二次函數(shù)圖象及性質(zhì)知識(shí)總結(jié)

二次函數(shù)圖象及性質(zhì)知識(shí)總結(jié)

二次函數(shù)概念b，c是常數(shù)，a0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。一般地，形如yax2bxc（a，定義域是全體實(shí)數(shù)，圖像是拋物線解析式圖像的性質(zhì)a0開口a0開口bc為0時(shí)yax2向上．向下y軸b為0時(shí)yax2c向上向下y軸bc不為0時(shí)yax2bxc向上向下對(duì)稱軸頂點(diǎn)坐標(biāo)a0時(shí)yxb2a00，c0，b4acb2，2a4a有最小值a0時(shí)yX=0.時(shí)y最小值等于0X=0,時(shí)Y最小值等于c4acb2b當(dāng)x時(shí)。y有最小值．2a4a有最大值a0時(shí)開口向上a0時(shí)開口向下X=0.時(shí)X=0,時(shí)4acb2b當(dāng)x時(shí)，y有最大值．y最大值等于0Y最大值等于c2a4ax0時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，b當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而減��；x0時(shí)，y隨x的增大而減�。粂有最小值0．2a當(dāng)xx0時(shí)，y隨x的增大而減��；x0時(shí)，b時(shí)，y隨x的增大而增大2ab時(shí)，y隨x的增大而增大；2ab時(shí)，y隨x的增大而減小2ay隨x的增大而增大；x0時(shí)，y有最大值0當(dāng)x當(dāng)x圖像畫法解析式的表示及圖像平移利用配方法將二次函數(shù)yax2bxc化為頂點(diǎn)式y(tǒng)a(xh)2k，確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：c、以及0，c關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)2h，c、頂點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)0，0，x2，0（若與x軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）.與x軸的交點(diǎn)x1，畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn).1.一般式：yax2bxc2.頂點(diǎn)式：ya(xh)2k3.兩根式：ya(xx1)(xx2)k；在原有函數(shù)的2.平移⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)axhk，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)h，2基礎(chǔ)上“h值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移”．概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”①yaxbxc沿y軸平移:向上（下）平移m個(gè)單位，yaxbxc變成22yax2bxcm（或yax2bxcm）②yaxbxc沿軸平移：向左（右）平移m個(gè)單位，yaxbxc變成22ya(xm)2b(xm)c（或ya(xm)2b(xm)c）

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專題講解二次函數(shù)的圖象

知識(shí)點(diǎn)回顧：

1.二次函數(shù)解析式的幾種形式：①一般式：

yax2bxc（a、b、c

為常數(shù)，a≠0）

2ya(xh)k（a、②頂點(diǎn)式：h、k

為常數(shù)，a≠0），其中（h，

k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)。

③交點(diǎn)式：ya(xx1)(xx2)，其中x1，x2是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即一元二次方程ax2bxc0的兩個(gè)根，且a≠0，（也叫兩根式）。

2.二次函數(shù)

yax2bxc的圖象

yax2bxc的圖象是對(duì)稱軸平行于（包括重合）

①二次函數(shù)

y軸的拋物線，幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果a相同，那么拋物線的開口方向，開口大小（即形狀）完全相同，只是位置不同。②任意拋物線

ya(xh)2k可以由拋物線yax2經(jīng)過適當(dāng)

的平移得到，移動(dòng)規(guī)律可簡記為：[左加右減，上加下減]，具體平移方法如下表所示。

③在畫

yax2bxc的圖象時(shí)，可以先配方成ya(xh)2k的形式，然后將

yax2的圖象上（下）左（右）平移得到所求圖

2象，即平移法；也可用描點(diǎn)法：也是將yaxbxc配成

ya(xh)2k的形式，這樣可以確定開口方向，對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐

標(biāo)。然后取圖象與y軸的交點(diǎn)（0，c），及此點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)（2h，c）；如果圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，就直接取這兩個(gè)點(diǎn)（x1，0），（x2，0）就行了；如果圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)或無交點(diǎn)，那應(yīng)該在對(duì)稱軸兩側(cè)取對(duì)稱點(diǎn)，（這兩點(diǎn)不是與y軸交點(diǎn)及其對(duì)稱點(diǎn)），一般畫圖象找5個(gè)點(diǎn)。3.二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)圖象2二次函數(shù)yaxbxcya(xh)2k（a、h、ka、b、c為常數(shù)，a≠0a＞0a＜0為常數(shù)，a≠0）a＞0a＜(1)拋物線開口向(1)拋物線開口向(1)拋物線(1)拋物線上，并向上無限延下，并向下無限延開口向上，開口向下，伸伸并向上無限并向下無限延伸延伸性(2)對(duì)稱軸是x＝(2)對(duì)稱軸是x＝(2)對(duì)稱軸(2)對(duì)稱軸b2a，頂點(diǎn)是b4acb，2a4ax2b2a是x＝h，頂是x＝h，頂，頂點(diǎn)是b4acb，2a4a2點(diǎn)是（h，k）點(diǎn)是（h，k））(3)當(dāng)x＜h（質(zhì)）（(3)當(dāng)bb(3)當(dāng)xhx2a時(shí)，2a時(shí)，y(3)當(dāng)y時(shí)，y隨x時(shí)，y隨x隨x的增大而減隨x的增大而增��；當(dāng)xbbx2a時(shí)，2a時(shí)，大；當(dāng)小；當(dāng)?shù)脑龃蠖鴾p的增大而增x＞h大；當(dāng)x＞hy隨x的增大而增y隨x的增大而減時(shí)，y隨x時(shí)，y隨x大小的增大而增的增大而減大。小(4)拋物線有最低(4)拋物線有最高(4)拋物線(4)拋物線點(diǎn)，當(dāng)xb2a時(shí)，點(diǎn)，當(dāng)xb2a有最低點(diǎn)，有最高點(diǎn)，時(shí)，當(dāng)x＝h時(shí)，當(dāng)x＝h時(shí)，y有最小值y有最大值y有最小值，y最小值4acb24ay有最大值，y最大值4acb24ay最小值ky最大值k

4.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸和最值的方法①配方法：將解析式

yax2bxc化為ya(xh)2k的形式，

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），對(duì)稱軸為直線xh，若a＞0，y有最小值，

y最小值ky最大值k當(dāng)x＝h時(shí)，；若a＜0，y有最大值，當(dāng)x＝h時(shí)，。

b4acb2，4a②公式法：直接利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式（2axb2a），求其頂

點(diǎn)；對(duì)稱軸是直線，若

有最大值，

b4acb2a0，y有最小值，當(dāng)x時(shí)，y最小值；2a4a若a0，yb4acb2x時(shí)，y最大值2a4a當(dāng)

5.拋物線與x軸交點(diǎn)情況：對(duì)于拋物線

yax2bxc(a≠0)

①當(dāng)b24ac0時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，反之也成立。

②當(dāng)b24ac0時(shí)，拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，反之也成立，此交點(diǎn)即為頂點(diǎn)。

③當(dāng)b24ac0時(shí)，拋物線與x軸無交點(diǎn)，反之也成立。

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