磁場(chǎng) 章末總結(jié)

帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題分析

以帶電粒子在電場(chǎng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)為題材的物理題是高考的熱點(diǎn),每年的高考試卷都有此類題,并且多是大型計(jì)算題、綜合題.為什么以帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)為題材的物理題是高考的熱點(diǎn)呢?因?yàn)橐�在很短的時(shí)間內(nèi)以有限的題目考查高中物理那么多的知識(shí)點(diǎn),就要通過一個(gè)題目考查幾個(gè)知識(shí)點(diǎn),也就是說題目要有綜合性.而以帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)為題材的物理題,能考查電場(chǎng)、電場(chǎng)力、加速度、速度、位移、勻速運(yùn)動(dòng)、勻加速運(yùn)動(dòng)及磁場(chǎng)、洛倫茲力、圓周運(yùn)動(dòng)、向心力、向心加速度、線速度、角速度以及幾何作圖、數(shù)學(xué)演算等很多知識(shí)點(diǎn).所以,以帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)為題材的物理題容易命制綜合題.

下面通過題目探討以帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)為題材的物理題的命題規(guī)律和解題方法.

專題一帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)分析

【例1】如圖1所示,邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形區(qū)域abcd內(nèi)存在著勻強(qiáng)電場(chǎng).電荷量為q、動(dòng)能為Ek的帶電粒子從a點(diǎn)沿ab方向進(jìn)入電場(chǎng),不計(jì)重力.(1)若粒子從c點(diǎn)離開電場(chǎng),求電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和粒子離開電場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能.(2)若粒子離開電場(chǎng)時(shí)動(dòng)能為Ek′,則電場(chǎng)強(qiáng)度為多大？

專題二帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)分析

1.帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做不完整圓周運(yùn)動(dòng)的解題思路(1)用幾何知識(shí)確定圓心并求半徑.(2)確定軌跡所對(duì)的圓心角,求運(yùn)動(dòng)時(shí)間.【例2】如圖2所示,在xOy平面上,a點(diǎn)坐標(biāo)為(0,l),平面內(nèi)有一邊界過a點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)O的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域,磁場(chǎng)方向垂直紙面向里.有一電子(質(zhì)量為m,電荷量為e)從a點(diǎn)以初速度v0平行x軸正方向射入磁場(chǎng)區(qū)域,在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),恰好在x軸上的b點(diǎn)(未標(biāo)出)射出磁場(chǎng)區(qū)域,此時(shí)速度方向與x軸正方向夾角為60°.求:(1)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度.(2)電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.(3)磁場(chǎng)區(qū)域圓心O1的坐標(biāo).解析該題為帶電粒子在有邊界磁場(chǎng)區(qū)域中的圓周運(yùn)動(dòng).看似復(fù)雜,但解題的關(guān)鍵還是在找圓心,同學(xué)們只要根據(jù)運(yùn)動(dòng)電荷在有界磁場(chǎng)的出入點(diǎn)的速度方向垂線的交點(diǎn),確定圓心的位置,然后作出軌跡和半徑,根據(jù)幾何關(guān)系找出等量關(guān)系,求解飛行時(shí)間從找軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角的方面著手,題目便迎刃而解.

2.臨界狀態(tài)不唯一而形成的多解問題

【例3】如圖3所示,長(zhǎng)為L(zhǎng)的水平極板間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,板間距離也為L(zhǎng),板不帶電.現(xiàn)有質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子(不計(jì)重力),從左邊極板

間中點(diǎn)處垂直磁感線以速度v水平射入磁場(chǎng),欲使粒子不打在極板上,可采用的辦法是()

qBL5qBLA.使粒子的速度v<4mB.使粒子的速度v>

4mC.使粒子的速度v>qBLD.使粒子的速度qBL5qBLv專題三帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)m4m4m1.帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中做直線運(yùn)動(dòng),包括勻速直線運(yùn)動(dòng)和變速直線運(yùn)動(dòng)

【例4】在圖4中虛線所示的區(qū)域存在勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng).取坐標(biāo)如圖.一帶電粒子沿x軸正方向進(jìn)入此區(qū)域,在穿過此區(qū)域的過程中運(yùn)動(dòng)方向始終不發(fā)生偏轉(zhuǎn).不計(jì)重力的影響,電場(chǎng)強(qiáng)度E和磁感強(qiáng)度B的方向可能是()A.E和B都沿x軸方向B.E沿y軸正向,B沿z軸正向C.E沿z軸正向,B沿y軸正向D.E、B都沿z軸方向

2.帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中所受合外力的大小、方向均不斷變化而做變加速曲線運(yùn)動(dòng),這類問題一般只能用能量關(guān)系處理

【例5】如圖5所示,相互垂直的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)的大小分別為E和B,一個(gè)質(zhì)量為m,電量為+q的油滴,從a點(diǎn)以水平速度v0飛入,經(jīng)過一段時(shí)間后運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn),試計(jì)算:

(1)油滴剛進(jìn)入疊加場(chǎng)a點(diǎn)時(shí)的加速度.(2)若到達(dá)b點(diǎn)時(shí),偏離入射方向的距離為d,則其速度是多大?

