冪函數(shù)知識總結(jié)

冪函數(shù)復(fù)習(xí)

yx(R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，是一、冪函數(shù)定義：形如

常數(shù)。

注意：冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)有何不同？

【思考提示】本質(zhì)區(qū)別在于自變量的位置不同，冪函數(shù)的自變量在底數(shù)位置，而指數(shù)函數(shù)的自變量在指數(shù)位置．觀察圖：

歸納：冪函數(shù)圖像在第一象限的分布情況如下：

二、冪函數(shù)的性質(zhì)

歸納：冪函數(shù)在第一象限的性質(zhì)：

0，圖像過定點（0,0）（1,1），在區(qū)間（0,）上單調(diào)遞增。0，圖像過定點（1,1），在區(qū)間（0,）上單調(diào)遞減。

探究：整數(shù)m,n的奇偶與冪函數(shù)yx(m,nZ,且m,n互質(zhì))的定義域以及奇偶性有什么關(guān)系？

結(jié)果：形如yx(m,nZ,且m,n互質(zhì))的冪函數(shù)的奇偶性

（1）當(dāng)m，n都為奇數(shù)時，f（x）為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱；（2）當(dāng)m為奇數(shù)n為偶數(shù)時，f（x）為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱；

（3）當(dāng)m為偶數(shù)n為奇數(shù)時，f（x）是非奇非偶函數(shù)，圖象只在第一象限內(nèi).三、冪函數(shù)的圖像畫法：

關(guān)鍵先畫第一象限，然后根據(jù)奇偶性和定義域畫其它象限。指數(shù)大于1,在第一象限為拋物線型（凹）；指數(shù)等于1,在第一象限為上升的射線；

指數(shù)大于0小于1,在第一象限為拋物線型（凸）；指數(shù)等于0,在第一象限為水平的射線；指數(shù)小于0,在第一象限為雙曲線型；四、規(guī)律方法總結(jié)：

yx(0,1)的圖像：1、冪函數(shù)

mnmn

yx(q,p,qZ,p,q互質(zhì))p的圖像：

2、冪函數(shù)

3、比較冪形式的兩個數(shù)的大小，一般的思路是：（1）若能化為同指數(shù)，則用冪函數(shù)的單調(diào)性；（2）若能化為同底數(shù)，則用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；

（3）若既不能化為同指數(shù)，也不能化為同底數(shù)，則需尋找一個恰當(dāng)?shù)臄?shù)作為橋梁來比較大�。�

題型一：冪函數(shù)解析式特征

例1.下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（）A．y=x

xB.y=3xC.y=x+1D.y=x

221232m2m1y(mm1)x練習(xí)1：已知函數(shù)是冪函數(shù)，求此函數(shù)的解析式．

2a9f(x)(a9a19)x練習(xí)2：若函數(shù)是冪函數(shù)，且圖象不經(jīng)過原點，求函數(shù)的

解析式．

題型二：冪函數(shù)性質(zhì)

例2：下列命題中正確的是（）

A．當(dāng)0時，函數(shù)yx的圖象是一條直線B．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過（0，0），（1，1）兩點C．冪函數(shù)的yx圖象不可能在第四象限內(nèi)

3

D．若冪函數(shù)yx為奇函數(shù)，則在定義域內(nèi)是增函數(shù)

練習(xí)3：如圖，曲線c1,c2分別是函數(shù)y＝xm和y＝xn在第一象限的圖象，那么一定有（）

A．n0yc1練習(xí)4：．（1）函數(shù)y＝x的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A．（－∞，1）B．（－∞，0）C．［0，＋∞)D．（－∞，＋∞）

（2）．函數(shù)y＝x

（3）．冪函數(shù)的圖象過點(2,4),則它的單調(diào)遞增區(qū)間是．題型三：比較大小

.利用冪函數(shù)的性質(zhì)，比較下列各題中兩個冪的值的大小：（1）2.3，2.4;（2）0.31，0.35；（3）(2)，(3)；（4）1.1，0.9．.經(jīng)典例題：

例1、已知函數(shù)f(x)x2mm3(mZ)為偶函數(shù)，且f(3)f(5)，求m的值，并確定f(x)的解析式．

例2、若(m1)1(32m)1，試求實數(shù)m的取值范圍．例3、若(m1)3(32m)3，試求實數(shù)m的取值范圍．例4、若(m1)4(32m)4，試求實數(shù)m的取值范圍．

例5、函數(shù)y(mx4xm2)(m2mx1)的定義域是全體實數(shù)，求m的

214225c20x34在區(qū)間上是減函數(shù)．

13434

656532321212取值范圍。

擴(kuò)展閱讀：指對冪函數(shù)知識點總結(jié)

〖2.1〗指數(shù)函數(shù)

【2.1.1】指數(shù)與指數(shù)冪的運算

（1）根式的概念

①如果xna,aR,xR,n1，且nN，那么x叫做a的n次方根．當(dāng)n是奇數(shù)時，

a的n次方根用符號na表示；當(dāng)n是偶數(shù)時，正數(shù)a的正的n次方根用符號na表示，負(fù)的n次方

根用符號na表示；0的n次方根是0；負(fù)數(shù)a沒有n次方根．

a叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．當(dāng)n為奇數(shù)時，a為任意實數(shù)；當(dāng)

