高中數(shù)學(xué)必修一至必修五知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高中數(shù)學(xué)常用公式及結(jié)論大全(新課標(biāo))

必修1

1、集合的含義與表示

集合的三大特性：確定性、互異性、無序性。集合的表示有列舉法、描述法。

描述法格式為：{元素|元素的特征}，例如{x|x5,且xN}2、常用數(shù)集及其表示方法

（1）自然數(shù)集N（又稱非負(fù)整數(shù)集）：0、1、2、3、

（2）正整數(shù)集N*

或N+：1、2、3、（3）整數(shù)集Z：（4）有理數(shù)集Q：包含分?jǐn)?shù)、整數(shù)、有限小數(shù)等（5）實(shí)數(shù)集R：全體實(shí)數(shù)的集合（6）空集Ф：不含任何元素的集合3、元素與集合的關(guān)系：屬于∈，不屬于4、集合與集合的關(guān)系：子集、真子集、相等

5、重要結(jié)論（1）傳遞性：若AB，BC，則AC

（2）Ф是任何集合的子集，是任意非空集合的真子集.

6、含有n個(gè)元素的集合,它的子集個(gè)數(shù)共有2n個(gè)；真子集有2n1個(gè)；非空子集有2n1個(gè)(即不計(jì)空集)；非空的真子集有2n2個(gè).7、集合的運(yùn)算：交集、并集、補(bǔ)集．

（1）A∩B=｛x|x∈A，且x∈B｝．（2）A∪B=｛x|x∈A，或x∈B｝．(3)CUAx|xU,且xA注：討論集合的情況時(shí)，不要發(fā)遺忘了A的情況。

8、函數(shù)概念

9、分段函數(shù)：在定義域的不同部分，有不同的對(duì)應(yīng)法則的函數(shù)。如y2x1x0x23x010、求函數(shù)的定義域的原則：（解決任何函數(shù)問題，必須要考慮其定義域）

①分式的分母不為零；如:y1x1,則x10②偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零；如:y5x,則5x0③對(duì)數(shù)的底數(shù)大于０且不等于１；如:yloga(x2),則a0且a1

④對(duì)數(shù)的真數(shù)大于０；如:yloga(x2),則x20

⑤指數(shù)為０的底不能為零；如:y(m1)x,則m1011、函數(shù)的奇偶性（在整個(gè)定義域內(nèi)考慮）

（1）奇函數(shù)滿足f(x)f(x)，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；（2）偶函數(shù)滿足f(x)f(x)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

注：①具有奇偶性的函數(shù),其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;②若奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義,則f(0)0

③根據(jù)奇偶性可將函數(shù)分為四類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)。

12、函數(shù)的單調(diào)性（在定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)考慮）

當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，則f(x)在該區(qū)間上是增函數(shù)，圖象從左到右上升；當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，則f(x)在該區(qū)間上是減函數(shù)，圖象從左到右下降。

函數(shù)f(x)在某區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說f(x)在該區(qū)間具有單調(diào)性，該區(qū)間叫做單調(diào)（增/減）區(qū)間

13、一元二次方程ax2bxc0(a0)

（1）求根公式:xbb24ac21,22a（2）判別式：b4ac

（3）0時(shí)方程有兩個(gè)不等實(shí)根；0時(shí)方程有一個(gè)實(shí)根；0時(shí)方程無實(shí)根。

（4）根與系數(shù)的關(guān)系韋達(dá)定理:xxbc12a，x1x2a

14、二次函數(shù)：一般式y(tǒng)ax2bxc(a0)；兩根式y(tǒng)a(xx1)(xx2)(a0)

（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為(b4acb2by2a,4a)；

（2）對(duì)稱軸方程為：x=2a；x0（3）當(dāng)a0時(shí)，圖象是開口向上的拋物線，在x=b4acb22a處取得最小值4a

當(dāng)a0時(shí)，圖象是開口向下的拋物線，在x=b4acb22a處取得最大值4a

（4）二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)和判別式的關(guān)系：

0時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)；0時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)（即頂點(diǎn)）；0時(shí)，無交點(diǎn)。15、函數(shù)的零點(diǎn)

使f(x)0的實(shí)數(shù)x20叫做函數(shù)的零點(diǎn)。例如x01是函數(shù)f(x)x1的一個(gè)零點(diǎn)。注：函數(shù)yfx有零點(diǎn)函數(shù)yfx的圖象與x軸有交點(diǎn)方程fx0有實(shí)根16、函數(shù)零點(diǎn)的判定：

如果函數(shù)yfx在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0。那么，函數(shù)yfx在區(qū)間a,b內(nèi)有零點(diǎn)，即存在ca,b,使得fc0。

17、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪（a0,m,nN，且n1）m3（1）annam.如x3x2；(2)amn1132mn.如

1；（3）(na)na；

anamx3x（4）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，nana；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，nan|a|a,a0a,a0.

1

18、有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（a0,r,sQ）（1）arasars；（2）(ar)sars；（3）(ab)rarbr

19、指數(shù)函數(shù)yax（a0且a1），其中x是自變量，a叫做底數(shù)，定義域是Ra10a1yy圖象1x10x（1）定義域：R0性（2）值域：（0，+∞）質(zhì)（3）過定點(diǎn)（0，1），即x=0時(shí)，y=1

（4）在R上是增函數(shù)（4）在R上是減函數(shù)20、若abN，則

叫做以

為底N的對(duì)數(shù)。記作：logaNb（a0,a1，N0）其中，a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做對(duì)數(shù)的真數(shù)。

注：指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化公式：logaNbabN(a0,a1,N0)

21、對(duì)數(shù)的性質(zhì)

（1）零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)，即logaN中N0；

（2）1的對(duì)數(shù)等于0，即loga10；底數(shù)的對(duì)數(shù)等于1，即logaa122、常用對(duì)數(shù)lgN：以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，記為：log10NlgN

自然對(duì)數(shù)lnN：以e(e=2.71828)為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，記為：logeNlnN23、對(duì)數(shù)恒等式：alogaNN

24、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）

(1)loga(MN)logMaMlogaN;(2)logaNlogaMlogaN;(3)lognaMnlogaM(nR)（注意公式的逆用）25、對(duì)數(shù)的換底公式logmNaNloglog(a0,且a1,m0,且m1,N0).

ma推論①

或log1nnablog；②logamblogab.

bam

26、對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax（a0，且a1）：其中，x是自變量，a叫做底數(shù)，定義域是(0,)

a10a1y圖像x01x01定義域：(0,∞)性質(zhì)值域：R過定點(diǎn)（1，0）增函數(shù)減函數(shù)取值范圍0③如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且僅有一條過該點(diǎn)的公共直線。④平行于同一直線的兩條直線平行（平行的傳遞性）。33、等角定理：

空間中如果兩個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)(如圖)12334、兩條直線的位置關(guān)系：平行：（在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)）共面直線（在同一平面內(nèi)，有一個(gè)公共點(diǎn)）異面直線　　相交：

：（不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，沒有公共點(diǎn)）直線與平面的位置關(guān)系：

（1）直線在平面上；（2）直線在平面外（包括直線與平面平行，直線與平面相交）兩個(gè)平面的位置關(guān)系：（1）兩個(gè)平面平行；（2）兩個(gè)平面相交35、直線與平面平行：

定義一條直線與一個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，則這條直線與這個(gè)平面平行。判定平面外一條直線與此平面內(nèi)的一直線平行，則該直線與此平面平行。

性質(zhì)一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。36、平面與平面平行：

定義兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，則這兩平面平行。

判定若一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。性質(zhì)①如果兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)面內(nèi)的任一直線與另一個(gè)平面平行。②如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們交線平行。37、直線與平面垂直：

定義如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的任一直線都垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直。

判定一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩相交直線垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直。性質(zhì)①垂直于同一平面的兩條直線平行。

②兩平行直線中的一條與一個(gè)平面垂直，則另一條也與這個(gè)平面垂直。38、平面與平面垂直：

定義兩個(gè)平行相交，如果它們所成的二面角是直二面角，則這兩個(gè)平面垂直。判定一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。

性質(zhì)兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。

39、三角形的五“心”

（1）O為ABC的外心（各邊垂直平分線的交點(diǎn)）.外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等（2）O為ABC的重心（各邊中線的交點(diǎn)）.重心將中線分成2：1的兩段（3）O為ABC的垂心（各邊高的交點(diǎn)）.

