多目標規(guī)劃在某紡織廠職工人員工作時間計算中的應用

多目標規(guī)劃在某紡織廠職工人員工作時間計算中的應用

信息與計算科學系7080203龍洪福

指導教師馬世美

摘要：多目標規(guī)劃方法在工廠人員工作時間計算上具有重要作用和極大的實際應用價值，同時，它也是一種利用建立數(shù)學模型解決實際問題的簡單有效的分析方法。本文通過建立多目標規(guī)劃數(shù)學模型來解決某紡織廠技術員工工作時間的計算問題，在實現(xiàn)時利用LINDO軟件對模型進行分析和求解，為最后紡織廠職工工作時間做出定論。關鍵詞：多目標規(guī)劃，人員分配，數(shù)學模型

TheApplicationofMultipleObjectivesProgramming

inWorktimeCalculatingofatextilefactory

LongHong-FuInformationandComputationalScience,Number7080203

DirectedbyMaShi-Mei

Abstract：Programmingisaneffectiveandsimplemethodbybuildamathsmaticmodeltocalculatethestaffworktimeinafactory,atthesametime,ithasveryimportantfunctionandpracticalvalue.Thispaperestablishesamulti-programmingmodeltomakeadecisionwhatatextilefactoryneedtomakenow.Intheprocess,IuseLINDOsoftwaretosolveandanalysisthemodel,thentheresultsprovidethereasonsthatthetextileneedtodecide.Finally,thepapermakesapromotionfortheestablishedmathematicalmodel.

Keyword：Multi-objectiveplanning,Staffworktime,MathematicalModel

1引言

1961年美國的查里斯(A.Charnes)和庫伯(W.W.Cooper)首次提出目標規(guī)劃的概念。1965年，愛吉利(Y.Ijiri)對多目標規(guī)劃劃分優(yōu)先等級并提出優(yōu)先權因子的概念[1]。利用多目標規(guī)劃的方法，根據(jù)紡織廠里制定的管理模式和經(jīng)營目標之間的輕重緩急關系，在包含了對現(xiàn)有情況的考慮之下，分析如何達成目標或從總體上而言與既定目標相差最小[2]。近年來,隨著企業(yè)內(nèi)專業(yè)分工愈加精細，組織機構日益復雜，在制定人員分配方案時常需要滿足多方面的各種要求，多目標規(guī)劃得到迅速發(fā)展。[3]

2問題提出與分析

2.1問題的提出

某紡織廠擁有兩種不同技術層次的技術員工，分別是熟練工和見習工，其中包括熟練工6人，見習工3人。每件產(chǎn)品的利潤是2.5元。為了增加紡織廠來年的收入，經(jīng)理決定對紡織廠的技術員工工作時間的分配問題在原有的基礎上進行調(diào)整，具體的四項要求分別如下：(1)下個月的產(chǎn)量達到8000件；(2)限制熟練工加班時間不超過80小時；(3)在優(yōu)先考慮熟練工的前提下，保證全體職工都能夠充分就業(yè)；(4)盡量減少加班時間。此時，將兩類工人區(qū)別對待，優(yōu)先權因子由其對利潤的實際貢獻而定。

具體工況表如圖所示：

分類工人熟練工見習工2.2分析問題

根據(jù)題設要求，設定全體熟練工下個月工作時間為x1,全體見習工下個月工作時間為

工作時間/(小時/月)16080產(chǎn)量工資加班工資/(元/小時)4.53/(件/小時)/(元/小時)5232x2小時，則目標約束為

(1)銷售約束：以d1和d1分別表示下月產(chǎn)量不足或超過8000件的偏差，則

5x12x2d1d18000其優(yōu)化性態(tài)為mind1。

（2）工作時間約束：以d2，d2和d3，d3分別表示全體熟練工、見習工的共組時間

不足或超過額定時間的偏差。則

x1d2d26160x2dd38033，欲體現(xiàn)目標3的要求，則其

優(yōu)化性態(tài)應該在考慮mind2和mind3時引入權因子，即min(5d2+2d3).

