初三數(shù)學(xué)寒假訓(xùn)練壓軸題精選

初三數(shù)學(xué)寒假培訓(xùn)壓軸題精選

1、（蘇州市）已知一三角形紙片ABC，面積為25，BC邊的長(zhǎng)為10，∠B和∠C都為銳角，M為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)（M與A、B不重合）。過(guò)點(diǎn)M作MN∥BC,交AC于點(diǎn)N，設(shè)MN=x.

(1)(2)

用x表示ΔAMN的面積SΔAMN

將ΔAMN沿MN折疊，使ΔAMN緊貼四邊形BCNM（邊AM、AN落在四邊形BCMN所在的平面內(nèi)），設(shè)點(diǎn)A落在平面BC-NM內(nèi)的點(diǎn)為D，ΔDMN與四邊形重疊部分的面積為y,①試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；②當(dāng)x為何值時(shí)重疊部分的面積y最大,最大值為多少？

MBANC初三數(shù)學(xué)寒假培訓(xùn)壓軸題精選

2、

3、⊙O1與⊙O2外切于O,其半徑之比為1∶3，以直線(xiàn)O1O2為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，在x軸上方的兩圓的外公切線(xiàn)AB與⊙O1相切于B，與⊙O2相切于A，與y軸相交于C（0，2），交x軸于M，連結(jié)OA、OB，（1）求證：∠AOB=90°；（2）求⊙O2的半徑；

（3）求AB的解析式,過(guò)點(diǎn)O1，C，O2，的拋物線(xiàn)的解析式

（4）在直線(xiàn)AB上是否存在點(diǎn)P，使ΔMO2P與ΔMOB相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由。初三數(shù)學(xué)寒假培訓(xùn)壓軸題精選

4、（浙江卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線(xiàn)l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2，0)和點(diǎn)B(0，數(shù)表達(dá)式為y23)，直線(xiàn)l2的函334x3，l1與l2相交于點(diǎn)P．⊙C是一個(gè)動(dòng)圓，圓心C在直線(xiàn)l1上運(yùn)動(dòng)，33設(shè)圓心C的橫坐標(biāo)是a．過(guò)點(diǎn)C作CM⊥x軸，垂足是點(diǎn)M．

(1)填空：直線(xiàn)l1的函數(shù)表達(dá)式是，交點(diǎn)P的坐標(biāo)是，∠FPB的度數(shù)是；(2)當(dāng)⊙C和直線(xiàn)l2相切時(shí)，請(qǐng)證明點(diǎn)P到直線(xiàn)CM的距離等于⊙C的半徑R，并寫(xiě)出R=322時(shí)a的值.

(3)當(dāng)⊙C和直線(xiàn)l2不相離時(shí)，已知⊙C的半徑R=322，記四邊形NMOB的面積為S(其中

點(diǎn)N是直線(xiàn)CM與l2的交點(diǎn))．S是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)a的值；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

yl2321FBP12CA-3-2-1O-1l13E4x初三數(shù)學(xué)寒假培訓(xùn)壓軸題精選

答案：

4[解](1)y32x333yl2321P(1，3)

60

(2)設(shè)⊙C和直線(xiàn)l2相切時(shí)的一種情況如圖甲所示，D切點(diǎn)，連接CD，則CD⊥PD．

yFBP12CA-3-2-1O-1l13E4x是

l2321FBP12C過(guò)點(diǎn)P作CM的垂線(xiàn)PG，垂足為G，則Rt△CDP≌Rt△PGC(∠PCD=∠CPG=30，CP=PC)，所以PG=CD=R．當(dāng)點(diǎn)C在射線(xiàn)PA上，⊙C和直線(xiàn)l2相切時(shí)，同理可證．

取R=322時(shí)，a=1+R=321，

E4xA-3-2-1O-1l13

或a=-(R-1)332．

(第24題圖甲)

(3)當(dāng)⊙C和直線(xiàn)l2不相離時(shí)，由(2)知，分兩種情況討論：①如圖乙，當(dāng)0≤a≤321時(shí)，

Sy12334332[(a)]aa3a，23336l2當(dāng)aFB32(3)63時(shí)，（滿(mǎn)足a≤321），S有最大

321CP值．此時(shí)

