itexyi高一數(shù)學(xué)必修2知識總結(jié)

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懶惰是很奇怪的東西，它使你以為那是安逸，是休息，是福氣；但實際上它所給你的是無聊，是倦怠，是消沉;它剝奪你對前途的希望，割斷你和別人之間的友情，使你心胸日漸狹窄，對人生也越來越懷疑。

羅蘭

高一數(shù)學(xué)必修二復(fù)習(xí)

第一章；空間幾何體

多面體：棱柱

棱柱的定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每兩個四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫做棱柱。棱柱的性質(zhì)

（1）側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形

（2）兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形（3）過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面（對角面）是平行四邊形棱錐

棱錐的定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐棱錐的性質(zhì)：

（1）側(cè)棱交于一點。側(cè)面都是三角形

（2）平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠(yuǎn)棱錐高的比的平方正棱錐

正棱錐的定義：如果一個棱錐底面是正多邊形，并且頂點在底面內(nèi)的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。正棱錐的性質(zhì)：

各側(cè)棱交于一點且相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。

第二章：立體幾何

基本概念

公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點都在這個平面內(nèi)。公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線。公理3：過不在同一條直線上的三個點，有且只有一個平面。推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面。推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面。推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面。公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等�？臻g兩直線的位置關(guān)系：

空間兩條直線只有三種位置關(guān)系：平行、相交、異面1、按是否共面可分為兩類：

（1）共面：平行、相交（2）異面：

異面直線的定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線或既不平行也不相交。

異面直線判定定理：用平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線。

兩異面直線所成的角：范圍為(0°，90°)兩異面直線間距離:公垂線段(有且只有一條)2、若從有無公共點的角度看可分為兩類：

（1）有且僅有一個公共點相交直線；（2）沒有公共點平行或異面直線和平面的位置關(guān)系：

直線和平面只有三種位置關(guān)系：在平面內(nèi)、與平面相交、與平面平行①直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點②直線和平面相交有且只有一個公共點

直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角。應(yīng)用：.空間向量法(找平面的法向量)

規(guī)定：a直線與平面垂直時，所成的角為直角，b直線與平面平行或在平面內(nèi)，所成的角為0角由此得直線和平面所成角的取值范圍為[0°，90°]

三垂線定理及逆定理:如果平面內(nèi)的一條直線,與這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也與這條斜線垂直.直線和平面垂直

直線和平面垂直的定義：如果一條直線阿和一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線a和平面互相垂直.直線a叫做平面的垂線，平面叫做直線a的垂面。

直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。直線與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。③直線和平面平行沒有公共點

直線和平面平行的定義：如果一條直線和一個平面沒有公共點，那么我們就說這條直線和這個平面平行。直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。兩個平面的位置關(guān)系：

（1）兩個平面互相平行的定義：空間兩平面沒有公共點（2）兩個平面的位置關(guān)系：

兩個平面平行-----沒有公共點；兩個平面相交-----有一條公共直線。a、平行

判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么交線平行。b、相交二面角

（1）半平面：平面內(nèi)的一條直線把這個平面分成兩個部分，其中每一個部分叫做半平面。

（2）二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為[0°，180°]（3）二面角的棱：這一條直線叫做二面角的棱。（4）二面角的面：這兩個半平面叫做二面角的面。

（5）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。

（6）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。兩平面垂直

兩平面垂直的定義：兩平面相交，如果所成的角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。記為⊥兩平面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直

兩個平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面。注意：

二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂線定理及逆定理、面積射影定理、空間向量之法向量法（注意求出的角與所需要求的角之間的等補(bǔ)關(guān)系）

第三章：直線與方程

（1）直線的傾斜角

定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°（2）直線的斜率①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即ktan。斜率反映直線與軸的傾斜程度。

當(dāng)90當(dāng)0,90時，k0；,180時，k0；

當(dāng)90時，k不存在。②過兩點的直線的斜率公式：ky2y1x2x1(x1x2)

注意下面四點：

(1)當(dāng)x1x2時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k與P1、P2的順序無關(guān)；

(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標(biāo)直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標(biāo)先求斜率得到。（3）直線方程