（4）O為ABC的內(nèi)心（各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)）.內(nèi)心到三邊的距離相等40、直線的斜率：

(1)過Ax1,y1,Bx2,y2y12兩點(diǎn)的直線，斜率kyx，（x1x2）

2x1（2）已知傾斜角為的直線，斜率ktan（900)41、直線位置關(guān)系：已知兩直線l1:yk1xb1,l2:yk2xb2，則

l1//l2k1k2且b1b2　　　　l1l2k1k21

特殊情況：（1）當(dāng)k1,k2都不存在時(shí)，l1//l2；（2）當(dāng)k1不存在而k20時(shí)，l1l242、直線的五種方程：①點(diǎn)斜式y(tǒng)y1k(xx1)(直線l過點(diǎn)(x1,y1)，斜率為k)．②斜截式y(tǒng)kxb(直線l在y軸上的截距為b，斜率為k).③兩點(diǎn)式y(tǒng)y1xx1yx(直線過兩點(diǎn)(x1,y1)與(x2,y2)).2y12x1④截距式

xayb1（a,b分別是直線在x軸和y軸上的截距，均不為0）

⑤一般式AxByC0(其中A、B不同時(shí)為0)；可化為斜截式：yABxCB43、（1）平面上兩點(diǎn)A(x,y221,y1),B(x22)間的距離公式：|AB|=(x1x2)(y1y2)（2）空間兩點(diǎn)A(x(x2221,y1,z1),B2,y2,z2)距離公式|AB|=(x1x2)(y1y2)(z1z2)

（3）點(diǎn)到直線的距離d|Ax0By0C|A2B2(點(diǎn)P(x0,y0)，直線l：AxByC0).

44、兩條平行直線AxByC10與AxByC20間的距離公式：dC1C2A2B2

注：求直線AxByC0的平行線，可設(shè)平行線為AxBym0，求出m即得。45、求兩相交直線A1xB1yC10與A2xB2yC20的交點(diǎn)：解方程組AxB1yC10A12xB2yC20

46、圓的方程：

①圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2.其中圓心為(a,b)，半徑為r②圓的一般方程x2y2DxEyF0.

其中圓心為(D2,ED2E24F222)，半徑為r2，其中DE4F＞0

47、直線AxByC0與圓的(xa)2(yb)2r2位置關(guān)系

（1）dr相離0;

（2）dr相切0;其中d是圓心到直線的距離，且

dAaBbC（3）dr相交0.

A2B23

48、直線與圓相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)，求弦AB長(zhǎng)度的公式：（1）|AB|2r2d2

（2）|AB|1k2(x21x2)4x1x2（結(jié)合韋達(dá)定理使用），其中k是直線的斜率

49、兩個(gè)圓的位置關(guān)系：設(shè)兩圓的圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，O1O2d1）dr1r2外離4條公切線;2）dr1r2外切3條公切線;3）r1r2dr1r2相交2條公切線;4）dr1r2內(nèi)切1條公切線;5）0dr1r2內(nèi)含無公切線

必修③公式表

50、三種抽樣方法的區(qū)別與聯(lián)系類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從總體中逐個(gè)抽取總體中個(gè)體數(shù)較少分層抽取過程將總體分成幾層各層抽樣可采用總體有差異明顯的幾部抽樣中每個(gè)個(gè)體進(jìn)行抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或分組成被抽取的概系統(tǒng)抽樣率相等將總體平均分成系統(tǒng)抽樣幾部分，按事先確在起始部分抽樣定的規(guī)則分別在各時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)總體中的個(gè)體較多部分抽取抽樣51、（1）頻率分布直方圖（注意其縱坐標(biāo)是“頻率/組距）

組數(shù)極差，頻率頻數(shù)，小矩形面積組距頻率頻率。組距樣本容量組距（2）數(shù)字特征

眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)。

中位數(shù)：一組數(shù)從小到大排列，最中間的那個(gè)數(shù)（若最中間有兩個(gè)數(shù)，則取其平均數(shù)）。平均數(shù)：x1nx1x2xn方差:s2=1n[(x22221x)(x2x)(x3x)(xnx)]

標(biāo)準(zhǔn)差：s1nxx2x2212xxnx

注：通過標(biāo)準(zhǔn)差或方差可以判斷一組數(shù)據(jù)的分散程度；其值越小，數(shù)據(jù)越集中；其值越大，數(shù)據(jù)越分散。ninxyxiy回歸直線方程：ybxa，其中bi1n，aybx，

x2inx2i1

注：回歸直線一定過樣本點(diǎn)中心（x,y）

52、事件的分類：

基本事件：一個(gè)事件如果不能再被分解為兩個(gè)或兩個(gè)以上事件，稱作基本事件。（1）必然事件：必然事件是每次試驗(yàn)都一定出現(xiàn)的事件。P（必然事件）=1

（2）不可能事件：任何一次試驗(yàn)都不可能出現(xiàn)的事件稱為不可能事件。P（不可能事件）=0（3）隨機(jī)事件：隨機(jī)試驗(yàn)的每一種結(jié)果或隨機(jī)現(xiàn)象的每一種表現(xiàn)稱作隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱為事件

53、在n次重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)為m，則事件A發(fā)生的頻率為m/n，當(dāng)n很大時(shí)，m總是在某個(gè)常數(shù)值附近擺動(dòng)，就把這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率。（概率范圍：0PA1）54、互斥事件概念：在一次隨機(jī)事件中，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，叫做互斥事件（如圖1）。如果事件A、B是互斥事件，則P（A+B）=P（A）+P（B）55、對(duì)立事件（如圖2）：指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)發(fā)生。AB圖1對(duì)立事件性質(zhì)：P（A）+P（A）=1，其中A表示事件A的對(duì)立事件。

56、古典概型是最簡(jiǎn)單的隨機(jī)試驗(yàn)?zāi)Ｐ停�古典概型有兩個(gè)特征：AB（1）基本事件個(gè)數(shù)是有限的；

（2）各基本事件的出現(xiàn)是等可能的，即它們發(fā)生的概率相同．

圖（2）

57、設(shè)一試驗(yàn)有n個(gè)等可能的基本事件，而事件A恰包含其中的m個(gè)基本事件，則事件A的概率P(A)公式為

PAA包含的基本事件的個(gè)數(shù)基本事件的總數(shù)=mn

運(yùn)用互斥事件的概率加法公式時(shí)，首先要判斷它們是否互斥，再由隨機(jī)事件的概率公式分別求它們的概

率，然后計(jì)算。在計(jì)算某些事件的概率較復(fù)雜時(shí)，可轉(zhuǎn)而先示對(duì)立事件的概率。58、幾何概型的概率公式：PA構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積)試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積)

必修④公式表

r59、終邊相同角構(gòu)成的集合：|2k,kZ

l)l

60、弧度計(jì)算公式：r

61、扇形面積公式：S12lr12r2(為弧度)62、三角函數(shù)的定義：已知Px,y是的終邊上除原點(diǎn)外的任一點(diǎn)P(x,y)r則siny，cosx，tany,其中r2x2)yrrxy2x63、三角函數(shù)值的符號(hào)++++

++sincostan

4

64、特殊角的三角函數(shù)值：0235643234632sin012332122212220-1cos132112220-2-232-2-10tan03313不存-1-3在-330不存在65、同角三角函數(shù)的關(guān)系：sin2cos21,tansincos

66、和角與差角公式：二倍角公式：

sin()sincoscossin;sin22sincos

cos()coscossinsin;cos2cos2sin212sin2

tan()tantan2cos211tantan.tan22tan1tan267、誘導(dǎo)公式記憶口訣：奇變偶不變,符號(hào)看象限；其中，奇偶是指2的個(gè)數(shù)

sin2ksinsinsinsinsinsinsincos2kcoscoscoscoscoscoscos

tan2ktantantantantantantansin(2)coscos(2)sinsin(2)coscos(2)sin

68、輔助角公式：asinbcos=a2b2sin()(輔助角所在象限與點(diǎn)(a,b)的象限相同,且

tanba).主要在求周期、單調(diào)性、最值時(shí)運(yùn)用。如y3sinxcosx2sin(x6)

69、半角公式(降冪公式)：sin21cos1cos22，cos22270、三角函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)（A0,0）

（1）最小正周期T2；振幅為A；頻率f1T；相位：x；初相：；值域：[A,A]；

對(duì)稱軸：由x2k解得x；對(duì)稱中心：由xk解得x組成的點(diǎn)(x,0)

（2）圖象平移：x左加右減、y上加下減。

例如：向左平移1個(gè)單位，解析式變?yōu)閥Asin[(x1)]向下平移3個(gè)單位，解析式變?yōu)閥Asin(x)3

（3）函數(shù)ytan(x)的最小正周期T.71、正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊與對(duì)應(yīng)角正弦的比相等。

asinAbsinBcsinC2R(R是三角形外接圓半徑)cosAb2c2a2a2b2c22bccosA,2bc,ca2cacosB,推論cosc2a272、余弦定理：bBb2222,c2a2b22abcosC.2caosCa2b2c2c2ab.73、三角形的面積公式：S11ABC2absinC2acsinB12bcsinA.74、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和性質(zhì)三角函數(shù)ysinxycosxytanxyyy11圖象xx-0x3-122-20-122-0222定義域(,)(,)(k2,k2)值域[-1，1][-1，1](,)最大值x22k，ymax1x2k，ymax1最小值x22k，ymin1x2k，ymin1周期22奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)在[22k,22k]在[2k,2k]在(2k,22k)單調(diào)性上是增函數(shù)上是增函數(shù)上都是增函數(shù)kZ在[22k,322k]在[2k,2k]上是減函數(shù)上是減函數(shù)76、向量的三角形法則：79、向量的平行平行四邊形法則：

a+bbabab-aba+ba-177、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算:設(shè)向量a=(x1,y1),向量b=(x2,y2)

（1）加法a+b=(x1x2,y1y2).（2）減法a-b=(x1x2,y1y2).（3）數(shù)乘a=(x1,y1)(x1,y1)

（4）數(shù)量積ab=|a||b|cosθ=x1x2y1y2，其中是這兩個(gè)向量的夾角

（5）已知兩點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則向量ABOBOA(x2x1,y2y1).