123E4xA-3-2-1O-1l1圖2

S最大值34(3)6339（或）．223②當(dāng)332≤a＜0時(shí)，顯然⊙C和直線(xiàn)l2相切即a332時(shí)，S最大．此時(shí)S最大值12334333[(332)]332．23332332綜合以上①和②，當(dāng)a3或a332時(shí)，存在S的最大值，其最大面積為初三數(shù)學(xué)寒假培訓(xùn)壓軸題精選

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寒假精選四十五題

一、選擇題1、《幾何原本》的誕生，標(biāo)志著幾何學(xué)已成為一個(gè)有著嚴(yán)密理論系統(tǒng)和科學(xué)方法的學(xué)科，它奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).它是下列哪位數(shù)學(xué)家的著作（）

A、歐幾里得B、楊輝C、笛卡爾D、劉徽

2、如圖，夜晚，小亮從點(diǎn)A經(jīng)過(guò)路燈C的正下方沿直線(xiàn)走到點(diǎn)B，他的影長(zhǎng)y隨他與點(diǎn)A之間的距離x的變化而變化，那么表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖像大致為（）

3、如圖，有一圓內(nèi)接正八邊形ABCDEFGH，若△ADE的面積為10，則正八邊形ABCDEFGH的面積為（）A、40B、50C、60D、80。

4、將一塊三角板和半圓形量角器按圖中方式疊放，重疊部分（陰影）的量角器圓�。▽�(duì)應(yīng)的中心角（∠AOB）為120，AO的長(zhǎng)為4cm，AB）

則圖中陰影部分的面積為（）

1682)cm2B、(2)cm2A、(3316823)cm2D、(23)cm2C、(335、某游泳池的橫截面如圖所示，用一水管向池內(nèi)持續(xù)注水，若單位時(shí)間內(nèi)注入的水量保持不變，則在注水過(guò)程中，下列圖象能反映深水區(qū)水深h與注水時(shí)間t關(guān)系的是（）

a1(ab)※6、定義新運(yùn)算：ab=a，則函數(shù)y=3x的圖象大致是（）

(ab且b0)b

7、兩個(gè)不相等的正數(shù)滿(mǎn)足a+b=2,ab=t-1,設(shè)S=(a-b)2,則S關(guān)于t的函數(shù)圖像是（）A、射線(xiàn)（不含端點(diǎn)）B、線(xiàn)段（不含端點(diǎn)）C、直線(xiàn)D、拋物線(xiàn)的一部分8、設(shè)一元二次方程（x-1）（x-2）=m(m>0)的兩實(shí)根分別為α，β，則α，β滿(mǎn)足（）A、16、用折紙的方法，可以直接剪出一個(gè)正五邊形，折紙過(guò)程如圖所示，則∠α等于______

7、按下列程序進(jìn)行運(yùn)算（如圖）

規(guī)定：程序運(yùn)行到“判斷結(jié)果是否大于244”為一次運(yùn)算。若x5，則運(yùn)算進(jìn)行_______次才停止；若運(yùn)算進(jìn)行了5次才停止，則x的取值范圍是_____________8、已知a+b=3，則ab有最___值，為_(kāi)_____

9、如果方程x4x30的兩個(gè)根分別是Rt△ABC的兩條邊，△ABC最小的角為A，那么tanA的值為_(kāi)___________

10、如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD的邊AD的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，矩形的兩條邊AB、BC的長(zhǎng)分別為3和4，那么點(diǎn)P到矩形的兩條對(duì)角線(xiàn)AC和BD的距離之和是__________三、解答題

2nx2nxnx2nx1、已知函數(shù)y÷－＋3，無(wú)論n取何值，函數(shù)一定經(jīng)過(guò)定點(diǎn)22xxxA和B，求直線(xiàn)AB的解析式。

2、我們把對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)x四舍五入到個(gè)位的值記為x，即：當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時(shí)，如果

n11xn，則xn。如：==0，==1，=2，22==4……試解決下列問(wèn)題：

（1）填空：①=________（為圓周率）；②如果2x13,則實(shí)數(shù)x的取值范圍為_(kāi)_______

（2）①當(dāng)x0,m為非負(fù)整數(shù)時(shí),求證:xmmx；②舉例說(shuō)明xyxy不恒成立；（3）求滿(mǎn)足x4x的所有非負(fù)實(shí)數(shù)x的值；32（4）設(shè)n為常數(shù)，且為正整數(shù)，函數(shù)yxx1的自變量x在nxn1范圍內(nèi)取4值時(shí)，函數(shù)值y為整數(shù)的個(gè)數(shù)記為a；滿(mǎn)足kn的所有整數(shù)k的個(gè)數(shù)記為b.

