高中數(shù)學函數(shù)知識點總結(jié)

高中數(shù)學函數(shù)知識點總結(jié)

（1）高中函數(shù)公式的變量：因變量，自變量。

在用圖象表示變量之間的關系時，通常用水平方向的數(shù)軸上的點自變量，用豎直方向的數(shù)軸上的點表示因變量。（2）一次函數(shù)：①若兩個變量不等于0）的形式，則稱

,間的關系式可以表示成是的一次函數(shù)。②當=0時，稱

（為常數(shù)，是的正比例

函數(shù)。

（3）高中函數(shù)的一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)①把一個函數(shù)的自變量與對應的因變量

的值分別作為點的橫坐標與縱坐標，

在直角坐標系內(nèi)描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。②正比例函數(shù)

=

的圖象是經(jīng)過原點的一條直線。0，0，

O，則經(jīng)2、3、4象限；當0時，則經(jīng)1、3、4象限；當

0，0，

0時，則0時，

③在一次函數(shù)中，當經(jīng)1、2、4象限；當則經(jīng)1、2、3象限。④當

0時，的值隨值的增大而增大，當0時，的值隨值的增大而

減少。

（4）高中函數(shù)的二次函數(shù)：①一般式：

(

)，對稱軸是

頂點是②頂點式：③交點式：

；((

)，對稱軸是)，其中（

頂點是），（

；）是拋物線與x

軸的交點

（5）高中函數(shù)的二次函數(shù)的性質(zhì)①函數(shù)

的圖象關于直線

對稱。

②時，在對稱軸（）左側(cè)，值隨值的增大而減少；在對稱軸

（）右側(cè)；的值隨值的增大而增大。當時，取得最小值

③時，在對稱軸（）左側(cè)，值隨值的增大而增大；在對稱軸

（）右側(cè)；的值隨值的增大而減少。當時，取得最大值

9高中函數(shù)的圖形的對稱

（1）軸對稱圖形：①如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。②軸對稱圖形上關于對稱軸對稱的兩點確定的線段被對稱軸垂直平分。

（2）中心對稱圖形：①在平面內(nèi)，一個圖形繞某個點旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做他的對稱中心。②中心對稱圖形上的每一對對應點所連成的線段都被對稱中心平分。

擴展閱讀：高中數(shù)學三角函數(shù)知識點總結(jié)實用版[1]

高中數(shù)學第四章-三角函數(shù)

1.①與（0°≤＜360°）終邊相同的角的集合（角與角的終邊重合）：

|k360,kZ

▲y2sinx1cosxcosx②終邊在x軸上的角的集合：|k180,kZ③終邊在y軸上的角的集合：|k18090,kZ④終邊在坐標軸上的角的集合：|k90,kZ⑤終邊在y=x軸上的角的集合：|k18045,kZ⑥終邊在yx軸上的角的集合：|k18045,kZ

3sinx4cosxcosx1sinx2sinx3x4SIN\\COS三角函數(shù)值大小關系圖1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在區(qū)域⑦若角與角的終邊關于x軸對稱，則角與角的關系：360k⑧若角與角的終邊關于y軸對稱，則角與角的關系：360k180⑨若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關系：180k⑩角與角的終邊互相垂直，則角與角的關系：360k902.角度與弧度的互換關系：360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.

、弧度與角度互換公式：1rad＝180°≈57.30°=57°18．1°＝≈0.01745（rad）

1803、弧長公式：l2||r.扇形面積公式：s扇形lr||r

12124、三角函數(shù)：設是一個任意角，在的終邊上任�。ó愑谠�點的）一點P（x,y）P與原點的距離為r，則siny；rya的終邊P（x,y)ryxcos；tanxr；cotx；secr；.cscr.yxyox5、三角函數(shù)在各象限的符號：（一全二正弦，三切四余弦）++ox--正弦、余割y-+o-+x余弦、正割y-+ox+-正切、余切OyyPTMAx

16.幾個重要結(jié)論:(1)y6、三角函數(shù)線

正弦線：MP;余弦線：OM;正切線：AT.

