二次函數(shù)性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)填空(非試卷)

二次函數(shù)性質(zhì)（復(fù)習(xí)）

潤(rùn)州區(qū)教研室徐義明

一、教學(xué)目標(biāo)

1、使學(xué)生進(jìn)一步理解二次函數(shù)性質(zhì)及系數(shù)a、b、c及△與函數(shù)yax2bxc圖象之間的關(guān)系。

2、會(huì)求二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，理解二次函數(shù)與二次方程、二次不等式之間關(guān)系。4、讓學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合的思想，初步掌握數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的方法。

5、通過(guò)自主探究、合作交流活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)熱情以及與同伴合作的欲望。二、教學(xué)重點(diǎn)：二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用；難點(diǎn)：對(duì)數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的感受。三、教學(xué)過(guò)程：教學(xué)內(nèi)容學(xué)生活動(dòng)1、回顧并歸納總結(jié)二次函數(shù)性質(zhì)2、交流討論基礎(chǔ)練習(xí)。3、展示成果4提出問(wèn)題討論交流教師活動(dòng)1、引導(dǎo)學(xué)生歸納、總結(jié)二次函數(shù)性質(zhì)2、組織學(xué)生交流、討論，并參與、指導(dǎo)3、總結(jié)：方法和注意點(diǎn)（1）、增減性注意開(kāi)口方向（2）、拋物線平移看頂點(diǎn)（3）、求與x軸、y軸交點(diǎn)的方法。(一）知識(shí)回顧1、填表ya(xh)2k(a0)yax2bxc(a0)對(duì)稱軸頂點(diǎn)最值增減性2、基礎(chǔ)訓(xùn)練（1）拋物線y1(x2)2的對(duì)稱軸為，2頂點(diǎn)坐標(biāo)為。當(dāng)x=時(shí)，y取最值，此值為。當(dāng)x2時(shí)，y隨x的增大而。（2）由拋物線y2112x怎樣平移得到y(tǒng)(X1)22。22（3）拋物線yxx2與x軸交點(diǎn)為與y軸交點(diǎn)為。（4）已知：函數(shù)y=4x-bx+5當(dāng)x-2時(shí)，y隨x的增大而增大，則b的值為（5）如圖，函數(shù)y=ax+bx+c的圖像如圖所示，當(dāng)x=時(shí)，y=0;當(dāng)x時(shí)，y>0,當(dāng)x時(shí)，y1．獨(dú)立(二）.問(wèn)題探究思考問(wèn)題1.函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，2．合作探究，2你能確定a、b、c及△=b-4ac的符號(hào)嗎？有規(guī)律嗎？3．小組交流4．班級(jí)展示（問(wèn)題1A層面學(xué)生，問(wèn)2問(wèn)題2.已知：拋物線y=x-(a+2)x+9的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸，求a的值.題2、3B層面學(xué)生）問(wèn)題3.已知。對(duì)任意實(shí)數(shù)x,二次函數(shù)y=--x2+x+2m-1的值均為負(fù)數(shù)，求m的范圍。5．學(xué)生相互評(píng)價(jià)(三）課堂鞏固總結(jié)。1、函數(shù)yax2bxc的圖像如圖所示，則a、b、c符號(hào)為（）A、a0,b0,c0練習(xí)1獨(dú)立思考B、a0,b0,c0回答（A層次學(xué)生）C、a0,b0,c0D、a0,b0,c0練習(xí)222、直線yaxb與拋物線yaxb在同一坐標(biāo)系中的圖像大致獨(dú)立思考，為（）同伴交流（B層次學(xué)生回答）問(wèn)題1：1.巡視并指導(dǎo)學(xué)生討論2.幫助學(xué)生歸納規(guī)律：a－開(kāi)口b－對(duì)稱軸（左同右異）c－與y軸交點(diǎn)△－與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題2：強(qiáng)調(diào)分類討論。問(wèn)題3：?jiǎn)�發(fā)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題。練習(xí)1重點(diǎn)檢查A層次學(xué)生掌握情況。練習(xí)2（1）a、b分別在兩函數(shù)圖象中幾何意義。（2）排除法方法（3）兩函數(shù)圖象的聯(lián)系3、已知：二次函數(shù)yax2bxc的圖像如圖，下列結(jié)論：（1）abc0；（2）abc0；(3)abc0；（4）b2ab其中正確的結(jié)論有（）A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)4、函數(shù)yx2xm（m為常數(shù)）的圖像如圖，若xa時(shí)，y0，則xa1時(shí)，函數(shù)值（）A、y0B、0ymC、ymD、ym(四)、課堂小結(jié)：1．二次函數(shù)的性質(zhì)2．a(chǎn)、b、c及b24ac與函數(shù)yax2bxc圖象之間的關(guān)系。3．拋物線yax2bxc與坐標(biāo)軸交點(diǎn)求法4．拋物線yaxbxc與x軸位置關(guān)系5.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系6．?dāng)?shù)形結(jié)合思想2練習(xí)3、4采用小組討論，同伴合作方式進(jìn)行。學(xué)生對(duì)本節(jié)課進(jìn)行歸納總結(jié)練習(xí)3啟發(fā)學(xué)生：（1）x=1時(shí)函數(shù)值等于什么？（2）圖中有那些信息？練習(xí)4啟發(fā)學(xué)生：（1）a的范圍是什么？（2）a-1的范圍是什么？（3）取特殊值a12進(jìn)行判斷。引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)課內(nèi)容五、課后作業(yè)1、已知yax2bxc的圖象如圖所示，試判斷a,b,c的符號(hào)。2、直線yaxb和拋物線yx2axb在同一坐標(biāo)系中的圖象，可能是（）3、已知，點(diǎn)(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)均在拋物線y2x24x1上，且1x1x2x31，則y1,y2,y3的大小關(guān)系為。4、已知，二次函數(shù)yx2(3m)x2m1的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，求m的范圍。