求證：ab2n.（此小問(wèn)看不懂沒(méi)必要做）3、如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．點(diǎn)P，Q都是斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從B向A運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)Q從A向B運(yùn)動(dòng)，BP=AQ．點(diǎn)D，E分別是點(diǎn)A，B以Q，P為對(duì)稱(chēng)中心的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，HQ⊥AB于Q，交AC于點(diǎn)H．當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)頂點(diǎn)A時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)BP的長(zhǎng)為x，△HDE的面積為y．（1）求證：△DHQ∽△ABC；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并求y的最大值；（3）當(dāng)x為何值時(shí)，△HDE為等腰三角形？

4、給出下列命題：

命題1.點(diǎn)(1,1)是直線(xiàn)y=x與雙曲線(xiàn)y=

1的一個(gè)交點(diǎn);x8的一個(gè)交點(diǎn);x27的一個(gè)交點(diǎn);x命題2.點(diǎn)(2,4)是直線(xiàn)y=2x與雙曲線(xiàn)y=命題3.點(diǎn)(3,9)是直線(xiàn)y=3x與雙曲線(xiàn)y=

……

（1）請(qǐng)觀察上面命題，猜想出命題n(n是正整數(shù));（2）證明你猜想的命題n是正確的.5、如圖，在□ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝15．已知⊙O的半徑等于3，AB，AD分別與⊙O相切于點(diǎn)E，F(xiàn)．⊙O在□ABCD內(nèi)沿AB方向滾動(dòng)，與BC邊相切時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．試求⊙O滾過(guò)的路程．

6、如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.（1）求證：PC是⊙O的切線(xiàn)；（2）求證：BC=

（3）點(diǎn)M是弧AB的中點(diǎn)，CM交AB于點(diǎn)N，若AB=4，求MNMC的值。

-4-

1AB；

2

7、如圖1，拋物線(xiàn)y＝ax－3ax＋b經(jīng)過(guò)A(－1，0)，C(3，－2)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，與x軸交于另一點(diǎn)B．

（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；

（2）若直線(xiàn)y＝kx＋1(k≠0)將四邊形ABCD面積二等分，求k的值；

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)E(1，1)作EF⊥x軸于點(diǎn)F，將△AEF繞平面內(nèi)某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得△MNQ（點(diǎn)M、N、Q分別與點(diǎn)A、E、F對(duì)應(yīng)），使點(diǎn)M、N在拋物線(xiàn)上，作MG⊥x軸于點(diǎn)G，若線(xiàn)段MG:AG＝1:2，求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)．

8、如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O在對(duì)角線(xiàn)AC上，以O(shè)A的長(zhǎng)為半徑的圓O與AD、AC分別交于點(diǎn)E、F，且∠ACB=∠DCE．

(1)判斷直線(xiàn)CE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)若tan∠ACB=

2，BC=2，求⊙O的半徑．2CDEOF

9、為迎接第四屆世界太陽(yáng)城大會(huì)，德州市把主要路段路燈更換為太陽(yáng)能路燈．已知太陽(yáng)能路燈售價(jià)為5000元/個(gè)，目前兩個(gè)商家有此產(chǎn)品．甲商家用如下方法促銷(xiāo)：若購(gòu)買(mǎi)路燈不超過(guò)100個(gè)，按原價(jià)付款；若一次購(gòu)買(mǎi)100個(gè)以上，且購(gòu)買(mǎi)的個(gè)數(shù)每增加一個(gè)，其價(jià)格減少10元，但太陽(yáng)能路燈的售價(jià)不得低于3500元/個(gè)．乙店一律按原價(jià)的80銷(xiāo)售．現(xiàn)購(gòu)買(mǎi)太陽(yáng)能路燈x個(gè)，如果全部在甲商家購(gòu)買(mǎi)，則所需金額為y1元；如果全部在乙商家購(gòu)買(mǎi)，則所需金額為y2元.

（1）分別求出y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若市政府投資140萬(wàn)元，最多能購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)太陽(yáng)能路燈？

10、如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線(xiàn)BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM.

AB⑴求證：△AMB≌△ENB；

⑵①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋CM的值最小；

②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小，并說(shuō)明理由；⑶當(dāng)AM＋BM＋CM的最小值為31時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).

