高中數(shù)學新知課小結的優(yōu)化設計

紹興市中小學“讓教學更有效”學科教改項目

《高中數(shù)學新知課小結的優(yōu)化設計》的

實施方案

上虞市城南中學戴關云

一、問題的描述

小結是數(shù)學課堂教學必不可少的環(huán)節(jié)，課堂教學無論采取何種形式，都離不開它，它是教學設計中的畫龍點晴之筆，是一門科學,也是一門藝術。好的課堂小結，不僅對該節(jié)課起了加深鞏固的作用，還可以收到畫龍點睛、喚起思維、激發(fā)求知欲、發(fā)揮想象、啟迪靈感等教學效果。故課堂小結的好與壞直接影響著數(shù)學課堂教學的效益。但近年來，筆者在聽課中發(fā)現(xiàn)，教師們對數(shù)學知識的形成、展開與升華過程，以及對數(shù)學問題的分析與解決過程等方面都頗為重視，并有自己的獨到之處，但他們都或多或少地存在忽視數(shù)學課堂小結這一環(huán)節(jié)，主要表現(xiàn)在:（1）有的教師只是礙于公開課緣故，對課堂小結象征性地一帶而過。（2）有的小結的隨意性很大，有的甚至由于下課時間到了也就“省略”掉了。（3）課堂小結的形式單一，往往是“通過本節(jié)課的學習，你有什么收獲？談談你的感受�！钡那�人一面。即便是不同形式的課但小結大都是課堂知識的復述。這使筆者感到很困惑：在高中數(shù)學課堂教學中小結的在一節(jié)課中的地位如何？該如何設計并優(yōu)化呢？

二、原因的分析

分析造成上述現(xiàn)象的原因，筆者認為，主要有以下幾點：

1、教師對新知課課堂小結環(huán)節(jié)的理解上存在誤區(qū)，有教師認為，一節(jié)課貴在突出重點，突破難點，課堂引入的第一印象也很重要，但小結無非是宣告一節(jié)課的結束，同時整理一下知識、回顧一遍課堂教學內容而已，在主觀意識上厚此薄彼，存在輕視意識。也正因為如此，教師對小結沒能

精心思考和設計導致小結的形式單一。

2、教師對新知課各環(huán)節(jié)時間的分配失調，課堂小結大多是放在一節(jié)課的最后，臨到課堂小結時，往往是下課的鈴聲即將敲響或已經敲響了，進行課堂小結的時間太短太少，教師只好草草收兵。結果課堂小結就成了學生簡單總結知識點的過場戲。

3、教師對新知課教學目標的設定不到位。數(shù)學知識具有一定的系統(tǒng)性和連貫性，舊知識是新知識的基礎，而新知識又為以后學習作鋪墊。但實際學習時，由于時間關系，往往只能就所學內容進行講解，對本課與其他知識之間的聯(lián)系講解的較少。因此，適當?shù)剡M行小結，把本節(jié)課所學內容與前后的知識進行聯(lián)系，從而幫助學生更靈活、更深刻地理解掌握所學的知識，豐富自己的知識體系，把相關知識融會貫通。這樣才算是知識點的真正落實。忽視小結實際上就是教學目標設定不到位。

三、實施計劃（一）研究方法

我們的研究設計是：以學校開展的數(shù)學教學、科研活動為特定內容，采用方案設計、過程分析（隨堂訪談、小組談心、師生評價）、成效比較（課堂小結設計對于學生興趣激發(fā)、知識學習、能力培養(yǎng)和情感陶冶等強弱的影響）等方式，通過研究人員深入課堂、主持教學、案例評析、問卷調查、隨堂檢測等，研究分析得出相應的結論。設計的研究方法是：

1、調查研究法：以本項目研究小組成員所任教班級學生為抽樣總體，通過問卷、訪談等形式就高中數(shù)學課堂小結的不同設計及呈現(xiàn)時機對于學生興趣激發(fā)、知識學習、能力培養(yǎng)和情感陶冶等方面的影響，得出相應結論，提煉出課堂小結優(yōu)化設計的現(xiàn)實意義及實際價值。

2、行動研究法：針對高中數(shù)學課堂小結設計中內容、形式、結構、書寫的優(yōu)化等實際問題，圍繞課堂小結的價值及功能的發(fā)掘和發(fā)揮在行動研

