高中數(shù)學(xué)必修1知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：第二章_基本初等函數(shù)

高中數(shù)學(xué)必修一“基本初等函數(shù)”知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、指數(shù)函數(shù)

1、根式的概念

①如果xna,aR,xR,n1，且nN，那么x叫做a的n次方根．當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，a的n次方根用符號(hào)na表示；n當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)a的正的n次方根用符號(hào)②式子na表示，負(fù)的n次方根用符號(hào)na表示；0的n次方根是0；負(fù)數(shù)a沒有n次方根．

a叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a0．

n③根式的性質(zhì)：(2、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念

a)a；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，aa；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，nnnna(a0)．a(chǎn)|a|a(a0)n①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：amnnam(a0,m,nN,且n1)．0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0．

mn②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：a1m1()nn()m(a0,m,nN,且n1)．0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．

aa指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)．

3、指數(shù)函數(shù)

函數(shù)名稱定義函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax(a0且a1)叫做指數(shù)函數(shù)0a1yaxa1y圖象yaxyy1y1(0,1)(0,1)O定義域值域xROx(0,)圖象過定點(diǎn)(0,1)，即當(dāng)x過定點(diǎn)奇偶性單調(diào)性0時(shí)，y1．在R上是減函數(shù)非奇非偶在R上是增函數(shù)ax1(x0)函數(shù)值的變化情況ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)a變化對(duì)圖象的影響

在第一象限內(nèi)，a越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，a越大圖象越低．（重點(diǎn)記）高中數(shù)學(xué)必修一“基本初等函數(shù)”知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

4、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：（初中學(xué)過）

①arasars(a0,r,sR)②(ar)sars(a0,r,sR)③(ab)rarbr(a0,b0,rR)

二、對(duì)數(shù)函數(shù)

5、對(duì)數(shù)的定義①若axN(a0,且a1)，則x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作xlogaN，其中a叫做底數(shù)，N叫做真數(shù)．

②負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)．

③對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：xloga6、幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式：（特殊）

NaxN(a0,a1,N0)．

loga10，logaa1，logaabb．

對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（5）對(duì)數(shù)函數(shù)

函數(shù)名稱定義函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a0且a1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)0a11xa1y圖象x1ylogaxyylogax(1,0)O(1,0)xOx定義域值域過定點(diǎn)奇偶性單調(diào)性在(0,)上是增函數(shù)(0,)R圖象過定點(diǎn)(1,0)，即當(dāng)x1時(shí)，y0．非奇非偶在(0,)上是減函數(shù)logax0(x1)函數(shù)值的變化情況logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(0x1)a變化對(duì)圖象的影響

在第一象限內(nèi)，a越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a越大圖象越靠高．高中數(shù)學(xué)必修一“基本初等函數(shù)”知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

7、常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)

常用對(duì)數(shù)：lgN，即log108、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a①加法：logaN；自然對(duì)數(shù)：lnN，即loge．N（其中e2.71828）

0,a1,M0,N0，那么

MlogaNloga(MN)②減法：logaMlogaNlogaMlogaMn(nR)④alogaNN

MN

③數(shù)乘：nloga⑤logabMnnlogbNlogaM(b0,nR)⑥換底公式：logaN(b0,且b1)blogba9、反函數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)

yf(x)的定義域?yàn)锳，值域?yàn)镃，從式子yf(x)中解出x，得式子x(y)．如果對(duì)于y在C中的任何一個(gè)

(y)，x在A中都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么式子x(y)表示x是y的函數(shù)，函數(shù)x(y)叫做函數(shù)

值，通過式子xyf(x)的反函數(shù)，記作xf1(y)，習(xí)慣上改寫成yf1(x)．

10、反函數(shù)的求法

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式③將xyf(x)中反解出xf1(y)；

f1(y)改寫成yf1(x)，并注明反函數(shù)的定義域．

11、反函數(shù)的性質(zhì)①原函數(shù)

②函數(shù)

yf(x)與反函數(shù)yf1(x)的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱．

yf(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)yf1(x)的值域、定義域．

yf(x)的圖象上，則P"(b,a)在反函數(shù)yf1(x)的圖象上．③若P(a,b)在原函數(shù)④一般地，函數(shù)

yf(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù)．三、冪函數(shù)12、冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)13、冪函數(shù)的圖象

yx叫做冪函數(shù)，其中x為自變量，是常數(shù)．高中數(shù)學(xué)必修一“基本初等函數(shù)”知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