78、向量a=(x,y)的模：|a|=(a)22222aaxy，即|a|a

79、兩向量的夾角公式cosabx1x2y1y2abx2y22y2

11x2280、向量的平行與垂直（b0）

a||bb=λax1y2x2y10.記法：a=(x1,y1),b=(x2,y2)

abab=0x1x2y1y20.記法：a=(x1,y1),b=(x2,y2)

必修⑤公式表

81、數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系:

aS1，n1;n(數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為sna1a2aSn).nSn1，n2.82、等差、等比數(shù)列公式對(duì)比nN等差數(shù)列等比數(shù)列定義式aanan1danq(q0)n1通項(xiàng)公式及a1推廣公式anaa1n1mddana1qnnmnanamqnm中項(xiàng)公式若a,A,b成等差，則Aab若a,G,b成等比，則G22ab運(yùn)算性質(zhì)若mnpq2r，則若mnpq2r，則anamapaq2aranamapaqa2r前n項(xiàng)和公Sna1annna21q1,式Snnann112da11－qna11qanq1q，q1.一個(gè)性質(zhì)Sm,S2mSm,S3mS2m成等差數(shù)列Sm,S2mSm,S3mS2m成等比數(shù)列83、解不等式（1）、含有絕對(duì)值的不等式

當(dāng)a>0時(shí)，有xax2a2axa.[小于取中間]

xax2a2xa或xa.[大于取兩邊]

(2)、解一元二次不等式ax2bxc0,(a0)的步驟：

①求判別式b24ac000②求一元二次方程的解：兩相異實(shí)根一個(gè)實(shí)根沒有實(shí)根③畫二次函數(shù)yax2bxc的圖象

④結(jié)合圖象寫出解集

ax2bxc0解集xxxb2或xx1xx2aR

ax2bxc0解集xx1xx2

注：ax2bxc0(a0)解集為Rax2bxc0對(duì)xR恒成立0（3）分式不等式：先移項(xiàng)通分，化一邊為0，再將除變乘，化為整式不等式，求解。如解分式不等式

x1x1：先移項(xiàng)x1x10;通分(x1)xx0;再除變乘(2x1)x0，解出。

84、線性規(guī)劃：

直線AxByC0

（1）一條直線將平面分為三部分（如圖）：

AxByC0（2）不等式AxByC0表示直線AxByC0

AxByC0

某一側(cè)的平面區(qū)域，驗(yàn)證方法：取原點(diǎn)（0，0）代入不

等式，若不等式成立，則平面區(qū)域在原點(diǎn)所在的一側(cè)。假如直線恰好經(jīng)過原點(diǎn)，則取其它點(diǎn)來驗(yàn)證，例如取點(diǎn)（1，0）。

（3）線性規(guī)劃求最值問題：一般情況可以求出平面區(qū)域各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)z，最大的為最大值。

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必修1

第一章集合與函數(shù)概念

一、集合有關(guān)概念

1、集合的含義：某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，其中每一個(gè)對(duì)象叫元素。

2、集合的中元素的三個(gè)特性：

1.元素的確定性；2.元素的互異性；3.元素的無序性

說明：(1)對(duì)于一個(gè)給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個(gè)對(duì)象或者是或者不是這個(gè)給定的集合的元素。

(2)任何一個(gè)給定的集合中，任何兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象，相同的對(duì)象歸入一個(gè)集合時(shí)，僅算一個(gè)元素。

(3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個(gè)集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。

(4)集合元素的三個(gè)特性使集合本身具有了確定性和整體性。

3、集合的表示：{…}如{我校的籃球隊(duì)員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1.用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊(duì)員},B={1,2,3,4,5}2．集合的表示方法：列舉法與描述法。非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N

正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實(shí)數(shù)集R關(guān)于“屬于”的概念

集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集合A記作a∈A，相反，a不屬于集合A記作aA

列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個(gè)大括號(hào)括上。

描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對(duì)象是否屬于這個(gè)集合的方法。

①語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

②數(shù)學(xué)式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2}

4、集合的分類：（1）．有限集含有有限個(gè)元素的集合（2）．無限集含有無限個(gè)元素的集合

（3）．空集不含任何元素的集合例：{x|x25}

二、集合間的基本關(guān)系1.“包含”關(guān)系子集

注意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA2．“相等”關(guān)系(5≥5，且5≤5，則5=5)實(shí)例：設(shè)A={x|x10}B={-1,1}“元素相同”

結(jié)論：對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí),集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，即：A=B

-1-

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任何一個(gè)集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且BA那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)③如果AB,BC,那么AC④如果AB同時(shí)BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的運(yùn)算

1．交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．記作A∩B(讀作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩�合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：A∪B(讀作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．

3、交集與并集的性質(zhì)：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A,A∪φ=A,A∪B=B∪A.

4、全集與補(bǔ)集

（1）補(bǔ)集：設(shè)S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子集（即），由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集（或余集）

（2）全集：如果集合S含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素，這個(gè)集合就可以看作一個(gè)全集。通常用U來表示。

四、函數(shù)的有關(guān)概念

1．函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．

注意：如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)的集合；函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式．

定義域補(bǔ)充

能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指數(shù)為零底不可以等于零(6)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義.

(又注意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。)構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域注意：（1）構(gòu)成函數(shù)三個(gè)要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域．由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個(gè)函數(shù)相等（或?yàn)橥�一函�?shù)）（2）兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法：①表達(dá)式相同；②定義域一致(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)(見課本21頁相關(guān)例2)

值域補(bǔ)充

(1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對(duì)應(yīng)法則，不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域.(2).應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域，它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)。

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3.函數(shù)圖象知識(shí)歸納

(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x，y)的集合C，叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象．

集合C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x，y)，均在C上.即記為C={P(x,y)|y=f(x),x∈A},圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個(gè)交點(diǎn)的若干條曲線或離散點(diǎn)組成。

(2)畫法

A、描點(diǎn)法：根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出x,y的一些對(duì)應(yīng)值并列表，以(x,y)為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)P(x,y)，最后用平滑的曲線將這些點(diǎn)連接起來.

B、圖象變換法（請(qǐng)參考必修4三角函數(shù)）

常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對(duì)稱變換(3)作用：

1、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì)；2、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。發(fā)現(xiàn)解題中的錯(cuò)誤。

4．了解區(qū)間的概念

（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．

5．什么叫做映射

一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f：A→B”

給定一個(gè)集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對(duì)應(yīng)，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

說明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對(duì)應(yīng)，①集合A、B及對(duì)應(yīng)法則f是確定的；②對(duì)應(yīng)法則有“方向性”，即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)，它與從B到A的對(duì)應(yīng)關(guān)系一般是不同的；③對(duì)于映射f：A→B來說，則應(yīng)滿足：（Ⅰ）集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)；（Ⅲ）不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。

常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點(diǎn)：

1函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)等等，注意判斷一個(gè)圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù)；2解析法：必須注明函數(shù)的定義域；3圖象法：描點(diǎn)法作圖要注意：確定函數(shù)的定義域；化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；觀察函數(shù)的特征；4列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征．

解析法：便于算出函數(shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法：便于量出函數(shù)值.

