201*屆高中文科數學知識點總結

高中數學必修1知識點

集合的概念：集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.

集合與元素間的關系：對象a與集合M的關系是aM，或者aM，兩者必居其一.已知集合空真子集.

函數的三要素:定義域、值域和對應法則．

只有定義域相同，且對應法則也相同的兩個函數才是同一函數．若

A有n(n1)個元素，則它有2n個子集，它有2n1個真子集，它有2n1個非空子集，它有2n2個非

f(x)是由有限個基本初等函數的四則運算而合成的函數時，則其定義域一般是各基本初等函數的定義域的交集．

f(x)的定義域為[a,b]，其復合函數f[g(x)]的定義域應由不等

對于求復合函數定義域問題，一般步驟是：若已知式ag(x)b解出．

（6）映射的概念

①設

A、B是兩個集合，如果按照某種對應法則f，對于集合

A中任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它

）叫做集合

A到B的映射，記作f:AB．

對應，那么這樣的對應（包括集合

A，B以及A到B的對應法則f②給定一個集合

A到集合B的映射，且aA,bB．如果元素a和元素b對應，那么我們把元素b叫做元素a的

象，元素a叫做元素b的原象．

②在公共定義域內，兩個增函數的和是增函數，兩個減函數的和是減函數，增函數減去一個減函數為增函數，減函數減去一個增函數為減函數．③對于復合函數

yf[g(x)]，令ug(x)，若yf(u)為增，ug(x)為增，則yf[g(x)]為增；若

yf(u)為減，ug(x)為減，則yf[g(x)]為增；若yf(u)為增，ug(x)為減，則yf[g(x)]為

減；若

yf(u)為減，ug(x)為增，則yf[g(x)]為減．

（2）打“√”函數

f(x)xa(a0)的圖象與性質xyf(x)分別在

分別在[

1(,a]、[a,)上為增函數，

oxa,0)、(0,a]上為減函數．

②若函數

f(x)為奇函數，且在x0處有定義，則f(0)0．

④在公共定義域內，兩個偶函數（或奇函數）的和（或差）仍是偶函數（或奇函數），兩個偶函數（或奇函數）的積（或商）是偶函數，一個偶函數與一個奇函數的積（或商）是奇函數．

（4）對數的運算性質如果a①加法：loga0,a1,M0,N0，那么

MN

MlogaNloga(MN)②減法：logaMlogaNlogaMlogaMn(nR)④alogaNN

③數乘：nloga⑤logabMnnlogbNlogaM(b0,nR)⑥換底公式：logaN(b0,且b1)blogba

（1）二次函數解析式的三種形式①一般式：

f(x)ax2bxc(a0)②頂點式：f(x)a(xh)2k(a0)③兩根式：

f(x)a(xx1)(xx2)(a0)（2）求二次函數解析式的方法

①已知三個點坐標時，宜用一般式．

②已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大（小）值有關時，常使用頂點式．③若已知拋物線與x軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式求

3直觀圖：斜二測畫法4斜二測畫法的步驟：

（1）.平行于坐標軸的線依然平行于坐標軸；

（2）.平行于y軸的線長度變半，平行于x，z軸的線長度不變；（3）.畫法要寫好。

⑤計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角。

2、判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；

3、直線的斜率:

一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是k=tanα⑴當直線l與x軸平行或重合時,α=0°,k=tan0°=0;⑵當直線l與x軸垂直時,α=90°,k不存在.

由此可知,一條直線l的傾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

2

f(x)更方便．

2、傾斜角α的取值范圍：0°≤α＜180°.當直線l與x軸垂直時,α=90°.

2、兩平行線間的距離公式：

已知兩條平行線直線l1和l2的一般式方程為l1：

AxByC10，

l2：AxByC20，則l1與l2的距離為d

2、點M(x0,y0)與圓(xa)（1）(x0（3）(x02C1C2AB22

(yb)2r2的關系的判斷方法：

a)2(y0b)2>r2，點在圓外（2）(x0a)2(y0b)2=r2，點在圓上a)2(y0b)2

4）互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗中不會同時發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：（1）事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；（2）事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生；（3）事件A與事件B同時不發(fā)生，而對立事件是指事件A

與事件B有且僅有一個發(fā)生，其包括兩種情形；（1）事件A發(fā)生B不發(fā)生；（2）事件B發(fā)生事

件A不發(fā)生，對立事件互斥事件的特殊情形。

1806、弧度制與角度制的換算公式：2360，1，157.3．1807、若扇形的圓心角為為弧度制，半徑為r，弧長為l，周長為C，面積為S，則lr，C2rl，

11Slrr2．

225sin14、函數

cos，cossin．6sincos，cossin．2222口訣：正弦與余弦互換，符號看象限．

ysinx0,0的性質：

2①振幅：；②周期：

；③頻率：

f12；④相位：x；⑤初相：．

第二章平面向量

向量：既有大小，又有方向的量．數量：只有大小，沒有方向的量．

向量共線定理：向量aa0與b共線，當且僅當有唯一一個實數，使ba．

平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數（不共線的向量e1、e2作為這一平面內所有向量的一組基底）1、2，使a1e12e2．