高三數(shù)學總復習三角函數(shù)

(2)y|sinx|>|cosx|sinx>cosxOx|cosx|>|sinx|O|cosx|>|sinx|xcosx>sinx|sinx|>|cosx|(3)若o

7.三角函數(shù)的定義域：三角函數(shù)f(x)sinxf(x)cosxf(x)tanxf(x)cotxf(x)secxf(x)cscx定義域x|xRx|xR1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZ1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZcoscoscotsin8、同角三角函數(shù)的基本關系式：sintan

cos1tancot1cscsin1sec

sin2cos21sec2tan21csc2cot21

9、誘導公式：

把k的三角函數(shù)化為的三角函數(shù)，概括為：2“奇變偶不變，符號看象限”

三角函數(shù)的公式：（一）基本關系

公式組一公式組二公式組三sinxsin(2kx)sinxsin(x)sinxsinxcscx=1tanx=sin2x+cos2x=1cosxcos(2kx)cosxcos(x)cosxcosx2

x=cosxsecx=11+tanx=sec2xtan(2kx)tanxtan(x)tanxsinxcot(2kx)cotxcot(x)coxttanxcotx=11+cot2x=csc2x公式組四公式組五公式組六sin(x)sinxsin2(x)sinxsin(x)sinxcos(x)cosxcos2(x)cosxcos(x)cosx

tan(x)tanxtan2(x)tanxtan(x)tanxcot(x)cotxcot2(x)coxtcot(x)coxt（二）角與角之間的互換

公式組一公式組二

22sincoscos()coscossinsinsin2sco2ssi2n2co2s112sincos()coscossinsinco2sin()sincoscossintan22tan1tan2

sin()sincoscossinsin21cos2tan()tantan1coscos

1tantan22高三數(shù)學總復習三角函數(shù)tan()tantantan1cossin1cos1tantan21cos1cossin公式組三公式組四公式組五11sinsincos()sin2tan222sin1cossinsinsin11tan2sin()cos2221coscoscoscos122tan()cot1tan122sinsincoscoscos211tan2cos()sin2sinsin2sincos2221sinsin2cossintan()cot2tan2222tancoscos2coscos11tan222sin()cos22coscos2sinsin2262,,tan15cot7523,.tan75cot1523sin15cos75sincos4sin75cos1562

4

10.正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì)：定義域值域周期性奇偶性單調(diào)性ysinxycosxR[1,1]ytanx1x|xR且xk,kZ2ycotxx|xR且xk,kZRyAsinx（A、＞0）RR[1,1]RA,A當0,非奇非偶當0,奇函數(shù)2k2k2(A),12(A)2奇函數(shù)22偶函數(shù)[2k1,2k]奇函數(shù)k,k22奇函數(shù)[22k,；k,k1上為減函數(shù)（kZ）22k]上為增函數(shù)；[2k,232k]2上為增函數(shù)[2k,2k1]上為減函數(shù)（kZ）上為增函數(shù)（kZ）上為增函數(shù)；2k上為減函數(shù)（kZ）2(A),32k2(A)上為減函數(shù)高三數(shù)學總復習三角函數(shù)（kZ）注意：①ysinx與ysinx的單調(diào)性正好相反；ycosx與ycosx的單調(diào)性也同樣相反.一般地，若yf(x)在[a,b]上遞增（減），則yf(x)在[a,b]上遞減（增）.

▲②ysinx與ycosx的周期是.

x)或ycos(x)（0）的周期T③ysin(2y.

Oxxytan的周期為2（TT2，如圖，翻折無效）.

2x)的對稱軸方程是xk④ysin(2(cs（kZ），對稱中心（k,0）；yox)的

對稱軸方程是xk（kZ），對稱中心（k1,0）；yant(2（x)的對稱中心

k.,0）2ycos2x原點對稱ycos(2x)cos2x

tan1,k⑤當tan

2tan1,k(kZ)；tan

2(kZ).

⑥ycosx與ysinx2k是同一函數(shù),而y(x)是偶函數(shù)，則

21y(x)sin(xk)cos(x).

2⑦函數(shù)ytanx在R上為增函數(shù).（×）[只能在某個單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增.若在整個定義域，

ytanx為增函數(shù)，同樣也是錯誤的].

⑧定義域關于原點對稱是f(x)具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個條件：一是定義域關于原點對稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數(shù)：f(x)f(x)，奇函數(shù)：f(x)f(x)）

1奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反.例如：ytanx是奇函數(shù)，ytan(x)是非奇非偶.（定

3義域不關于原點對稱）

奇函數(shù)特有性質(zhì)：若0x的定義域，則f(x)一定有f(0)0.（0x的定義域，則無此性質(zhì)）

▲⑨ysinx不是周期函數(shù)；ysinx為周期函數(shù)（T）；y▲yx1/2x高三數(shù)學總復習三角函數(shù)

y=cos|x|圖象y=|cos2x+1/2|圖象；ycosx為周期函數(shù)（T）；ycosx是周期函數(shù)（如圖）

ycos2x1的周期為（如圖），并非所有周期函數(shù)都有最小正周期，例如：

2yf(x)5f(xk),kR.

⑩yacosbsina2b2sin()cos11、三角函數(shù)圖象的作法：１）、幾何法：

b有a2b2y.a２）、描點法及其特例五點作圖法（正、余弦曲線），三點二線作圖法（正、余切曲線）.