14、冪函數(shù)的性質(zhì)

①圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無(wú)圖象．冪函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)；是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第一象限．②過定點(diǎn)：所有的冪函數(shù)在(0,)都有定義，并且圖象都通過點(diǎn)(1,1)．③單調(diào)性：如果y軸對(duì)稱)；

0，則冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在[0,)上為增函數(shù)．如果0，則冪函數(shù)的圖象在(0,)上為減函數(shù)，

y軸．

在第一象限內(nèi)，圖象無(wú)限接近x軸與

④奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)．當(dāng)qpqpq（其中p,q互質(zhì)，p和qZp），若

p為奇

數(shù)q為奇數(shù)時(shí)，則函數(shù)．

yx是奇函數(shù)，若

p為奇數(shù)q為偶數(shù)時(shí)，則yx是偶函數(shù)，若p為偶數(shù)q為奇數(shù)時(shí)，則yx是非奇非偶

qp⑤圖象特征：冪函數(shù)方，當(dāng)yx,x(0,)，當(dāng)1時(shí)，若0x1，其圖象在直線yx下方，若x1，其圖象在直線yx上

1時(shí)，若0x1，其圖象在直線yx上方，若x1，其圖象在直線yx下方．

〖補(bǔ)充知識(shí)〗二次函數(shù)

15、二次函數(shù)解析式的三種形式①一般式：

f(x)ax2bxc(a0)②頂點(diǎn)式：f(x)a(xh)2k(a0)③兩根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)

16、求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式．

②已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱軸有關(guān)或與最大（�。┲涤嘘P(guān)時(shí)，常使用頂點(diǎn)式．③若已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫線坐標(biāo)已知時(shí)，選用兩根式求

17、二次函數(shù)圖象的性質(zhì)

f(x)更方便．

①二次函數(shù)

b4acb2b)．f(x)axbxc(a0)的圖象是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為x,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(,2a2a4a2bbb]上遞減，,)上遞增，②當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在(,在[當(dāng)x2a2a2a4acb2時(shí)，fmin(x)4a．

；當(dāng)a04acb2bbb]上遞增，在[,)上遞減，當(dāng)x時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在(,時(shí)，fmax(x)2a2a2a4a③二次函數(shù)

f(x)ax2bxc(a0)當(dāng)b24ac0時(shí)，圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．高中數(shù)學(xué)必修一“基本初等函數(shù)”知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

表1定義域值域指數(shù)函數(shù)yaxa0,a1xR對(duì)數(shù)數(shù)函數(shù)ylogaxa0,a1x0,yRy0,圖象過定點(diǎn)(0,1)減函數(shù)增函數(shù)x(,0)時(shí)，y(0,1)x(0,)時(shí)，y(1,)過定點(diǎn)(1,0)減函數(shù)增函數(shù)x(,0)時(shí)，y(1,)性質(zhì)x(0,1)時(shí)，y(0,)x(1,)時(shí)，y(,0)x(0,1)時(shí)，y(,0)x(1,)時(shí)，y(0,)x(0,)時(shí)，y(0,1)ab表2ababab冪函數(shù)yx(R)pq00111p為奇數(shù)q為奇數(shù)奇函數(shù)p為奇數(shù)q為偶數(shù)p為偶數(shù)q為奇數(shù)

偶函數(shù)

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第二章基本初等函數(shù)(Ⅰ)

〖2.1〗指數(shù)函數(shù)

【2.1.1】指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算

（1）根式的概念

①如果x號(hào)nna,aR,xR,n1，且nN，那么x叫做a的n次方根．當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，a的n次方根用符

的n次方根

a表示；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)a的正的n次方根用符號(hào)na表示，負(fù)的n次方根用符號(hào)na表示；0

是0；負(fù)數(shù)a沒有n次方根．

②式子n這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a0．a(chǎn)叫做根式，③根式的性質(zhì)：(n（2）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念

a(a0)．a(chǎn))na；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，nana；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，nan|a|a(a0)mn①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：anam(a0,m,nN,且n1)．0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0．

mn②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：a1m1()nn()m(a0,m,nN,且n1)．0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒

aa有意義．注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)．（3）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