11、已知：等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4厘米，長(zhǎng)為1厘米的線(xiàn)段MN在△ABC的邊AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)B時(shí)運(yùn)動(dòng)終止），過(guò)點(diǎn)M、N分別作AB邊的垂線(xiàn)，與△ABC的其它邊交于P、Q兩點(diǎn)，線(xiàn)段MN運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）線(xiàn)段MN在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，t為何值時(shí)，四邊形MNQP恰為矩形？并求出該矩形的面積；

（2）線(xiàn)段MN在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形MNQP的面積為S，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．求四邊形MNQP的面積S隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間t變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍．

12、如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上．

(1)判斷△ABC和△DEF是否相似，并說(shuō)明理由；

(2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F(xiàn)是△DEF邊上的7個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)谶@7個(gè)格點(diǎn)中選取3個(gè)點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，使構(gòu)成的三角形與△ABC相似(要求寫(xiě)出2個(gè)符合條件的三角形，并在圖中連結(jié)相應(yīng)線(xiàn)段，不必說(shuō)明理由)．

13、如圖.⊙O中，AB、AC是弦，O在∠ABO的內(nèi)部，ABO，ACO，

BOC，求α、β、θ之間的數(shù)量關(guān)系。

14、（1）請(qǐng)?jiān)趫D①的正方形ABCD內(nèi)，畫(huà)出使∠APB＝90°的一個(gè)點(diǎn)P，并說(shuō)明理由。（2）請(qǐng)?jiān)趫D②的正方形ABCD內(nèi)（含邊），畫(huà)出使∠APB＝60°的所有的點(diǎn)P，并說(shuō)明理由。（3）如圖③，現(xiàn)在一塊矩形鋼板ABCD，AB＝4，BC＝3，工人師傅想用它裁出兩塊全等的、面積最大的△APB和△CP’D鋼板，且∠APB＝∠CP’D＝60°，請(qǐng)你在圖③中畫(huà)出符合要求的點(diǎn)P和P’。

圖①圖②圖③

15、如圖，將△ABC的三邊分別擴(kuò)大一倍得到△A1B1C1（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上），它們是以P點(diǎn)為位似中心的位似圖形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

16、已知⊙O過(guò)點(diǎn)D（3，4）,點(diǎn)H與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，過(guò)H作⊙O的切線(xiàn)交x軸于點(diǎn)A。

⑴求sinHAO的值；

⑵如圖，設(shè)⊙O與x軸正半軸交點(diǎn)為P，點(diǎn)E、F是線(xiàn)段OP上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)P不重合），連接并延長(zhǎng)DE、DF交⊙O于點(diǎn)B、C，直線(xiàn)BC交x軸于點(diǎn)G，若DEF是以EF為底的等腰三角形，試探索sinCGO的大小怎樣變化，請(qǐng)說(shuō)明理由。

17、如圖，Rt△ABC是由Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，連結(jié)CC交斜邊于點(diǎn)E，CC的延長(zhǎng)線(xiàn)交BB于點(diǎn)F．

（1）證明：△ACE∽△FBE；

（2）設(shè)∠ABC=，∠CAC=，試探索、滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí)，△ACE與△FBE是全等三角形，并說(shuō)明理由．

BC"EFB"CA

18、聯(lián)想三角形外心的概念，我們可引入如下概念：

定義：到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心.舉例：如圖1，若PA=PB，則點(diǎn)P為△ABC的準(zhǔn)外心.

應(yīng)用：如圖2，CD為等邊三角形ABC的高，準(zhǔn)外心P在高CD上，且PD=

1AB，求∠APB的度數(shù).2探究：已知△ABC為直角三角形，斜邊BC=5，AB=3，準(zhǔn)外心P在AC邊上，試探究PA的長(zhǎng).