究中不斷地探索，得出相應結論，提煉出課堂小結優(yōu)化設計的主要內容及具體方式、方法。

3、案例研究法：多種途徑收集有關高中數(shù)學課堂小結優(yōu)化設計的具體案例。通過對這些案例的分析研究，得出相應結論，提煉出高中數(shù)學課堂小結優(yōu)化設計的基本原則及具體要求。

設計的實施途徑是：

1、上課。本項目研究小組成員在正常的數(shù)學課堂教學中，通過積極嘗試、大膽實踐、及時總結和不斷反思，探索數(shù)學新知課課堂小結的設計并優(yōu)化，并形成書面報告材料。本項目研究小組成員每一個月在學校多媒體錄播教室上一節(jié)展示課。

2、聽課。本項目研究小組成員每周每人至少聽一節(jié)數(shù)學新知課。聽課中尤其應關注上課老師的課堂小結。并及時通過不同途徑了解該課的課堂小結設計對學生學習的影響及與教學效果的關系。了解學生對該課小結的意見建議。

3、評課。本項目研究小組成員在每次展示課后進行評課活動。并邀請學校教研組其他老師參與評課。評課著重圍繞探討課堂小結設計效果、得失和改進意見。對每次評課活動進行過程記錄。（二）研究步驟

本項目的研究計劃用一年的時間，分三個階段，各階段的主要目標任務是：

1、準備階段：201*年9月至201*年10月

（1）召開研究小組成員會議，制定項目研究、實施計劃，進行工作分工；

（2）收集高中數(shù)學新知課課堂小結文獻，把握本項目的研究動態(tài)，形成該研究項目的文獻綜述。

（3）廣泛征求聽取兄弟學校教師、本校數(shù)學組同仁對本項目研究的意見建議，并邀請教研員和其他專家指導

2、實施階段：201*年11月至201*年10月

（1）高中數(shù)學新知課課堂小結價值、功能與局限的研究，以實現(xiàn)新知課課堂小結與教學內容相得益彰。

（2）高中數(shù)學新知課課堂小結呈現(xiàn)時間與教學效果的關系研究，以實現(xiàn)高中數(shù)學新知課課堂小結呈現(xiàn)時間的優(yōu)化

（3）高中數(shù)學新知課課堂小結的內容與教學效果的關系研究，以實現(xiàn)高中數(shù)學新知課課堂小結內容的優(yōu)化

（4）高中數(shù)學新知課課堂小結呈現(xiàn)形式與教學效果的關系研究，以實現(xiàn)高中數(shù)學新知課課堂小結呈現(xiàn)形式的優(yōu)化。

（5）高中數(shù)學新知課課堂小結的學生參與度與教學效果的關系研究，以實現(xiàn)高中數(shù)學新知課課堂小結學生參與度的優(yōu)化。

3、總結提煉階段：201*年11月至201*年12月

（1）本項目研究小組成員收集整理研究活動相關材料，每人撰寫一篇研究報告。

（2）召開本項目研究小組成員會議。匯總活動材料，交流研究體會和研究成果。

（3）在個人研究的基礎上，由項目負責人撰寫本項目研究的研究總報告。

四、教改目標及成果形式

1、通過本項目研究，能系統(tǒng)概括和提煉高中數(shù)學新知課課堂小結優(yōu)化設計的主要環(huán)節(jié)、基本原則、操作方法和具體要求，具有較高的理論水平和實踐價值，研究成果以論文形式能在公開刊物發(fā)表，以研究報告的形式能在上級組織的研究成果評比中獲獎。

2、通過本項目研究，提高本項目研究組成員設計高中數(shù)學新知課課堂小結的能力，增強優(yōu)化高中數(shù)學新知課課堂小結設計的意識，實現(xiàn)高中數(shù)學新知課課堂小結效益的最佳化。

擴展閱讀：(no.1)201*年高中數(shù)學教學論文 優(yōu)化課堂教學設計,提高課堂教學效率

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僅供參考

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優(yōu)化課堂教學設計，提高課堂教學效率

一、幾個基本觀點

1．堅持我國數(shù)學教育的優(yōu)良傳統(tǒng)