x1x2y1y2ab設a、b都是非零向量，ax1,y1，bx2,y2，是a與b的夾角，則cos22abx12y12x2y2

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin2⑵cos2．

2sincos．1sin2sin2cos22sincos(sincos)2

cos2sin22cos2112sin2

升冪公式1cos2cos222cos211cos22，sin降冪公式cos222

4

,1cos2sin2．

⑶tan2

27、合一變形把兩個三角函數的和或差化為“一個三角函數，一個角，一次方”的

2tan1tan2．

yAsin(x)B形式。

sincos22sin，其中tan求sin50o．(13tan10o)；

1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對邊，，則有(R為C的外接圓的半徑)

abc2RsinsinsinC3、原命題：“若p，則q”逆命題：“若q，則p”

否命題：“若p，則q”逆否命題：“若q，則p”5、實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線．

3．幾個重要的結論：

(1)(1i)22i；⑷1ii;1ii;

1i1i(2)i性質：T=4；i4n1,i4n1i,i4n21,i4n3i；i4ni4n1i42i4n30;(3)z1zz1z1。z5．共軛的性質：⑴(z1z2)z1z2；⑵z1z2z1z2；⑶(z1z)1；⑷zz。z2z2z1|z1|；⑷|z2|z2|6．模的性質：⑴||z1||z2|||z1z2||z1||z2|；⑵|z1z2||z1||z2|；⑶||zn||z|n；

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集合與簡易邏輯

知識回顧：

（一）集合

1.基本概念：集合、元素；有限集、無限集；空集、全集；符號的使用.2.集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法.

集合元素的特征：確定性、互異性、無序性.

3①一個命題的否命題為真，它的逆命題一定為真.否命題逆命題.②一個命題為真，則它的逆否命題一定為真.原命題逆否命題.(二)含絕對值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法根軸法（零點分段法）

①將不等式化為a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)>0(0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“b解的討論；

2

②一元二次不等式ax+box>0(a>0)解的討論.00二次函數0yax2bxc（a0）的圖象有兩相異實根一元二次方程有兩相等實根無實根x1,x2(x1x2)bx1x22a第1頁共22頁ax2bxc0a0的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集xxx或xx12bxx2aRxx1xx22.分式不等式的解法（1）標準化：移項通分化為

f(x)f(x)f(x)f(x)>0(或函數三要素是定義域，對應法則和值域，而定義域和對應法則是起決定作用的要素，因為這二者確定后，值域也就相應得到確定，因此只有定義域和對應法則二者完全相同的函數才是同一函數.3.反函數

（二）函數的性質⒈函數的單調性

定義：對于函數f(x)的定義域I內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1,x2,若當x1y|2x22x1|→|y|關于x軸對稱.

熟悉分式圖象：

2x17例：y定義域{x|x3,xR}，2x3x3值域{y|y2,yR}→值域x前的系數之比.（三）指數函數與對數函數指數函數圖象▲y2x3yax(a0且a1)的圖象和性質

a>14.5401;x數列

定義遞推公式通項公式中項等差數列an1andanan1d；anamnmd等比數列an1q(q0)ananan1q；anamqnmana1qn1（a1,q0）Gankank(ankank0)ana1(n1)dAankank2

前n項和重要性質nna(q1)Sn(a1an)12Sna11qnaaq1n(q2)n(n1)1q1qSnna1d2**amanapaq(m,n,p,qN,amanapaq(m,n,p,qN,mnpq)

mnpq)（n,kN*,nk0）（n,kN*,nk0）看

數列是不是等差數列有以下三種方法：①anan1d(n2,d為常數)②2anan1an1(n2)

③anknb(n,k為常數).

看數列是不是等比數列有以下四種方法：①anan1q(n2,q為常數,且0)

2an1an1(n2，anan1an10)②an①

anPan1r（P、r為常數）用①轉化等差，等比數列；②逐項選代；③消去常數n轉化為an2Pan1qan的形式，再用特征根方法求an；④anc1c2Pn1（公式法），c1,c2由a1,a2確定.

①轉化等差，等比：an1xP(anx)an1PanPxxx②選代法：anPan1rP(Pan2r)ran(a1r.P1rr)Pn1(a1x)Pn1xP1P1在等差數列｛an｝中,有關Sn的最值問題：(1)當a1>0,d使得sm取最大值.(2)當a10時，滿足am0的項數m使得sm取最小值。在解含絕

am10對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應用。（三）、數列求和的常用方法

1.公式法:適用于等差、等比數列或可轉化為等差、等比數列的數列。

c2.裂項相消法:適用于其中{an}是各項不為0的等差數列，c為常數；部

anan1分無理數列、含階乘的數列等。

3.錯位相減法:適用于anbn其中{an}是等差數列，bn是各項不為0的等比數列。4.倒序相加法:類似于等差數列前n項和公式的推導方法.

