數(shù)學必修五知識點總結歸納

必修五知識點總結歸納

（一）解三角形

1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對邊，R為C的外

abc2R．sinsinsinC正弦定理的變形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；

abc②sin，sin，sinC；

2R2R2R③a:b:csin:sin:sinC；

abcabc④．

sinsinsinCsinsinsinC1112、三角形面積公式：SCbcsinabsinCacsin．

222接圓的半徑，則有

3、余弦定理：在C中，有abc2bccos，bac2accos，

222222c2a2b22abcosC．

b2c2a2a2c2b2a2b2c24、余弦定理的推論：cos，cos，cosC．

2bc2ab2ac5、射影定理：abcosCccosB,bacosCccosA,cacosBbcosA

6、設a、b、c是C的角、、C的對邊，則：①若abc，則C90；②若abc，則C90；③若abc，則C90．

222222222(二)數(shù)列

1、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)．2、數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)．

3、有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列．4、無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列．

5、遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數(shù)列．an1an06、遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數(shù)列．an1an07、常數(shù)列：各項相等的數(shù)列．

8、擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列．9、數(shù)列的通項公式：表示數(shù)列an的第n項與序號n之間的關系的公式．

10、數(shù)列的遞推公式：表示任一項an與它的前一項an1（或前幾項）間的關系的公式．11、如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差．

12、由三個數(shù)a，，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列，則稱為a與b的等差中項．若bac，則稱b為a與c的等差中項．213、若等差數(shù)列an的首項是a1，公差是d，則ana1n1d．14、通項公式的變形：①anamnmd；②a1ann1d；③d④nana1；n1ana1aam1；⑤dn．dnm*15、若an是等差數(shù)列，且mnpq（m、n、p、q），則amanapaq；*若an是等差數(shù)列，且2npq（n、p、q），則2anapaq．

16、等差數(shù)列的前n項和的公式：①Snna1annn1d．；②Snna122*17、等差數(shù)列的前n項和的性質：①若項數(shù)為2nn，則S2nnanan1，且

S偶S奇nd，

S奇an．S偶an1*②若項數(shù)為2n1n，則S2n12n1an，且S奇S偶an，

S奇nS偶n1（其中S奇nan，S偶n1an）．

18、如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比．

19、在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，則G稱為a與b的等比項．若Gab，則稱G為a與b的等比中項．注意：a與b的等比中項可能是G20、若等比數(shù)列an的首項是a1，公比是q，則ana1qn1．21、通項公式的變形：①anamqnm；②a1anqn12；③qn1ananm；④qn．a1am22、若an是等比數(shù)列，且mnpq（m、n、p、q*），則amanapaq；

2若an是等比數(shù)列，且2npq（n、p、q*），則anapaq．

na1q123、等比數(shù)列an的前n項和的公式：Sna11qnaaq．

1nq11q1q*24、等比數(shù)列的前n項和的性質：①若項數(shù)為2nn，則

S偶S奇q．

②SnmSnqnSm．③Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數(shù)列（Sn0）．

（三）不等式

1、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

2、不等式的性質：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；

nn⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0abn,n1；

⑧ab0nanbn,n1．

3、一元二次不等式：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式．4、二次函數(shù)的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關系：判別式b4ac二次函數(shù)201*yax2bxca0的圖象一元二次方程axbx2有兩個相異實數(shù)根有兩個相等實數(shù)根c0a0的根bx1,2x1x22ax1x2b2a沒有實數(shù)根ax2bxc0一元二次不等式的解集a0ax2bxc0xxx或xx12bxx2aRa0若二次項系數(shù)為負，先變?yōu)檎?、設a、b是兩個正數(shù)，則幾何平均數(shù)．

