一元二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

3.4一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

復(fù)習(xí)目標(biāo)1．掌握一元二次函數(shù)圖象的畫法及圖象的特征

2．掌握一元二次函數(shù)的性質(zhì)，能利用性質(zhì)解決實(shí)際問題3．會(huì)求二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最大（�。┲�4．掌握一元二次函數(shù)、一元二次方程的關(guān)系。

知識(shí)回顧1．函數(shù)yax2bxc(a0)叫做一元二次函數(shù)。2.一元二次函數(shù)的圖象是一條拋物線。

3．任何一個(gè)二次函數(shù)yax2bxc(a0)都可把它的解析式配方為頂點(diǎn)式：

b2a4acb4a2ya(x)2，

性質(zhì)如下：

（1）圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(（2）最大（�。┲�

①當(dāng)a0，函數(shù)圖象開口向上，y有最小值，ymin4acb4a4acb4ab2a2b2a,4acb4a2)，對(duì)稱軸是直線xb2a。

2，無最大值。

②當(dāng)a0，函數(shù)圖象開口向下，y有最大值，ymax（3）當(dāng)a0，函數(shù)在區(qū)間(,當(dāng)a0，函數(shù)在區(qū)間上(b2ab2a)上是減函數(shù)，在(，無最小值。

,)上是增函數(shù)。b2a)上是增函數(shù)。

,)是減函數(shù)，在(,【說明】1.我們研究二次函數(shù)的性質(zhì)常用的方法有兩種：配方法和公式法。

2．無論是利用公式法還是配方法我們都可以直接得出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸；

但我們討論函數(shù)的最值以及它的單調(diào)區(qū)間時(shí)一定要考慮它的開口方向。

例題精解一、一元二次函數(shù)的圖象的畫法【例1】求作函數(shù)y【解】y12212x4x6的圖象

12(x8x12)

22x4x12[(x4)22-4]12(x4)22-2

以x4為中間值，取x的一些值，列表如下：x-7-6-5-4-3-2-1y52032-232052【例2】求作函數(shù)yx24x3的圖象�！窘狻縴x24x3(x24x3)[(x2)27][(x2)27

先畫出圖角在對(duì)稱軸x2的右邊部分，列表

xy-2-176051423

【點(diǎn)評(píng)】畫二次函數(shù)圖象步驟：(1)配方；(2)列表；

(3)描點(diǎn)成圖；也可利用圖象的對(duì)稱性，先畫出函數(shù)的左（右）邊部分圖象，再利用對(duì)稱性描出右（左）部分就可。

二、一元二次函數(shù)性質(zhì)

【例3】求函數(shù)yx26x9的最小值及圖象的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并求它的單調(diào)區(qū)間�！窘狻縴x26x2x26x97(x3)27

由配方結(jié)果可知：頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3，7)，對(duì)稱軸為x3；10∴當(dāng)x3時(shí)，ymin7

函數(shù)在區(qū)間(，3]上是減函數(shù)，在區(qū)間[3，)上是增函數(shù)。

【例4】求函數(shù)y5x3x1圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、最值及它的單調(diào)區(qū)間。

b2a32(5)3104acb4a,2922，

33104(5)134(5)292022920

∴函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(50∴當(dāng)x函數(shù)在區(qū)間(,3101020)，對(duì)稱軸為x

2920時(shí)，函數(shù)取得最大值ymaz

]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3,)上是減函數(shù)。

【點(diǎn)評(píng)】要研究二次函數(shù)頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、最值、單調(diào)區(qū)間等性質(zhì)時(shí)，方法有兩個(gè)：(1)配方法；如例3

(2)公式法：適用于不容易配方題目(二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù))如例4，可避免出錯(cuò)。任何一個(gè)函數(shù)都可配方成如下形式：ya(x三、二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

【例5】(1)如果f(x)x2bxc對(duì)于任意實(shí)數(shù)t都有f(3t)f(3t)，那么（）

（A）f(3)f(1)f(4)（C）f(3)f(4)f(1)

（B）f(1)f(3)f(4)（D）f(4)f(3)f(1)

b2a)24acb4a2(a0)

【解】∵f(3t)f(3t)對(duì)于一切的tR均成立

∴f(x)的圖像關(guān)于x3對(duì)稱又a10∴

拋物線開口向上。

∴f(3)是f(x)的最小值。

1343，

∴f(3)f(4)f(1)

(2)如果f(x)x2bxc對(duì)于任意實(shí)數(shù)t都有f(2t)f(2t)，則f(1)

f(1)。(用“”或“”填空)

【解】∵f(2t)f(2t)對(duì)于一切的tR均成立

∴f(x)的圖像關(guān)于x2對(duì)稱又a10

∴

拋物線開口向下。

1(2)1(2)，

∴f(1)f(1)

【點(diǎn)評(píng)】1.當(dāng)a0時(shí)，對(duì)稱軸通過它的最低點(diǎn)(此時(shí)函數(shù)有最小值)，如果這時(shí)有一個(gè)點(diǎn)離圖象對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就越大。如例5(1)中當(dāng)x1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)比當(dāng)x4所對(duì)

應(yīng)的點(diǎn)離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，所以x1時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也比較大。

2．1.當(dāng)a0時(shí)，對(duì)稱軸通過它的最高點(diǎn)(此時(shí)函數(shù)有最大值)，如果這時(shí)有一個(gè)點(diǎn)離圖象對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就越小。如例5(2)中當(dāng)x1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)比當(dāng)x1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，所以x1對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也比較小�！纠�6】求函數(shù)yx2x5在給定區(qū)間[1,5]上的最值。