擴(kuò)展閱讀：初中二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與練習(xí)題

二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、二次函數(shù)概念：

a0）b，c是常數(shù)，1．二次函數(shù)的概念：一般地，形如yax2bxc（a，的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這

c可以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)a0，而b，數(shù)．

2.二次函數(shù)yax2bxc的結(jié)構(gòu)特征：

⑴等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2．

b，c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．⑵a，二、二次函數(shù)的基本形式

1.二次函數(shù)基本形式：yax2的性質(zhì)：a的絕對(duì)值越大，拋物線的開(kāi)口越小。

a的符號(hào)a0開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸向上00，00，性質(zhì)x0時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y隨y軸x的增大而減��；x0時(shí)，y有最小值0．x0時(shí)，y隨x的增大而減��；x0時(shí)，y隨a0向下y軸x的增大而增大；x0時(shí)，y有最大值0．

2.yax2c的性質(zhì)：上加下減。

a的符號(hào)a0開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸向上c0，c0，性質(zhì)x0時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y隨y軸x的增大而減��；x0時(shí)，y有最小值c．x0時(shí)，y隨x的增大而減��；x0時(shí)，y隨a0向下y軸x的增大而增大；x0時(shí)，y有最大值c．

3.yaxh的性質(zhì)：

左加右減。

2a的符號(hào)a0開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸向上0h，0h，性質(zhì)xh時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y隨X=hx的增大而減��；xh時(shí)，y有最小值0．xh時(shí)，y隨x的增大而減�。粁h時(shí)，y隨a0向下X=hx的增大而增大；xh時(shí)，y有最大值0．

1

4.yaxhk的性質(zhì)：

2a的符號(hào)a0開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸向上性質(zhì)xh時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y隨h，kh，kX=hx的增大而減��；xh時(shí)，y有最小值k．xh時(shí)，y隨x的增大而減小；xh時(shí)，y隨a0向下X=hx的增大而增大；xh時(shí)，y有最大值k．三、二次函數(shù)圖象的平移1.平移步驟：

方法一：⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)axhk，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)h，k；⑵保持拋物線yax2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h，k處，具體平移方法如下：

向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k

五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)yaxbxc化為頂點(diǎn)式y(tǒng)a(xh)2k，確定其開(kāi)口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫(huà)圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與y軸

2的交點(diǎn)0，c、以及0，c關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)2h，c、與x軸的交點(diǎn)x1，0，x2，0（若與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）.

畫(huà)草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開(kāi)口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn).