xx1xx2ab稱為正數(shù)a、b的算術平均數(shù)，ab稱為正數(shù)a、b的26、均值不等式定理：若a0，b0，則ab2ab，即

22abab．2a2b27、常用的基本不等式：①ab2aba,bR；②aba,bR；

2a2b2abab③aba0,b0；④a,bR．

2228、極值定理：設x、y都為正數(shù)，則有

4

s2⑴若xys（和為定值），則當xy時，積xy取得最大值．

4⑵若xyp（積為定值），則當xy時，和xy取得最小值2p．

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必修5知識點總結

1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對邊，R為C的外接圓的半徑，則有

abc2R．sinsinsinC2、正弦定理的變形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；

abc，sin，sinC；③a:b:csin:sin:sinC；2R2R2Rabcabc④．

sinsinsinCsinsinsinC②sin（正弦定理主要用來解決兩類問題：1、已知兩邊和其中一邊所對的角，求其余的量。2、已知兩角和一邊，求其余的量。）

⑤對于已知兩邊和其中一邊所對的角的題型要注意解的情況。（一解、兩解、無解三中情況）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A為銳角）求B。具體的做法是：數(shù)形結合思想畫出圖：法一：把a擾著C點旋轉，看所得軌跡以AD有無交點：當無交點則B無解、當有一個交點則B有一解、當有兩個交點則B有兩個解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情況：當a但不能到達，在岸邊選取相距3千米的C、D兩點，并測得∠ACB=75,∠BCD=45,∠ADC=30,

∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面內)，求兩目標A、B之間的距離。本題解答過程略

附：三角形的五個“心”；重心：三角形三條中線交點.

外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點.內心：三角形三內角的平分線相交于一點.垂心：三角形三邊上的高相交于一點.7、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)．8、數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)．9、有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列．10、無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列．

11、遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數(shù)列（即：an+1>an）．12、遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數(shù)列（即：an+1anamana11；⑤d④nnmd．

21、若an是等差數(shù)列，且mnpq（m、n、p、q*），則aman差數(shù)列，且2npq（n、p、q*），則2anapaq；若an是等

apaq．

na1anSn2；②

22、等差數(shù)列的前n項和的公式：①

Snna1nn1d．③2sna1a2an

*23、等差數(shù)列的前n項和的性質：①若項數(shù)為2nn，則S2nnanan1，且S偶S奇nd，

S奇anS偶an1．

*②若項數(shù)為2n1n，則S2n12n1an，且S奇S偶an，

S奇n（其中S奇nan，S偶n1．S偶n1an）

24、如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比．符號表示：

an1q（注：①等比數(shù)列中不會出現(xiàn)值為0的項；②同號位上an的值同號）

注：看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：

2①anan1q(n2,q為常數(shù),且0)②anan1an1(n2，anan1an10)

③ancqn(c,q為非零常數(shù)).

④正數(shù)列{an}成等比的充要條件是數(shù)列{logxan}（x1）成等比數(shù)列.

25、在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，則G稱為a與b的等比中項．若Gab，則稱G為a與b的等比中項．（注：由Gab不能得出a，G，b成等比，由a，G，bGab）26、若等比數(shù)列an的首項是a1，公比是q，則ana1qn1．

n1nmaaqaaq27、通項公式的變形：①n；②1；③qn1mn222annmanq；④．ama1*28、若an是等比數(shù)列，且mnpq（m、n、p、q），則amanapaq；若an是等比

數(shù)列，且2npq（n、p、q*），則an2apaq．

na1q129、等比數(shù)列an的前n項和的公式：①Sna11qnaaq．②sn1nq11q1qs1a1(n1)30、對任意的數(shù)列{an}的前n項和Sn與通項an的關系：an

ss(n2)n1na1a2an

[注]：①ana1n1dnda1d（d可為零也可不為零→為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）→若d不為0，則是等差數(shù)列充分條件）.②等差{an}前n項和SnAn2Bnn2a1d2ddn→可以為零也可不為零→為等差的充要條件→若22d為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若d不為零，則是等差數(shù)列的充分條件.

③非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不可能有等比數(shù)列）．．附：幾種常見的數(shù)列的思想方法：

⑴等差數(shù)列的前n項和為Sn，在d0時，有最大值.如何確定使Sn取最大值時的n值，有兩種方法：一是求使an0,an10，成立的n值；二是由Sn數(shù)列通項公式、求和公式與函數(shù)對應關系如下：數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列我們用函數(shù)的觀點揭開了數(shù)列神秘的“面紗”，將數(shù)列的通項公式以及前n項和看成是關于n的函數(shù)，為我們解決數(shù)列有關問題提供了非常有益的啟示。例題：1、等差數(shù)列分析：因為

d2dn(a1)n利用二次函數(shù)的性質求n的值.22通項公式對應函數(shù)（時為一次函數(shù)）（指數(shù)型函數(shù)）前n項和公式對應函數(shù)（時為二次函數(shù)）（指數(shù)型函數(shù)）中，，則.