補(bǔ)充一：分段函數(shù)（參見課本P24-25）

在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時(shí)必須把自變量代入相應(yīng)的表達(dá)式。分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個(gè)不同的方程，而就寫函數(shù)值幾種不同的表達(dá)式并用一個(gè)左大括號(hào)括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．（1）分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，不要把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù)；（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．

補(bǔ)充二：復(fù)合函數(shù)

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。例如:y=2sinxy=2cos(2x+1)

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7．函數(shù)單調(diào)性（1）．增函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量a，b，當(dāng)a高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（復(fù)習(xí)專用）人教版富寧一中

第二章基本初等函數(shù)

一、指數(shù)函數(shù)

（一）指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算

1．根式的概念：一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根（nthroot），其中n>1，且n∈N．

當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)．此時(shí)，a的n次方根

*

用符號(hào)na表示．式子na叫做根式（radical），這里n叫做根指數(shù)（radicalexponent），a叫做被開方數(shù)（radicand）．

當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)．此時(shí)，正數(shù)a的正的n次方根用符號(hào)na表示，負(fù)的n次方根用符號(hào)－na表示．正的n次方根與負(fù)的n次方根可以合并成na（a>0）．由此可得：負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作n00。

注意：當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，naa，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，nan|a|a2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：

n(a0)a(a0)anam(a0,m,nN*,n1)，amnmn1amn1nam(a0,m,nN*,n1)

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義

指出：規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪．

3．實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

rrrs（1）a〃aa(a0,r,sR)；

rsrs(a)a（2）(a0,r,sR)；rrs(ab)aa(a0,r,sR)．（3）

（二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)yax(a0,且a1)叫做指數(shù)函數(shù)（exponentialfunction），其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽．

注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1．

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2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>1650高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（復(fù)習(xí)專用）人教版富寧一中

3注意對(duì)數(shù)的書寫格式．○

兩個(gè)重要對(duì)數(shù)：

1常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)lgN；○

2自然對(duì)數(shù)：以無理數(shù)e2.71828為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù)lnN．○

對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化

logaNxaxN

對(duì)數(shù)式指數(shù)式對(duì)數(shù)底數(shù)←a→冪底數(shù)對(duì)數(shù)←x→指數(shù)真數(shù)←N→冪（二）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

如果a0，且a1，M0，N0，那么：（1）loga(M〃N)logaM＋logaN；（2）

logaMlogaM－logaN；（3）logaMnnlogaM(nR)．N注意：換底公式logablogcb（a0，且a1；c0，且c1；b0）．logca利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論

n（1）logambnlogab；m（2）logab1．

logba（二）對(duì)數(shù)函數(shù)

1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)ylogax(a0，且a1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+）．

1對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。注意：○

如：y2log2x，ylog5x都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù)．52對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的限制：(a0，且a1)．○

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2、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：a>132.520高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（復(fù)習(xí)專用）人教版富寧一中

第三章函數(shù)的應(yīng)用

一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)

yf(x)(xD)的零點(diǎn)。

2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)0實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)yf(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：

方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)．3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：求函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)：

1（代數(shù)法）求方程f(x)0的實(shí)數(shù)根；○

2（幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)yf(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用○

函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)．4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：

二次函數(shù)yax2bxc(a0)．

2１）△＞０，方程axbxc0有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)

有兩個(gè)零點(diǎn)．

2２）△＝０，方程axbxc0有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，

二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)．

2３）△＜０，方程axbxc0無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn)．

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必修2

第一章立體幾何初步

1.特殊幾何體表面積公式（c為底面周長(zhǎng)，h為高，h為斜高，l為母線）

"S直棱柱側(cè)面積ch

S正棱錐側(cè)面積S正棱臺(tái)側(cè)面積1ch"21(c1c2)h"2

S圓柱側(cè)2rhS圓柱表2rrl

S圓錐側(cè)面積rlS圓錐表rrl

S圓臺(tái)側(cè)面積(rR)l

S圓臺(tái)表r2rlRlR2

2.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式

V柱Sh

1V錐Sh31V臺(tái)(S"S"SS)h

3V圓柱Shr2h

1V圓錐r2h

311V圓臺(tái)(S"S"SS)h(r2rRR2)h

333.球體的表面積和體積公式：V求43RS4R23；球面4．空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）

注：正視圖反映了物體的高度和長(zhǎng)度；俯視圖反映了物體的長(zhǎng)度和寬度；側(cè)視圖反映了物體的高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖斜二測(cè)畫法

斜二測(cè)畫法特點(diǎn)：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長(zhǎng)度不變；②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長(zhǎng)度為原來的一半。

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第二章直線與平面的位關(guān)系

2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位關(guān)系1平面含義：平面是無限延展的2三個(gè)公理：

（1）公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).符號(hào)表示為A∈L

AB∈L=>LααLA∈α

B∈α

公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi).

（2）公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。AB

α符號(hào)表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線=>有且只有一個(gè)平面α，C

使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。

（3）公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。符號(hào)表示為：P∈α∩β=>α∩β=L，且P∈Lβ公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù).

Pα

L2.1.2空間中直線與直線之間的位關(guān)系1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：

共面直線相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；

異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。2公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線a∥b=>a∥cc∥b

強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。

3等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).4注意點(diǎn)：

①a"與b"所成的角的大小只由a、b的相互位來確定，與O的選擇無關(guān)，為了簡(jiǎn)便，點(diǎn)O一般取在兩直線中的一條上；

②兩條異面直線所成的角θ∈(0，)；

2

③當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b；④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

⑤計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。

2.1.32.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位關(guān)系1、直線與平面有三種位關(guān)系：

（1）直線在平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

（2）直線與平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（3）直線在平面平行沒有公共點(diǎn)

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指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aα來表示

aαa∩α=Aa∥α2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1直線與平面平行的判定

1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行。符號(hào)表示：aα

bβ=>a∥αa∥b

2.2.2平面與平面平行的判定

1、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。

符號(hào)表示：aβbβ

a∩b=P=>β∥αa∥αb∥α

2、判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；（2）判定定理；

（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。

2.2.32.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)

1、直線與平面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。

簡(jiǎn)記為：線面平行則線線平行。符號(hào)表示：

a∥α

aβ=>a∥bα∩β=b作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。

2、兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行的平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。符號(hào)表示：α∥β

α∩γ=a=>a∥bβ∩γ=b

作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

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2.3.1直線與平面垂直的判定

1、定義：如果直線L與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面α互相垂直，記作L⊥α，直線L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時(shí),它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。

PaL

2、直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；

b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。2.3.2平面與平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形

A梭lβ

Bα2、二面角的記法：二面角α-l-β或α-AB-β

3、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。

2.3.32.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)

1、直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。

2、兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。

第三章直線與方程

（1）直線的傾斜角

定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°

（2）直線的斜率

①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即ktan。斜率反映直線與軸的傾斜程度。

當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí),α=0°,k=tan0°=0;當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),α=90°,k不存在.

當(dāng)0,90時(shí)，k0；當(dāng)90,180時(shí)，k0；當(dāng)90時(shí)，k不存在。

②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：ky2y1(x1x2)（P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2）

x2x1注意下面四點(diǎn)：(1)當(dāng)x1x2時(shí)，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k與P1、P2的順序無關(guān)；

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(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。（3）直線方程

①點(diǎn)斜式：yy1k(xx1)直線斜率k，且過點(diǎn)x1,y1

注意：當(dāng)直線的斜率為0°時(shí)，k=0，直線的方程是y=y1。

當(dāng)直線的斜率為90°時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示．但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：ykxb，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b③兩點(diǎn)式：

yy1xx1（x1x2,y1y2）直線兩點(diǎn)x1,y1，x2,y2

y2y1x2x1④截矩式：別為a,b。

xy1其中直線l與x軸交于點(diǎn)(a,0),與y軸交于點(diǎn)(0,b),即l與x軸、y軸的截距分ab⑤一般式：AxByC0（A，B不全為0）

1各式的適用范圍○2特殊的方程如：注意：○

平行于x軸的直線：yb（b為常數(shù)）；平行于y軸的直線：xa（a為常數(shù)）；（6）兩直線平行與垂直當(dāng)l1:yk1xb1，l2:yk2xb2時(shí)，

l1//l2k1k2,b1b2；l1l2k1k21

注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。

（7）兩條直線的交點(diǎn)

l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20相交

A1xB1yC10交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組的一組解。AxByC0222方程組無解l1//l2；方程組有無數(shù)解l1與l2重合

Bx2,y2）（8）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)A(x1,y1)，（是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，

則|AB|(x2x1)2(y2y1)2（9）點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)Px0,y0到直線l1:AxByC0的距離dAx0By0C

22AB（10）兩平行直線距離公式

已知兩條平行線直線l1和l2的一般式方程為l1：AxByC10，

l2：AxByC20，則l1與l2的距離為d-14-

C1C2AB高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（復(fù)習(xí)專用）人教版富寧一中

第四章圓與方程

1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑。2、圓的方程

（1）標(biāo)準(zhǔn)方程xaybr2，圓心

22a,b，半徑為r；

點(diǎn)M(x0,y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位關(guān)系：當(dāng)(x0a)2(y0b)2>r，點(diǎn)在圓外當(dāng)(x0a)2(y0b)2=r，點(diǎn)在圓上當(dāng)(x0a)2(y0b)2高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（復(fù)習(xí)專用）人教版富寧一中

當(dāng)d

Rr時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條；當(dāng)dRr時(shí)兩圓外切，連心線過切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；

當(dāng)RrdRr時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；

當(dāng)dRr時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點(diǎn)，只有一條公切線；

當(dāng)dRr時(shí)，兩圓內(nèi)含；當(dāng)d0時(shí)，為同心圓。

注意：已知圓上兩點(diǎn)，圓心必在中垂線上；已知兩圓相切，兩圓心與切點(diǎn)共線圓的輔助線一般為連圓心與切線或者連圓心與弦中點(diǎn)

必修3

第一章：算法初步

1：算法的概念

（1）算法概念：在數(shù)學(xué)上，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計(jì)算機(jī)來解決的某一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成.