5.常用結論4）123n5）

22221n(n1)(2n1)61111111()

n(n1)nn1n(n2)2nn2三角函數

1.三角函數的定義域：三角函數f(x)sinxf(x)cosxf(x)tanx定義域x|xRx|xR1x|xR且xk,kZ2cos22、同角三角函數的基本關系式：sintansinco2s1

3、誘導公式：

把k“奇變偶不變，符號看象限”的三角函數化為的三角函數，概括為：2三角函數的公式：（一）基本關系

sin(x)sinxsin2(x)sinxcos(x)cosxcos2(x)cosx

tan(x)tanxtan2(x)tanxcot(x)cotxcot2(x)coxtsin(x)sinxcos(x)cosxtan(x)tanxcot(x)coxt

cos()coscossinsinsin22sincos

22sco2ssin2co2s112sincos()coscossinsinco22sin()sincoscossintansin()sincoscossinsin22tan1tan2

1cos2第6頁共22頁tan()tantan1coscos

1tantan22tantantan1cossin1cos1tantan21cos1cossin62,sin75cos154tan()sin15cos75624,,.

4.正弦、余弦、正切、余切函數的圖象的性質：定義域值域周期性奇偶性單調性ysinxR[1,1]ycosxR[1,1]ytanx1x|xR且xk,kZ2yAsinx（A、＞0）RRA,A22奇函數22偶函數[2k1,2k]奇函數k,k22當0,非奇非偶當0,奇函數2k2k2(A),12(A)[2k,；22k]上為增函數；[上為增函數[2k,2k1]上為減函數（kZ）上為增函數（kZ）232k]22k,上為增函數；2k上為減函數（kZ）2(A),32k2(A)上為減函數（kZ）注意：①ysinx與ysinx的單調性正好相反；ycosx與ycosx的單調性也同樣相反.一般地，若yf(x)在[a,b]上遞增（減），則yf(x)在[a,b]上遞減（增）.

▲②ysinx與ycosx的周期是.

③ysin(x)或ycos(x)（0）的周期T2y.

Oxxytan的周期為2（TT2，如圖，翻折無效）.

2④ysin(x)的對稱軸方程是xk2（kZ），對稱中心（k,0）；ycos(x)的對稱軸方程是xk（kZ），對稱中心（k1,0）；ytan(x)的對稱中心

2第7頁共22頁（

k,0）.ycos2x原點對稱ycos(2x)cos2x22⑤當tantan1,ktan1,k(kZ)；tan

2(kZ).

⑥ycosx與ysinx2k是同一函數,

2⑦函數ytanx在R上為增函數.（×）[只能在某個單調區(qū)間單調遞增.若在整個定義域，

ytanx為增函數，同樣也是錯誤的].

⑧定義域關于原點對稱是f(x)具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個條件：一是定義域關于原點對稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數：f(x)f(x)，奇函數：

f(x)f(x)）

1奇偶性的單調性：奇同偶反.例如：ytanx是奇函數，ytan(x)是非奇非偶.（定

3義域不關于原點對稱）

奇函數特有性質：若0x的定義域，則f(x)一定有f(0)0.（0x的定義域，則無此性質）

▲⑨ysinx不是周期函數；ysinx為周期函數（T）；ycosx是周期函數（如圖）；ycosx為周期函數（T）；y▲yx1/2xy=cos|x|圖象1ycos2x的周期為（如圖），并非所有周期函數都有最小正周期，例如：

2y=|cos2x+1/2|圖象yf(x)5f(xk),kR.

⑩yacosbsina2b2sin()cosb有a2b2y.a三角函數圖象的作法：

1）、描點法及其特例五點作圖法（正、余弦曲線），三點二線作圖法（正、余切曲線）.2）、利用圖象變換作三角函數圖象．

平面向量

向量的概念

(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：幾何表示法AB；字母表示：a；坐標表示法a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.(3)向量的長度：即向量的大小，記作｜a｜.(4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O.

單位向量aO為單位向量｜aO｜＝1.

(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）x1x2

yy21第8頁共22頁(6)相反向量：a=-bb=-aa+b=0

(7)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作a∥b.平行向量也稱為共線向量.3.向量的運算運算類型幾何方法坐標方法運算性質abba向量的加法1.平行四邊形法則2.三角形法則ab(x1x2,y1y2)(ab)ca(bc)ABBCAC向量的減法三角形法則ab(x1x2,y1y2)aba(b)ABBA,OBOAAB(a)()a1.a是一個向量,滿數乘向量足:|a||||a|2.>0時,a與a同向;1圖x1x2x,12中點公式OP＝（OP1＋OP2）或2yy1y2.2正、余弦定理

正弦定理：

abc2R.sinAsinBsinC2

22

余弦定理：a＝b＋c－2bccosA，222

b＝c＋a－2cacosB，222

c＝a＋b－2abcosC.三角形面積計算公式：

設△ABC的三邊為a，b，c，其高分別為ha，hb，hc，半周長為P，外接圓、內切圓的半徑為R，r.

