（時域）：L[ft]sFsf0,L[f(t)]s2F(s)sf(0)f(0)

([)tft]F微分性（頻域）：Ls，L[(t)nft]F(n)s

tFs積分性（時域）：L[0ftdt]

s積分性（頻域）：L[ftt]Fsds（收斂）

s位移性（時域）：L[eatft]Fsa相似性：L[f(at)]1F(s)

aa

位移性（頻域）：L[ft]esFs（0,t0,f(t)0）

(a0)

七、卷積及卷積定理

f1(t)*f2(t)f1()f2(t)d

F[f1(t)f2(t)]F1(w)F2(w)

F[f1(t)f2(t)]1F1(w)F2(w)2L[f1(t)f2(t)]F1(s)F2(s)

八、幾個積分公式f(t)(t)dtf(0)f(t)(tt0)dtf(t0)

15

0f(t)dtL[f(t)]dsF(s)ds1600t

0f(t)ektdtL[f(t)]sk

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