（2）算法的特點(diǎn):

①有限性：一個(gè)算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的.②確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不應(yīng)當(dāng)是模棱兩可.③順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個(gè)步驟只能有一個(gè)確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步，并且每一步都準(zhǔn)確無誤，才能完成問題.

④不唯一性：求解某一個(gè)問題的解法不一定是唯一的，對(duì)于一個(gè)問題可以有不同的算法.

⑤普遍性：很多具體的問題，都可以設(shè)計(jì)合理的算法去解決，如心算、計(jì)算器計(jì)算都要經(jīng)過有限、事先設(shè)計(jì)好的步驟加以解決.

2：程序框圖

（1）程序框圖基本概念：

①程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形。

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一個(gè)程序框圖包括以下幾部分：表示相應(yīng)操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要文字說明。②構(gòu)成程序框的圖形符號(hào)及其作用程序框名稱功能表示一個(gè)算法的起始和結(jié)束，是任何流程圖不起止框可少的。表示一個(gè)算法輸入和輸出的信息，可用在算法輸入、輸出框中任何需要輸入、輸出的位。賦值、計(jì)算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公處理框式等分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框內(nèi)。判斷某一條件是否成立，成立時(shí)在出口處標(biāo)明判斷框“是”或“Y”；不成立時(shí)標(biāo)明“否”或“N”。學(xué)習(xí)這部分知識(shí)的時(shí)候，要掌握各個(gè)圖形的形狀、作用及使用規(guī)則，畫程序框圖的規(guī)則如下：

1、使用標(biāo)準(zhǔn)的圖形符號(hào)。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。3、除判斷框外，大多數(shù)流程圖符號(hào)只有一個(gè)進(jìn)入點(diǎn)和一個(gè)退出點(diǎn)。判斷框具有超過一個(gè)退出點(diǎn)的唯一符號(hào)。4、判斷框分兩大類，一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個(gè)結(jié)果；另一類是多分支判斷，有幾種不同的結(jié)果。5、在圖形符號(hào)內(nèi)描述的語言要非常簡(jiǎn)練清楚。

3：算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。

（1）順序結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)是最簡(jiǎn)單的算法結(jié)構(gòu)，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進(jìn)行的，它是由若干個(gè)依次執(zhí)行的處理步驟組成的，它是任何一個(gè)算法都離不開的一種基本算法結(jié)構(gòu)。A順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而下地連接起來，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中，A框和B框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完A框指定的操作后，才能接著執(zhí)行B框所

指定的操作。B（2）條件結(jié)構(gòu)：條件結(jié)構(gòu)是指在算法中通過對(duì)條件的判斷根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結(jié)構(gòu)。

條件P是否成立而選擇執(zhí)行A框或B框。無論P(yáng)條件是否成立，只能執(zhí)行A框或B框之一，不可能同時(shí)執(zhí)行

A框和B框，也不可能A框、B框都不執(zhí)行。一個(gè)判斷結(jié)構(gòu)可以有多個(gè)判斷框。

（3）循環(huán)結(jié)構(gòu)：在一些算法中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)從某處開始，按照一定條件，反復(fù)執(zhí)行某一處理步驟的情況，這就是循環(huán)結(jié)構(gòu)，反復(fù)執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)又稱重復(fù)結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)可細(xì)分為兩類：

①一類是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下左圖所示，它的功能是當(dāng)給定的條件P成立時(shí)，執(zhí)行A框，A框執(zhí)行完畢后，再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，再執(zhí)行A框，如此反復(fù)執(zhí)行A框，直到某一次條件P不成立為止，此時(shí)不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。

②另一類是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下右圖所示，它的功能是先執(zhí)行，然后判斷給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，則繼續(xù)執(zhí)行A框，直到某一次給定的條件P成立為止，此時(shí)不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。

AAPP成立不成立成立不成立p當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)

注意：1循環(huán)結(jié)構(gòu)要在某個(gè)條件下終止循環(huán)，這就需要條件結(jié)構(gòu)來判斷。因此，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含

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條件結(jié)構(gòu)，但不允許“死循環(huán)”。2在循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個(gè)計(jì)數(shù)變量和累加變量。計(jì)數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，累加變量用于輸出結(jié)果。計(jì)數(shù)變量和累加變量一般是同步執(zhí)行的，累加一次，計(jì)數(shù)一次。

4：輸入、輸出語句和賦值語句（1）輸入語句

①輸入語句的一般格式圖形計(jì)算器格式INPUT“提示內(nèi)容”；變量INPUT“提示內(nèi)容”，變量②輸入語句的作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸入信息功能；③“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息，變量是指程序在運(yùn)行時(shí)其值是可以變化的量；④輸入語句要求輸入的值只能是具體的常數(shù)，不能是函數(shù)、變量或表達(dá)式；⑤提示內(nèi)容與變量之間用分號(hào)“；”隔開，若輸入多個(gè)變量，變量與變量之間用逗號(hào)“，”隔開。

（2）輸出語句

①輸出語句的一般格式

圖形計(jì)算器格

式PRINT“提示內(nèi)容”Disp“提示內(nèi)容”，變量；表達(dá)式②輸出語句的作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸出結(jié)果功能；③“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息，表達(dá)

式是指程序要輸出的數(shù)據(jù)；④輸出語句可以輸出常量、變量或表達(dá)式的值以及字符。

（3）賦值語句

①賦值語句的一般格式圖形計(jì)算器格式表達(dá)式變量變量＝表達(dá)式

②賦值語句的作用是將表達(dá)式所代表的值賦給變量；③賦值語句中的“＝”稱作賦值號(hào)，與數(shù)學(xué)中的等號(hào)的意義是不同的。賦值號(hào)的左右兩邊不能對(duì)換，它將賦值號(hào)右邊的表達(dá)式的值賦給賦值號(hào)左邊的變量；④賦值語句左邊只能是變量名字，而不是表達(dá)式，右邊表達(dá)式可以是一個(gè)數(shù)據(jù)、常量或算式；⑤對(duì)于一個(gè)變量可以多次賦值。

注意：①賦值號(hào)左邊只能是變量名字，而不能是表達(dá)式。如：2=X是錯(cuò)誤的。②賦值號(hào)左右不能對(duì)換。如“A=B”“B=A”的含義運(yùn)行結(jié)果是不同的。③不能利用賦值語句進(jìn)行代數(shù)式的演算。（如化簡(jiǎn)、因式分解、解方程等）④賦值號(hào)“=”與數(shù)學(xué)中的等號(hào)意義不同。

5：條件語句

（1）條件語句的一般格式有兩種：①IFTHENELSE語句；②IFTHEN語句。

①IFTHENELSE語句IFTHENELSE語句的一般格式為圖1，對(duì)應(yīng)的程序框圖為圖2。IF條件否

THEN滿足條件？

語句1是圖1圖2ELSE語句2語句1

語句2

ENDIF

分析：在IFTHENELSE語句中，“條件”表示判斷的條件，“語句1”表示滿足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容；“語句2”表示不滿足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容；ENDIF表示條件語句的結(jié)束。計(jì)算機(jī)在執(zhí)行時(shí)，首先對(duì)IF后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合，則執(zhí)行THEN后面的語句1；若條件不符合，則執(zhí)行ELSE后面的語句2。

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②IFTHEN語句

IFTHEN語句的一般格式為圖3，對(duì)應(yīng)的程序框圖為圖4。

是滿足條件？IF條件THEN

語句語句ENDIF（圖3）（圖4）否

注意：“條件”表示判斷的條件；“語句”表示滿足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容，條件不滿足時(shí)，結(jié)束程序；ENDIF表示條件語句的結(jié)束。計(jì)算機(jī)在執(zhí)行時(shí)首先對(duì)IF后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合就執(zhí)行THEN后邊的語句，若條件不符合則直接結(jié)束該條件語句，轉(zhuǎn)而執(zhí)行其它語句。

6：循環(huán)語句

循環(huán)結(jié)構(gòu)是由循環(huán)語句來實(shí)現(xiàn)的。對(duì)應(yīng)于程序框圖中的兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)，一般程序設(shè)計(jì)語言中也有當(dāng)型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）兩種語句結(jié)構(gòu)。即WHILE語句和UNTIL語句。