①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc②S△=Pr③S△=abc/4R

④S△=1/2sinCab=1/2acsinB=1/2cbsinA⑤S△=PPaPbPc[海倫公式]⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下圖]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb

[注]：到三角形三邊的距離相等的點有4個，一個是內心，其余3個是旁心.如圖：AAAcAcbbFOEacDBCFbEDBaCrFCINrCrBaEIaaaB圖2圖3圖4

圖1中的I為S△ABC的內心，S△=Pr

圖2中的I為S△ABC的一個旁心，S△=1/2（b+c-a）ra附：三角形的五個“心”；重心：三角形三條中線交點.

外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點.內心：三角形三內角的平分線相交于一點.垂心：三角形三邊上的高相交于一點.

旁心：三角形一內角的平分線與另兩條內角的外角平分線相交一點.

An▲BBCA▲n1CDEn2

不等式知識要點

1.不等式的基本概念

不等（等）號的定義：ab0ab;ab0ab;ab0ab.

第10頁共22頁2.不等式的基本性質

（1）abba（對稱性）

（2）ab,bcac（傳遞性）

（3）abacbc（加法單調性）

（4）ab,cdacbd（同向不等式相加）（5）ab,cdacbd（異向不等式相減）（6）a.b,c0acbc

（7）ab,c0acbc（乘法單調性）

（8）ab0,cd0acbd（同向不等式相乘）

(9)ab0,0cdab（異向不等式相除）cd(10)ab,ab011（倒數關系）ab（11）ab0anbn(nZ,且n1)（平方法則）（12）ab0nanb(nZ,且n1)（開方法則）

3.幾個重要不等式

（1）若aR,則|a|0,a20

（2）若a、bR,則a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)（當僅當a=b時取等號）（3）如果a,b都是正數，那么abab.（當僅當a=b時取等號）

2極值定理：若x,yR,xyS,xyP,則：

1如果P是定值,那么當x=y時，S的值最�。弧�

2如果S是定值,那么當x=y時，P的值最大.○

利用極值定理求最值的必要條件：一正、二定、三相等.

(4)若a、b、cR,則abc3abc（當僅當a=b=c時取等號）3ba(5)若ab0,則2（當僅當a=b時取等號）

ab(6)a0時，|x|ax2a2xa或xa;|x|ax2a2axa

（7）若a、bR,則||a||b|||ab||a||b|

1111111常用不等式的放縮法：①2(n2)

nn1n(n1)nn(n1)n1n②n1n1nn112n1nn122(a1nn1(n1)

（2）柯西不等式：若a1,a2,a3,,anR,b1,b2,b3,bnR;則2a2（a1b1a2b2a3b3anbn)ana1a2a3當且僅當時取等號b1b2b3bn2a32an)(b122b22b32bn)不等式證明的幾種常用方法

比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構造法.

不等式的解法

第11頁共22頁直線和圓的方程

一、直線方程.

1.直線的傾斜角：一條直線向上的方向與x軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，其中直線與x軸平行或重合時，其傾斜角為0，故直線傾斜角的范圍是

0180(0).

注：①當90或x2x1時，直線l垂直于x軸，它的斜率不存在.

②每一條直線都存在惟一的傾斜角，除與x軸垂直的直線不存在斜率外，其余每一條直線都有惟一的斜率，并且當直線的斜率一定時，其傾斜角也對應確定.2.直線方程的幾種形式：點斜式、截距式、兩點式、斜切式.3.兩條直線平行：

l1∥l2k1k2兩條直線平行的條件是：①l1和l2是兩條不重合的直線.②在l1和l2的斜率都存在的前提下得到的.因此，應特別注意，抽掉或忽視其中任一個—前提‖都會導致結論的錯誤.

（一般的結論是：對于兩條直線l1,l2，它們在y軸上的縱截距是b1,b2，則l1∥l2k1k2，且b1b2或l1,l2的斜率均不存在，即A1B2B1A2是平行的必要不充分條件，且C1C2）推論：如果兩條直線l1,l2的傾斜角為1,2則l1∥l212.兩條直線垂直：

兩條直線垂直的條件：①設兩條直線l1和l2的斜率分別為k1和k2，則有l(wèi)1l2k1k21這里的前提是l1,l2的斜率都存在.②l1l2k10，且l2的斜率不存在或k20，且l1的斜率不存在.（即A1B2A2B10是垂直的充要條件）

.點到直線的距離：

點到直線的距離公式：設點P(x0,y0)，直線l:AxByC0,P到l的距離為d，則有

dAx0By0CAB22.

注：

1.兩點P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距離公式：|P1P2|(x2x1)2(y2y1)2.