(3)全體熟練工加班時間約束。以d21和d21分別表示全體熟練工加班不足或超過80小時的偏差，則d2.d21d2180，其優(yōu)化性態(tài)為mind21(4)總加班時間約束。由于d2和d3分別表示了熟練工、見習工的加班時間，因此熟練

工的實際貢獻是52.5-4.5=8(元)，見習工的實際貢獻是22.5-3=2(元)，相應的

權因子為4:1，其優(yōu)化性態(tài)應為min(d2+4d3)。

3建立模型

通過對問題的提出和相應的分析，可建立數(shù)學模型如下：

minfp1d1p2d21p3(5d22d3)p4(d24d3),5x12x2d1d18000,x1d2d2960,stx2d3d3240,ddd2121100,2x0(j1,2)且x為整數(shù),d0,d0(k1,2,2)jkk1j4求解模型及結果進行分析

4.1在LINDO軟件中求解

運用LINDO軟件求解多目標規(guī)劃，一般按優(yōu)先級一步一步求解[4]，但本文選用LINDO軟件直接對模型進行求解。具體說來，是將處于不同優(yōu)先級的目標函數(shù)用不同的變量表示出來，把這些變量按優(yōu)先順序依次相加作為新的目標函數(shù)，然后調(diào)用LINDO中Solve菜單下的PreemptiveGoal子菜單求解即可。在此，將正負偏差變量yi，yi分別用yi和yi_來表示(i=1，2，3,4)，用變量obj1、obj2、obj3、obj4分別來表示y1_、5y2_+2y3_、y21、y2+4y3,其源程序為：minobj1+obj2+obj3+obj4

ST

5x1+2x2+y1_-y1=8000x1+y2_-y2=960x2+y3_-y3=240y2+y21_-y21=100

obj1-y1_=0

obj2-5y2_-2y3_=0obj3-y21=0obj4-y2-4y3=0end

在LINDOUntitled中輸入上程序后，執(zhí)行Solve菜單的PreemptiveGoal命令。為了得到最優(yōu)解，再執(zhí)行Reports菜單下的Solution命令，得到程序最后結果如下：LPOPTIMUMFOUNDATSTEP2OBJECTIVEVALUE=4540.00000

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE

1)4540.000

VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTOBJ10.0000001.000000OBJ20.0000001.000000OBJ30.0000001.000000OBJ44540.0000001.000000X11060.0000000.000000X21350.0000000.000000Y1_0.0000000.000000Y10.0000000.000000Y2_0.0000000.000000Y2100.0000000.000000Y3_0.0000000.000000Y31110.0000000.000000Y21_0.0000000.000000Y210.0000000.000000

ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000000.0000003)0.0000000.0000004)0.0000000.0000005)0.0000000.0000006)0.0000000.0000007)0.0000000.0000008)0.0000000.0000009)-0.0000040.000000

NO.ITERATIONS=0

4.2結果分析

根據(jù)以上結果，總目標最小值y1_+5y2_+y21+y2+4y3=4540.00000，X1=1060.000000，X2=1350.000000，Y2=100.00000,Y3=1110.000000。由此，說明下個月熟練工工作時間為1060個小時，見習工工作時間為1350個小時，全體熟練工、見習工的工作時間超過額定時間100小時和1110小時。

6結束語

多目標優(yōu)化問題是實際經(jīng)濟管理中普遍存在并期待解決的問題。在經(jīng)濟管理中決策是一個典型的多目標優(yōu)化問題，尋求一種好的多目標優(yōu)化方法進行生產(chǎn)銷售，對于提高生產(chǎn)、增大效益有著重要的實際意義[5]。本文的結論可以歸為如下兩點[6]：

1、建立數(shù)學模型說明多目標規(guī)劃在公司做決策時的具體應用，并根據(jù)求解結果對紡織廠人員加班時間做出結論。

2、通常運用LINDO軟件求解多目標規(guī)劃，按優(yōu)先級一步一步求解，本文改變以往解法，將處于不同優(yōu)先級的目標函數(shù)用不同的變量表示出來，把這些變量按優(yōu)先順序依次相加作為新的目標函數(shù)，然后在對新的模型直接用LINDO軟件求解。