②式子nn為偶數(shù)時，a0．

③根式的性質(zhì)：

(na)na；當(dāng)

n為奇數(shù)時，

nana；當(dāng)

n為偶數(shù)時，

na(a0)．a(chǎn)n|a|a(a0)mn（2）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念

①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：a冪等于0．

②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：amnnam(a0,m,nN,且n1)．0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)

1m1()nn()m(a0,m,nN,且n1)．0

aa的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)．（3）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)

①arasars(a0,r,sR)②(ar)sars(a0,r,sR)

r③(ab)arbr(a0,b0,rR)

【2.1.2】指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（4）指數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱定義圖象函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax(a0且a1)叫做指數(shù)函數(shù)0a1yaxa1yyaxyy1(0,1)y1(0,1)O

xOx

定義域值域R(0,)圖象過定點(0,1)，即當(dāng)x過定點奇偶性單調(diào)性0時，y1．在R上是減函數(shù)非奇非偶在R上是增函數(shù)ax1(x0)函數(shù)值的變化情況ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)a變化對圖象的影響

在第一象限內(nèi)，a越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，a越大圖象越低．〖2.2〗對數(shù)函數(shù)【2.2.1】對數(shù)與對數(shù)運算

（1）對數(shù)的定義①若axN(a0,且a1)，則x叫做以a為底N的對數(shù)，記作xlogaN，其中a叫做底數(shù)，

N叫做真數(shù)．

②負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)．

③對數(shù)式與指數(shù)式的互化：xlogaNaxN(a0,a1,N0)．

（2）幾個重要的對數(shù)恒等式

loga10，logaa1，logaabb．

（3）常用對數(shù)與自然對數(shù)

常用對數(shù)：lgN，即log10（4）對數(shù)的運算性質(zhì)如果a①加法：logaN；自然對數(shù)：lnN，即loge．N（其中e2.71828…）

0,a1,M0,N0，那么

MN

MlogaNloga(MN)②減法：logaMlogaNlogaMlogaMn(nR)④alogaNN

③數(shù)乘：nloga

⑤logabMnnlogbNlogaM(b0,nR)⑥換底公式：logaN(b0,且b1)blogba【2.2.2】對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（5）對數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱定義函數(shù)對數(shù)函數(shù)ylogax(a0且a1)叫做對數(shù)函數(shù)0a11xa1y圖象x1ylogaxyylogax(1,0)O(1,0)xOx定義域值域過定點奇偶性單調(diào)性在(0,)上是增函數(shù)(0,)R圖象過定點(1,0)，即當(dāng)x1時，y0．非奇非偶在(0,)上是減函數(shù)logax0(x1)函數(shù)值的變化情況logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(0x1)a變化對圖象的影響(6)反函數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)果對于子x在第一象限內(nèi)，a越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a越大圖象越靠高．yf(x)的定義域為A，值域為C，從式子yf(x)中解出x，得式子x(y)．如

y在C中的任何一個值，通過式子x(y)，x在A中都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么式

(y)表示x是y的函數(shù)，函數(shù)x(y)叫做函數(shù)yf(x)的反函數(shù)，記作xf1(y)，

習(xí)慣上改寫成

yf1(x)．

（7）反函數(shù)的求法

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式③將xyf(x)中反解出xf1(y)；

f1(y)改寫成yf1(x)，并注明反函數(shù)的定義域．

（8）反函數(shù)的性質(zhì)①原函數(shù)

②函數(shù)

yf(x)與反函數(shù)yf1(x)的圖象關(guān)于直線yx對稱．

yf(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)yf1(x)的值域、定義域．

③若P(a,b)在原函數(shù)④一般地，函數(shù)

yf(x)的圖象上，則P"(b,a)在反函數(shù)yf1(x)的圖象上．

yf(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù)．

〖2.3〗冪函數(shù)

（1）冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)

yx叫做冪函數(shù)，其中x為自變量，是常數(shù)．

（2）冪函數(shù)的圖象（3）冪函數(shù)的性質(zhì)①圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象．冪函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于y軸對稱)；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點對稱)；是非奇非偶函數(shù)時，圖象只分布在第一象限．

②過定點：所有的冪函數(shù)在(0,)都有定義，并且圖象都通過點(1,1)．③單調(diào)性：如果0，則冪函數(shù)的圖象過原點，并且在[0,)上為增函數(shù)．如果0，則冪函數(shù)

的圖象在(0,)上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近x軸與

y軸．

④奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)．當(dāng)qpq（其中p,q互pqp質(zhì)，p和qZ），若是偶函數(shù)，若

p為奇數(shù)q為奇數(shù)時，則yxqp是奇函數(shù)，若

p為奇數(shù)q為偶數(shù)時，則yxp為偶數(shù)q為奇數(shù)時，則yx是非奇非偶函數(shù)．

⑤圖象特征：冪函數(shù)

yx,x(0,)，當(dāng)1時，若0x1，其圖象在直線yx下方，若

x1，其圖象在直線yx上方，當(dāng)1時，若0x1，其圖象在直線yx上方，若x1，

其圖象在直線

yx下方．

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