初中數(shù)學(xué)九年級(jí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：27相似

初中數(shù)學(xué)九年級(jí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：相似

一、目標(biāo)與要求

1．掌握相似多邊形的定義、表示法，并能根據(jù)定義判斷兩個(gè)多邊形是否相似．2．能根據(jù)相似比進(jìn)行計(jì)算．

3．通過與相似多邊形有關(guān)概念的類比，得出相似三角形的定義,領(lǐng)會(huì)特殊與一般的關(guān)系．4．能根據(jù)定義判斷兩個(gè)多邊形是否相似，訓(xùn)練學(xué)生的判斷能力．5．能根據(jù)相似比求長度和角度，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)用能力．

6．通過與相似多邊形有關(guān)概念的類比，滲透類比的教學(xué)思想，并領(lǐng)會(huì)特殊與一般的關(guān)系．二、知識(shí)框架

三、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1．理解并相似三角形的判定與性質(zhì)2．位似圖形的有關(guān)概念、性質(zhì)與作圖．3．利用位似將一個(gè)圖形放大或縮�。�

4．用圖形的坐標(biāo)的變化來表示圖形的位似變換．

5．把一個(gè)圖形按一定大小比例放大或縮小后，點(diǎn)的坐標(biāo)變化的規(guī)律．四、知識(shí)點(diǎn)、概念總結(jié)1.相似：

每組圖形中的兩個(gè)圖形形狀相同，大小不同，具有相同形狀的圖形叫相似圖形。相似圖形強(qiáng)調(diào)圖形形狀相同，與它們的位置、顏色、大小無關(guān)。相似圖形不僅僅指平面圖形，也包括立體圖形相似的情況。

我們可以這樣理解相似形：兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作是由另一個(gè)圖形放大或縮小得到的．

若兩個(gè)圖形形狀與大小都相同，這時(shí)是相似圖形的一種特例全等形．

2.相似三角形：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形�；�為相似形的三角形叫做相似三角形

相似形的識(shí)別：對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等。

成比例線段（簡稱比例線段）：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即線段，簡稱比例線段。

黃金分割：用一點(diǎn)P將一條線段AB分割成大小兩條線段，若小段與大段的長度之比等于大段與全長之比，則可得出這一比值等于0618…。這種分割稱為黃金分割，分割點(diǎn)P叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，較長線段叫做較短線段與全線段的比例中項(xiàng)。3.相似三角形的判定方法:

根據(jù)相似圖形的特征來判斷。（對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等）

○1.平行于三角形一邊的直線(或兩邊的延長線)和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

○2.如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似；3○.如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等,并且相應(yīng)的夾角相等,那么這兩個(gè)三角形相似；4○.如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等,那么這兩個(gè)三角形相似；4.直角三角形相似判定定理:

1.斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。○

2.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似，并且分成○

的兩個(gè)直角三角形也相似。5.一定相似的三角形

（1）兩個(gè)全等的三角形一定相似。（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比為1）（2）兩個(gè)等腰直角三角形一定相似（兩個(gè)等腰三角形，如果其中的任意一個(gè)頂角或底角相等，那么這兩個(gè)等腰三角形相似。）（3）兩個(gè)等邊三角形一定相似。6.三角形相似的判定定理推論

推論一：頂角或底角相等的兩個(gè)等腰三角形相似。

ac（或a：b=c：d），那么，這四條線段叫做成比例bd推論二：腰和底對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。推論三：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似。

推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形都相似。推論五：如果一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)部分成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。7.相似的性質(zhì)

（1）相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。

（2）相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。（3）相似三角形周長的比等于相似比。（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。

（5）相似三角形內(nèi)切圓、外接圓直徑比和周長比都和相似比相同，內(nèi)切圓、外接圓面積比是相似比的平方

（6）若a:c=c:b，即c=ab,則c叫做a,b的比例中項(xiàng)（7）c/d=a/b等同于ad=bc.9.相似的應(yīng)用：位似

（1）位似圖形：如果兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比．

2

（2）掌握位似圖形概念，需注意：①位似是

一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個(gè)圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；②兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè)；③兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)；④位似比就是相似比．利用位似圖形的定義可判斷兩個(gè)圖形是否位似．（3）位似圖形首先是相似圖形，所以它具有相似圖形的一切性質(zhì)．位似圖形是一種特殊的相似圖形，它又具有特殊的性質(zhì)，位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離等于位似比（相似比）．

（4）兩個(gè)位似圖形的主要特征是：每對(duì)位似對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心共線；不經(jīng)過位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行．

（5）利用位似，可以將一個(gè)圖形放大或縮小，其步驟見下面例題．作圖時(shí)要注意:①首先確定位似中心，位似中心的位置可隨意選擇；②確定原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，如四邊形有四個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，即它的四個(gè)頂點(diǎn)；③確定位似比，根據(jù)位似比的取值，可以判斷是將一個(gè)圖形放大還是縮��；④符合要求的圖形不惟一，因?yàn)樗�作的圖形與所確定的位似中心的位置有關(guān)，并且同一個(gè)位似中心的兩側(cè)各有一個(gè)符合要求的圖形。（參考教材：初中數(shù)學(xué)九年級(jí)人教版）

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【人教版】初中數(shù)學(xué)九年級(jí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：27相似