是等差數(shù)列，所以是關于n的一次函數(shù)，

一次函數(shù)圖像是一條直線，則（n,m）,(m,n),(m+n,)三點共線，

所以利用每兩點形成直線斜率相等，即，得=0（圖像如上），這里利用等差數(shù)

列通項公式與一次函數(shù)的對應關系，并結合圖像，直觀、簡潔。例題：2、等差數(shù)列

中，

，前n項和為

，若

，n為何值時

最大？

分析：等差數(shù)列前n項和可以看成關于n的二次函數(shù)=，

是拋物線=上的離散點，根據題意，，

則因為欲求最大。

最大值，故其對應二次函數(shù)圖像開口向下，并且對稱軸為，即當時，

例題：3遞增數(shù)列，對任意正整數(shù)n，

遞增得到：

恒成立，設

恒成立，求

恒成立，即，則只需求出。

，因為是遞的最大值即

分析：構造一次函數(shù)，由數(shù)列恒成立，所以可，顯然

有最大值

對一切

對于一切

，所以看成函數(shù)

的取值范圍是：

構造二次函數(shù)，，它的定義域是

增數(shù)列，即函數(shù)為遞增函數(shù)，單調增區(qū)間為,拋物線對稱軸，因為函數(shù)f(x)

為離散函數(shù)，要函數(shù)單調遞增，就看動軸與已知區(qū)間的位置。從對應圖像上看，對稱軸的左側

在

也可以（如圖），因為此時B點比A點高。于是，

，得

⑵如果數(shù)列可以看作是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應項乘積，求此數(shù)列前n項和可依照等比數(shù)列前111n項和的推倒導方法：錯位相減求和.例如：1,3,...(2n1)n,...

242⑶兩個等差數(shù)列的相同項亦組成一個新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項就是原兩個數(shù)列的第一個相同項，

公差是兩個數(shù)列公差d1，d2的最小公倍數(shù).

2.判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：(1)定義法:對于n≥2的任意自然數(shù),驗證

anan1(an)為同一常數(shù)。(2)通項公式法。(3)中項公式法:驗證an122an1anan2(an1anan2)nN都成立。

3.在等差數(shù)列｛an｝中,有關Sn的最值問題：(1)當a1>0,dsn=121222323n2n①

把①式兩邊同乘2后得

2sn=122223324n2n1②

用①-②，即：

sn=121222323n2n①2sn=122223324n2n1②

得

sn1222232nn2n12(12n)n2n1122n12n2n1(1n)2n12∴sn(n1)2n12

4.倒序相加法:類似于等差數(shù)列前n項和公式的推導方法.5.常用結論

n(n1)121）:1+2+3+...+n=2）1+3+5+...+(2n-1)=n3）1323n3n(n1)

224）123n222221111n(n1)(2n1)5）6n(n1)nn11111()

n(n2)2nn26）

31、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

32、不等式的性質：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；

nn⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0abn,n1；

1111()(pq)pqqppq⑧ab0nanbn,n1．

33、一元二次不等式：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式．34、含絕對值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式（高次不等式）的解法穿根法（零點分段法）

求解不等式：a0xna1xn1a2xn2an0(0)(a00)

解法：①將不等式化為a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)>0(0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“

由圖可看出不等式x3x6x80的解集為：

22x|2x1,或x4

例題：求解不等式解：略

一元二次不等式的求解：

特例①一元一次不等式ax>b解的討論；

②一元二次不等式ax+bx+c>0(a>0)解的討論.