3.帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)、重力場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則必然是電場(chǎng)力和

重力平衡,而洛倫茲力充當(dāng)向心力【例6】一個(gè)帶電微粒在圖6所示的正交勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)中在豎直面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則該帶電微粒必然帶,旋轉(zhuǎn)方向?yàn)?若已知圓半徑為r,電場(chǎng)強(qiáng)度為E,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,則線速度為

4.帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期性問題

【例7】如圖7所示,在x軸上方為勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,方向垂直紙面向里,x軸下方為勻強(qiáng)電場(chǎng),場(chǎng)強(qiáng)為E,方向豎直向下.有一帶負(fù)電微粒,電荷量為q、質(zhì)量為m(重力不計(jì)),在y軸上某點(diǎn)由靜止釋放,在運(yùn)動(dòng)過程中要經(jīng)過x軸上的Q點(diǎn),Q點(diǎn)離原點(diǎn)O的距離為L(zhǎng),求釋放點(diǎn)與原點(diǎn)O的距離.

素能提升

1.如圖所示為自左向右逐漸增強(qiáng)的磁場(chǎng),一不計(jì)重力的帶電粒子垂直射入其中,由于周圍氣體的阻礙作用,其運(yùn)動(dòng)軌跡恰為一段圓弧PQ(粒子電量保持不變),則可判斷()A.粒子從P點(diǎn)射入B.粒子所受洛倫茲力逐漸增大C.粒子從Q點(diǎn)射入D.粒子的動(dòng)能逐漸減小

2.如圖所示,在光滑水平桌面上,有兩個(gè)固定的電極a、b,長(zhǎng)為L(zhǎng)的柔軟直

導(dǎo)線兩端連接在a、b上,放置在光滑水平桌面上,有豎直方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)由下而上穿過桌面,磁場(chǎng)的磁感應(yīng)

強(qiáng)度為B,當(dāng)線圈通過恒定電流I時(shí),求導(dǎo)線內(nèi)部的拉力.

3.核聚變反應(yīng)需要幾百萬度以上的高溫,為把高溫條件下高速運(yùn)動(dòng)的離子約

束在小范圍內(nèi)(否則不可能發(fā)生核反應(yīng)),通常采用磁約束的方法(托卡馬克裝置).如圖10所示,環(huán)狀勻強(qiáng)磁場(chǎng)中空區(qū)域中的帶電粒子只要速度不是很大,都不會(huì)穿出磁場(chǎng)的外邊緣而被約束在該區(qū)域內(nèi).設(shè)環(huán)狀磁場(chǎng)的內(nèi)半徑R1=0.5m,外半徑R2=1.0m,磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.0T,若被束縛的帶電粒子的比荷q/m=4×107C/kg,中空區(qū)域內(nèi)帶電粒子具有各個(gè)方向的速度.試計(jì)算:

(1)粒子沿環(huán)狀磁場(chǎng)的半徑方向射入磁場(chǎng),不能穿越磁場(chǎng)的最大速度.

(2)所有粒子不能穿越磁場(chǎng)的最大速度.4.如圖所示,水平方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為E,場(chǎng)區(qū)寬度為L(zhǎng),豎直方向足夠長(zhǎng).緊挨著電場(chǎng)的是垂直于紙面向外的兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域,其磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為B和2B.一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子,其重力不計(jì),從電場(chǎng)的邊界MN上的a點(diǎn)由靜止釋放,經(jīng)電場(chǎng)加速后進(jìn)入磁場(chǎng),經(jīng)過時(shí)間tB=Bqr1m穿過中間磁場(chǎng),進(jìn)入右邊磁場(chǎng)后能按某一路徑再返回到電場(chǎng)的邊界MN上的某一點(diǎn)b,圖中虛線為場(chǎng)區(qū)的分界面.求:

(1)中間場(chǎng)區(qū)的寬度d.(2)粒子從a點(diǎn)到b點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間tab(3)粒子

第n次返回電場(chǎng)的MN邊界時(shí)與出發(fā)點(diǎn)a之間的距離xn.

閱卷現(xiàn)場(chǎng)

本單元知識(shí)考查點(diǎn)主要有磁感應(yīng)強(qiáng)度、磁感線、磁通量、電流的磁場(chǎng)、安培力、洛倫茲力等基本概念,以及磁現(xiàn)象的電本質(zhì)、安培定則、左手定則等規(guī)律.涉及到的基本方法有,運(yùn)用空間想象力和磁感線將磁場(chǎng)的空間分布形象化是解決磁場(chǎng)問題的關(guān)鍵.運(yùn)用安培定則、左手定則判斷磁場(chǎng)方向和載流導(dǎo)線、運(yùn)動(dòng)的帶電粒子受力情況是將力學(xué)知識(shí)與磁場(chǎng)問題相結(jié)合的切入點(diǎn).本章的能力要求很高,對(duì)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、力電綜合能力考查頻繁,是得分或失分的要點(diǎn)之一.

考生在本單元知識(shí)應(yīng)用的過程中常犯的錯(cuò)誤主要表現(xiàn)在：不能準(zhǔn)確地再現(xiàn)題目中所敘述的磁場(chǎng)的空間分布和帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡：運(yùn)用安培定則、左手定則判斷磁場(chǎng)方向和載流導(dǎo)線、運(yùn)動(dòng)的帶電粒子受力情況時(shí)出錯(cuò)；運(yùn)用幾何知識(shí)時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤；不善于分析多過程的物理問題等.