①arasars(a0,r,sR)②(ar)sars(a0,r,sR)

r③(ab)arbr(a0,b0,rR)

【2.1.2】指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（4）指數(shù)函數(shù)

函數(shù)名稱定義函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax(a0且a1)叫做指數(shù)函數(shù)0a1yaxa1y圖象yaxyy1y1(0,1)(0,1)OxOx中國(guó)權(quán)威高考信息資源門戶定義域值域R(0,)圖象過定點(diǎn)(0,1)，即當(dāng)x過定點(diǎn)奇偶性單調(diào)性0時(shí)，y1．在R上是減函數(shù)非奇非偶在R上是增函數(shù)ax1(x0)函數(shù)值的變化情況ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)a變化對(duì)圖象的影響

在第一象限內(nèi)，a越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，a越大圖象越低．〖2.2〗對(duì)數(shù)函數(shù)【2.2.1】對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算

（1）對(duì)數(shù)的定義①若axN(a0,且a1)，則x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作xlogaN，其中a叫做底數(shù)，N叫做真數(shù)．

②負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)．

③對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：xloga（2）幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式

NaxN(a0,a1,N0)．

loga10，logaa1，logaabb．

（3）常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)

常用對(duì)數(shù)：lgN，即log10（4）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a①加法：logaN；自然對(duì)數(shù)：lnN，即loge．N（其中e2.71828…）

0,a1,M0,N0，那么

MlogaNloga(MN)②減法：logaMlogaNlogaMlogaMn(nR)④alogaNN

MN

③數(shù)乘：nloga⑤logab

MnnlogbNlogaM(b0,nR)⑥換底公式：logaN(b0,且b1)blogba【2.2.2】對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（5）對(duì)數(shù)函數(shù)

函數(shù)名稱對(duì)數(shù)函數(shù)中國(guó)權(quán)威高考信息資源門戶定義函數(shù)ylogax(a0且a1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)0a11xa1y圖象x1ylogaxyylogax(1,0)O(1,0)xOx定義域值域過定點(diǎn)奇偶性單調(diào)性在(0,)上是增函數(shù)(0,)R圖象過定點(diǎn)(1,0)，即當(dāng)x1時(shí)，y0．非奇非偶在(0,)上是減函數(shù)logax0(x1)函數(shù)值的變化情況logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(0x1)a變化對(duì)圖象的影響(6)反函數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)

在第一象限內(nèi)，a越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a越大圖象越靠高．yf(x)的定義域?yàn)锳，值域?yàn)镃，從式子yf(x)中解出x，得式子x(y)．如果對(duì)于y在C中

(y)，x在A中都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么式子x(y)表示x是y的函數(shù)，

的任何一個(gè)值，通過式子x函數(shù)x(y)叫做函數(shù)yf(x)的反函數(shù)，記作xf1(y)，習(xí)慣上改寫成yf1(x)．

（7）反函數(shù)的求法

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式③將xyf(x)中反解出xf1(y)；

f1(y)改寫成yf1(x)，并注明反函數(shù)的定義域．

（8）反函數(shù)的性質(zhì)①原函數(shù)

②函數(shù)

yf(x)與反函數(shù)yf1(x)的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱．

yf(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)yf1(x)的值域、定義域．

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③若P(a,b)在原函數(shù)④一般地，函數(shù)

yf(x)的圖象上，則P"(b,a)在反函數(shù)yf1(x)的圖象上．

yf(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù)．

〖2.3〗冪函數(shù)

（1）冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)

yx叫做冪函數(shù)，其中x為自變量，是常數(shù)．

（2）冪函數(shù)的圖象（3）冪函數(shù)的性質(zhì)①圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無(wú)圖象．冪函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于y軸對(duì)稱)；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)；是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第一象限．

②過定點(diǎn)：所有的冪函數(shù)在(0,)都有定義，并且圖象都通過點(diǎn)(1,1)．③單調(diào)性：如果0，則冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在[0,)上為增函數(shù)．如果0，則冪函數(shù)的圖象在(0,)上

y軸．

為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無(wú)限接近x軸與

④奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)．當(dāng)qpqpq（其中p,q互質(zhì)，p和qZp），