二次函數(shù)0002

(x1)(x2)(x5)0的解集。

(x6)(x4)yax2bxc（a0）的圖象一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根無實根Raxbxc02a0的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集x1,x2(x1x2)x1x2b2abxxx1或xx2xx2axx1xx2對于a0(或（2）轉化為整式不等式（組）

f(x)f(x)f(x)g(x)00f(x)g(x)0;0g(x)0g(x)g(x)

例題：求解不等式：解：略例題：求不等式

11xx1的解集。x13.含絕對值不等式的解法：基本形式：

①型如：|x|＜a(a＞0)的不等式的解集為：x|axa②型如：|x|＞a(a＞0)的不等式的解集為：x|xa,或xa變型：

其中-c3x23x23x2(x2)(x3)10xR③當x2時，（去絕對值符號）原不等式化為：

x2x292x92(x2)(x3)10x2由①②③得原不等式的解集為：x|函數(shù)圖像法：

令f(x)|x2||x3|

119x（注：是把①②③的解集并在一起）22yf(x)=1052x1(x3)則有：f(x)5(3x2)

2x1(x2)在直角坐標系中作出此分段函數(shù)及f(x)10的圖像如圖1132o292x由圖像可知原不等式的解集為：x|2

119x224.一元二次方程ax+bx+c=0(a>0)的實根的分布常借助二次函數(shù)圖像來分析：y設ax+bx+c=0的兩根為、，f(x)=ax+bx+c,那么：

22

0①若兩根都大于0，即0,0，則有0

0

o對稱軸x=xb2a0b②若兩根都小于0，即0,0，則有0

2af(0)0

11

y對稱軸x=b2aox

③若兩根有一根小于0一根大于0，即0，則有f(0)0

④若兩根在兩實數(shù)m,n之間，即mn，

yoxy0bnm則有2af(m)0omf(n)0⑤若兩個根在三個實數(shù)之間，即mtn，

yX=nb2axf(m)0則有f(t)0

f(n)0

常由根的分布情況來求解出現(xiàn)在a、b、c位置上的參數(shù)

例如：若方程x22(m1)xm22m30有兩個正實數(shù)根，求m的取值范圍。

omX=tnxb2a4(m1)24(m22m3)00m1解：由①型得02(m1)0m1m3

0m1,或m3m22m30所以方程有兩個正實數(shù)根時，m3。

又如：方程xxm10的一根大于1，另一根小于1，求m的范圍。

225522(1)4(m1)00m解：因為有兩個不同的根，所以由2221m12f(1)011m101m135、二元一次不等式：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式．

36、二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組．

37、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的x和y的取值構成有序數(shù)對x,y，所有這樣的有序數(shù)對x,y構成的集合．

38、在平面直角坐標系中，已知直線xyC0，坐標平面內的點x0,y0．①若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的上方．②若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的下方．39、在平面直角坐標系中，已知直線xyC0．（一）由B確定：

0表示直線xyC0上方的區(qū)域；xyC0表示直線①若0，則xyCxyC0下方的區(qū)域．

0表示直線xyC0下方的區(qū)域；xyC0表示直線②若0，則xyCxyC0上方的區(qū)域．

（二）由A的符號來確定：

先把x的系數(shù)A化為正后，看不等號方向：

①若是“>”號，則xyC0所表示的區(qū)域為直線l:xyC0的右邊部分。②若是“線性規(guī)劃問題：求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題．可行解：滿足線性約束條件的解x,y．可行域：所有可行解組成的集合．

最優(yōu)解：使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解．

ab稱為正數(shù)a、b的算術平均數(shù)，ab稱為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)．2abab．42、均值不等式定理：若a0，b0，則ab2ab，即241、設a、b是兩個正數(shù)，則

43、常用的基本不等式：①ab2aba,bR22a2b2；②aba,bR；③

2ababa0,b0；

2a2b2ab④a,bR．

2244、極值定理：設x、y都為正數(shù)，則有：

22s2⑴若xys（和為定值），則當xy時，積xy取得最大值．⑵若xyp（積為定值），則當xy4時，和xy取得最小值2p．例題：已知x解：∵x51，求函數(shù)f(x)4x2的最大值。44x55，∴4x504由原式可以化為：

f(x)4x552

當54x1111(54x)3[(54x)]3(54x)31324x554x54x54x132，即(54x)1x1，或x(舍去）時取到“=”號54x2也就是說當x1時有f(x)max2

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