19、如圖所示，已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，D在拋物線(xiàn)上，且AD平行x軸，交y軸于點(diǎn)F，AB的中點(diǎn)E在x軸上，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），點(diǎn)P（a，b）在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)．（點(diǎn)P異于點(diǎn)O）（1）求此拋物線(xiàn)的解析式．

（2）過(guò)點(diǎn)P作CB所在直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)R。①求證：PF=PR；

②是否存在點(diǎn)P，使得△PFR為等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

③延長(zhǎng)PF交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)Q，過(guò)Q作BC所在直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為S，試判斷△RSF的形狀．

20、如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，CE⊥AB于E，設(shè)∠ABC=（6090）（1）當(dāng)=60°時(shí)，求CE的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)6090時(shí)，①是否存在正整數(shù)k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

②連接CF，當(dāng)CECF取最大時(shí)，求tan∠DCF的值。

2201*0AEFDBC

21、如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)A（1,0），B（3,1），C（3,3），反比例函數(shù)

ymx0的圖像過(guò)點(diǎn)D，點(diǎn)P是一次函數(shù)y=kx+3-3kk0的圖象與該反比例函數(shù)的x一個(gè)公共點(diǎn)。

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）通過(guò)計(jì)算，說(shuō)明一次函數(shù)y=kx+3-3kk0的圖象一定過(guò)點(diǎn)C；

（3）對(duì)于一次函數(shù)y=kx+3-3kk0，當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí)，確定點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍（不必寫(xiě)出過(guò)程）。

22、已知：y關(guān)于x的函數(shù)y＝(k－1)x2－2kx＋k＋2的圖象與x軸有交點(diǎn)．(1)求k的取值范圍；

(2)若x1，x2是函數(shù)圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且滿(mǎn)足(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2．①求k的值；②當(dāng)k≤x≤k＋2時(shí)，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象確定y的最大值和最大值．

23、已知，點(diǎn)E是矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)BC上的一點(diǎn)，且BE=BC，AB=3，BC=4，點(diǎn)P為EC上的一動(dòng)點(diǎn)，且PQ⊥BC于點(diǎn)Q，PR⊥BD于點(diǎn)R．⑴如圖（甲），當(dāng)點(diǎn)P為線(xiàn)段EC中點(diǎn)時(shí)，求證：PR+PQ=

12；5⑵如圖（乙），當(dāng)點(diǎn)P為線(xiàn)段EC上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)E、點(diǎn)C重合）時(shí)，其它條件不變，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給與證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；⑶如圖（丙），當(dāng)點(diǎn)P為線(xiàn)段EC延長(zhǎng)線(xiàn)上任意一點(diǎn)時(shí)，其它條件不變，則PR與PQ之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想．

24、如圖，拋物線(xiàn)F：y＝ax＋bx＋c的頂點(diǎn)為P，拋物線(xiàn)F與y軸交于點(diǎn)A，與直線(xiàn)OP交于點(diǎn)B．過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，平移拋物線(xiàn)F使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D得到拋物線(xiàn)F′：y

2

＝a′x＋b′x＋c′，拋物線(xiàn)F′與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C．

（1）當(dāng)a＝1，b＝－2，c＝3時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出答案）；（2）若a、b、c滿(mǎn)足b＝2ac①求b:b的值；

②探究四邊形OABC的形狀，并說(shuō)明理由．

22

25、如圖（1），拋物線(xiàn)yx2x4與y軸交于點(diǎn)A，E（0，b）為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E的直線(xiàn)yxb與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)B、C.

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2)當(dāng)b=0時(shí)（如圖（2）），ABE與ACE的面積大小關(guān)系如何？當(dāng)b4時(shí)，上述關(guān)系還成立嗎，為什么？

（3）是否存在這樣的b，使得BOC是以BC為斜邊的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，說(shuō)明理由.

答案與說(shuō)明：

補(bǔ)充說(shuō)明：1、共選了45個(gè)題目，沒(méi)有按照難易程度編排，編排順序是隨意的。

2、題目的難度不算很大，多是一些有趣的思維訓(xùn)練題，概念理解題和簡(jiǎn)單的綜合應(yīng)用題。3、答案中紅色問(wèn)題希望能引起重視。4、標(biāo)注※的題目非常推薦，值得一看。一、選擇題

※1、A（你知道剩下三位數(shù)學(xué)家的成就嗎？）2、A3、A4、C5、A6、B

※7、B（這個(gè)題能自己做出來(lái)的不簡(jiǎn)單）

※8、D（這是一個(gè)構(gòu)造函數(shù)的題目，你看出來(lái)了嗎？）※9、D（這個(gè)題很久以前出現(xiàn)過(guò)很多次，還記得嗎？）10、D