【解】（1）原函數(shù)化為yx22x5x16

2∵a10∴當(dāng)x1時(shí)，ymin6

又∵1151∴當(dāng)x5時(shí)，ymax(51)2610

（2）原函數(shù)可化為：y(x13)2109，圖象的對(duì)稱軸是直線x13

注意到當(dāng)1x2時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)∴yminf(2)2223214431133

【例7】已知函數(shù)y(n2)x2nx1是偶函數(shù)，試比較f(2)，f(2)，f(5)的大

小。

【解】解法一：∵y(n2)x2nx1是偶函數(shù)，

∴n0,∴y2x21

∴可知函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x0又∵a20，

502020

∴f(2)f(2)f(5)

解法二：∵y(m1)x22mx3是偶函數(shù)，

∴n0,∴y2x21

可知y2x1在(0,)上單調(diào)遞減

22又∵y(n2)xnx1是偶函數(shù)，∴f(5)f(5)

而52

2

∴f(2)f(2)f(5)∴f(2)f(2)f(5)

三、一元二次函數(shù)、一元二次方程的關(guān)系。

【例8】求當(dāng)k為何值時(shí)，函數(shù)y2x4xk的圖象與x軸(1)只有一個(gè)公共點(diǎn)；(2)

有兩個(gè)公共點(diǎn)；(3)沒有公共點(diǎn).

【解】令2x4xk0，則2xxk0的判別式b4ac168k

22(1)當(dāng)0，即168k0，k2時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，這時(shí)圖象與x軸只

有一個(gè)公共點(diǎn)；(2)當(dāng)0，即168k0，k2時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，這時(shí)圖象與x軸

有兩個(gè)公共點(diǎn)；(3)當(dāng)0，即168k0，k2時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，這時(shí)圖象與x軸

無公共點(diǎn)；

同步訓(xùn)練一．選擇題

1．二次函數(shù)yx22x5的值域是（）

4］Ｄ．(,�。粒�［4，　)Ｂ．(4,　　)Ｃ．(，　　4)

2．如果二次函數(shù)y5x2mx4在區(qū)間(,1)上是減函數(shù)，在區(qū)間[1,)上是增函數(shù)，則m（）

Ａ．2Ｂ．-2Ｃ．10Ｄ．-10

3．如果二次函數(shù)yx2mx(m3)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的聚值范圍是（）Ａ．(,2)(6,)Ｂ．(2,6)Ｃ．[2,6)0Ｄ．{2,6}4．函數(shù)y12xx3的最小值是（）

12.Ｃ．3Ｄ．312.

2Ａ．-3.Ｂ．35．函數(shù)y2x24x2具有性質(zhì)（）

Ａ．開口方向向上，對(duì)稱軸為x1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）

Ｂ．開口方向向上，對(duì)稱軸為x1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）Ｃ．開口方向向下，對(duì)稱軸為x1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）Ｄ．開口方向向下，對(duì)稱軸為x1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）6．下列命題正確的是（）Ａ．函數(shù)y2x6x3的最小值是

2232Ｂ．函數(shù)y2x6x3的最小值是

22154

Ｃ．函數(shù)yx4x3的最小值為7Ｄ．函數(shù)yx4x3的最大值為77．函數(shù)（1）y2x4x3；（2）y2x4x3；（3）y3x6x3；（4）

2y3x6x3中，對(duì)稱軸是直線x1的是（）

222Ａ．（1）與（2）Ｂ．（2）與（3）Ｃ．（1）與（3）Ｄ．（2）與（4）8．對(duì)于二次函數(shù)y2x8x，下列結(jié)論正確的是（）

Ａ．當(dāng)x2時(shí)，y有最大值8Ｂ．當(dāng)x2時(shí)，y有最大值8

Ｃ．當(dāng)x2時(shí)，y有最小值8Ｄ．當(dāng)x2時(shí)，y有最小值89．如果函數(shù)yax2bxc(a0)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)t都有f(2t)f(2t)，那么下列選項(xiàng)中正確的是（）

Ａ．f(2)f(1)f(4)Ｂ．f(1)f(2)f(4)Ｃ．f(2)f(4)f(1)Ｄ．f(4)f(2)f(1)10．若二次函數(shù)ya2x24x1有最小值，則實(shí)數(shù)a＝（）Ａ．2Ｂ．二．填空

1．若函數(shù)f(x)2x2x1，則f(x)的對(duì)稱軸是直線2．若函數(shù)y2x2bx3在區(qū)間(,2]上是減函數(shù)，在區(qū)間(2,]是增函數(shù)，則b3．函數(shù)y2x23x9的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是、4．已知y9x26x6，則y有最值為5．已知y4x228x1，則y有最值為三．解答題

1．已知二次函數(shù)yx24x3，（1）指出函數(shù)圖象的開口方向；（2）當(dāng)x為何值時(shí)y0；（3）求函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸和最值。

2.如果二次函數(shù)f(x)xkx(k8)與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)，求k的值。

3．已知二次函數(shù)f(x)x2(m1)2mm，（1）如果它的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，求m的值。

（2）如果它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，寫出函數(shù)的關(guān)系式。

（3）如果它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，試比較f(2)、f(3)、f(2)。

2222Ｃ．2Ｄ．

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