六、二次函數(shù)yax2bxc的性質(zhì)

b4acb2b1.當(dāng)a0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，．

2a4a2a當(dāng)xbbb時(shí)，y隨x的增大而減��；當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x時(shí)，y有最小2a2a2a4acb2值．

4ab4acb2bb2.當(dāng)a0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為x，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，時(shí)，y隨．當(dāng)x2a4a2a2a4acb2bb．x的增大而增大；當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而減��；當(dāng)x時(shí)，y有最大值

2a2a4a七、二次函數(shù)解析式的表示方法

1.一般式：yax2bxc（a，b，c為常數(shù)，a0）；

2.頂點(diǎn)式：ya(xh)2k（a，h，k為常數(shù)，a0）；

3.兩根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.

注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫(xiě)成交點(diǎn)式，只

有拋物線與x軸有交點(diǎn)，即b24ac0時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.

八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系

1.二次項(xiàng)系數(shù)a

二次函數(shù)yax2bxc中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然a0．

⑴當(dāng)a0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，a的值越大，開(kāi)口越小，反之a(chǎn)的值越小，開(kāi)口越大；⑵當(dāng)a0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，a的值越小，開(kāi)口越小，反之a(chǎn)的值越大，開(kāi)口越大．

總結(jié)起來(lái)，a決定了拋物線開(kāi)口的大小和方向，a的正負(fù)決定開(kāi)口方向，a的大小決定開(kāi)口的大�。�2.一次項(xiàng)系數(shù)b

在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對(duì)稱軸．⑴在a0的前提下，

當(dāng)b0時(shí)，當(dāng)b0時(shí)，當(dāng)b0時(shí)，b0，即拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；2ab0，即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸；2ab0，即拋物線對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)．2a⑵在a0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即

3

當(dāng)b0時(shí)，當(dāng)b0時(shí)，當(dāng)b0時(shí)，b0，即拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)；2ab0，即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸；2ab0，即拋物線對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)．2a總結(jié)起來(lái)，在a確定的前提下，b決定了拋物線對(duì)稱軸的位置．

ab的符號(hào)的判定：對(duì)稱軸xb在y軸左邊則ab0，在y軸的右側(cè)則ab0，概括的說(shuō)就是2a“左同右異”總結(jié)：

3.常數(shù)項(xiàng)c

⑴當(dāng)c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；⑵當(dāng)c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0；⑶當(dāng)c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)．總結(jié)起來(lái)，c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置．

b，c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的．總之，只要a，二次函數(shù)解析式的確定：

根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问�，才能使解題簡(jiǎn)便．一般來(lái)說(shuō)，有如下幾種情況：

1.已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；

2.已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（�。┲担�一般選用頂點(diǎn)式；3.已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4.已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式．

九、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱

二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1.關(guān)于x軸對(duì)稱

ya2xbx關(guān)于cx軸對(duì)稱后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk關(guān)于x軸對(duì)稱后，得到的解析式是yaxhk；2.關(guān)于y軸對(duì)稱

ya2xbx關(guān)于cy軸對(duì)稱后，得到的解析式是yax2bxc；

22yaxhk關(guān)于y軸對(duì)稱后，得到的解析式是yaxhk；3.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

ya2xbx關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是cyax2bxc；yaxh關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是kyaxhk；4.關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱（即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°）

2222b2yaxbx關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是cyaxbxc；

2a224

yaxhk關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yaxhk．5.關(guān)于點(diǎn)m，n對(duì)稱

n對(duì)稱后，得到的解析式是yaxh2m2nkyaxhk關(guān)于點(diǎn)m，2222根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無(wú)論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此a永遠(yuǎn)不變．求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，然后再寫(xiě)出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式．

十、二次函數(shù)與一元二次方程：

1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)情況）：

一元二次方程ax2bxc0是二次函數(shù)yax2bxc當(dāng)函數(shù)值y0時(shí)的特殊情況.圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：

①當(dāng)b24ac0時(shí)，圖象與x軸交于兩點(diǎn)Ax1，0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次b24ac方程axbxc0a0的兩根．這兩點(diǎn)間的距離ABx2x1.

a2②當(dāng)0時(shí)，圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；

③當(dāng)0時(shí)，圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn).