易錯(cuò)點(diǎn)實(shí)例分析

忽略洛倫茲力造成的錯(cuò)誤試題回放一個(gè)負(fù)離子的質(zhì)量為m,電量大小為q,以速度v垂直于屏S經(jīng)過小孔O射入存在著勻強(qiáng)磁場(chǎng)的真空室中,如圖所示.磁感應(yīng)強(qiáng)度B方向與離子的初速度方向垂直,并垂直于紙面向里.如果離子進(jìn)入磁場(chǎng)后經(jīng)過時(shí)間t到達(dá)位置P,證明：直線OP與離子入射方向之間的夾角θ跟t的關(guān)系是θ=qB.

t2m

v根據(jù)牛頓第二定律和向心加速度公式F洛=F向Bqv=ma向=mt=(m2vsinθ)/tsinθ=當(dāng)θ不大時(shí),sinθ=θ=Bqt,得證.高中階段,我們?cè)趹?yīng)用牛頓第二定律解題時(shí),F應(yīng)為恒力

2m錯(cuò)解分析

Bqt2m

或平均力,本題中洛倫茲力是方向不斷變化的力.不能直接代入公式求解.

2v正確答案F洛=F向Bqv=ma向=mr=mv如圖所示,當(dāng)離子到達(dá)位置P時(shí)圓心角為

qBαvtvtBqt而α=2θ,則rθ=qBt得證.

2mrmv/Bqm

力電綜合中審題不仔細(xì)造成的錯(cuò)誤試題回放擺長(zhǎng)為L(zhǎng)的單擺在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中擺動(dòng),擺動(dòng)平面與磁場(chǎng)方向垂直,如圖所示擺動(dòng)中擺線始終繃緊,若擺球帶正電,電量為q,質(zhì)量為m,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,當(dāng)球從最高處擺到最低處時(shí),擺線上的拉力FT多大？

錯(cuò)解分析FT、F洛始終垂直于速度v,根據(jù)機(jī)械能守恒定律：

1mgL(1-cosα)=2mv2,v=22gL(1cos).在C處,F洛豎直向上,根據(jù)牛頓第二定律則有

vmcosFT+F洛-mg=ma向=LFT=m2gL(1)+mg-F洛=2mg(1-cosα)+mg-Bqv

=3mg-2mgcosα-Bq考慮問題不全面,認(rèn)為題目中“從最高點(diǎn)到最低處”是指AC的過程,忽略了球可以從左右兩方經(jīng)過最低點(diǎn).正確答案球從左右兩方經(jīng)過最低點(diǎn),因速度方向不同,引起F洛不同,受力分析如圖所示.由于擺動(dòng)時(shí)F洛和FT都不做功,機(jī)械能守恒,小球無論向左、向右擺動(dòng)過C點(diǎn)時(shí)的速度大小相同,方向相反.

1擺球從最高點(diǎn)到達(dá)最低點(diǎn)C的過程滿足機(jī)械能守恒：mgL(1-cosα)=2mv2,v=

2gL（1cos）當(dāng)擺球在C的速度向右,根據(jù)左手定則,F洛豎直向上,根據(jù)牛頓第二定律則有

2FT+F洛-mg=ma向=mvFT=mv2+mg-F洛=2mg(1-cosα)+mg-Bqv

LL

(1cos=3mg-2mgcosα-Bq2gL)當(dāng)擺球在C的速度向左,F洛豎直向下,根據(jù)牛頓第二定律則有2v2FT-F洛-mg=ma向=mvFT=m+mg+F洛=2mg(1-cosα)+mg+Bqv=3mg-2mgcosα+Bq2gL(1cosa)LL所以擺到最低處時(shí),擺線上的拉力FT=3mg-2mgcosα±Bq2gL(1cosa)推理和計(jì)算能力差造成的錯(cuò)誤

試題回放如圖所示,ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形.質(zhì)量為m、電荷量為e的電子以大小為v0的初速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區(qū)域.在正方形內(nèi)適當(dāng)區(qū)域中有勻強(qiáng)磁場(chǎng).電子從BC邊上的任意點(diǎn)入射,都只能從A點(diǎn)射出磁場(chǎng).不計(jì)重力,求：

(1)此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大小.(2)此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面

積.

錯(cuò)解分析錯(cuò)解一：分析推理能力差,只能推理出磁場(chǎng)的方向,不

能根據(jù)磁場(chǎng)僅在正方形內(nèi)、初速度都垂直于BC、都只能從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)三個(gè)要求,得出從C點(diǎn)入射的電子應(yīng)該從C點(diǎn)開始做圓周運(yùn)動(dòng),到達(dá)A點(diǎn)時(shí)離開磁場(chǎng),恰做四分之一圓周的圓周運(yùn)動(dòng).從而下面的情況更推理不出.錯(cuò)解二：能分析出第一問,但在第二問中,因?qū)��?shù)學(xué)能力要求較高.許多學(xué)生不能得出完整準(zhǔn)確的結(jié)論,造成失分.這是一個(gè)對(duì)推理能力和運(yùn)算能力要求很高的題,只有對(duì)洛倫茲力作用下電子運(yùn)動(dòng)的規(guī)律把握準(zhǔn)確,有較高的運(yùn)算與推理能力,才可能把這個(gè)題做好.特別是對(duì)“從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)”這一條件,如果僅理解為從A點(diǎn)離開正方形區(qū)域,這個(gè)題就很難向下思考了.正確答案(1)由圓周運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)可知,從C點(diǎn)入射的電子,只有立即進(jìn)入磁場(chǎng),才能由A點(diǎn)離開磁場(chǎng).

