復(fù)變函數(shù)柯西積分總結(jié)

第三章復(fù)變函數(shù)的積分

能力要求

會通過轉(zhuǎn)化成兩個實(shí)變函數(shù)第一型曲線積分的方法來計算復(fù)變函數(shù)的積分。

知道復(fù)變函數(shù)積分的四條性質(zhì)，特別注意前三條線性性質(zhì)。

知道在什么時候可以用實(shí)變函數(shù)中的牛頓萊布尼茨公式計算復(fù)變函數(shù)

積分。

會用柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式(n=1,2,……)計算積分。會用復(fù)合閉路原理和閉路變形原理簡化積分計算。會判定一個復(fù)變函數(shù)是不是某一區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。會用偏積分法和不定積分法求共軛調(diào)和函數(shù)。

重點(diǎn)知識點(diǎn)講解

一、復(fù)變函數(shù)積分的基本計算法

復(fù)變函數(shù)的積分是轉(zhuǎn)化成實(shí)變函數(shù)的第一型曲線積分來計算的，因此我們要先回顧第一型曲線積分的計算步驟。例題：沿計算積分的值第一步：化參數(shù)

積分路徑是一條拋物線，它在復(fù)平面上的方程是，則。

第二步：把原積分式中的x、y和dz都代掉。注意積分上下限的變化。

二、積分的性質(zhì)

最重要的是積分的線性性質(zhì)（書P74性質(zhì)前三條），第四條估值不等式能力要求稍高。

三、用性質(zhì)、定理計算積分、定理回顧

柯西-古薩基本定理

如果函數(shù)在單連通域B內(nèi)處處解析，那么函數(shù)沿B內(nèi)任何一條封閉曲線C域B內(nèi)處處解析，那么函數(shù)沿B內(nèi)任何一條封閉曲線C的積分為零。

關(guān)鍵詞：處處解析封閉曲線積分為零注意：該定理中的C可以不是簡單曲線。閉路變形原理

在區(qū)域內(nèi)的一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值，只要在變形過程中曲線不經(jīng)過函數(shù)不解析的點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：解析函數(shù)連續(xù)變形不經(jīng)過不解析點(diǎn)基本定理的推廣復(fù)合閉路定理

設(shè)C為多連通域D內(nèi)的一條簡單閉曲線，C1，C2，……，Cn是在C內(nèi)部的簡單閉曲線，它們互不包含也互不相交，并且以C，C1，C2，……，Cn為邊界的區(qū)域全含于D。如果在D內(nèi)解析，那么

i)，其中C及Ck均取正方向；

ii)積分路徑為C及Ck所組成的符合閉路，C取逆時針，Ck取順時針。復(fù)合閉路定理告訴了我們被積函數(shù)在積分路徑所圍區(qū)域內(nèi)存在奇點(diǎn)的情況下積分的計算方法：圍繞每個奇點(diǎn)畫一個小圓作為積分路徑，把原積分拆成多個積分的和。雖然書上那一部分要求我們用73頁上的那個結(jié)果，但其實(shí)我們完全可以用后面的柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式來解決，那是更具一般性的。

柯西積分公式

如果在區(qū)域D內(nèi)處處解析，C為D內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線，它的內(nèi)處解析，C為D內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線，它的內(nèi)部完全含于D，為C內(nèi)的任一點(diǎn)，那么|f(z0)1f(z)dz2iCzz0關(guān)鍵詞：處處解析正向簡單閉曲線

柯西積分公式的功效是把一個復(fù)變函數(shù)的積分和它在積分路徑所圍區(qū)域內(nèi)話的次序不可顛倒！

接下來重點(diǎn)講共軛調(diào)和函數(shù)的兩種求法。1、偏積分法

求解過程（以知v求u為例）：①求出和

②由柯西-黎曼方程中的得到，這就是偏積分。當(dāng)然，也可以用，對y求偏積分。

③代入，確定。求積分過程中出現(xiàn)的常數(shù)c則要根據(jù)題給信息確定。2、不定積分法求解過程：

①根據(jù)復(fù)變函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)公式（見P42）寫出的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。②把它還原成z的函數(shù)，得到與。③將它們對z積分，即得到

當(dāng)已知實(shí)部時可用上一式，已知虛部時可用下一式。

題目講解

1、，C為正向圓周|z|=2.解：

柯西積分公式2、求

高階導(dǎo)數(shù)公式3、求解：

高階導(dǎo)數(shù)公式

擴(kuò)展閱讀：關(guān)于復(fù)變函數(shù)積分求解總結(jié)

關(guān)于求積分的各種方法的總結(jié)

摘要：函數(shù)的積分問題是復(fù)變函數(shù)輪的主要內(nèi)容，也是其基礎(chǔ)部分，因此有必要總結(jié)歸納求積分的各種方法.其主要方法有：利用柯西積分定理，柯西積分公式和用留數(shù)定理求積分等方法.現(xiàn)將這些方法逐一介紹.關(guān)鍵詞：積分，解析，函數(shù)，曲線

1.利用定義求積分

例1、計算積分xyix2dz，積分路徑C是連接由0到1i的直線段.

c解：yx0x1為從點(diǎn)0到點(diǎn)1i的直線方程，于是

xyixdz2cxyixdxiy

201ixxixdxix

201*011iixdx1i3.

2.利用柯西積分定理求積分

柯西積分定理：設(shè)fz在單連通區(qū)域

D內(nèi)解析，C為D內(nèi)任一條周線，則

fzdzc0.