特例：點P(x,y)到原點O的距離：|OP|x2y22.直線的傾斜角（0°≤＜180°）、斜率:ktan3.過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線的斜率公式：k當x1y2y1.

x2x1(x1x2)

x2,y1y2（即直線和x軸垂直）時，直線的傾斜角＝90，沒有斜率王新敞

兩條平行線間的距離公式：設兩條平行直線l1:AxByC10,l2:AxByC20(C1C2)，它們之間的距離為d，則有dC1C2AB22.

第12頁共22頁7.關于點對稱和關于某直線對稱：

關于點對稱的兩條直線一定是平行直線，且這個點到兩直線的距離相等.

關于某直線對稱的兩條直線性質：若兩條直線平行，則對稱直線也平行，且兩直線到對稱直線距離相等.

若兩條直線不平行，則對稱直線必過兩條直線的交點，且對稱直線為兩直線夾角的角平分線.點關于某一條直線對稱，用中點表示兩對稱點，則中點在對稱直線上（方程①），過兩對稱點的直線方程與對稱直線方程垂直（方程②）①②可解得所求對稱點.二、圓的方程.

如果曲線C的方程是f(x,y)=0，那么點P0(x0,y)線C上的充要條件是f(x0,y0)=02.圓的標準方程：以點C(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標準方程是(xa)2(yb)2r2.特例：圓心在坐標原點，半徑為r的圓的方程是：x2y2r2.3.圓的一般方程：x2y2DxEyF0.

DE當DE4F0時，方程表示一個圓，其中圓心C,，半徑r2222D2E24F.

2當D2E24F0時，方程表示一個點DE,.22當D2E24F0時，方程無圖形（稱虛圓）.

xarcos注：①圓的參數方程：（為參數）.

ybrsin③圓的直徑或方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0（用向量可征）.4.點和圓的位置關系：給定點M(x0,y0)及圓C:(xa)2(yb)2r2.

①M在圓C內(x0a)2(y0b)2r2

（x0a)2(y0b)2r2②M在圓C上③M在圓C外(x0a)2(y0b)2r25.直線和圓的位置關系：

設圓圓C：(xa)2(yb)2r2(r0)；直線l：AxByC0(A2B20)；圓心C(a,b)到直線l的距離d①dr時，l與C相切；

22xyD1xE1yF10相減為公切線方程.附：若兩圓相切，則22xyD2xE2yF20AaBbCAB22.

②dr時，l與C相交；

C1:x2y2D1xE1yF10附：公共弦方程：設

C2:x2y2D2xE2yF20第13頁共22頁有兩個交點，則其公共弦方程為(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.③dr時，l與C相離.

(xa)2(yb)2r2由代數特征判斷：方程組用代入法，得關于x（或y）的一元二次方程，

AxBxC0其判別式為，則：

0l與C相切；0l與C相交；0l與C相離.

一般方程若點(x0,y0)在圓上，則(xa)(x0a)+(yb)(y0b)=R2.特別地，過圓x2y2r2上一點P(x0,y0)的切線方程為x0xy0yr2.

圓錐曲線方程

一、橢圓方程.

1.橢圓方程的第一定義：

PF1PF22aF1F2方程為橢圓,PF1PF22aF1F2無軌跡,PF1PF22aF1F2以F1,F2為端點的線段

①橢圓的標準方程：

i.ii.

中心在原點，焦點在x軸上：x2a2y2b2221(ab0).x2b2ii.中心在原點，焦點在y軸上：ya221(ab0).

y2b21的參數方程為

②一般方程：AxBy1(A0,B0).③橢圓的標準參數方程：

x2a2xacos（一象限應是屬于0）.2ybsin①頂點：(a,0)(0,b)或(0,a)(b,0).②軸：對稱軸：x軸，y軸；長軸長2a，短軸長2b.③

焦點：(c,0)(c,0)或(0,c)(0,c).④焦距：F1F22c,cabca2.⑥離心率：e(0e1).yca22a2.⑤準線：x或

c⑧通徑：垂直于x軸且過焦點的弦叫做通經.坐標：d二、雙曲線方程.

1.雙曲線的第一定義：

PF1PF22aF1F2方程為雙曲線PF1PF22aF1F2無軌跡2b2a2b2b2(c,)和(c,)

aa

PF1PF22aF1F2以F1,F2的一個端點的一條射線①雙曲線標準方程：

x2a2y2b21(a,b0),y2a2x2b21(a,b0).一般方程：

第14頁共22頁Ax2Cy21(AC0).