設(shè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B.令圓弧

是自C點(diǎn)垂直于BC入射的電子

①

的圓心在CB邊

在磁場(chǎng)中的運(yùn)行軌道.電子所受到的磁場(chǎng)的作用力F洛=ev0B

應(yīng)指向圓弧的圓心,因而磁場(chǎng)的方向應(yīng)垂直于紙面向外.圓弧

或其延長(zhǎng)線上.依題意,圓心在A、C連線的中垂線上,故B點(diǎn)即為圓心,圓半徑為a按照牛頓v0定律有F洛=F向=ma②聯(lián)立①②式得B=

2mv0ea(2)由(1)中決定的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大小,可知自

C點(diǎn)垂直于BC入射電子在A點(diǎn)沿DA方向射出,且自BC邊上其它點(diǎn)垂直于入射的電子的運(yùn)動(dòng)軌道只能在BAEC區(qū)域中.因而,圓弧AEC是所求的最小磁場(chǎng)區(qū)域的一個(gè)邊界.

為了決定該磁場(chǎng)區(qū)域的另一邊界,我們來考察射中A點(diǎn)的電子的速度方向與BA的延長(zhǎng)線交

π角為θ(不妨設(shè)0≤θ≤2)的情形.該電子的運(yùn)動(dòng)軌跡qpA如圖所示.

的圓心為O,pq垂直于BC邊,由③式知,圓弧

圖中,圓

的半徑仍為a,在D為原點(diǎn)、DC為x

軸,AD為y軸的坐標(biāo)系中,P點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)為x=asinθ④y=-aco⑤

π這意味著,在范圍0≤θ≤2內(nèi),p點(diǎn)形成以D為圓心、a為半徑的四分之一圓周

,

它是電子做直線運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的分界線,構(gòu)成所求磁場(chǎng)區(qū)域的另一邊界.

因此,所求的最小勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域是分別以B和D為圓心、a為半徑的兩個(gè)四分之一圓周

和

所圍成的,其面積為S=2（πa2.a2）

舉一反三在考場(chǎng)上有限的時(shí)間內(nèi),很難對(duì)這個(gè)題進(jìn)行完整的推理.有時(shí)候可以根據(jù)題目的情景和需要大膽的去做,不要因理由講不完整,雖明知該這樣做也不愿動(dòng)筆.考試不是做研究,不一定每一步都把理由說得很清楚.處理這類題,一定要把隱含條件挖掘完整,有時(shí)一個(gè)條件讀不準(zhǔn),就會(huì)全盤皆輸.比如從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)很容易理解成射出正方形區(qū)域,因?yàn)轭}目中首先給了個(gè)正方形區(qū)域,A又是一個(gè)頂點(diǎn).如果因此而認(rèn)識(shí)不到A點(diǎn)也是磁場(chǎng)邊界,就找不到問題的切入點(diǎn)了.

1412π22a

擴(kuò)展閱讀：第三章磁場(chǎng)章末總結(jié)和檢測(cè)

章末總結(jié)

要點(diǎn)一通電導(dǎo)線在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)及受力

1．直線電流元分析法：把整段電流分成很多小段直線電流，其中每一小段就是一個(gè)電流元，先用左手定則判斷出每小段電流元受到的安培力的方向，再判斷整段電流所受安培力的方向，從而確定導(dǎo)體的運(yùn)動(dòng)方向．

2．特殊位置分析法，根據(jù)通電導(dǎo)體在特殊位置所受安培力方向，判斷其運(yùn)動(dòng)方向，然后推廣到一般位置．

3．等效分析法：環(huán)形電流可等效為小磁針，條形磁鐵或小磁針也可等效為環(huán)形電流，通電螺線管可等效為多個(gè)環(huán)形電流或條形磁鐵．

4．利用結(jié)論法：(1)兩電流相互平行時(shí)，無轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)；電流同向?qū)Ь�相互吸引，電流反向?qū)Ь�相互排斥；(2)兩電流不平行時(shí)，導(dǎo)線有轉(zhuǎn)動(dòng)到相互平行且電流同向的趨勢(shì)．

要點(diǎn)二帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)指在局部空間存在著勻強(qiáng)磁場(chǎng)，帶電粒子從磁場(chǎng)區(qū)域外垂直磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng)區(qū)域，在磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)經(jīng)歷一段勻速圓周運(yùn)動(dòng)，也就是通過一段圓弧后離開磁場(chǎng)區(qū)域．由于運(yùn)動(dòng)的帶電粒子垂直磁場(chǎng)方向，從磁場(chǎng)邊界進(jìn)入磁場(chǎng)的方向不同，或磁場(chǎng)區(qū)域邊界不同，造成它在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓弧軌道各不相同．如下面幾種常見情景：