參考文獻

[1]趙則民，陳有祿，林有光.運籌學[M].重慶：重慶大學出版社，201*：109[2]徐玖平，胡知能.運籌學數(shù)據(jù)模型決策[M].北京：科學出版社，201*：60[3]胡運權.運籌學基礎及應用[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，1998：108[4]用LINDO、LINGO解運籌學問題.http：//[5]張瑩.運籌學基礎.清華大學出版社[M].1995：98

[6]董根寧.幾個組合優(yōu)化問題的研究[D].濟南：山東大學數(shù)學運籌學與控制論，201*

擴展閱讀：多目標規(guī)劃在深圳市某電子公司決策中的應用

多目標規(guī)劃在深圳市某電子公司決策中的應用

信息與計算科學201*級楊春瑩

指導教師陳濤副教授

摘要：目標規(guī)劃方法是求解有多個目標的極值問題的一種有效、實用的方法，在現(xiàn)代管理決策中處于重要地位。本文通過建立多目標規(guī)劃的數(shù)學模型來解決深圳市某電子公司現(xiàn)需要做出的決策問題，在實現(xiàn)過程中應用LINDO軟件對模型進行求解并分析，為電子公司做出生產(chǎn)管理決策提供依據(jù)。本文最后對建立的數(shù)學模型進行推廣。關鍵詞：多目標規(guī)劃，經(jīng)濟管理，生產(chǎn)決策，數(shù)學模型

TheApplicationofMultipleObjectivesProgramminginDecision-makingofAElectronicCompanyinShenzhen

YangChun-yingInformationandComputationalScience,Grade201*

DirectedbyChenTao(AssociateProf.)

Abstract：ProgrammingisaneffectiveandpracticalmethodwhensolvingMulti-targetextremeproblem,soitisimportantinmodernmanagementdecisions.Thispaperestablishesamulti-programmingmodeltomakeadecisionwhataelectroniccompanyinShenzhenneedtomakenow.Intheprocess,IusesLINDOsoftwaretosolveandanalysisthemodel,thentheresultsprovidethereasonsthattheelectroniccompanyneedtodecide.Finally,thepapermakesapromotionfortheestablishedmathematicalmodel.

Keyword：Multi-objectiveplanning,EconomicManagement,Productiondecision，MathematicalModel

1引言

美國的查里斯(A.Charnes)和庫伯(W.W.Cooper)在1961年首次提出了目標規(guī)劃的概念。1965年，愛吉利(Y.Ijiri)對多目標規(guī)劃劃分優(yōu)先等級并提出優(yōu)先權因子的概念[1]。目標規(guī)劃是根據(jù)企業(yè)制訂的經(jīng)營目標以及這些目標的輕重緩急關系，考慮現(xiàn)有資源情況，分析如何達到規(guī)定目標或從總體上離規(guī)定目標的差距最小[2]。近幾十年來，隨著企業(yè)內(nèi)專業(yè)分工越來越細，組織機構也日趨復雜，企業(yè)在制訂生產(chǎn)計劃或進行決策時常常需要滿足多方

面的要求，目標規(guī)劃得到迅速的發(fā)展[3]。目前已在經(jīng)濟規(guī)劃、生產(chǎn)管理、財務分析等方面廣泛應用[4]。

2問題提出與分析

2.1問題的提出

深圳市某電子有限公司是一家集設計、開發(fā)、生產(chǎn)、銷售一條龍服務的電子禮品專業(yè)公司。該公司在近幾年的發(fā)展歷程中，不斷增加了市場占有額，處于同行列領先地位。這一成就主要歸功于公司擁有一批忠誠且有技術的工人，他們當中有很多人從公司成立開始一直工作到現(xiàn)在，為公司的發(fā)展作出了重大貢獻。公司管理層在決策時，首先要考慮的就是要保持職工隊伍的穩(wěn)定性，從而保持職工對工作的熱情和忠誠。