【編者按】相似以及相似三角形是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，也是重要內(nèi)容，運(yùn)用相似三角形求解線段和角的問題是常見題型。通過本章內(nèi)容對(duì)相似三角形的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)和觀察事物的能力和利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。一、目標(biāo)與要求

1．掌握相似多邊形的定義、表示法，并能根據(jù)定義判斷兩個(gè)多邊形是否相似．2．能根據(jù)相似比進(jìn)行計(jì)算．

3．通過與相似多邊形有關(guān)概念的類比，得出相似三角形的定義,領(lǐng)會(huì)特殊與一般的關(guān)系．4．能根據(jù)定義判斷兩個(gè)多邊形是否相似，訓(xùn)練學(xué)生的判斷能力．5．能根據(jù)相似比求長度和角度，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)用能力．

6．通過與相似多邊形有關(guān)概念的類比，滲透類比的教學(xué)思想，并領(lǐng)會(huì)特殊與一般的關(guān)系．二、知識(shí)框架

三、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1．理解并相似三角形的判定與性質(zhì)2．位似圖形的有關(guān)概念、性質(zhì)與作圖．3．利用位似將一個(gè)圖形放大或縮�。�

4．用圖形的坐標(biāo)的變化來表示圖形的位似變換．

5．把一個(gè)圖形按一定大小比例放大或縮小后，點(diǎn)的坐標(biāo)變化的規(guī)律．四、知識(shí)點(diǎn)、概念總結(jié)1.相似：

每組圖形中的兩個(gè)圖形形狀相同，大小不同，具有相同形狀的圖形叫相似圖形。相似圖形強(qiáng)調(diào)圖形形狀相同，與它們的位置、顏色、大小無關(guān)。相似圖形不僅僅指平面圖形，也包括立體圖形相似的情況。

我們可以這樣理解相似形：兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作是由另一個(gè)圖形放大或縮小得到的．

若兩個(gè)圖形形狀與大小都相同，這時(shí)是相似圖形的一種特例全等形．

2.相似三角形：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形�；�為相似形的三角形叫做相似三角形

相似形的識(shí)別：對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等。

成比例線段（簡稱比例線段）：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即線段，簡稱比例線段。

黃金分割：用一點(diǎn)P將一條線段AB分割成大小兩條線段，若小段與大段的長度之比等于大段與全長之比，則可得出這一比值等于0618…。這種分割稱為黃金分割，分割點(diǎn)P叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，較長線段叫做較短線段與全線段的比例中項(xiàng)。3.相似三角形的判定方法:

根據(jù)相似圖形的特征來判斷。（對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等）

○1.平行于三角形一邊的直線(或兩邊的延長線)和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

○2.如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似；3○.如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等,并且相應(yīng)的夾角相等,那么這兩個(gè)三角形相似；4○.如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等,那么這兩個(gè)三角形相似；4.直角三角形相似判定定理:

1.斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。○

2.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似，并且分成○

的兩個(gè)直角三角形也相似。5.一定相似的三角形

（1）兩個(gè)全等的三角形一定相似。（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比為1）

ac（或a：b=c：d），那么，這四條線段叫做成比例bd

（2）兩個(gè)等腰直角三角形一定相似（兩個(gè)等腰三角形，如果其中的任意一個(gè)頂角或底角相等，那么這兩個(gè)等腰三角形相似。）（3）兩個(gè)等邊三角形一定相似。6.三角形相似的判定定理推論

推論一：頂角或底角相等的兩個(gè)等腰三角形相似。推論二：腰和底對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。推論三：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似。

推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形都相似。推論五：如果一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)部分成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。7.相似的性質(zhì)

（1）相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。

（2）相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。（3）相似三角形周長的比等于相似比。（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。

（5）相似三角形內(nèi)切圓、外接圓直徑比和周長比都和相似比相同，內(nèi)切圓、外接圓面積比是相似比的平方

（6）若a:c=c:b，即c=ab,則c叫做a,b的比例中項(xiàng)（7）c/d=a/b等同于ad=bc.9.相似的應(yīng)用：位似

（1）位似圖形：如果兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比．

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（2）掌握位似圖形概念，需注意：①位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個(gè)圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；②兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè)；③兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)；④位似比就是相似比．利用位似圖形的定義可判斷兩個(gè)圖形是否位似．

（3）位似圖形首先是相似圖形，所以它具有相似圖形的一切性質(zhì)．位似圖形是一種特殊的相似圖形，它又具有特殊的性質(zhì)，位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離等于位似比（相似比）．

（4）兩個(gè)位似圖形的主要特征是：每對(duì)位似對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心共線；不經(jīng)過位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行．

（5）利用位似，可以將一個(gè)圖形放大或縮小，其步驟見下面例題．作圖時(shí)要注意:①首先確定位似中心，位似中心的位置可隨意選擇；②確定原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，如四邊形有四個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，即它的四個(gè)頂點(diǎn)；③確定位似比，根據(jù)位似比的取值，可以判斷是將一個(gè)圖形放大還是縮小；④符合要求的圖形不惟一，因?yàn)樗�作的圖形與所確定的位似中心的位置有關(guān)，并且同一個(gè)位似中心的兩側(cè)各有一個(gè)符合要求的圖形。（參考教材：初中數(shù)學(xué)九年級(jí)人教版）

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