1"當(dāng)a0時(shí)，圖象落在x軸的上方，無(wú)論x為任何實(shí)數(shù)，都有y0；2"當(dāng)a0時(shí)，圖象落在x軸的下方，無(wú)論x為任何實(shí)數(shù)，都有y0．2.拋物線yax2bxc的圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c)；

3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：

⑴求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；

⑵求二次函數(shù)的最大（小）值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；

⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)yax2bxc中a，b，c的符號(hào)，或由二次函數(shù)中a，b，c的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；

⑷二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).⑸與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式ax2bxc(a0)本身就是所含字母x的二次函數(shù)；下面以a0時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：

00拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值可正、可零、可負(fù)一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根.5

圖像參考：

y=2x2y=x22y=x2y=2x2+2y=2x2y=2x2-4y=2x2y=2(x-4)2y=2(x-4)2-3

2y=-x2y=-x2y=-2x2

y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2

6

十一、函數(shù)的應(yīng)用

剎車(chē)距離二次函數(shù)應(yīng)用何時(shí)獲得最大利潤(rùn)

最大面積是多少二次函數(shù)考查重點(diǎn)與常見(jiàn)題型

1．考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中，如：

已知以x為自變量的二次函數(shù)y(m2)x2m2m2的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則m的值是2．綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習(xí)題的特點(diǎn)是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)考查

兩個(gè)函數(shù)的圖像，試題類型為選擇題，如：

2如圖，如果函數(shù)ykxb的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)ykxbx1的圖像大致是（）

yyyy110xo-1x0x0-1xABCD3．考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類型有中檔解答題和選

拔性的綜合題，如：已知一條拋物線經(jīng)過(guò)(0,3)，(4,6)兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為x5，求這條拋物線的解析式。34．考查用配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、二次函數(shù)的極值，有關(guān)試題為解答題，如：3

已知拋物線yax2bxc（a≠0）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－1、3，與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是－

2（1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

5．考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見(jiàn)的作為專項(xiàng)壓軸題�！纠�題經(jīng)典】

由拋物線的位置確定系數(shù)的符號(hào)

例1（1）二次函數(shù)yax2bxc的圖像如圖1，則點(diǎn)M(b,)在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

（2）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖2所示，則下列結(jié)論：①a、b同號(hào)；②當(dāng)x=1和x=3時(shí)，函數(shù)值相等；③4a+b=0；④當(dāng)y=-2時(shí)，x的值只能取0.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

ca

(1)(2)

7

【點(diǎn)評(píng)】弄清拋物線的位置與系數(shù)a，b，c之間的關(guān)系，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

例2.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)(-2，O)、(x1，0)，且1

（2）請(qǐng)你根據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補(bǔ)充完整。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于第（1）小題，要根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有信息求出題中的二次函數(shù)解析式，就要把原來(lái)的結(jié)論“函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x=3”當(dāng)作已知來(lái)用，再結(jié)合條件“圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（c，－2）”，就可以列出兩個(gè)方程了，而解析式中只有兩個(gè)未知數(shù)，所以能夠求出題中的二次函數(shù)解析式。對(duì)于第（2）小題，只要給出的條件能夠使求出的二次函數(shù)解析式是第（1）小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件，可以考慮再給圖象上的一個(gè)任意點(diǎn)的坐標(biāo)，可以給出頂點(diǎn)的坐標(biāo)或與坐標(biāo)軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)等。

[解答]（1）根據(jù)y12xbxc的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（c，－2），圖象的對(duì)稱軸是x=3，2122cbcc2,得b3,122解得b3,

c2.12x3x2.圖象如圖所示。2所以所求二次函數(shù)解析式為y（2）在解析式中令y=0，得

12x3x20，解得x135,x235.2所以可以填“拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（3+5,0)”或“拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是

(35,0).