圖3－1

解決這一類問題時(shí)，找到粒子在磁場(chǎng)中一段圓弧運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的圓心位置、半徑大小以及與半徑相關(guān)的幾何關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

1．三個(gè)(圓心、半徑、時(shí)間)關(guān)鍵確定

研究帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，�？紤]的幾個(gè)問題：(1)圓心的確定

已知帶電粒子在圓周中兩點(diǎn)的速度方向時(shí)(一般是射入點(diǎn)和射出點(diǎn))，沿洛倫茲力方向畫出兩條速度的垂線，這兩條垂線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為圓心．(弦的垂直平分線過圓心也常用到)

(2)半徑的確定

一般應(yīng)用幾何知識(shí)來確定．

θφ

(3)運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t＝T＝T(θ、φ為圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角)，另外也可用弧長(zhǎng)Δl與速率的

360°2π

比值來表示，即t＝Δl/v.

圖3－2

(4)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的角度關(guān)系：

粒子的速度偏向角(φ)等于圓心角(α)，并等于AB弦與切線的夾角(弦切角θ)的2倍，即φ＝α＝2θ＝ωt；相對(duì)的弦切角(θ)相等，與相鄰的弦切角(θ′)互補(bǔ)，即θ′＋θ＝180°.如圖3－2所示．

2．兩類典型問題

(1)極值問題：常借助半徑R和速度v(或磁場(chǎng)B)之間的約束關(guān)系進(jìn)行動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)軌跡分析，確定軌跡圓和邊界的關(guān)系，找出臨界點(diǎn)，然后利用數(shù)學(xué)方法求解極值．

注意①剛好穿出磁場(chǎng)邊界的條件是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切．

②當(dāng)速度v一定時(shí)，弧長(zhǎng)(或弦長(zhǎng))越長(zhǎng)，圓周角越大，則帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng)．

③當(dāng)速率v變化時(shí)，圓周角大的，運(yùn)動(dòng)時(shí)間長(zhǎng)．

(2)多解問題：多解形成的原因一般包含以下幾個(gè)方面：

①粒子電性不確定；②磁場(chǎng)方向不確定；③臨界狀態(tài)不唯一；④粒子運(yùn)動(dòng)的往復(fù)性等．關(guān)鍵點(diǎn)：①審題要細(xì)心．②重視粒子運(yùn)動(dòng)的情景分析．要點(diǎn)三帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)復(fù)合場(chǎng)是指電場(chǎng)、磁場(chǎng)和重力場(chǎng)并存，或其中某兩場(chǎng)并存，或分區(qū)域存在的某一空間．粒子經(jīng)過該空間時(shí)可能受到的力有重力、靜電力和洛倫茲力．處理帶電粒子(帶電體)在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問題的方法：

1．正確分析帶電粒子(帶電體)的受力特征．帶電粒子(帶電體)在復(fù)合場(chǎng)中做什么運(yùn)動(dòng)，取決于帶電粒子(帶電體)所受的合外力及其初始速度．帶電粒子(帶電體)在磁場(chǎng)中所受的洛倫茲力還會(huì)隨速度的變化而變化，而洛倫茲力的變化可能會(huì)引起帶電粒子(帶電體)所受的其他力的變化，因此應(yīng)把帶電粒子(帶電體)的運(yùn)動(dòng)情況和受力情況結(jié)合起來分析，注意分析帶電粒子(帶電體)的受力和運(yùn)動(dòng)的相互關(guān)系，通過正確的受力分析和運(yùn)動(dòng)情況分析，明確帶電粒子(帶電體)的運(yùn)動(dòng)過程和運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)規(guī)律解決問題．

2．靈活選用力學(xué)規(guī)律

(1)當(dāng)帶電粒子(帶電體)在復(fù)合場(chǎng)中做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，就根據(jù)平衡條件列方程求解．

(2)當(dāng)帶電粒子(帶電體)在復(fù)合場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，往往同時(shí)應(yīng)用牛頓第二定律和平衡條件列方程求解．

(3)當(dāng)帶電粒子(帶電體)在復(fù)合場(chǎng)中做非勻變速曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，常選用動(dòng)能定理或能量守恒定律列方程求解．

(4)由于帶電粒子(帶電體)在復(fù)合場(chǎng)中受力情況復(fù)雜，運(yùn)動(dòng)情況多變，往往出現(xiàn)臨界問題，這時(shí)應(yīng)以題目中的“恰好”、“最大”、“最高”、“至少”等詞語為突破口，挖掘隱含條件，根據(jù)隱含條件列出輔助方程，再與其他方程聯(lián)立求解．

(5)若勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)是分開的獨(dú)立的區(qū)域，則帶電粒子在其中運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別遵守在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)規(guī)律，處理這類問題的時(shí)候要注意分階段求解.