（1）WHILE語句

①WHILE語句的一般格式是對(duì)應(yīng)的程序框圖是循環(huán)體WHILE條件是循環(huán)體滿足條件？WEND

否

②當(dāng)計(jì)算機(jī)遇到WHILE語句時(shí)，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執(zhí)行WHILE與WEND之間的循環(huán)體；然后再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執(zhí)行循環(huán)體，這個(gè)過程反復(fù)進(jìn)行，直到某一次條件不符合為止。這時(shí)，計(jì)算機(jī)將不執(zhí)行循環(huán)體，直接跳到WEND語句后，接著執(zhí)行WEND之后的語句。因此，當(dāng)型循環(huán)有時(shí)也稱為“前測(cè)試型”循環(huán)。

（2）UNTIL語句

①UNTIL語句的一般格式是對(duì)應(yīng)的程序框圖是循環(huán)體DO循環(huán)體否滿足條件？LOOPUNTIL條件是

②直到型循環(huán)又稱為“后測(cè)試型”循環(huán)，從UNTIL型循環(huán)結(jié)構(gòu)分析，計(jì)算機(jī)執(zhí)行該語句時(shí)，先執(zhí)行一次循環(huán)體，然后進(jìn)行條件的判斷，如果條件不滿足，繼續(xù)返回執(zhí)行循環(huán)體，然后再進(jìn)行條件的判斷，這個(gè)過程反復(fù)進(jìn)行，直到某一次條件滿足時(shí)，不再執(zhí)行循環(huán)體，跳到LOOPUNTIL語句后執(zhí)行其他語句，是先執(zhí)行循環(huán)體后進(jìn)行條件判斷的循環(huán)語句。

分析：當(dāng)型循環(huán)與直到型循環(huán)的區(qū)別：（先由學(xué)生討論再歸納）（1）當(dāng)型循環(huán)先判斷后執(zhí)行，直到型循環(huán)先執(zhí)行后判斷；

在WHILE語句中，是當(dāng)條件滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)體，在UNTIL語句中，是當(dāng)條件不滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)

7：輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)（1）輾轉(zhuǎn)相除法。也叫歐幾里德算法，用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：

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①用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個(gè)商約數(shù)；若

S0和一個(gè)余數(shù)R0；②若R0＝0，則n為m，n的最大公

R0≠0，則用除數(shù)n除以余數(shù)R0得到一個(gè)商S1和一個(gè)余數(shù)R1；③若R1＝0，則R1為m，n的最大

公約數(shù)；若

R1≠0，則用除數(shù)R0除以余數(shù)R1得到一個(gè)商S2和一個(gè)余數(shù)R2；……依次計(jì)算直至RnRn1即為所求的最大公約數(shù)。

＝0，此時(shí)所得到的

（2）更相減損術(shù)

我國早期也有求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術(shù)。在《九章算術(shù)》中有更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟：可半者半之，不可半者，副分母子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。

翻譯為：①任意給出兩個(gè)正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2約簡(jiǎn)；若不是，執(zhí)行第二步。②以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。

（3）輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別：

①都是求最大公約數(shù)的方法，計(jì)算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計(jì)算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算次數(shù)相對(duì)較少，特別當(dāng)兩個(gè)數(shù)字大小區(qū)別較大時(shí)計(jì)算次數(shù)的區(qū)別較明顯。

②從結(jié)果體現(xiàn)形式來看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0則得到，而更相減損術(shù)則以減數(shù)與差相等而得到

8：秦九韶算法與排序（1）秦九韶算法概念：

nn-1

f(x)=anx+an-1x+….+a1x+a0求值問題

nn-1n-1n-2n-2n-3

f(x)=anx+an-1x+….+a1x+a0=(anx+an-1x+….+a1)x+a0=((anx+an-1x+….+a2)x+a1)x+a0=......=(...(anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0

求多項(xiàng)式的值時(shí)，首先計(jì)算最內(nèi)層括號(hào)內(nèi)依次多項(xiàng)式的值，即v1=anx+an-1然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值，即v2=v1x+an-2v3=v2x+an-3......vn=vn-1x+a0

這樣，把n次多項(xiàng)式的求值問題轉(zhuǎn)化成求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值的問題。（2）兩種排序方法：直接插入排序和冒泡排序①直接插入排序

基本思想：插入排序的思想就是讀一個(gè)，排一個(gè)。將第１個(gè)數(shù)放入數(shù)組的第１個(gè)元素中，以后讀入的數(shù)與已存入數(shù)組的數(shù)進(jìn)行比較，確定它在從大到小的排列中應(yīng)處的位．將該位以及以后的元素向后推移一個(gè)位，將讀入的新數(shù)填入空出的位中．（由于算法簡(jiǎn)單，可以舉例說明）

②冒泡排序

基本思想：依次比較相鄰的兩個(gè)數(shù),把大的放前面,小的放后面.即首先比較第1個(gè)數(shù)和第2個(gè)數(shù),大數(shù)放前,小數(shù)放后.然后比較第2個(gè)數(shù)和第3個(gè)數(shù)......直到比較最后兩個(gè)數(shù).第一趟結(jié)束,最小的一定沉到最后.重復(fù)上過程,仍從第1個(gè)數(shù)開始,到最后第2個(gè)數(shù)......由于在排序過程中總是大數(shù)往前,小數(shù)往后,相當(dāng)氣泡上升,所以叫冒泡排序.

9：進(jìn)位制

（1）概念：進(jìn)位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位表示不同的數(shù)值�？墒褂脭�(shù)字符號(hào)的個(gè)數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為n，即可稱n進(jìn)位制，簡(jiǎn)稱n進(jìn)制�，F(xiàn)在最常用的是十進(jìn)制，通常使用10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字0-9進(jìn)行記數(shù)。對(duì)于任何一個(gè)數(shù)，我們可以用不同的進(jìn)位制來表示。比如：十進(jìn)數(shù)57，可以用二進(jìn)制表示為111001，也可以用八進(jìn)制表示為71、用十六進(jìn)制表示為39，它們所代表的數(shù)值都是一樣的。

一般地，若k是一個(gè)大于一的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進(jìn)制可以表示為：

anan1...a1a0(k)(0ank,0an1,...,a1,a0k)，

而表示各種進(jìn)位制數(shù)一般在數(shù)字右下腳加注來表示,如111001(2)表示二進(jìn)制數(shù),34(5)表示5進(jìn)制數(shù)

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第二章：統(tǒng)計(jì)

1：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（1）總體和樣本

①在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,把研究對(duì)象的全體叫做總體．②把每個(gè)研究對(duì)象叫做個(gè)體．③把總體中個(gè)體的總數(shù)叫做總體容量．

④為了研究總體的有關(guān)性質(zhì)，一般從總體中隨機(jī)抽取一部分：

，，，

研究，我們稱它

為樣本．其中個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為樣本容量．

（2）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，也叫純隨機(jī)抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊(duì)等，完全隨機(jī)地抽取調(diào)查單位。特點(diǎn)是：每個(gè)樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個(gè)單位完全獨(dú)立，彼此間無一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是其它各種抽樣形式的基礎(chǔ)。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時(shí)，才采用這種方法。

（3）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣常用的方法：

①抽簽法②隨機(jī)數(shù)表法③計(jì)算機(jī)模擬法③使用統(tǒng)計(jì)軟件直接抽取。

在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本容量設(shè)計(jì)中，主要考慮：①總體變異情況；②允許誤差范圍；③概率保證程度。（4）抽簽法:

①給調(diào)查對(duì)象群體中的每一個(gè)對(duì)象編號(hào)；②準(zhǔn)備抽簽的工具，實(shí)施抽簽；③對(duì)樣本中的每一個(gè)個(gè)體進(jìn)行測(cè)量或調(diào)查（5）隨機(jī)數(shù)表法：2：系統(tǒng)抽樣

（1）系統(tǒng)抽樣（等距抽樣或機(jī)械抽樣）：

把總體的單位進(jìn)行排序，再計(jì)算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個(gè)樣本采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的辦法抽取。K（抽樣距離）=N（總體規(guī)模）/n（樣本規(guī)模）

前提條件：總體中個(gè)體的排列對(duì)于研究的變量來說，應(yīng)是隨機(jī)的，即不存在某種與研究變量相關(guān)的規(guī)則分布�？梢栽谡{(diào)查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對(duì)比幾次樣本的特點(diǎn)。如果有明顯差別，說明樣本在總體中的分布承某種循環(huán)性規(guī)律，且這種循環(huán)和抽樣距離重合。

（2）系統(tǒng)抽樣，即等距抽樣是實(shí)際中最為常用的抽樣方法之一。因?yàn)樗鼘?duì)抽樣框的要求較低，實(shí)施也比較簡(jiǎn)單。更為重要的是，如果有某種與調(diào)查指標(biāo)相關(guān)的輔助變量可供使用，總體單元按輔助變量的大小順序排隊(duì)的話，使用系統(tǒng)抽樣可以大大提高估計(jì)精度。

3：分層抽樣

（1）分層抽樣（類型抽樣）：

先將總體中的所有單位按照某種特征或標(biāo)志（性別、年齡等）劃分成若干類型或?qū)哟危�然后再在各個(gè)類型或?qū)哟沃胁捎煤?jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個(gè)子樣本，最后，將這些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本。