令x=3代入解析式，得y所以拋物線y5,2125x3x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,),

225所以也可以填拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,)等等。

2函數(shù)主要關(guān)注：通過(guò)不同的途徑（圖象、解析式等）了解函數(shù)的具體特征；借助多種現(xiàn)實(shí)背景理解函數(shù)；將函數(shù)視為“變化過(guò)程中變量之間關(guān)系”的數(shù)學(xué)模型；滲透函數(shù)的思想；關(guān)注函數(shù)與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系。

用二次函數(shù)解決最值問(wèn)題

例1已知邊長(zhǎng)為4的正方形截去一個(gè)角后成為五邊形ABCDE（如圖），其中AF=2，BF=1．試在AB上求一點(diǎn)P，使矩形PNDM有最大面積．

【評(píng)析】本題是一道代數(shù)幾何綜合題，把相似三角形與二次函數(shù)的知識(shí)有機(jī)的結(jié)合在一起，能很好考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力．同時(shí)，也給學(xué)生探索解題思路留下了思維空間．

例2某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價(jià)x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關(guān)系如下表：

x（元）152030y（件）25201*若日銷售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù)．（1）求出日銷售量y（件）與銷售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）要使每日的銷售利潤(rùn)最大，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每日銷售利潤(rùn)是多少元？

9

【解析】（1）設(shè)此一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b．則15kb25,解得k=-1，b=40，即一次函數(shù)表達(dá)

2kb20式為y=-x+40．

（2）設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為x元，所獲銷售利潤(rùn)為w元w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225．

產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為25元，此時(shí)每日獲得最大銷售利潤(rùn)為225元．

【點(diǎn)評(píng)】解決最值問(wèn)題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類似，也有區(qū)別，主要有兩點(diǎn)：（1）設(shè)未知數(shù)在“當(dāng)某某為何值時(shí)，什么最大（或最小、最省）”的設(shè)問(wèn)中，“某某”要設(shè)為自變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)；（2）問(wèn)的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．

例3.你知道嗎?平時(shí)我們?cè)谔�大繩時(shí)，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線．如圖所示，正在甩繩

的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為4m，距地面均為1m，學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m、2．5m處．繩子在甩到最高處時(shí)剛好通過(guò)他們的頭頂．已知學(xué)生丙的身高是1．5m，則學(xué)生丁的身高為(建立的平面直角坐標(biāo)系如右圖所示)()

A．1．5mB．1．625mC．1．66mD．1．67m分析：本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用答案：B

二．二次函數(shù)部分

1．如圖所示是二次函數(shù)yaxbxc圖象的一部分，圖象過(guò)A點(diǎn)（3，0），二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸為x1，

y給出四個(gè)結(jié)論：

①b4ac；②bc0；③2ab0；④a-b+c>0其中正確結(jié)論是（）A．②④

B．①③

C．②③

D．①④

Ox122xA(3，0)第1題圖

20)、(x1，2．已知二次函數(shù)yaxbxc的圖象與x軸交于點(diǎn)(2，0)，且1x12，與y軸的正半軸的2)的下方．下列結(jié)論：①4a2bc0；②ab0；③2ac0；④2ab10；③交點(diǎn)在(0，4a+c

4.把拋物線yx2向左平移1個(gè)單位，然后向上平移3個(gè)單位，則平移后拋物線的解析式為（）A．y(x1)23C．y(x1)23

2B．y(x1)23D．y(x1)23

5．把拋物線y＝ax+bx+c的圖象先向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得的圖象的解析式是y＝x－3x+5，則a+b+c=__________

6.圖6（1）是一個(gè)橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂（拱橋洞的最高點(diǎn)）離水面2m，水面寬4m．如圖6（2）建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的關(guān)系式是（）A．y2x2B．y2x2C．y212D．yx

212x2

圖6（1）圖6（2）

7、如圖是拋物線yax2bxc的一部分，其對(duì)稱軸為直線x＝1，若其與x軸一交點(diǎn)為B（3，0），則由圖象可知，不等式axbxc＞0的解集是

第7題圖

28．根據(jù)下表中的二次函數(shù)yax2bxc的自變量x與函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值，可判斷該二次函數(shù)的圖象與x軸（）．

x11y0

7412

742

A．只有一個(gè)交點(diǎn)B．有兩個(gè)交點(diǎn)，且它們分別在y軸兩側(cè)C．有兩個(gè)交點(diǎn)，且它們均在y軸同側(cè)D．無(wú)交點(diǎn)

9．如圖，拋物線yax2bxc與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（-2，0）和（-1，0）之間（包括這兩點(diǎn)），頂點(diǎn)C是矩形DEFG上（包括邊界和內(nèi)部）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則

(1)abc#.0(填“”或“”)；(1)a的取值范圍是#.