（1）課程教材體系結構嚴謹，邏輯性強，語言敘述條理清晰，文字簡潔、流暢，有利于教師組織教學，注重對學生進行基礎訓練等；

（2）教學強調概念理解和基本技能訓練，強調為學生鋪設合理的認知臺階，強調變式訓練等；

（3）學生學習刻苦，基礎扎實，運算能力和邏輯推理能力強等。2.針對問題進行改革

（1）數(shù)學教學“不自然”，強加于人；（2）缺乏問題意識；

（3）重結果輕過程，“掐頭去尾燒中段”；

（4）重解題技能、技巧輕普適性思考方法的概括，方法論層次的內容滲透不夠，機械模仿多獨立思考少，數(shù)學思維層次不高；

（5）講邏輯而不講思想。

3．處理好數(shù)學課改中的各種矛盾關系，把握平衡不走極端而到達光輝頂點（1）學生主體與教師主導（2）接受學習與發(fā)現(xiàn)學習（3）基礎與創(chuàng)新

（4）數(shù)學知識、能力與情感態(tài)度

（5）數(shù)學化與情境化（直觀與邏輯、具體與抽象等）（6）獨立思考與合作交流

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（7）過程與結果（8）面向全體與因材施教（9）書本知識與數(shù)學應用

二、改革中應重點關注的問題1．親和力問題

（1）呈現(xiàn)方式：自然親切，生動活潑，激發(fā)興趣和美感，引發(fā)學習激情。

（2）數(shù)學的內在吸引力：在體現(xiàn)知識歸納概括過程中的數(shù)學思想、解決各種問題中數(shù)學的力量、數(shù)學探究和論證方法的優(yōu)美和精彩之處、數(shù)學的科學和文化價值等方面，引發(fā)學生的積極體驗。

2．加強“問題性”問題引導學習

（1）通過恰當?shù)摹�對學生思維有適度啟發(fā)性的問題，引導學生的思考和探索，經歷觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等理性思維基本過程，切實改進學生的學習方式，培養(yǎng)問題意識，孕育創(chuàng)新精神。

提問題的境界：度。道而弗牽，強而弗抑，開而弗達。

好問題的標準：

（1）“跳一跳能夠摘到的果子”（2）反映當前教學內容的本質；（3）學生經過適度努力能夠解決。

案例一：三角函數(shù)誘導公式的推導中的提問

你能利用圓的幾何性質推導出三角函數(shù)的誘導公式嗎？α的終邊、α+180°的終邊與單位圓交點有什么關系？

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你能得出sinα與sin（α+180°）之間的關系嗎？

我們可以通過查表求銳角三角函數(shù)值，那么，如何求任意角的三角函數(shù)值呢？能否將任意角的三角函數(shù)轉化為銳角三角函數(shù)？

問題情境

三角函數(shù)與（單位）圓是緊密聯(lián)系的，它的基本性質是圓的幾何性質的代數(shù)表示，例如，同角三角函數(shù)的基本關系表明了圓中的某些線段之間的關系。圓有很好的對稱性：以圓心為對稱中心的中心對稱圖形；以任意直徑為對稱軸的軸對稱圖形。你能否利用這種對稱性，借助單位圓，討論一下終邊與角α的終邊關于原點、x軸、y軸以及直線y=x對稱的角與角α的關系以及它們的三角函數(shù)之間的關系？

3．提高思想性

加強過程與聯(lián)系，以數(shù)學概念的發(fā)展過程、邏輯關系組織教學內容，保持思想方法的前后一致性；以核心概念和基本思想（數(shù)及其運算、函數(shù)、空間觀念、數(shù)形結合、向量、統(tǒng)計、隨機觀念、算法等）為貫穿教學過程的“靈魂”。

案例二：“向量”內容的結構

核心目標：

1.理解向量及其運算的意義；

2.能用向量語言和方法表述和解決數(shù)學、物理中的一些問題。

向量方法的內核是利用向量表示空間基本元素，將空間的基本性質和基本定理的運用轉化成為向量運算律的系統(tǒng)運用：

點（以確定點為始點的）向量。

直線一個點A、一個方向a定性刻畫；引進數(shù)乘向量ka，可以實際控制直線上的每一個點。

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平面一個點A、兩個不平行的（非0）向量a，b在“原則”上確定了平面（定性刻