一、通電導(dǎo)線在磁場(chǎng)中的受力問題【例1】豎直放置的直導(dǎo)線

圖3－3

AB與導(dǎo)電圓環(huán)的平面垂直且隔有一小段距離，直導(dǎo)線固定，圓環(huán)可以自由運(yùn)動(dòng)，當(dāng)通以如圖3－3所示方向的電流時(shí)(同時(shí)通電)，從左向右看，線圈將()

A．順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)靠近直導(dǎo)線ABB．順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)離開直導(dǎo)線ABC．逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)靠近直導(dǎo)線ABD．不動(dòng)答案C

解析圓環(huán)處在通電直導(dǎo)線的磁場(chǎng)中，由右手螺旋定則判斷出通電直導(dǎo)線右側(cè)磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，由左手定則判定，水平放置的圓環(huán)外側(cè)半圓所受安培力向上，內(nèi)側(cè)半圓所受安培力方向向下，從左向右看逆時(shí)針轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)到與直導(dǎo)線在同一平面內(nèi)時(shí)，由于靠近導(dǎo)線一側(cè)的半圓環(huán)電流向上，方向與直導(dǎo)線中電流方向相同，互相吸引，直導(dǎo)線與另一側(cè)半圓環(huán)電流反向，相互排斥，但靠近導(dǎo)線的半圓環(huán)處磁感應(yīng)強(qiáng)度B值較大，故F引>F斥，對(duì)圓環(huán)來說合力向左．

二、帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)【例2】如圖3－4所示，

圖3－4

在半徑為R的半圓形區(qū)域中有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的方向垂直于紙面，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.一質(zhì)量為m，帶電荷量為q的粒子以一定的速度沿垂直于半圓直徑AD方向經(jīng)P點(diǎn)(AP＝d)

射入磁場(chǎng)(不計(jì)重力影響)．

(1)如果粒子恰好從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)，求入射粒子的速度．

(2)如果粒子經(jīng)紙面內(nèi)Q點(diǎn)從磁場(chǎng)中射出，出射方向與半圓在Q點(diǎn)切線的夾角為φ(如圖所示)，求入射粒子的速度．

qBd(2R－d)qBd

答案(1)(2)2m2m[R(1＋cosφ)－d]

解析(1)由于粒子由P點(diǎn)垂直射入磁場(chǎng)，故圓弧軌跡的圓心在AP上，又由粒子從A點(diǎn)射出，故可知AP是圓軌跡的直徑．

v21

設(shè)入射粒子的速度為v1，由洛倫茲力的表達(dá)式和牛頓第二定律得m＝qv1B，解得v1

d/2

qBd＝.2m

(2)如下圖所示，設(shè)O′是粒子在磁場(chǎng)中圓弧軌跡的圓心．連接O′Q，設(shè)O′Q＝R′.

由幾何關(guān)系得∠OQO′=φOO′=R′+R-d①

由余弦定理得(OO′)2＝R2＋R′2－2RR′cosφ②

d(2R－d)

聯(lián)立①②式得R′＝③

2[R(1＋cosφ)－d]

v2

設(shè)入射粒子的速度為v，由m＝qvB

R′

qBd(2R－d)

解出v＝2m[R(1＋cosφ)－d]

三、復(fù)合場(chǎng)(電場(chǎng)磁場(chǎng)不同時(shí)存在)

【例3】在空間存在一個(gè)變化的勻強(qiáng)電場(chǎng)和另一個(gè)變化的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)的方向水平向右(如圖3－5中由點(diǎn)B到點(diǎn)C)，場(chǎng)強(qiáng)變化規(guī)律如圖甲所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度變化規(guī)律如圖乙所示，方向垂直于紙面．從t＝1s開始，在A點(diǎn)每隔2s有一個(gè)相同的帶電粒子(重力不計(jì))沿AB方向(垂直于BC)以速度v0射出，恰好能擊中C點(diǎn)，若AB＝BC＝l，且粒子在點(diǎn)A、C間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間小于1s，求：

圖3－5

(1)磁場(chǎng)方向(簡(jiǎn)述判斷理由)．(2)E0和B0的比值．

(3)t＝1s射出的粒子和t＝3s射出的粒子由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間t1和t2之比．答案(1)垂直紙面向外(理由見解析)(2)2v0∶1(3)2∶π

解析(1)由圖可知，電場(chǎng)與磁場(chǎng)是交替存在的，即同一時(shí)刻不可能同時(shí)既有電場(chǎng)，又有磁場(chǎng)．據(jù)題意對(duì)于同一粒子，從點(diǎn)A到點(diǎn)C，它只受靜電力或磁場(chǎng)力中的一種，粒子能在靜電力作用下從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，說明受向右的靜電力，又因場(chǎng)強(qiáng)方向也向右，故粒子帶正電．因?yàn)榱Ｗ幽茉诖艌?chǎng)力作用下由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，說明它受到向右的磁場(chǎng)力，又因其帶正電，根據(jù)左手定則可判斷出磁場(chǎng)方向垂直于紙面向外．

(2)粒子只在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，它在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．因?yàn)锳B＝BC＝l，則

mv2mv00運(yùn)動(dòng)半徑R＝l.由牛頓第二定律知：qv0B0＝，則B0＝Rql

粒子只在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，它做類平拋運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)A到點(diǎn)B方向上，有l(wèi)＝v0tqE01

在點(diǎn)B到點(diǎn)C方向上，有a＝，l＝at2

m2

22mv0E02v0

解得E0＝，則＝qlB01

l

(3)t＝1s射出的粒子僅受到靜電力作用，則粒子由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間t1＝，v0

22mv02mv0

因E0＝，則t1＝，t＝3s射出的粒子僅受到磁場(chǎng)力作用，則粒子由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)

qlqE0

12πmπm

所經(jīng)歷的時(shí)間t2＝T，因?yàn)門＝，所以t2＝；故t1∶t2＝2∶π.