10（本小題滿分6分）

2

如圖二次函數(shù)yxbxc的圖象經(jīng)過(guò)A1，0和B3，0兩點(diǎn)，且交y軸于點(diǎn)C．

11

（1）試確定b、c的值；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)M為此拋物線的頂點(diǎn)，試確定△MCD的形狀．

b4acb2參考公式：頂點(diǎn)坐標(biāo)，

4a2a

11如圖，拋物線yaxx2yA0C

Bx3與x軸正半軸交于點(diǎn)A（3，0）.以O(shè)A為邊在x軸上方作正方形OABC，2延長(zhǎng)CB交拋物線于點(diǎn)D，再以BD為邊向上作正方形BDEF.（1）求a的值.（2分）

（2）求點(diǎn)F的坐標(biāo).（5分）12．（本題滿分10分）

，2)．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OBOA，且OB2OA，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）求過(guò)點(diǎn)A、O、B的拋物線的表達(dá)式；

（3）連接AB，在（2）中的拋物線上求出點(diǎn)P，使得S△ABPS△ABO．13．（本小題滿分10分）

已知一元二次方程xpxq10的一根為2．（1）求q關(guān)于p的關(guān)系式；

（2）求證：拋物線yxpxq與x軸恒有兩個(gè)交點(diǎn)；

12

22yA1O1Bx

14．（10分）鞋子的“鞋碼”和鞋長(zhǎng)（cm）存在一種換算關(guān)系，下表是幾組“鞋碼”與鞋長(zhǎng)換算的對(duì)應(yīng)數(shù)值：［注：“鞋碼”是表示鞋子大小的一種號(hào)碼］

鞋長(zhǎng)（cm）鞋碼（號(hào)）

1622

1928

2132

2438

（1）設(shè)鞋長(zhǎng)為x，“鞋碼”為y，試判斷點(diǎn)（x，y）在你學(xué)過(guò)的哪種函數(shù)的圖象上？（2）求x、y之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）如果某人穿44號(hào)“鞋碼”的鞋，那么他的鞋長(zhǎng)是多少？15．（滿分8分）閱讀材料，解答問(wèn)題．y例用圖象法解一元二次不等式：x2x30．解：設(shè)yx2x3，則y是x的二次函數(shù)．

22321a10，拋物線開(kāi)口向上．

又當(dāng)y0時(shí)，x2x30，解得x11，x23．

221123123x由此得拋物線yx2x3的大致圖象如圖所示．

觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)x1或x3時(shí)，y0．

24（第22題）

x22x30的解集是：x1或x3．

（1）觀察圖象，直接寫(xiě)出一元二次不等式：x2x30的解集是____________；（2）仿照上例，用圖象法解一元二次不等式：x10．（大致圖象畫(huà)在答題卡上）．．．

2213

以下是二次函數(shù)和相似結(jié)合的幾道經(jīng)典題：

16、（9分）如圖11，拋物線ya(x3)(x1)與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè)），過(guò)點(diǎn)A的直線交拋物線于另一點(diǎn)C，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，6）.

(1)求a的值及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；(2)P是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N.

①求線段PM長(zhǎng)度的最大值；

②在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)M，使得△CMP與△APN相似？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出一個(gè)M的坐標(biāo)（不必寫(xiě)解答過(guò)程）；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

17.如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(0，73)，且頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，該圖象在x軸上截得的線段AB

9的長(zhǎng)為6.

⑴求二次函數(shù)的解析式；

⑵在該拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使PA+PD最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑶在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△QAB與△ABC相似？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

14

18．（本題滿分10分）

如圖，拋物線的頂點(diǎn)為A（2，1），且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線上求點(diǎn)M，使△MOB的面積是△AOB面積的3倍；

（3）連結(jié)OA，AB，在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)N，使△OBN與△OAB相似？若存在，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

19．（本題滿分10分）

如圖，已知拋物線y＝過(guò)點(diǎn)C的直線y＝

yOABx32

x＋bx＋c與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（－1，0），43x－3與x軸交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PH⊥OB于點(diǎn)H．若4tPB＝5t，且0＜t＜1．

（1）填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)是_▲_，b＝_▲_，c＝_▲_；（2）求線段QH的長(zhǎng)（用含t的式子表示）；