①點斜式：yy1k(xx1)直線斜率k，且過點x1,y1注意：當(dāng)直線的斜率為0°時，k=0，直線的方程是y=y1。

當(dāng)直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示．但因l上每一點的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：ykxb，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b③兩點式：④截矩式：

yy1y2y1xx1x2x1（x1x2,y1y2）直線兩點x1,y1，x2,y2

1ab其中直線l與x軸交于點(a,0),與y軸交于點(0,b),即l與x軸、y軸的截距分別為a,b。

xy⑤一般式：AxByC0（A，B不全為0）

1各式的適用范圍注意：○

2特殊的方程如：平行于x軸的直線：yb（b為常數(shù)）○；

平行于y軸的直線：xa（a為常數(shù)）；

（4）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線（一）平行直線系

平行于已知直線A0xB0yC00（A0,B0是不全為0的常數(shù)）的直線系：A0xB0yC0（C為常數(shù)）

（二）垂直直線系

垂直于已知直線A0xB0yC00（A0,B0是不全為0的常數(shù)）的直線系：B0xA0yC0（C為常數(shù)）

（三）過定點的直線系

①斜率為k的直線系：yy0kxx0，直線過定點x0,y0；

②過兩條直線l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20的交點的直線系方程為，其中直線l2不在直線系中。A1xB1yC1A2xB2yC20（為參數(shù)）

（5）兩直線平行與垂直

當(dāng)l1:yk1xb1，l2:yk2xb2時，

l1//l2k1k2,b1b2；l1l2k1k21

注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。

（6）兩條直線的交點

l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20相交交點坐標(biāo)即方程組A1xB1yC10A2xB2yC20的一組解。

方程組無解l1//l2；方程組有無數(shù)解l1與l2重合

（7）兩點間距離公式：設(shè)A(x1,y1)，（是平面直角坐標(biāo)系中的兩個點，Bx2,y2）則|AB|(x2x1)2(y2y1)2

（8）點到直線距離公式：一點Px0,y0到直線l1:AxByC0的距離dAx0By0C

22AB（9）兩平行直線距離公式

在任一直線上任取一點，再轉(zhuǎn)化為點到直線的距離進(jìn)行求解。

第四章：圓的方程

（1）標(biāo)準(zhǔn)方程xaybr，圓心a,b，半徑為r；

222（2）一般方程xyDxEyF0

當(dāng)DE4F0時，方程表示圓，此時圓心為22222222D2,1E，半徑為r22D2E24F

當(dāng)DE4F0時，表示一個點；當(dāng)DE4F0時，方程不表示任何圖形。

（3）求圓方程的方法：

一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個圓需要三個獨立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)；

另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點，以此來確定圓心的位置。

直線與圓的位置關(guān)系

直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況：

（1）設(shè)直線l:AxByC0，圓C:xa2yb2r2，圓心Ca,b到l的距離為dAaBbC，則

22AB有drl與C相離；drl與C相切；drl與C相交

（2）過圓外一點的切線：①k不存在，驗證是否成立②k存在，設(shè)點斜式方程，用圓心到該直線距離=半徑，求解k，得到方程【一定兩解】(3)過圓上一點的切線方程：圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2

圓與圓的位置關(guān)系

通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。設(shè)圓C1:xa12yb12r2，C2:xa22yb22R2兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。當(dāng)dRr時兩圓外離，此時有公切線四條；

當(dāng)dRr時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；當(dāng)RrdRr時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；當(dāng)dRr時，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點，只有一條公切線；

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高中數(shù)學(xué)必修2知識點

一、直線與方程

（1）直線的傾斜角

定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°（2）直線的斜率

①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即ktan。斜率反映直線與軸的傾斜程度。

當(dāng)0,90時，k0；當(dāng)90,180時，k0；當(dāng)90時，k不存在。

yy1(x1x2)②過兩點的直線的斜率公式：k2x2x1注意下面四點：(1)當(dāng)x1x2時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k與P1、P2的順序無關(guān)；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標(biāo)直接求得；

(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標(biāo)先求斜率得到。（3）直線方程

①點斜式：yy1k(xx1)直線斜率k，且過點x1,y1

注意：當(dāng)直線的斜率為0°時，k=0，直線的方程是y=y1。

當(dāng)直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示．但因l上每一點的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：ykxb，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b③兩點式：④截矩式：

yy1y2y1xayxx1x2x1（x1x2,y1y2）直線兩點x1,y1，x2,y2

1b其中直線l與x軸交于點(a,0),與y軸交于點(0,b),即l與x軸、y軸的截距分別為a,b。

⑤一般式：AxByC0（A，B不全為0）

1各式的適用范圍○2特殊的方程如：注意：○

平行于x軸的直線：yb（b為常數(shù)）；平行于y軸的直線：xa（a為常數(shù)）；（5）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線（一）平行直線系