畫）；引入向量的加法a+b，平面上的點X就可以表示為λa+μb（以及定點A），而成為可

操縱的對象。

距離和角是刻畫幾何元素之間度量關系的基本量引進向量的數(shù)量積的定義

ab=|a||b|cosα，

作為反映向量的長度和兩個向量間夾角的關系。

用向量解決問題的“三步曲”

（1）建立幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將幾何問題轉化為向量問題；

（2）通過向量運算研究幾何元素之間的關系(平行、垂直)，及其度量問題（如距離、夾角）等；

（3）把運算結果“翻譯”成幾何關系。

向量內容的結構順序

向量的實際背景及基本概念→向量的線性運算→平面（空間）向量基本定理及坐標表示→向量的數(shù)量積→向量應用舉例

4．加強結構性

結構良好的教學內容的特點

（1）核心知識（基本概念及由內容所反映的數(shù)學思想方法）為聯(lián)結點，精中求簡，易學、好懂、能懂、會用，能切實減輕學生負擔；

（2）形成概念的網絡系統(tǒng)，聯(lián)系通暢，便于記憶與檢索；（3）具有自我生長的活力，容易在新情境中引發(fā)新思想和新方法。

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“結構性”的幾個具體要求

（1）教學目標明確，削支強干，重點突出，集中精力于核心內容。

（2）教學內容安排注重層次結構，張弛有序，循序漸進。由淺入深，由易到難，先簡后繁，先單一后綜合。

（3）每堂課都圍繞一個中心論題展開和深化，精心組織相關的數(shù)學成分，使相應的核心概念或重要思想成為一個有機整體，相關的數(shù)學術語、定義、符號、概念、技能等因素都得到仔細的展開；課與課之間建立精當?shù)男蛄嘘P系，保持知識的連貫性，思想方法的一致性。易錯、易混淆的問題有計劃地復現(xiàn)和糾正，使知識得到螺旋式的鞏固和提高。

（4）強調科學思考方法的應用

推廣

類比當前內容類比

特殊化

案例三：數(shù)系擴張中的結構思想

（1）度量的實際需要具有實際意義；（2）數(shù)學概念發(fā)展的內在需要：

引進新的數(shù)，定義相應的運算，使得算術運算中原來的運算律保持不變

三、搞好課堂教學設計，提高教學質量和效益

1.明確教學目標，使學生保持高水平的數(shù)學思維。

（1）教學目標是教學目的的系統(tǒng)化、具體化，是教學活動每一階段要實現(xiàn)的教學結果，是衡量教學質量的標準。

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（2）教學目標的設計必須建立在對學生情況全面了解、對教學內容精確分析的基礎上。（3）教學目標應當是可觀察的。關于教學目標分類的思考三層級模型

第一層級:主成分以記憶為主要標志,培養(yǎng)的是以記憶為主的基本能力。測試看基本事實、方法的記憶水平，標準是：獲得的知識量以及掌握的準確性。

第二層級:主成分以理解為主要標志，培養(yǎng)的是以理解為主的基本能力，測試看能否順利地解決常規(guī)性、通用性問題，包括能否滿意地解決綜合性問題。測試標準是：運用知識的水平，如正確、敏捷、靈活、深刻等。

第三層級:主成分以探究為主要標志，培養(yǎng)以評判為主的基本能力，測試看能否對解決問題的過程進行反思，即檢驗過程的正確性、合理性及其優(yōu)劣。標準是思維的深刻性、批判性、全面性、獨創(chuàng)性等。

案例四:教學目標的陳述

(1)反映數(shù)學的學科特點，反映當前學習內容的本質。(2)可觀測：清楚陳述學習后有什么變化。例:理解函數(shù)單調性概念。

這一陳述中，需要對“理解”的含義作具體界定，以使我們能準確把握學生是否已經達到“理解”。實際上，“理解”的基本含義是學生能用概念作出判斷。因此可以改述為：能給出增函數(shù)、減函數(shù)的具體例證和圖象特征；能用函數(shù)單調性定義判斷一個函數(shù)的單調性。