（3）依點(diǎn)P的變化，是否存在t的值，使以P、H、Q形與△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，說(shuō)A15

CO為頂點(diǎn)的三角

yQHP明理由．

Bx

20．(本題滿分12分)

如圖，已知二次函數(shù)y212xbxc(c0)的圖象與x軸的正半軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸2相交于點(diǎn)C，且OCOAOB．

(1)求c的值；

(2)若△ABC的面積為3，求該二次函數(shù)的解析式；

(3)設(shè)D是(2)中所確定的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，試問(wèn)在直線AC上是否存在一點(diǎn)P使△PBD的周長(zhǎng)最小?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

21．（本小題滿分15分）

0)，將此三角板繞原，0)，B(0，3)，O(0，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板，其頂點(diǎn)為A(1點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABO．

（1）如圖，一拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、B，求該拋物線解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)P是在第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求使四邊形PBAB的面積達(dá)到最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及面積的最大值．y3

2B

1A16

A1OB12x

22．如圖，已知直線y11x1與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)D，拋物線yx2bxc與直線交于22A、E兩點(diǎn)，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)。

⑴求該拋物線的解析式；⑵動(dòng)點(diǎn)P在軸上移動(dòng)，當(dāng)△PAE是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)P。⑶在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使|AMMC|的值最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)

23．(本小題滿分12分)

如圖，已知拋物線yx4x3交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）．

（1）求拋物線的對(duì)稱軸及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）在平面直角坐標(biāo)系xoy中是否存在點(diǎn)P，與A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)平行四邊形？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）連結(jié)CA與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D，在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得直線CM把四邊形DEOC分成面積相等的兩部分？若存在，請(qǐng)求出直線CM的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

2y17

CDAEBOx

24．(本題滿分10分)如圖，拋物線y12xx2的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)B．4Ay（1）求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)．

（2）若點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn)，求證：PAPB≤AB．（3）當(dāng)PAPB最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

BOx

25．（13分）如圖，等腰梯形花圃ABCD的底邊AD靠墻，另三邊用長(zhǎng)為40米的鐵欄桿圍成，設(shè)該花圃的腰AB的長(zhǎng)為x米.

(1)請(qǐng)求出底邊BC的長(zhǎng)（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若∠BAD=60°,該花圃的面積為S米2.

①求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式（要指出自變量x的取

值范圍），并求當(dāng)S=933時(shí)x的值；

②如果墻長(zhǎng)為24米，試問(wèn)S有最大值還是最小值？這個(gè)值是多少？

26．（本題滿分10分）

2，0)，與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，如圖，已知拋物線yax2axb（a0）與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B(1頂點(diǎn)為D．

（1）直接寫(xiě)出拋物線的對(duì)稱軸，及拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）以AD為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．①求拋物線的解析式；

②點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)F在拋物線上，且以B，A，F(xiàn)，E四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊y形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

18

BOAx

27．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊腰長(zhǎng)為5的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在兩坐標(biāo)軸上，直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B在拋物線yax2ax2上．

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（2）拋物線的關(guān)系式為；

（3）設(shè)（2）中拋物線的頂點(diǎn)為D，求△DBC的面積；

（4）將三角板ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°，到達(dá)△ABC的位置．請(qǐng)判斷點(diǎn)B、C是否在（2）中的拋物線上，并說(shuō)明理由．

28.如圖11，已知二次函數(shù)y(xm)2km2的圖象與x軸相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A(x1，0)、B(x2，0)，與y軸的交點(diǎn)為C．設(shè)△ABC的外接圓的圓心為點(diǎn)P．

（1）求⊙P與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）如果AB恰好為⊙P的直徑，且△ABC的面積等于5，求m和k的值．

19

29．如圖，直線y35x6分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)；直線yx與AB交于點(diǎn)C，與過(guò)點(diǎn)A

44且平行于y軸的直線交于點(diǎn)D.點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸向左運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)E作x軸的

垂線，分別交直線AB、OD于P、Q兩點(diǎn)，以PQ為邊向右作正方形PQMN.設(shè)正方形PQMN與△ACD重疊部分（陰影部分）的面積為S（平方單位），點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）.（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo).（1分）

（2）當(dāng)0

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