二、填空題1、74

2、10（這個(gè)題研究數(shù)的外形）3、4≤a≤2

1

（這個(gè)題絕對(duì)經(jīng)典）4n155、，

334、1

6、90°（折過(guò)就知道了）7、4,※12當(dāng)b0.5時(shí),xk1,則mx(mk)b,mk為mx的整數(shù)部分,b為其小數(shù)部分.xmmk1,mxmx.綜上所述:xmmx.②舉反例略

4x的圖象，如圖（yx的圖像是難點(diǎn)）3433yx的圖象與yx圖象交于點(diǎn)(0,0),點(diǎn)(,1),點(diǎn)(,2),

34233x0,,.（絕對(duì)好方法，你能想到嗎？）

421122（4）（此小問(wèn)看不懂沒(méi)必要做）函數(shù)yxx(x),n為整數(shù)，

42※（3）作yx,y當(dāng)nxn1時(shí),y隨x的增大而增大，

1111(n)2y(n1)2,即(n)2y(n)2，①

222211yn2n,y為整數(shù),44yn2n1,n2n2,n2n3,,n2n2n,共2n個(gè)y,n2na2n.②

k0,kn,

1111kn,(n)2k(n)2,③2222比較①，②，③得：ab2n.

則n3、（1）證明略；

3215xx(0x2.5)7524（2）y與x之間的函數(shù)解析式為y；y的最大值是．

43x215x(2.5x5)24（3）當(dāng)x的值為

4040320時(shí)，△HDE是等腰三角形,,5,21111032

n34、(1)命題n:點(diǎn)(n,n)是直線(xiàn)y=nx與雙曲線(xiàn)y=的一個(gè)交點(diǎn)(n是正整數(shù)).

x(2)把xnyn2代入y=nx，左邊=n2，右邊=nn=n2，

∵左邊=右邊

∴點(diǎn)(n，n2)在直線(xiàn)上.

同理可證：點(diǎn)(n，n2)在雙曲線(xiàn)上，

n3∴點(diǎn)(n，n)是直線(xiàn)y=nx與雙曲線(xiàn)y=的一個(gè)交點(diǎn)，命題正確.（證明要嚴(yán)謹(jǐn)）

x2

5、1543

6、（1）略；（2）略；（3）8

1234x－x－2；（2）k＝－；※（3）M(3，－2)，N(1，－3)223（旋轉(zhuǎn)180°意味著什么？你還記得嗎？）7、（1）y＝

8、（1）直線(xiàn)CE與⊙O相切；（2）r=

6（又是一道可勾股可相似的題目）49、解：（1）由題意可知，

當(dāng)x≤100時(shí)，購(gòu)買(mǎi)一個(gè)需5000元，故y15000x；

當(dāng)x≥100時(shí)，因?yàn)橘?gòu)買(mǎi)個(gè)數(shù)每增加一個(gè)，其價(jià)格減少10元，但售價(jià)不得低于3500元/個(gè)，所以x≤

50003500+100=250．

10即100≤x≤250時(shí)，購(gòu)買(mǎi)一個(gè)需5000-10(x-100)元，故y1=6000x-10x2；當(dāng)x>250時(shí)，購(gòu)買(mǎi)一個(gè)需3500元，故y13500x；

5000x(0x100)，2所以，y16000x10x(100x250)，

3500x(x250).y2500080%x4000x．

(2)當(dāng)0

當(dāng)0≤t≤1時(shí)，S=3t33；當(dāng)1過(guò)點(diǎn)D作DMEF于M，并延長(zhǎng)DM交O于N，連接ON，交BC于T。因?yàn)镈EF為等腰三角形，DMEF，所以DN平分BDC所以弧BN=弧CN，所以O(shè)TBC，所以CGOMNO

OM3ON5即當(dāng)E、F兩點(diǎn)在OP上運(yùn)動(dòng)時(shí)（與點(diǎn)P不重合），sinCGO的值不變。

所以sinCGO=sinMNO17、（1）略；（2）當(dāng)2時(shí)，△ACE≌△FBE．

18、（先根據(jù)準(zhǔn)外心的概念可知，準(zhǔn)外心位置應(yīng)分三種不同的情況來(lái)分析：①PB=PC；②PA=PC；③PA=PB，然后具體解題。）應(yīng)用：∠APB=90°.探究：解：若PB=PC，設(shè)PA=x，則∴x=

77，即PA=.88若PA=PC，則PA=2.