在剛剛過去的一年中，公司銷量少于歷年水平且管理費用及產(chǎn)品開發(fā)費用較以往大幅增加，導致總收入下降，凈利潤為負的一百多萬。直接的后果就是公司目前可用于開發(fā)新產(chǎn)品的資金沒有往年充足，更嚴重的是會影響到公司的生存與發(fā)展。公司若銷售量不能很快改善，管理層將會考慮削減公司的生產(chǎn)規(guī)模來降低生產(chǎn)總成本。2.2分析問題

根據(jù)以往的經(jīng)驗，新產(chǎn)品的利潤較高且市場銷售也比較好，公司通過對市場調(diào)查與分析后決定在今年主要生產(chǎn)剛開發(fā)出的三種新產(chǎn)品，分別用I、II、III表示(新產(chǎn)品還未上市，在此不透露產(chǎn)品名稱，用I、II、III符號代替)。管理層希望能夠通過這一措施改變目前的現(xiàn)狀，使經(jīng)營有一線轉(zhuǎn)機，爭取在今年恢復以前較高的銷量及凈利潤。由于現(xiàn)在可用于生產(chǎn)的資金有限，管理層不得不在三種新產(chǎn)品中做出取舍決策。另一點要考慮的是，這樣做是否會影響職工的穩(wěn)定性。目前已有競爭者在生產(chǎn)類似的新產(chǎn)品，因此公司管理層必須盡快做出決策。

公司是利潤導向型，管理層的目標包括以下內(nèi)容：保持穩(wěn)定的利潤、增加市場份額、多樣化產(chǎn)品線、保持價格穩(wěn)定、提高員工的士氣、保持對業(yè)務的控制力、增加公司的聲譽。

這些目標有著本質(zhì)的差別，要把他們綜合到一個最高級的目標中去是不現(xiàn)實的。相反，在分析問題時，必須對每個目標進行單獨考慮[5]。

管理層認為，在歷經(jīng)了過去一年的銷量下降后，必須提高公司的收入，這也正是管理層給出的目標之一這三種新產(chǎn)品在淘汰之前必須創(chuàng)造出至少450萬的毛利潤，根據(jù)以往

的經(jīng)驗及市場調(diào)研，單位產(chǎn)品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的長期利潤是7元、5元、15元且分別在2年、2.5年、1年后退出市場，在生產(chǎn)期間的生產(chǎn)產(chǎn)品都能買出(每天產(chǎn)品的產(chǎn)量是根據(jù)定單來決定，但每天定單需求波動性不大，在產(chǎn)品退出市場前生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣出，所以本文中決策變量代表產(chǎn)品每天生產(chǎn)的平均量)。

生產(chǎn)部門認為在過去的幾年中，除了去年不理想外，公司的收益是很好的。其中最重要的資產(chǎn)就是公司的員工，這也是公司成功的主要原因。若單純追求短期利潤，勢必要求裁減人員以縮小公司規(guī)模來降低費用，這會造成破壞性的后果。若繼續(xù)保持員工的穩(wěn)定，并盡可能地發(fā)揮他們的能力，開發(fā)生產(chǎn)新產(chǎn)品，將會得到長期收益。若增加員工數(shù)量水平，會引起一些問題，特別是當產(chǎn)量減少時，增加員工只能是暫時的。首先，必須考慮這些員工的培訓支出；然后，在生產(chǎn)規(guī)�？s小時，又不得不將他們裁減掉，所以保持現(xiàn)在大約100名員工的水平是最佳的。根據(jù)實驗結果，單位產(chǎn)品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分別耗用0.06人、0.04人、0.1人。

為了生產(chǎn)新產(chǎn)品，將會需要大量的資金，財務部門依據(jù)慣常使用的方法計算了在新產(chǎn)品上的最小投資66萬。其中，生產(chǎn)新產(chǎn)品的固定成本20萬，三種新產(chǎn)品的單位變動成本分別為：1元、0.5元、3.6元。若過度擴展，又會導致存貨大幅度增加占用資金，從而減慢了資金的流動[6]。因此，投資最好限制在此范圍之內(nèi)。