３）、利用圖象變換作三角函數(shù)圖象．

三角函數(shù)的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等．

函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T2，頻率f1||，相位x;初相||T2（即當x＝0時的相位）．（當A＞0，ω＞0時以上公式可去絕對值符號），

由y＝sinx的圖象上的點的橫坐標保持不變，縱坐標伸長（當|A|＞1）或縮短（當0＜|A|＜1）到原來的|A|倍，得到y(tǒng)＝Asinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換．（用y/A替換y）

由y＝sinx的圖象上的點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長（0＜|ω|＜1）或縮短（|ω|＞1）到原來的|1|倍，得到y(tǒng)＝sinωx的圖象，叫做周期變換或叫做沿x軸的伸縮變換．(用ωx

替換x)

由y＝sinx的圖象上所有的點向左（當φ＞0）或向右（當φ＜0）平行移動｜φ｜個單位，得到y(tǒng)＝sin（x＋φ）的圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移．(用x＋φ替換x)

由y＝sinx的圖象上所有的點向上（當b＞0）或向下（當b＜0）平行移動｜b｜個單位，得到y(tǒng)＝sinx＋b的圖象叫做沿y軸方向的平移．（用y+(-b)替換y）

由y＝sinx的圖象利用圖象變換作函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的圖象，要特別注意：當周期變換和相位變換的先后順序不同時，原圖象延x軸量伸縮量的區(qū)別。

4、反三角函數(shù)：函數(shù)y＝sinx，的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作x2，2y＝arcsinx，它的定義域是［－1，

1］，值域是－，．

22函數(shù)y＝cosx，（x∈［0，π］）的反應函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作y＝arccosx，它的定義域是［－1，1］，值域是［0，π］．

函數(shù)y＝tanx，記作的反函數(shù)叫做反正切函數(shù)，x2，222y＝arctanx，它的定義域是（－

∞，＋∞），值域是，．

高三數(shù)學總復習三角函數(shù)函數(shù)y＝ctgx，［x∈（0，π）］的反函數(shù)叫做反余切函數(shù)，記作y＝arcctgx，它的定義域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．

II.競賽知識要點

一、反三角函數(shù).

1.反三角函數(shù)：反正弦函數(shù)yarcsinx是奇函數(shù)，故arcsin(x)arcsinx，x1,1（一定要注明定義域，若x,，沒有x與y一一對應，故ysinx無反函數(shù)）注：sin(arcsinx)x，x1,1，arcsinx,.

22反余弦函數(shù)yarccosx非奇非偶，但有arccos(x)arccos(x)2k，x1,1.注：①cos(arccosx)x，x1,1，arccosx0,.

②ycosx是偶函數(shù)，yarccosx非奇非偶，而ysinx和yarcsinx為奇函數(shù).反正切函數(shù)：yarctanx，定義域(,)，值域（arctan(x)arctanx，x(,).

22,），ynatcrax是奇函數(shù)，

注：tan(arctanx)x，x(,).

反余切函數(shù)：yarccotx，定義域(,)，值域（arotc，yc,）

22x是非奇非偶.

arccot(x)arccot(x)2k，x(,).注：①cot(arccotx)x，x(,).

1x)互為奇函數(shù)，yarctanx同理為奇而yarccosx與yarccotx②yarcsinx與yarcsin(非奇非偶但滿足arccos(x)arccosx2k,x[1,1]arccotxarccot(x)2k,x[1,1].

正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的解集：

a的取值范圍解集a的取值范圍解集①sinxa的解集②cosxa的解集

a＞1=1x|x2karcsai,nkZ＜1x|xk1karcsina,kZ

aa＞1

a=1x|x2karccosa,kZ

aa＜1x|xkarccosa,kZ

③tanxa的解集：x|xkarctana,kZ③coxta的解集：x|xkarccoat,kZ二、三角恒等式.

sin2n1組一ncoscos2cos4...cos2n12sin

組二

sin33sin4sin3cos34cos33cossin2sin2sinsincos2cos2k1ncos2kcos2cos4cos8cos2nsin2sinn2n

高三數(shù)學總復習三角函數(shù)cos(xkd)cosxcos(xd)cos(xnd)k0nsin((n1)d)cos(xnd)

sindk0nsin(xkd)sinxsin(xd)sin(xnd)sin((n1)d)sin(xnd)

sindtan()tantantantantantan

1tantantantantantan組三三角函數(shù)不等式

sinx＜x＜tanx,x(0,2)f(x)sinx在(0,)上是減函數(shù)x若ABC，則x2y2z22yzcosA2xzcosB2xycosC

高三數(shù)學總復習三角函數(shù)

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