平行于已知直線A0xB0yC00（A0,B0是不全為0的常數(shù)）的直線系：

A0xB0yC0（C為常數(shù)）

（二）過定點的直線系

（）斜率為k的直線系：yy0kxx0，直線過定點x0,y0；

（）過兩條直線l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20的交點的直線系方程為

，其中直線l2不在直線系中。A1xB1yC1A2xB2yC20（為參數(shù)）（6）兩直線平行與垂直

第1頁

當(dāng)l1:yk1xb1，l2:yk2xb2時，l1//l2k1k2,b1b2；l1l2k1k21

注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。（7）兩條直線的交點

l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20相交交點坐標(biāo)即方程組A1xB1yC10的一組解。

A2xB2yC20方程組無解l1//l2；方程組有無數(shù)解l1與l2重合（8）兩點間距離公式：設(shè)A(x1,y1)，B是平面直角坐標(biāo)系中的兩個點，（x2,y2）則|AB|(x2x1)2(y2y1)2

（9）點到直線距離公式：一點Px0,y0到直線l1:AxByC0的距離d（10）兩平行直線距離公式

在任一直線上任取一點，再轉(zhuǎn)化為點到直線的距離進(jìn)行求解。

Ax0By0CAB22

二、圓的方程

1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓的

半徑。

2、圓的方程

（1）標(biāo)準(zhǔn)方程xaybr2，圓心a,b，半徑為r；

22（2）一般方程x2y2DxEyF0當(dāng)DE2224F0時，方程表示圓，此時圓心為22D2,1E，半徑為r22D2E24F

當(dāng)DE4F0時，表示一個點；當(dāng)DE4F0時，方程不表示任何圖

形。

（3）求圓方程的方法：一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個圓需要三個獨立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)；

另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點，以此來確定圓心的位置。3、直線與圓的位置關(guān)系：

直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：

（1）設(shè)直線l:AxByC0，圓C:xa2yb2r2，圓心Ca,b到l的距離為

dAaBbCAB222，則有drl與C相離；drl與C相切；drl與C相交

22（2）設(shè)直線l:AxByC0，圓C:xaybr2，先將方程聯(lián)立消元，得到一個一元二次方程之后，令其中的判別式為，則有

0l與C相離；0l與C相切；0l與C相交

2注：如果圓心的位置在原點，可使用公式xx0yy0r去解直線與圓相切的問題，其中x0,y0表示切點坐標(biāo)，r表示半徑。

(3)過圓上一點的切線方程：

22

①圓x2+y2=r，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為xx0yy0r(課本命題)．

2222

②圓(x-a)+(y-b)=r，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r(課本命題的推廣)．

第2頁

4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。設(shè)圓C1:xa12yb12r2，C2:xa22yb22R2兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。當(dāng)dRr時兩圓外離，此時有公切線四條；

當(dāng)dRr時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；當(dāng)RrdRr時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；當(dāng)dRr時，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點，只有一條公切線；當(dāng)dRr時，兩圓內(nèi)含；當(dāng)d0時，為同心圓。

三、立體幾何初步

1、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

（1）棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共

邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點字母，如五棱柱ABCDEA"B"C"D"E"或用對角線的端點字母，如五棱柱

"AD

幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且

相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

（2）棱錐

定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點字母，如五棱錐PABCDE

幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到

截面距離與高的比的平方。

（3）棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等

"""""表示：用各頂點字母，如五棱臺PABCDE

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開圖

是一個矩形。

（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何

體

"""""第3頁

幾何特征：①底面是一個圓；②母線交于圓錐的頂點；③側(cè)面展開圖是一個扇形。（6）圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分幾何特征：①上下底面是兩個圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點；③側(cè)面展開圖是一個弓形。（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度；

側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖斜二測畫法

斜二測畫法特點：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；

②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。

4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積

（1）幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。

（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，h為斜高，l為母線）

"

S直棱柱側(cè)面積S正棱臺側(cè)面積12chS圓柱側(cè)2rhS正棱錐側(cè)面積(c1c2)h"S圓臺側(cè)面積(rR)l

12ch"S圓錐側(cè)面積rl

S圓柱表2rrlS圓錐表rrlS圓臺表r2rlRlR2

（3）柱體、錐體、臺體的體積公式V柱ShV圓柱ShV臺13(S""21rhV錐ShV圓錐1r2h

33SSS)hV圓臺13(S"SSS)h"13(rrRR)h

22

（4）球體的表面積和體積公式：V球4、空間點、直線、平面的位置關(guān)系

=

43R3；S

球面=4R2

第4頁

（1）平面

①平面的概念：A.描述性說明；B.平面是無限伸展的；

②平面的表示：通常用希臘字母α、β、γ表示，如平面α（通常寫在一個銳角內(nèi)）；

也可以用兩個相對頂點的字母來表示，如平面BC。

③點與平面的關(guān)系：點A在平面內(nèi)，記作A；點A不在平面內(nèi)，記作A點與直線的關(guān)系：點A的直線l上，記作：A∈l；點A在直線l外，記作Al；