要防止教學目標“高大全”，有的甚至是“假大空”，目標“遠大”、空洞，形同虛設。例如，一堂課的目標中含有：

培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力和科學的思維方式；培養(yǎng)學生勇于探索、創(chuàng)新的個性品質；體驗數(shù)學的魅力，激發(fā)愛國主義熱情；等等。

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2.以問題引導學習，盡量采用“歸納式”，讓學生經歷概念的概括過程，思想方法的形成過程，這是基本而重要的。

3.既講邏輯又講思想，引導學生通過類比、推廣、特殊化等思維活動，促使他們找到研究的問題，形成研究的方法。

4.使學生在建立知識的內在聯(lián)系過程中領悟本質。

搞好課堂教學設計的“321”三個基本點:

理解數(shù)學對數(shù)學的思想、方法及其精神的理解；

理解學生對學生數(shù)學學習規(guī)律的理解，核心是理解學生的數(shù)學思維規(guī)律；理解教學對數(shù)學教學規(guī)律、特點的理解。兩個關鍵:

提好的問題在學生思維最近發(fā)展區(qū)內，有意義；

設計自然的過程數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展的原過程（再創(chuàng)造），學生對數(shù)學知識的認識過程。

案例五:“不等式基本性質”中的提問

不等式基本性質的研究可以通過類比等式的基本性質而得到啟發(fā)。你能回憶一下等式的基本性質嗎？

考察等式的基本性質的基本思想是什么？（運算中的不變性）類似的，不等式有哪些基本性質呢？

過程抽象與具體、特殊與一般的關系抽象是數(shù)學的一個公認的、最顯著的特點數(shù)學的抽象是從具體中得來的，具體中蘊含了本質

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從具體中可以進行多次抽象可以從不同的角度進行抽象

特殊化能使一般的性質得到最明顯的表征

案例六正、余弦定理的推導

三角形有各種幾何量，如三邊長、三個內角的角度、面積、外經、內徑等。解三角形就是給定三角形的若干幾何量，求其余幾何量。你認為至少給定幾個量就可以求出其余量？（從定性到定量）

特殊化：解直角三角形（利用勾股定理、兩個銳角互余、銳角三角函數(shù)等）。

推廣：能否將上述結論推廣到一般三角形？

在已有結果的基礎上，探索新的證明方法，如：三角形面積與正弦定理、

垂直投影與余弦定理、用余弦定理推導正弦定理、借助于外接圓證明正弦定理

案例七等差數(shù)列求和公式教學設計

高斯如何得到求1+2++100的簡便方法？

一個猜測：

第一，知道常數(shù)數(shù)列求和最簡單；

第二，觀察到和式的特點，懂得用“平均數(shù)”思想將不同數(shù)求和化歸為常數(shù)數(shù)列求和。

上述猜測是從一個具體問題中歸納的，但反映了等差數(shù)列求和的最核心思想。

問題引導下的教學過程

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你知道小高斯是如何求1+2++100的嗎？

這一方法的思想實質是什么（為什么要“首尾相加”）？

類似的，你能求1+2++n嗎？

對于公差為d的等差數(shù)列{an}，如何利用上述思想方法求Sn=a1+a2++an？

還有其他方法嗎？

一個核心：概括引導學生自己概括出典型實例的共同本質特征

強調學生實質的、高水平的思維參與度，使學生在教學過程中保持高水平的數(shù)學思維活動

在教學方式的改進中，最重要的是要讓學生有自己積極地、獨立地進行數(shù)學思考的空間。不管是傳授式還是活動式（相應的，學生學習方式是接受式或發(fā)現(xiàn)式），只要學生有思維的自主，就是學生的自主地位得到體現(xiàn)。

根據數(shù)學知識的認知需要，為學生設置恰當?shù)慕虒W情景，通過恰時恰點的問題引導學生的學習活動，充分使用“先行組織者”，在思想方法上多做引導，在具體細節(jié)上讓學生自己多動手做、多閱讀、多思考、多交流，讓學生多發(fā)表意見，教師自己參與到學生的活動中去，多聽少講，在關鍵點上讓學生有機會提出自己的見解。

課堂教學的“六字經”：問題引導學習教學重心前移典型豐富例證提供概括時機保證思考力度加強思想聯(lián)系使用變式訓練強調反思遷移

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