若則

p為奇數(shù)q為奇數(shù)時(shí)，則yx是奇函數(shù)，若p為奇數(shù)q為偶數(shù)時(shí)，則yx是偶函數(shù)，若p為偶數(shù)q為奇數(shù)時(shí)，

yxqp是非奇非偶函數(shù)．

⑤圖象特征：冪函數(shù)

yx,x(0,)，當(dāng)1時(shí)，若0x1，其圖象在直線yx下方，若x1，其圖象在

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直線

yx上方，當(dāng)1時(shí)，若0x1，其圖象在直線yx上方，若x1，其圖象在直線yx下方．

〖補(bǔ)充知識(shí)〗二次函數(shù)

（1）二次函數(shù)解析式的三種形式①一般式：

f(x)ax2bxc(a0)②頂點(diǎn)式：f(x)a(xh)2k(a0)③兩根式：

f(x)a(xx1)(xx2)(a0)（2）求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式．

②已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱軸有關(guān)或與最大（�。┲涤嘘P(guān)時(shí)，常使用頂點(diǎn)式．③若已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫線坐標(biāo)已知時(shí)，選用兩根式求

（3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì)①二次函數(shù)

f(x)更方便．

f(x)ax2bxc(a0)的圖象是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為xb,頂點(diǎn)坐標(biāo)是2ab4acb2(,)．2a4a②當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在(,；當(dāng)abbb]上遞減，在[,)上遞增，當(dāng)x時(shí)，2a2a2abbb]上遞增，在[,)上遞減，當(dāng)x2a2a2a4acb2fmin(x)4a時(shí)，

0時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在(,4acb2fmax(x)4a．

③二次函數(shù)

f(x)ax2bxc(a0)當(dāng)b24ac0時(shí)，圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2||x1x2|（4）一元二次方程ax2．|a|bxc0(a0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識(shí)在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達(dá)定理）的運(yùn)用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實(shí)根的分布．設(shè)一元二次方程ax2bxc0(a0)的兩實(shí)根為x1,x2，且x1x2．令f(x)ax2bxc，從以下四個(gè)方

b③判別式：④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)．2a面來分析此類問題：①開口方向：a②對(duì)稱軸位置：x①k＜x1≤x2

yf(k)0中國(guó)權(quán)威高考信息資源門戶

ya0xb2aOkx1x②x1≤x2＜k

kx2b2aOxx1x2xa0

f(k)0

ya0Oyf(k)0xOb2ax1x2kxb2akx2x1a0

xxf(k)0

③x1＜k＜x2af(k)＜0

ya0yf(k)0x2xa0Okx1x2xx1Okf(k)0

④k1＜x1≤x2＜k2

ya0yxf(k1)0f(k)02x1x2k2xOb2aOk1k1x1x2k2xbx2af(k1)0a0f(k2)0⑤有且僅有一個(gè)根x1（或x2）滿足k1＜x1（或x2）＜k2f(k1)f(k2)0，并同時(shí)考慮f(k1)=0或f(k2)=0這兩種情況是否也符合

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ya0yf(k1)0f(k1)0x1k2Ok1x2xOx1k1a0x2k2xf(k2)0

⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2此結(jié)論可直接由⑤推出．（5）二次函數(shù)設(shè)

f(k2)0

f(x)ax2bxc(a0)在閉區(qū)間[p,q]上的最值

，最小值為m，令x0f(x)在區(qū)間[p,q]上的最大值為M（Ⅰ）當(dāng)a1(pq)．20時(shí)（開口向上）

①若

bbbbp，則mf(p)②若pq，則mf()③若q，則mf(q)2a2a2a2af(q)Of(p)x

Obf(q)x

f(p)Ofx

b)2abf()(p))f(bb2a2Maf(q)②x0，則x0，則Mf(p)①若2a2aff((q)(p)x0bbbbx(q)p，則MpqMf()q，則Mf(q)①若②若，則③若f(p)0O2a2a2ax2a

①若

(Ⅱ)當(dāng)a0時(shí)(開口向下f)Ofx

fbf(((p)b))f2aa2ff((q)f(p)Of(p)x

Obf()2ab)2aff(b)2a(q)xOx

f

(q)(q)f(p)fbbx0，則mf(q)②x0，則mf(p)．2a2af(b)2af(p)Off(b)2a

(q)x0f

x

x0Ox中國(guó)權(quán)威高考信息資源門戶

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