直線與平面的關(guān)系：直線l在平面α內(nèi)，記作lα；直線l不在平面α內(nèi)，記作lα。（2）公理1：如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點都在這個平面內(nèi)。

（即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過直線）

應(yīng)用：檢驗桌面是否平；判斷直線是否在平面內(nèi)

用符號語言表示公理1：Al,Bl,A,Bl（3）公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。

推論：一直線和直線外一點確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。

公理2及其推論作用：①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)②它是證明平面重合的依據(jù)（4）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線

符號：平面α和β相交，交線是a，記作α∩β＝a。

符號語言：PABABl,Pl公理3的作用：

①它是判定兩個平面相交的方法。

②它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關(guān)系：交線必過公共點。③它可以判斷點在直線上，即證若干個點共線的重要依據(jù)。（5）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行（6）空間直線與直線之間的位置關(guān)系

①異面直線定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線②異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。

③異面直線判定：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線④異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，分別引直線a’∥a，b’∥b，則把直線a’和b’所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是（0°，90°]，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：①根據(jù)異面直線的定義；②異面直線的判定定理（2）在異面直線所成角定義中，空間一點O是任取的，而和點O的位置無關(guān)。②求異面直線所成角步驟：

A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上。B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來求角

（7）等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)。（8）空間直線與平面之間的位置關(guān)系

直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點．

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三種位置關(guān)系的符號表示：aαa∩α＝Aa∥α

（9）平面與平面之間的位置關(guān)系：平行沒有公共點；α∥β

相交有一條公共直線。α∩β＝b

5、空間中的平行問題

（1）直線與平面平行的判定及其性質(zhì)

線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行。

線線平行線面平行

線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，

那么這條直線和交線平行。線面平行線線平行

（2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)兩個平面平行的判定定理

（1）如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行

（線面平行→面面平行），

（2）如果在兩個平面內(nèi)，各有兩組相交直線對應(yīng)平行，那么這兩個平面平行。（線線平行→面面平行），

（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行，兩個平面平行的性質(zhì)定理

（1）如果兩個平面平行，那么某一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行。（面面平行→線面平行）（2）如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行→線線平行）7、空間中的垂直問題

（1）線線、面面、線面垂直的定義①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。②線面垂直：如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂直。

③平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個平面垂直。（2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理①線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個平面。性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理

判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面。

9、空間角問題

（1）直線與直線所成的角

①兩平行直線所成的角：規(guī)定為0。

②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點O，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線a,b，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。

（2）直線和平面所成的角

①平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為0。②平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為90。③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。

求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計算”。

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在“作角”時依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點到面的垂線，在解題時，注意挖掘題設(shè)中兩個主要信息：（1）斜線上一點到面的垂線；（2）過斜線上的一點或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。（3）二面角和二面角的平面角①二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為頂點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射．．．．．線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個平面垂直；反過來，如果兩個平面垂直，那么所成的二面角為直二面角④求二面角的方法

定義法：在棱上選擇有關(guān)點，過這個點分別在兩個面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角垂面法：已知二面角內(nèi)一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個面的交線所成的角為二面角的平面角7、空間直角坐標(biāo)系

（1）定義：如圖，OBCDD,A,B,C,是單位正方體.以A為原點，分別以O(shè)D,OA,,OB的方向為正方向，建立三條數(shù)軸x軸.y軸.z軸。這時建立了一個空間直角坐標(biāo)系Oxyz.

1）O叫做坐標(biāo)原點2）x軸，y軸，z軸叫做坐標(biāo)軸.3）過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)面。

（2）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直時，可能形成的位置。大拇指指向為x軸正方向，食指指向為y軸正向，中指指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間的相位置。

（3）任意點坐標(biāo)表示：空間一點M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來表示，有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做點M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作M(x,y,z)（x叫做點M的橫坐標(biāo)，y叫做點M的縱坐標(biāo)，z叫做點M的豎坐標(biāo)）

（4）空間兩點距離坐標(biāo)公式：d(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2

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