①i.焦點在x軸上：

xya2頂點：(a,0),(a,0)焦點：(c,0),(c,0)準線方程x漸近線方程：0或

cabx2a2y2b20

2a2c②軸x,y為對稱軸，實軸長為2a,虛軸長為2b，焦距2c.③離心率e.④準線距

ca2b2c（兩準線的距離）；通徑.⑤參數關系c2a2b2,e.⑥焦點半徑公式：對于雙曲

aa線方程

x2a2y2b21（F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點）

等軸雙曲線：雙曲線x2y2a2稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為yx，離心率e2.⑸共漸近線的雙曲線系方程：

x2a2y2b2(0)的漸近線方程為

22x2a2y2b20如果雙曲線的

▲yxxy漸近線為0時，它的雙曲線方程可設為22(0).

ababy4311例如：若雙曲線一條漸近線為yx且過p(3,)，求雙曲線的方程？2221F2xx21x2y22解：令雙曲線的方程為：y(0)，代入(3,)得1.8242F153⑹直線與雙曲線的位置關系：

3區(qū)域①：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計2條；

區(qū)域②：即定點在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計3條；區(qū)域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計4條；

區(qū)域④：即定點在漸近線上且非原點，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計2條；區(qū)域⑤：即過原點，無切線，無與漸近線平行的直線.

小結：過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點，可以作出的直線數目可能有0、2、3、4條.

（2）若直線與雙曲線一支有交點，交點為二個時，求確定直線的斜率可用代入法與漸“”近線求交和兩根之和與兩根之積同號.三、拋物線方程.

3.設p0，拋物線的標準方程、類型及其幾何性質：圖形y22px▲y22px▲x22pyy▲x22py▲yyyxOxOxOOx焦點F(p,0)2F(p,0)2F(0,p)2F(0,p)2第15頁共22頁準線范圍對稱軸頂點離心率焦點xp2xp2yp2yp2x0,yRx0,yRxR,y0xR,y0x軸y軸（0，0）e1PFpx12PFpx12PFpy12PFpy122②y22px(p0)則焦點半徑PFxP;x22py(p0)則焦點半徑為PFyP.

2③通徑為2p，這是過焦點的所有弦中最短的.

x2pt2x2pt④y2px（或x2py）的參數方程為（或）（t為參數）.2y2pty2pt22四、圓錐曲線的統(tǒng)一定義..

：橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程與幾何性質定義橢圓1．到兩定點F1,F2的距離之和為定值2a(2a>|F1F2|)的點的軌跡2．與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.（00)2abxacosybsin(參數為離心角）─axa，─byb原點O（0，0）(a,0),(─a,0),(0,b),(0,─b)x軸，y軸；長軸長2a,短軸長2bF1(c,0),F2(─c,0)22xasecybtan(參數為離心角）|x|a，yR原點O（0，0）(a,0),(─a,0)x軸，y軸;實軸長2a,虛軸長2b.F1(c,0),F2(─c,0)22x2pt2y2pt(t為參數)x0(0,0)x軸pF(,0)2e=12c（c=ab）2c（c=ab）ec(0e1)aec(e1)a第16頁共22頁準線a2x=ca2x=cy=±xp2漸近線焦半徑通徑bxaraex2b2aa2cr(exa)2b2aa2crx2pPp2焦參數立體幾何

平面.

1.經過不在同一條直線上的三點確定一個面.

注：兩兩相交且不過同一點的四條直線必在同一平面內.

2.兩個平面可將平面分成3或4部分.（①兩個平面平行，②兩個平面相交）

3.過三條互相平行的直線可以確定1或3個平面.（①三條直線在一個平面內平行，②三條直線不在一個平面內平行）一、空間直線.

1.空間直線位置分三種：相交、平行、異面.相交直線共面有反且有一個公共點；平行直線共面沒有公共點；異面直線不同在任一平面內[注]：①兩條異面直線在同一平面內射影一定是相交的兩條直線.（）（可能兩條直線平行，也可能是點和直線等）

②直線在平面外，指的位置關系：平行或相交

③若直線a、b異面，a平行于平面，b與的關系是相交、平行、在平面內.④兩條平行線在同一平面內的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點.

⑥在同一平面內的射影長相等，則斜線長相等.（）（并非是從平面外一點向這個平面所．．引的垂線段和斜線段）

⑦a,b是夾在兩平行平面間的線段，若ab，則a,b的位置關系為相交或平行或異面.2.異面直線判定定理：過平面外一點與平面內一點的直線和平面內不經過該點的直線是異面直線.（不在任何一個平面內的兩條直線）

3.平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

4.等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等（如下圖）.（二面角的取值范圍0,180）

121（直線與直線所成角0,90）

2（斜線與平面成角0,90）方向相同方向不相同（直線與平面所成角0,90）

（向量與向量所成角[0,180])

推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等.

第17頁共22頁二、直線與平面平行、直線與平面垂直.

1.空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內.

2.直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.（“線線平行，線面平行”）

[注]：①直線a與平面內一條直線平行，則a∥.（）（平面外一條直線）②直線a與平面內一條直線相交，則a與平面相交.（）（平面外一條直線）③若直線a與平面平行，則內必存在無數條直線與a平行.（√）（不是任意一條直線，可利用平行的傳遞性證之）

④兩條平行線中一條平行于一個平面，那么另一條也平行于這個平面.（）（可能在此平面內）

⑤平行于同一直線的兩個平面平行.（）（兩個平面可能相交）

⑥平行于同一個平面的兩直線平行.（）（兩直線可能相交或者異面）⑦直線l與平面、所成角相等，則∥.（）（、可能相交）

3.直線和平面平行性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行，線線平行”）直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.