兩種方法：

①先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。

②先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。

（2）分層抽樣是把異質(zhì)性較強(qiáng)的總體分成一個(gè)個(gè)同質(zhì)性較強(qiáng)的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進(jìn)而代表總體。

分層標(biāo)準(zhǔn)：

①以調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關(guān)的變量作為分層的標(biāo)準(zhǔn)。

②以保證各層內(nèi)部同質(zhì)性強(qiáng)、各層之間異質(zhì)性強(qiáng)、突出總體內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變量作為分層變量。③以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。

（3）分層的比例問題：抽樣比=

樣本容量各層樣本容量

個(gè)體容量各層個(gè)體容量高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（復(fù)習(xí)專用）人教版富寧一中

①按比例分層抽樣：根據(jù)各種類型或?qū)哟沃械膯挝粩?shù)目占總體單位數(shù)目的比重來抽取子樣本的方法。

②不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會(huì)非常少，此時(shí)采用該方法，主要是便于對(duì)不同層次的子總體進(jìn)行專門研究或進(jìn)行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時(shí)，則需要先對(duì)各層的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行加權(quán)處理，調(diào)整樣本中各層的比例，使數(shù)據(jù)恢復(fù)到總體中各層實(shí)際的比例結(jié)構(gòu)。類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互關(guān)系適用范圍簡(jiǎn)單抽樣過從總體中逐個(gè)抽取總體中的隨機(jī)抽樣程中每個(gè)個(gè)個(gè)體數(shù)較少系統(tǒng)體被抽取的將總體均勻分成幾部分，按再起時(shí)部分抽樣時(shí)總體中的機(jī)會(huì)相等抽樣事先確定的規(guī)則在各部分抽取采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣個(gè)數(shù)較多分成經(jīng)總體分成幾層，分層進(jìn)行各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)總體由差抽樣抽取單隨機(jī)抽樣異明顯的幾部分組成4：用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征（1）樣本均值：xx1x2xn

n2(x1x)2(x2x)2(xnx)2（2）樣本標(biāo)準(zhǔn)差：ss

n用樣本估計(jì)總體時(shí)，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會(huì)有偏差。在隨機(jī)抽樣中，這種偏差是不可避免的。

雖然我們用樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差并不是總體的真正的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差，而只是一個(gè)估計(jì)，但這種估計(jì)是合理的，特別是當(dāng)樣本量很大時(shí)，它們確實(shí)反映了總體的信息。

（3）眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，頻率分布最大值所對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)（可以是多個(gè)）。（4）中位數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，累計(jì)頻率為1.5時(shí)所對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)值（只有一個(gè)）。注意：

①如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)共同的常數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差不變②如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)乘以一個(gè)共同的常數(shù)k，標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)樵瓉淼膋倍

③一組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差的影響，區(qū)間(x3s,x3s)的應(yīng)用；

“去掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分”中的科學(xué)道理5:用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布1：頻率分布表與頻率分布直方圖

頻率分布表盒頻率分布直方圖，是從各個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度，來表示數(shù)據(jù)分布規(guī)律，它可以使我們看到整個(gè)樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況。

具體步驟如下：

第一步：求極差，即計(jì)算最大值與最小值的差.

第二步：決定組距和組數(shù)：組距與組數(shù)的確定沒有固定標(biāo)準(zhǔn)，需要嘗試、選擇，力求有合適的組數(shù)，以能把數(shù)據(jù)的規(guī)律較清楚地呈現(xiàn)為準(zhǔn).太多或太少都不好，不利對(duì)數(shù)據(jù)規(guī)律的發(fā)現(xiàn).組數(shù)應(yīng)與樣本的容量有關(guān)，樣本容量越大組數(shù)越多.一般來說，容量不超過100的組數(shù)在5至12之間.組距應(yīng)最好“取整”，它與極差有關(guān).

組距注意：組數(shù)的“取舍”不依據(jù)四舍五入，而是當(dāng)極差不是整數(shù)時(shí)，組數(shù)=［

組距極差組距］+1.

②頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各個(gè)小長(zhǎng)方形上端的重點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖。

③總體密度曲線：總體密度曲線反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的半分比，它能給我們提供更加精細(xì)的信息。

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2：莖葉圖：莖是指中間的一列數(shù)，葉是指從莖旁邊生長(zhǎng)出來的數(shù)。

例：例如：為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了地區(qū)內(nèi)100名年齡為17.5～18歲的男生的體重情況，結(jié)果如下（單位：kg）.56.566.57257.56263.55560646969.56473.565.568.564.57255.570.571.56564.5566862.567.566.570577361.576677166737464.562.56264.558.5707559.568635865587659.568.5685761.55964.565.5667163.5647669.56765.575.558.566.5666555.557.5746862.568.567.57063.57072.56064.563.569.56470.5635674.566.571.5595872626559.5試根據(jù)上述數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖，并對(duì)相應(yīng)的總體分布作出估計(jì).解：按照下列值的差

（1）求最大值與最小計(jì).在上述數(shù)據(jù)中，最大值是76，最小值是55，極差是76－55=21.

（2）確定組距與組數(shù).如果將組距定為2，那么由21÷2=10.5，組數(shù)為11，這個(gè)組數(shù)適合的.于是組距為2，組數(shù)為11.

（3）決定分點(diǎn).根據(jù)本例中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，第1小組的起點(diǎn)可取為54.5，第1小組的終點(diǎn)可取為56.5，為了避免一個(gè)數(shù)據(jù)既是起點(diǎn)，又是終點(diǎn)從而造成重復(fù)計(jì)算，我們規(guī)定分組的區(qū)間是“左閉右開”的.這樣，所得到的分組是

［54.5，56.5），［56.5，58.5），…，［74.5，76.5）.（4）列頻率分布表.分組［54.5，56.5）［56.5，58.5）［58.5，60.5）［60.5，62.5）［62.5，64.5）［64.5，66.5）［66.5，68.5）［68.5，70.5）［70.5，72.5）［72.5，74.5）［74.5，76.5）合計(jì)頻數(shù)26101014161311873100頻率0.020.060.100.100.140.160.130.110.080.070.031.00累計(jì)頻率0.020.080.180.280.420.580.710.820.900.971.00（5）繪制頻率分布直方圖.頻率分布直方如圖2－2－3所示.

頻率/組距54.556.558.560.562.564.566.568.570.572.574.576.5體重

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頻率/組距0.070.060.050.040.030.020.010頻率/組距富寧一中

連接頻率直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖.如圖2－2－4所示.

例2：某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分情況如下

甲的得分：15，21，25，31，36，39，31，45，36，48，24，50，37；乙的得分：13，16，23，25，28，33，38，14，8，39，51.

上述的數(shù)據(jù)可以用下圖來表示，中間數(shù)字表示得分的十位數(shù)，兩邊數(shù)字分別表示兩個(gè)人各場(chǎng)比賽得分的個(gè)位數(shù).

54.556.558.560.562.564.566.568.570.572.574.5體重甲乙085136445123587691613389854051

圖2－2－5

通常把這樣的圖叫做莖葉圖.請(qǐng)根據(jù)上圖對(duì)兩名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)進(jìn)行比較.

從這個(gè)莖葉圖上可以看出，甲運(yùn)動(dòng)員的得分情況是大致對(duì)稱的，中位數(shù)是36；乙運(yùn)動(dòng)員的得分情況除一個(gè)特殊得分外，也大致對(duì)稱，中位數(shù)是25.因此甲運(yùn)動(dòng)員發(fā)揮比較穩(wěn)定，總體得分情況比乙好.

用莖葉圖表示有兩個(gè)突出的優(yōu)點(diǎn):其一，從統(tǒng)計(jì)圖上沒有信息的損失，所有的信息都可以從這個(gè)莖葉圖中得到；其二，莖葉圖可以在比賽時(shí)隨時(shí)記錄，方便記錄與表示.但莖葉圖只能表示兩位的整數(shù)，雖然可以表示兩個(gè)人以上的比賽結(jié)果（或兩個(gè)以上的記錄），但沒有兩個(gè)記錄表示得那么直觀，清晰.