總結以上的分析，公司認為必須將利潤部標放在第一位，即新產(chǎn)品產(chǎn)生的總利潤不得少于450萬，先給未達到目標值的一萬利潤分配權數(shù)5。投資資金的限制放在第二位，目標是將投資資金限制在66萬元以內(nèi)，仍以利潤的5點權數(shù)作為參照，投資目標的權數(shù)可設為4。員工作為公司的寶貴財產(chǎn)，其目標是盡量保持現(xiàn)有100人的員工水平。可以將保持員工的目標分成兩部分：一是避免裁員；二是避免增加員工。前一種的危害性比后一種要嚴重。若以利潤的5點權數(shù)作為參照，可以認為這兩部分的權數(shù)分別為3和2。(該部分數(shù)據(jù)及偏好權數(shù)由公司管理層確定)

因此，可以得到目標規(guī)劃決策問題的權數(shù)，見表一：

表一目標規(guī)劃問題的懲罰權重

因素長期利潤（元）員工水平（人）資本投資（元）

產(chǎn)品的單位貢獻ⅠⅡⅢ75150.060.040.110.53.6

目標權數(shù)>=45000005

=1002(+)，3(-)=45000005(第一層次)=1002(+，第三層次)，3(-，第三層次)其優(yōu)先級為p2；第三層次的目標是最小化偏差變量y3、y3，其優(yōu)先級為p3。

數(shù)學模型為：

minzp1(5y1)p2(4y2)p3(3y32y3)7*2*365x15*2.5*365x215*365x3y1y14500000201*2*365x10.5*2.5*365x23.6*365x3y2y2660000st0.06x10.04x20.1x3y3y3100x0(j1,2,3),y0,y0(k1,2,3)kkj整理后的數(shù)學模型為：

minzp1(5y1)p2(4y2)p3(3y32y3)5110x14562.5x25475x3y1y14500000730x1456.25x21314x3y2y2460000st0.06x10.04x20.1x3y3y3100x0(j1,2,3),y0,y0(k1,2,3)kkj4求解模型及結果進行分析

4.1在LINDO軟件中求解

多目標規(guī)劃的求解有多種方法，例如：單純形法、圖解法、Excel電子表格法、用LINDO軟件求解等[7,8,9]。運用LINDO軟件求解多目標規(guī)劃，一般按優(yōu)先級一步一步求解[10]，但本文選用LINDO軟件直接對模型進行求解。具體說來，是將處于不同優(yōu)先級的目標函數(shù)用不同的變量表示出來，把這些變量按優(yōu)先順序依次相加作為新的目標函數(shù)，然后調(diào)用LINDO中Solve菜單下的PreemptiveGoal子菜單求解即可。在此，將正負偏差變量yi，yi分別用yi和yi_來表示(i=1，2，3)，用變量obj1、obj2、obj3分別來表示5y1_、4y2、3y3_+2y3。

其源程序為：

minobj1+obj2+obj3ST

5110x1+4562.5x2+5475x3+y1_-y1=4500000730x1+456.25x2+1314x3+y2_-y2=4600000.06x1+0.04x2+0.1x3+y3_-y3=100

obj1-5y1_=0obj2-4y2=0

obj3-3y3_-2y3=0end

在LINDOUntitled中輸入上程序后，執(zhí)行Solve菜單的PreemptiveGoal命令。在ReportsWindow中得如下結果：

LPOPTIMUMFOUNDATSTEP3OBJECTIVEVALUE=0.000000000E+00

LPOPTIMUMFOUNDATSTEP0OBJECTIVEVALUE=0.000000000E+00

LPOPTIMUMFOUNDATSTEP1OBJECTIVEVALUE=179.013702

以上輸出表示的是模型中三個優(yōu)先級的目標函數(shù)最優(yōu)值和計算迭代次數(shù)。為了得到最優(yōu)解，再執(zhí)行Reports菜單下的Solution命令，得到程序最后結果如下：OBJECTIVEFUNCTIONVALUE

1)179.0137

VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTOBJ10.0000000.000000OBJ20.0000001.000000OBJ3179.0137021.000000X10.0000000.000000X21008.2191770.000000X30.0000000.000000Y1_0.0000005.000000Y1100000.0000000.000000Y2_0.0000000.000000Y20.0000000.000000Y3_59.6712340.000000Y30.0000000.000000

ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000000.0000003)0.0000000.0000004)0.0000000.000000

5)0.000000-1.0000006)0.0000000.0000007)-0.0000040.000000

NO.ITERATIONS=04.2結果分析

根據(jù)以上結果，總目標最小值5y1_+4y2+3y3_+2y3=179.0137，X1=0，X2=1008.219177，X3=0，因此，我們可以建議產(chǎn)品II每天平均生產(chǎn)1008件，并且推遲了產(chǎn)品Ⅰ和III的生產(chǎn)，需要進一步調(diào)研，再視情況而定是否對產(chǎn)品Ⅰ和III進行生產(chǎn)。Y3_=59.67123說明公司在上決策情況下多余人手59人，一種情況是進行裁員減小公司規(guī)模，另一種情況是多余的59人繼續(xù)留在公司。公司在近幾年的發(fā)展歷程中，不斷增加了市場占有額，處于領先地位主要歸功于公司擁有一批忠誠且有技術的工人，員工是公司寶貴的資源，因此不能輕易裁員。公司是多樣化生產(chǎn)，每年主要生產(chǎn)新產(chǎn)品，同時也可以兼營以往市場較好的舊產(chǎn)品，可以考慮把剩余的59人分配生產(chǎn)其他產(chǎn)品。Y1=100000.000000，說明在此決策情況下公司不僅實現(xiàn)第一級目標450萬的利潤還能多贏利10萬。y2、y2_和y3的值都為0，說明在實施此方案的情形下，第二層次的目標投入資金限制及第三層次目標部分(不裁減員工)都得到了實現(xiàn)[11]。求解結果與公司生產(chǎn)銷售情況基本吻合。

5模型的推廣

對于一般目標規(guī)劃決策問題，決策者經(jīng)常是通過給定目標的目的或者理想值，各目標的權系數(shù)或優(yōu)先權來表示自己的偏好。決策者評價一個方案時，經(jīng)常選擇該方案與目的點或者理想點的“偏差”最小的方案。決策者的目標經(jīng)常是具有層次性的，假定決策者的目標可分為L個層次，記為p1，p2，pL，在每個等級上有Jl個目標，約定p1優(yōu)先于p2，

p3，等等，即只有在盡量滿足p1等級內(nèi)目標的前提下，才能考慮實現(xiàn)pl1等級上的目標。一般的線性目標規(guī)劃模型如下[12,13]：

minplwdwdjjjjl1jJlL

fj(x)djdjfj(j1,2,...,p)

stAxbx0,d0,d0(j1,2,...,p)jj其中：fj為目的，fj(x)為理想點，wj、wj為非負權系數(shù)，dj、dj為正負偏差變量。

6結束語

多目標優(yōu)化問題是實際經(jīng)濟管理中普遍存在并期待解決的問題。在經(jīng)濟管理中決策是一個典型的多目標優(yōu)化問題，尋求一種好的多目標優(yōu)化方法進行生產(chǎn)銷售，對于提高生產(chǎn)、增大效益有著重要的實際意義[14]。本文的結論可以歸為如下三點[15]：

1、建立數(shù)學模型說明多目標規(guī)劃在公司做決策時的具體應用，并根據(jù)求解結果對深圳市某電子公司提出建議。

2、推廣出求解同類問題多目標規(guī)劃的一般模型。

3、通常運用LINDO軟件求解多目標規(guī)劃，按優(yōu)先級一步一步求解，本文改變以往解法，將處于不同優(yōu)先級的目標函數(shù)用不同的變量表示出來，把這些變量按優(yōu)先順序依次相加作為新的目標函數(shù)，然后在對新的模型直接用LINDO軟件求解。

參考文獻

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致謝

本論文是在陳濤老師的悉心指導下完成的，在用軟件求解過程中，得到了數(shù)學系劉旭東老師的指導及母培松、馬琴同學的幫助，還要特別感謝深圳市的這家電子公司的大力支持，為我提供相關數(shù)據(jù)，在此對他們表示衷心的感謝！

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