4qB02qB0

章末檢測(cè)

一、選擇題

1.

圖1

一束粒子沿水平方向平行飛過小磁針上方，如圖1所示，此時(shí)小磁針S極向紙內(nèi)偏轉(zhuǎn)，這一束粒子可能是()

A．向右飛行的正離子束B．向左飛行的正離子束C．向右飛行的負(fù)離子束D．向左飛行的負(fù)離子束答案BC

解析小磁針N極的指向即是磁針?biāo)�在處的磁�?chǎng)方向．題中磁針S極向紙內(nèi)偏轉(zhuǎn)，說明離子束下方的磁場(chǎng)方向由紙內(nèi)指向紙外．由安培定則可判定離子束的定向運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的電流方向由右向左，故若為正離子，則應(yīng)是由右向左運(yùn)動(dòng)，若為負(fù)離子，則應(yīng)是由左向右運(yùn)動(dòng)，答案是B、C.

2．當(dāng)帶電粒子垂直進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)或勻強(qiáng)磁場(chǎng)中時(shí)，稱這種電場(chǎng)為偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，這種磁場(chǎng)為偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)，下列說法正確的是()

A．要想把速度不同的同種帶電粒子分開，既可采用偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，也可采用偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)B．要想把動(dòng)能相同的質(zhì)子和α粒子分開，只能采用偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)

C．要想把由靜止開始經(jīng)同一電場(chǎng)加速的質(zhì)子和α粒子分開，既可采用偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，也可采用偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)

D．要想把初速度相同、比荷不同的粒子分開，既可采用偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，也可采用偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)答案ABD3.

圖2

電動(dòng)機(jī)通電之后電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)子就轉(zhuǎn)動(dòng)起來，其實(shí)質(zhì)是因?yàn)殡妱?dòng)機(jī)內(nèi)線圈通電之后在磁場(chǎng)中受到了安培力的作用，如圖2所示為電動(dòng)機(jī)內(nèi)的矩形線圈，其只能繞Ox軸轉(zhuǎn)動(dòng)，線圈的四個(gè)邊分別與x、y軸平行，線圈中電流方向如圖所示，當(dāng)空間加上如下所述的哪種磁場(chǎng)時(shí)，線圈會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)起來()

A．方向沿x軸的恒定磁場(chǎng)B．方向沿y軸的恒定磁場(chǎng)C．方向沿z軸的恒定磁場(chǎng)D．方向沿z軸的變化磁場(chǎng)答案B4.

圖3

兩帶電油滴在豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)E和垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B正交的空間做豎直平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖3所示．則兩油滴一定相同的是()

①帶電性質(zhì)②運(yùn)動(dòng)周期③運(yùn)動(dòng)半徑④運(yùn)動(dòng)速率

A．①②B．①④C．②③④D．①③④答案A

mvmE

解析根據(jù)mg＝qE，所以靜電力方向必須向上；根據(jù)r＝，而根據(jù)①式，＝，所

qBqg

m2πm以只要為常數(shù)即可，但v不一定相等，所以③④錯(cuò)誤．根據(jù)T＝，可得運(yùn)動(dòng)周期相同，

qqB

②對(duì)．

5．如圖4所示，一質(zhì)量為m，電荷量為q的帶正電絕緣體物塊位于高度略大于物塊高的水平寬敞絕緣隧道中，物塊上、下表面與隧道上、下表面的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，整個(gè)空間中存在垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)，現(xiàn)給物塊水平向右的初速度v0，空氣阻力忽略不計(jì)，物塊電荷量不變，隧道足夠長(zhǎng)，則整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，物塊克服阻力做功可能是()

圖12m3g2

A．0B.mv0－22

22qB32

1mg12C.mv2D.－mv202q2B220答案ABC

解析物塊進(jìn)入磁場(chǎng)后的受力情況有三種可能情況：第一種，洛倫茲力和重力是一對(duì)平

mg

衡力，即Bqv0＝mg，滿足該情況的v0＝，沒有摩擦力，所以克服摩擦力做功為零；第二Bq

mgmg

種情況，v0>，擠壓上表面，要克服摩擦力做功，當(dāng)速度減小為v＝后，摩擦力消失，

BqBq

32

11212mgmg

故克服摩擦力做功W＝mv2，擠壓下表面，要克22；第三種情況，v0圖7

在一水平放置的平板MN的上方有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里．許多質(zhì)量為m帶電荷量為＋q的粒子，以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個(gè)方向，由小孔O射入磁場(chǎng)區(qū)域．不計(jì)重力，不計(jì)粒子間的相互影響．下列圖中陰影部分表示帶電粒

mv

子可能經(jīng)過的區(qū)域，其中R＝.正確的圖是()

qB

答案A

解析當(dāng)帶電粒子豎直向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以在磁場(chǎng)中完成向左的半圓的運(yùn)動(dòng)軌跡．而要形成向右的半圓的運(yùn)動(dòng)軌跡，由左手定則可判定該軌跡無法實(shí)現(xiàn)，所以A選項(xiàng)正確．