D柯西積分定理的等價形式：設(shè)C是一條周線，

DDC上解析，則fzdz0.

c為C之內(nèi)部，fz在閉域

例2、求coszzidz，其中C為圓周z3i1，

c解：圓周C為z3z1，被積函數(shù)的奇點(diǎn)為i，在C的外部，

于是，

coszzi在以C為邊界的閉圓z3i1上解析，

coszzidz0.

故由柯西積分定理的等價形式得c如果D為多連通區(qū)域，有如下定理：

設(shè)D是由復(fù)周線CC0C1C2Cn所構(gòu)成的有界多連通區(qū)域，fz在D內(nèi)解析，在DDC上連續(xù)，則fzdz0.

c例3.計算積分dzz16z3z1.

1分析：被積函數(shù)Fzz3z1在C上共有兩個奇點(diǎn)z0和z，在z1內(nèi)

31作兩個充分小圓周，將兩個奇點(diǎn)挖掉，新區(qū)域的新邊界就構(gòu)成一個復(fù)周線，可應(yīng)用上定理.

解：顯然，

1z3z11z33z1

為心，充分小半徑r16任作以z0與以z12:zr313的圓周1:zr及

，將二奇點(diǎn)挖去，新邊界構(gòu)成復(fù)周線C12C:z1.

dzz3z1z1z3z12dz

12z3z1z3z1

1dzdzdzz13dz3z11dzz2z3dz3z12

dzdzz1dz1z31dz221z3

0.

3.利用柯西積分公式求積分

設(shè)區(qū)域D的邊界是周線或復(fù)周線C，函數(shù)fz在D內(nèi)解析，在DDC上連續(xù)，則有fz12icfz2dzD，即fcd2ifz.

z例4.計算積分2zz1z1cdz的值，其中C:z2

解：因?yàn)閒z2z2z1在z2上解析，

z1z2，由柯西積分公式得2zz1z22z12dz2i2zz1.

設(shè)區(qū)域D的邊界是周線或復(fù)周線C，函數(shù)fz在D內(nèi)解析，在DDC上連續(xù)，則函數(shù)fz在區(qū)域D內(nèi)有各階導(dǎo)數(shù)，并且有fnzdn12iczn!fzDn1,2即c例5.計算積分coszdzdn1zf2in!fnz.

czi3，其中C是繞i一周的周線.

解：因?yàn)閏osz在z平面上解析，

所以e1coszczii.

dz32i2!cosz|ziicosi

e2例6.求積分c921d，其中C為圓周2.

解：

c921didc92

5

另外,若a為周線C內(nèi)部一點(diǎn)，則dzdz2icza

zacn0（n1，且n為整數(shù)）.

4.應(yīng)用留數(shù)定理求復(fù)積分

fz在復(fù)周線或周線C所圍的區(qū)域D內(nèi)，除a1,a2,an外解析，在閉域DDC上除a1,a2,an外連續(xù)，則fzdz2iResfz.

ck1zakn設(shè)a為fz的n階極點(diǎn)，fzzzan，其中z在點(diǎn)a解析，a0，則

Resfzzaa.

n1!5z2z2n1例7.計算積分zz12dz

解：被積函數(shù)fz5z2zz12在圓周z2的內(nèi)部只有一階極點(diǎn)z0及z1，

Resfzz05z2z22|z02

25z2Resfz||2z12z1z1zz因此，由留數(shù)定理可得

5z2z2zz12dz2i220.

例8.計算積分解：fzz13coszz1z3dz.

cosz只以z0為三階極點(diǎn)，

12Resfzz02!coszz0

由留數(shù)定理得coszz1z31dz2ii.

25.用留數(shù)定理計算實(shí)積分

某些實(shí)的定積分可應(yīng)用留數(shù)定理進(jìn)行計算，尤其是對原函數(shù)不易直接求得的定積分和反常積分，常是一個有效的辦法，其要點(diǎn)是將它劃歸為復(fù)變函數(shù)的周線積分.5.1計算Rcos,sind型積分

02令ze，則cos2izz21，sinzz2i1，ddziz，

此時有0zz1zz1,Rcos,sindRz122idziz.例9.2dacos0a1

12解：令zei，則cosI2izz，d1dziz，

zzz1dz，其中aa21，aa21，

1,1,1，

應(yīng)用留數(shù)定理得I2a12.

若Rcos,sin為的偶函數(shù)，則Rcos,sind之值亦可用上述方法求之，

0因?yàn)榇藭rRcos,sind01Rcos,sind，仍然令ze.2i例10.計算taniad（a為實(shí)數(shù)且a0）

0分析：因?yàn)閠ania1eie2iai2iai11，

直接令e2iaiz，則dze2iai2id，

于是tania解：I11z1iz1.

iz12izcz11dz1dz2zz1cz1應(yīng)用留數(shù)定理，當(dāng)a0時，Ii當(dāng)a0時，Ii.5.2計算PxQxdx型積分

例11.計算xdx423xz24.

23424解：函數(shù)fz2323z在上半平面內(nèi)只有zi一個四階極點(diǎn)，

令ia，zat則fzz3444z4223z44

zaza

ta44443tt2a144a4at6at4att4322343223343t16a32a24at8att

211tt4423t168a32aResfzza1332a43

i5766即Resfzz23i133242i33

故

xdx423x242ii57662886.

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