若PA=PB，由圖知，在Rt△PAB中，不可能。故PA=2或

7.8※19、（1）y=x2；

（2）①證明：由拋物線(xiàn)的解析式知：P（a，a2），而R（a，1）、F（0，1），則：則：PF=PR=

==a2+1．

=a2+1，

∴PF=PR．（這樣的計(jì)算你能算得又快有準(zhǔn)嗎？）②（2，3）、（2，3）．③△SFR是直角三角形．

20、（1）如果∠ABC=60°，在Rt△ABC中，CE=BCsin60°=10（2）①取BC的中點(diǎn)G，連接FG，CF，則AF=BG=DF=CG

3=532A1EF234MDBGC

∵AF∥BG,FD∥CG

∴四邊形ABGF，四邊形FGCD都是平行四邊形又∵AB=5，BC=10，∴AB=BG=FG=CG=5，

∴四邊形ABGF，四邊形FGCD都是菱形∴∠3=∠4，AB∥FG∵AB∥FG∴∠1=∠2

設(shè)GF交CE于M則MG∥BE∴

MEBGCMCG∴EM=MC∵BE⊥CE∴GM⊥CE

∴FM垂直平分CE∴FE=FC

∴∠2=∠3=∠4=∠1∴∠EFD=3∠AEF∴k=3

②設(shè)BE=x，則AE=5-x

過(guò)點(diǎn)F作AB的垂線(xiàn)，垂足為N，則∠N=∠BEC=90°

NAEFDB∵AF∥BG∴∠NAF=∠B

GC

∴△NAF∽△EBC

ANAF1BEBC211∴AN=x，F(xiàn)N=CE

2211EN=AE+AN=5-x+x=5x

22∴

在Rt△EBC中，CEBCBE100x

222212100x22在Rt△NEF中，F(xiàn)EFCENFN=(5x)()

22222212100x22)]∴y=CECF=100x[(5x)+(22222=x5x100∵-1∴b－2bb′＋4ac＝0，又∵b＝2ac，∴3b－2bb′＝0．

2∴b:b＝

3②由①得，拋物線(xiàn)F′為y＝ax＋令y＝0，則ax＋∴x1＝－

22

222

3bx＋c．23bx＋c＝0．2bb，x2＝－．

a2abb，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－，0）

a2a設(shè)直線(xiàn)OP的解析式為y＝kx．∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為－∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－

cb，）2a2b2cacbb2ac∴－k＝，∴k＝－＝－＝－＝－

2b2b22a2bb∴直線(xiàn)OP的解析式為y＝－x．

2∵點(diǎn)B是拋物線(xiàn)F與直線(xiàn)OP的交點(diǎn)，∴ax＋bx＋c＝－∴x1＝－

2

bx．2bb，x2＝－．

a2abb，∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為－．

a2a∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為－

b2bbbb2ac把x＝－代入y＝－x，得y＝－(－)＝＝＝c．

2aa22a2ab∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－，c）．

a∴BC∥OA，AB∥OC．（或BC∥OA，BC＝OA）∴四邊形OABC是平行四邊形．又∵∠AOC＝90°，∴四邊形OABC是矩形

（待定系數(shù)的函數(shù)綜合問(wèn)題是如今命題的寵兒，也是你們的弱點(diǎn)）25、（1）將x=0，代入拋物線(xiàn)解析式，得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，－4）（2）當(dāng)b＝0時(shí)，直線(xiàn)為yx，由yx2yxx4解得

x12x22，

y12y22所以B、C的坐標(biāo)分別為（－2，－2），（2，2）

11SABE424，SACE424

22所以SABESACE（利用同底等高說(shuō)明面積相等亦可）當(dāng)b4時(shí)，仍有SABESACE成立.理由如下

yxbx1b4x2b4由，解得，2yxx4y1b4by2b4b所以B、C的坐標(biāo)分別為（－b4，－b4+b），（b4，b4+b），作BFy軸，CGy軸，垂足分別為F、G，則BFCGb4，而ABE和ACE是同底的兩個(gè)三角形，

所以SABESACE.

yCGRBFO

（3）存在這樣的b.因?yàn)锽FCG,BEFCEG,BFECGE90所以BEFCEG所以BECE，即E為BC的中點(diǎn)

所以當(dāng)OE=CE時(shí)，OBC為直角三角形因?yàn)镚Eb4bbb4GC所以CE2b4，而OEb所以2b4b，解得b14,Qb22，

所以當(dāng)b＝4或－2時(shí)，ΔOBC為直角三角形.

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