二、計(jì)算論述題9．如圖8所示，

圖8

在y>0的空間中存在勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)沿y軸負(fù)方向；在ymv20

由上列三式解得：E＝2qh

(2)粒子到達(dá)P2時(shí)速度沿x方向速度分量為v0，以v1為速度沿y方向速度分量的大小，v表示速度的大小，θ為速度與x軸的夾角，則有：

v122v21＝2ah，v＝v1＋v0，tanθ＝v0由上圖可得：θ＝45°知v1＝v0

由以上各式解得：v＝2v0

(3)設(shè)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，在洛倫茲力作用下粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律

mv2

可得：qvB＝

r是圓周的半徑，與x軸、y軸的交點(diǎn)為P2、P3，因?yàn)镺P2＝OP3，θ＝45°，由幾何關(guān)系可知，連線P2P3為圓周的直徑，由幾何關(guān)系可求得：r＝2h

mv0

最后解得：B＝

qh

10．如圖9所示，

圖9

abcd是一個(gè)邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形，它是磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)橫截面的邊界線．一帶電粒子從ad邊的中點(diǎn)O與ad邊成θ＝30°角且垂直于磁場(chǎng)方向射入．若該帶電粒子所帶電荷量為q、質(zhì)量為m(重力不計(jì))，則該帶電粒子在磁場(chǎng)中飛行時(shí)間最長(zhǎng)是多少？若要帶電粒子飛行時(shí)間最長(zhǎng)，帶電粒子的速度必須符合什么條件？

5πmqBL答案v≤

3qB3m

解析從題設(shè)的條件中，可知帶電粒子在磁場(chǎng)中只受洛倫茲力作用，它做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，粒子帶正電，由左手定則可知它將向ab方向偏轉(zhuǎn)，帶電粒子可能的軌道如下圖所示(磁場(chǎng)方向沒有畫出)，這些軌道的圓心均在與v方向垂直的OM上．帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，洛倫茲

mv2mv

力提供向心力，有qvB＝，r＝①

rqB2πr2πm

運(yùn)動(dòng)的周期為T＝v＝②

qB

由于帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期與半徑和速率均沒有關(guān)系，這說明了它在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間僅與軌跡所對(duì)的圓心角大小有關(guān)．由圖可以發(fā)現(xiàn)帶電粒子從入射邊進(jìn)入，又從入射邊飛出，其軌跡所對(duì)的圓心角最大，那么，帶電粒子從ad邊飛出的軌跡中，與ab相切的軌跡的半徑也就是它所有可能軌跡半徑中的臨界半徑r0：r＞r0，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間是變化的，r≤r0，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是相同的，也是在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的．由上圖可知，三角形

π

O2EF和三角形O2OE均為正三角形，所以有∠OO2E＝.3

π5π

軌跡所對(duì)的圓心角為α＝2π－＝Tα5πm

運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝＝2π3qB

由圖還可以得到

r0LLmvr0＋＝，r0＝≥223qBqBL得v≤3m

5πmqBL

帶電粒子在磁場(chǎng)中飛行時(shí)間最長(zhǎng)是；帶電粒子的速度應(yīng)符合條件v≤.

3qB3m

11．飛行時(shí)間質(zhì)譜儀可通過測(cè)量離子飛行時(shí)間得到離子的比荷q/m.如圖10所示，帶正電的離子經(jīng)電壓為U的電場(chǎng)加速后進(jìn)入長(zhǎng)度為L(zhǎng)的真空管AB，可測(cè)得離子飛越AB所用時(shí)間t1.改進(jìn)以上方法，如圖，讓離子飛越AB后進(jìn)入電場(chǎng)為E(方向如圖11)的勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域BC，在電場(chǎng)的作用下離子返回B端，此時(shí)，測(cè)得離子從A出發(fā)后飛行的總時(shí)間t2.(不計(jì)離子重力)

圖10

圖11

(1)忽略離子源中離子的初速度，①用t1計(jì)算比荷；②用t2計(jì)算比荷．(2)離子源中相同比荷離子的初速度不盡相同，設(shè)兩個(gè)比荷都為q/m的離子在A端的速度分別為v和v′(v≠v′)，在改進(jìn)后的方法中，它們飛行的總時(shí)間通常不同，存在時(shí)間差Δt.可通過調(diào)節(jié)電場(chǎng)E使Δt＝0，求此時(shí)E的大�。�

L2L22U21

答案(1)①2②(＋)22Ut1Et22U

2mvv′(2)

qL1

解析(1)①設(shè)離子帶電荷量為q，質(zhì)量為m，經(jīng)電場(chǎng)加速后的速度為v，則qU＝mv2①

2

離子飛越真空管AB做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則L＝vt1②

由①②兩式得離子比荷qL2＝③m2Ut21

②離子在勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域BC中做往返運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度為a，則qE＝ma④

L2vt2＝v＋⑤

a

由①④⑤式得離子比荷

22U21qL＋＝2Em2Ut2

(2)兩離子初速度分別為v、v′，則L2vt＝v＋

qEm

L2v′t′＝＋v′qE

mL2m

Δt＝t－t′＝vv′－qE(v′－v)

L2m

要使Δt＝0，則須－＝0

vv′qE

2mvv′

所以E＝qL

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