推論：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.[注]：①垂直于同一平面的兩個平面平行.（）（可能相交，垂直于同一條直線的兩個平．．．．．．．．．面平行）

②垂直于同一直線的兩個平面平行.（√）（一條直線垂直于平行的一個平面，必垂直于另一個平面）

③垂直于同一平面的兩條直線平行.（√）三、平面平行與平面垂直.

1.空間兩個平面的位置關系：相交、平行.

2.平面平行判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，哪么這兩個平面平行.（“線面平行，面面平行”）

推論：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；平行于同一平面的兩個平面平行.[注]：一平面間的任一直線平行于另一平面.

3.兩個平面平行的性質定理：如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那么它們交線平行.（“面面平行，線線平行”）

4.兩個平面垂直性質判定一：兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直.兩個平面垂直性質判定二：如果一個平面與一條直線垂直，那么經過這條直線的平面垂直于這個平面.（“線面垂直，面面垂直”）

注：如果兩個二面角的平面對應平面互相垂直，則兩個二面角沒有什么關系.

5.兩個平面垂直性質定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線

P也垂直于另一個平面.

推論：如果兩個相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.BMA證明：如圖，找O作OA、OB分別垂直于l1,l2，

O因為PM,OA,PM,OB則PMOA,PMOB.θ五、

空間幾何體

.異面直線所成角的求法：

（1）平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；

（2）補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方

第18頁共22頁體等，其目的在于容易發(fā)現兩條異面直線間的關系；

.直線與平面所成的角（立體幾何中的計算可參考空間向量計算）

.二面角的求法

（1）定義法：直接在二面角的棱上取一點（特殊點），分別在兩個半平面內作棱的垂線，得出平面角，用定義法時，要認真觀察圖形的特性；

特別:對于一類沒有給出棱的二面角，應先延伸兩個半平面，使之相交出現棱，然后再選用上述方法（尤其要考慮射影法）。.空間距離的求法

（）求點到直線的距離，一般用三垂線定理作出垂線再求解；

求點到平面的距離，一是用垂面法，借助面面垂直的性質來作，因此，確定已知面的垂面是關鍵；二是不作出公垂線，轉化為求三棱錐的高，利用等體積法列方程求解；正方體和長方體的外接球的直徑等與其體對角線長；

柱體的體積公式：柱體（棱柱、圓柱）的體積公式是V柱體=Sh.其中S是柱體的底面積，h是柱體的高.

.直棱柱的側面積和全面積

S直棱柱側=c(c表示底面周長，表示側棱長)棱錐的體積:V棱錐=

S棱柱全=S底+S側

1Sh，其中S是棱錐的底面積，h是棱錐的高。3432.球的體積公式V=R3，表面積公式S4R；

概率知識要點

1.概率：隨機事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，反之，頻率是概率的近似值.

2.等可能事件的概率：如果一次試驗中可能出現的結果有年n個，且所有結果出現的可能

1性都相等，那么，每一個基本事件的概率都是，如果某個事件A包含的結果有m個，那

n么事件A的概率P(A)m.n3.①互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件叫互斥事件.如果事件A、B互斥，那么事件A+B發(fā)生(即A、B中有一個發(fā)生)的概率，等于事件A、B分別發(fā)生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推廣：P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An).

②對立事件：兩個事件必有一個發(fā)生的互斥事件叫對立事件.例如：從1～52張撲克牌中任．．．．．．．．．．．．．．．

取一張抽到—紅桃‖與抽到—黑桃‖互為互斥事件，因為其中一個不可能同時發(fā)生，但又不能保證其中一個必然發(fā)生，故不是對立事件.而抽到—紅色牌‖與抽到黑色牌—互為對立事件，因為

互斥其中一個必發(fā)生.

對立注意：i.對立事件的概率和等于1：P(A)P(A)P(AA)1.

ii.互為對立的兩個事件一定互斥，但互斥不一定是對立事件.

③相互獨立事件：事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響.這樣的兩個事件叫做相互獨立事件.如果兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(AB)=P(A)P(B).由此，當兩個事件同時發(fā)生的概率P（AB）等于這兩個事件發(fā)生概率之和，這時我們也可稱這兩個事件為獨立事件.例如：從一副撲克牌（52張）中任抽一張設A：—抽到老K‖；B：—抽到紅牌‖則A應與B互為獨立事件[看上去A與B有關系很有

第19頁共22頁可能不是獨立事件，但P(A)41,P(B)261,P(A)P(B)1.又事件AB表示—既抽到老

521352226K對抽到紅牌‖即—抽到紅桃老K或方塊老K‖有P(AB)21，因此有P(A)P(B)P(AB).

5226推廣：若事件A1,A2,,An相互獨立，則P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An).

注意：i.一般地，如果事件A與B相互獨立，那么A與B,A與B，A與B也都相互獨立.ii.必然事件與任何事件都是相互獨立的.

iii.獨立事件是對任意多個事件來講，而互斥事件是對同一實驗來講的多個事件，且這多個事件不能同時發(fā)生，故這些事件相互之間必然影響，因此互斥事件一定不是獨立事件.

回歸分析和獨立性檢驗

第一步：提出假設檢驗問題H0：吸煙與患肺癌沒有關系H1：吸煙與患肺癌有關系

n(adbc)2第二步：選擇檢驗的指標K（它越小，原假設“H0：吸

(ab)(cd)(ac)(bd)煙與患肺癌沒有關系”成立的可能性越大；它越大，備擇假設“H1：吸煙與患肺癌有關系”

2成立的可能性越大.

nxiyinxyi1bn回歸直線方程的求法：xi2n(x)2i1aybx導數

1.導數（導函數的簡稱）的定義：設x0是函數yf(x)定義域的一點，如果自變量x在x0處

有增量x，則函數值y也引起相應的增量yf(x0x)f(x0)；比值yf(x0x)f(x0)稱為函數yf(x)在點x0到x0x之間的平均變化率；如果極限xxf(x0x)f(x0)y存在，則稱函數yf(x)在點x0處可導，并把這個極限叫做limx0xx0xlim記作f"(x0)或y"|xx0，即f"(x0)=limyf(x)在x0處的導數，

f(x0x)f(x0)y.limx0xx0x注x是增量，我們也稱為—改變量‖，因為x可正，可負，但不為零.

2.導數的幾何意義：

函數yf(x)在點x0處的導數的幾何意義就是曲線yf(x)在點(x0,f(x))處的切線的斜率，也就是說，曲線yf(x)在點P(x0,f(x))處的切線的斜率是f"(x0)，切線方程為

yy0f"(x)(xx0).

3.求導數的四則運算法則：

(uv)"u"v"yf1(x)f2(x)...fn(x)y"f1"(x)f2"(x)...fn"(x)

第20頁共22頁(uv)"vu"v"u(cv)"c"vcv"cv"（c為常數）

vu"v"uu(v0)2vv"注：u,v必須是可導函數.

4.復合函數的求導法則：fx"((x))f"(u)"(x)或y"xy"uu"x復合函數的求導法則可推廣到多個中間變量的情形.

5.函數單調性：

函數單調性的判定方法：設函數yf(x)在某個區(qū)間內可導，如果f"(x)＞0，則yf(x)為增函數；如果f"(x)＜0，則yf(x)為減函數.常數的判定方法；

如果函數yf(x)在區(qū)間I內恒有f"(x)=0，則yf(x)為常數.

零點定理

零點定理：設函數f（x）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)f(b)0.那么在開區(qū)間(a,b)內至少有函數f(x)的一個零點，即至少有一點（a＜＜b）使f()0.

注：①f(x)0是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一個點例外即x=0時f（x）=0，同樣f(x)0是f（x）遞減的充分非必要條件.

②一般地，如果f（x）在某區(qū)間內有限個點處為零，在其余各點均為正（或負），那么f（x）在該區(qū)間上仍舊是單調增加（或單調減少）的.6.極值的判別方法：（極值是在x0附近所有的點，都有f(x)＜f(x0)，則f(x0)是函數f(x)的極大值，極小值同理）

當函數f(x)在點x0處連續(xù)時，

①如果在x0附近的左側f"(x)＞0，右側f"(x)＜0，那么f(x0)是極大值；②如果在x0附近的左側f"(x)＜0，右側f"(x)＞0，那么f(x0)是極小值.

也就是說x0是極值點的充分條件是x0點兩側導數異號，而不是f"(x)=0.此外，函數不

①

可導的點也可能是函數的極值點.當然，極值是一個局部概念，極值點的大小關系是不確定的，即有可能極大值比極小值�。ê瘮翟谀骋稽c附近的點不同）.

②

注①：若點x0是可導函數f(x)的極值點，則f"(x)=0.但反過來不一定成立.對于可導函數，其一點x0是極值點的必要條件是若函數在該點可導，則導數值為零.例如：函數yf(x)x3，x0使f"(x)=0，但x0不是極值點.

②例如：函數yf(x)|x|，在點x0處不可導，但點x0是函數的極小值點.

第21頁共22頁8.極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對函數值進行比較，最值是在整體區(qū)間上對函數值進行比較.

注：函數的極值點一定有意義.9.幾種常見的函數導數：

I.C"0（C為常數）(sinx)cosx

"(xn)"nxn1（nR）(cosx)"sinx

II.(lnx)"11(logax)"logaexx(ex)"ex(ax)"axlna

復數

1.復數的單位為i，它的平方等于－1，即i21.常用的結論：

i21,i4n1i,i4n21,i4n3i,i4n1

inin1in2in30,(nZ)

(1i)22i,

1i1ii,i1i1i第22頁共22頁

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