6：變量間的相關(guān)關(guān)系：自變量取值一定時(shí)因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系交相關(guān)關(guān)系。對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫做回歸分析。

（1）回歸直線：根據(jù)變量的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，如果各點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)的關(guān)系，這條直線叫做回歸直線方程。如果這些點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，我們就成這兩個(gè)變量呈正相關(guān)；若從左上角到右下角的區(qū)域，則稱這兩個(gè)變量呈負(fù)相關(guān)。

設(shè)已經(jīng)得到具有線性相關(guān)關(guān)系的一組數(shù)據(jù)：

xyx1y1。。。。。。xnyn

是待定的系數(shù)。

所要求的回歸直線方程為：ybxa，其中，

（2）回歸直線過的樣本中心點(diǎn)(x,y)

xyx1y1。。。。。。xnyn

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第三章：概率

1：隨機(jī)事件的概率及概率的意義

（1）必然事件：在條件S下，一定會(huì)發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件S的必然事件；

（2）不可能事件：在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件S的不可能事件；（3）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對(duì)于條件S的確定事件；

（4）隨機(jī)事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件S的隨機(jī)事件；

（5）頻數(shù)與頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)nA為事件A出現(xiàn)的概率：對(duì)于給定的n隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P（A），稱為事件A的概率。

nA（6）頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機(jī)事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)nA與試驗(yàn)總次數(shù)n的比值n，

它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多，這種擺動(dòng)幅度越來越小。我們把這個(gè)常數(shù)叫做隨機(jī)事件的概率，概率從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下可以近似地作為這個(gè)事件的概率

2：概率的基本性質(zhì)

（1）必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P(A)≤1（2）事件的包含、并事件、交事件、相等事件

（3）若A∩B為不可能事件，即A∩B=，那么稱事件A與事件B互斥；

（4）若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件；（5）當(dāng)事件A與B互斥時(shí)，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；若事件A與B為對(duì)立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)（6）互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：①事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；②事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生；③事件A與事件B同時(shí)不發(fā)生，而對(duì)立事件是指事件A與事件B有且僅有一個(gè)發(fā)生，其包括兩種情形；④事件A發(fā)生B不發(fā)生；⑤事件B發(fā)生事件A不發(fā)生，對(duì)立事件互斥事件的特殊情形。

3：基本事件

（1）基本事件：基本事件是在一次試驗(yàn)中所有可能發(fā)生的基本結(jié)果中的一個(gè)，它是試驗(yàn)中不能再分的最簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件。

（2）基本事件的特點(diǎn)：①任何兩個(gè)基本事件是互斥的②任何事件（除不可能事件外）都可以表示成基本事件的和。

4：古典概型：

（1）古典概型的條件：古典概型是一種特殊的數(shù)學(xué)模型，這種模型滿足兩個(gè)條件：①試驗(yàn)結(jié)果的有限性和所有結(jié)果的等可能性。②所有基本事件必須是有限個(gè)。（2）古典概型的解題步驟；①求出總的基本事件數(shù)；

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②求出事件A所包含的基本事件數(shù)，然后利用公式p(A)A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)

總的基本事件個(gè)數(shù)5：幾何概型

（1）幾何概率模型：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；

（2）幾何概型的概率公式：p(A)構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）；

試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）（3）幾何概型的特點(diǎn)：①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個(gè)；②每個(gè)基本事件出

現(xiàn)的可能性相等．

注意：幾何概型也是一種概率模型，它與古典概型的區(qū)別是試驗(yàn)的可能結(jié)果不是有限個(gè)。其特點(diǎn)是在一個(gè)區(qū)域內(nèi)均勻分布，所以隨機(jī)事件的概率大小與隨機(jī)事件所在區(qū)域的形狀位無關(guān)，值域該區(qū)域的大小有關(guān)。如果隨即事件所在區(qū)域是一個(gè)單點(diǎn)，由于單點(diǎn)的長(zhǎng)度、面積、體積均為0，則它出現(xiàn)的概率為0，但它不是不可能事件；如果一個(gè)隨機(jī)事件所在區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個(gè)單點(diǎn)，則它出現(xiàn)的概率為1，但他不是必然事件。

綜上可得：必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0。

概率為1的事件不一定為必然事件；概率為0的事件不一定為不可能事件。

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必修4

第一章三角函數(shù)（初等函數(shù)二）

正角:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角1、任意角負(fù)角:按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角2、角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．

第二象限角的集合為k36090k360180,k

第三象限角的集合為k360180k360270,k第四象限角的集合為k360270k360360,k終邊在x軸上的角的集合為k180,k

終邊在y軸上的角的集合為k18090,k終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為k90,k

3、與角終邊相同的角的集合為k360,k

第一象限角的集合為k360k36090,k

4、已知是第幾象限角，確定

n所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再從x軸的正n*半軸的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則原來是第幾象限對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)即為的區(qū)域．

5、長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度．

6、半徑為r的圓的圓心角所對(duì)弧的長(zhǎng)為l，則角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是終邊所落在nl．r1807、弧度制與角度制的換算公式：2360，1，157.3．1808、若扇形的圓心角為為弧度制，半徑為r，弧長(zhǎng)為l，周長(zhǎng)為C，面積為S，則lr，

C2rl，S11lrr2．229、設(shè)是一個(gè)任意大小的角，的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是x,y，它與原點(diǎn)的距離是

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rrx2y20，則sinyxy，cos，tanx0．rrx10、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限

余弦為正．

11、三角函數(shù)線：sin，cos，tan．

12、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：1sin2cos21

yPTOMAxsin21cos2,cos21sin2；2sintancossinsintancos,cos．

tan13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．

口訣：函數(shù)名稱不變，符號(hào)看象限．

，5sincoscossin．

22，6sincoscossin．

22口訣：正弦與余弦互換，符號(hào)看象限．

14、函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來的

1倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)

ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來的倍

（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)ysinx的圖象．

函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來的

1倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)

ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來的倍

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（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)ysinx的圖象．

函數(shù)ysinx0,0的性質(zhì)：①振幅：；②周期：2；③頻率：f1；④相位：x；⑤初相：．2函數(shù)ysinx，當(dāng)xx1時(shí)，取得最小值為ymin；當(dāng)xx2時(shí)，取得最大值為ymax，則12yy12ymaxmin，ymaxmin，2x2x1x1x2．15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：性函質(zhì)數(shù)ysinxycosxytanx圖象定義域RRxxk2,k值域1,11,1R當(dāng)當(dāng)x2kkx2k2k時(shí)，時(shí)，ymax1；當(dāng)最y1；當(dāng)x2k值2x2k既無最大值也無最max小值時(shí)，kk時(shí)，ymin1．ymin1．周22期性奇偶奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)性在在在2k,2k2k,2kk上單22k2,k2調(diào)性是增函數(shù)；在k上是增函數(shù)；2k,2kk上是增函在數(shù)．

-29-

高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（復(fù)習(xí)專用）人教版富寧一中32k,2k22k上是減函數(shù)．k上是減函數(shù)．對(duì)稱中心對(duì)稱性對(duì)稱中心,0kk2k,0k對(duì)稱軸xk對(duì)稱中心k,0k2對(duì)稱軸2kxkk無對(duì)稱軸

第二章平面向量

16、向量：既有大小，又有方向的量．?dāng)?shù)量：只有大小，沒有方向的量．

有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度．零向量：長(zhǎng)度為0的向量．

單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．17、向量加法運(yùn)算：

⑴三角形法則的特點(diǎn)：首尾相連．⑵平行四邊形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)．

⑶三角形不等式：ababab．

⑷運(yùn)算性質(zhì)：

Ca

①交換律：abba；

②結(jié)合律：abcabc；

③a00aa．

-30-

b

abCC高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（復(fù)習(xí)專用）人教版富寧一中

⑸坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．

18、向量減法運(yùn)算：

⑴三角形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量．

⑵坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．

設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x1,y1，x2,y2，則x1x2,y1y2．

19、向量數(shù)乘運(yùn)算：

⑴實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量的運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作a．①

aa；

②當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，

a0．

abab⑵運(yùn)算律：①aa；②aaa；③．

⑶坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)ax,y，則ax,yx,y．

20、向量共線定理：向量aa0與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba．

設(shè)ax1,y1，bx2,y2，其中b0，則當(dāng)且僅當(dāng)x1y2x2y10時(shí)，向量a、bb0共線．

21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向

量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2，使a1e12e2．（不共線的向量e1、e2作為這一平面內(nèi)所有向量的

一組基底）

22、分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)是線段12上的一點(diǎn)，1、2的坐標(biāo)分別是x1,y1，x2,y2，當(dāng)

xx2y1y2,12時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是1．

1123、平面向量的數(shù)量積：

⑴ababcosa0,b0,0180．零向量與任一向量的數(shù)量積為0．

⑵性質(zhì)：設(shè)a和b都是非零向量，則①abab0．②當(dāng)a與b同向時(shí)，abab；當(dāng)a與

22b反向時(shí)，abab；aaaa或aaa．③abab．

⑶運(yùn)算律：①abba；②ababab；③abcacbc．

⑷坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)兩個(gè)非零向量ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2y1y2．

22若ax,y，則axy，或a2x2y2．

-31-

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設(shè)ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2y1y20．

設(shè)a、b都是非零向量，ax1,y1，bx2,y2，是a與b的夾角，則

x1x2y1y2abcos22abx12y12x2y2

．

第三章三角恒等變換

24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：⑴coscoscossinsin；⑵coscoscossinsin；⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；⑸tantantan（tantantan1tantan）；

1tantantantan（tantantan1tantan）．

1tantan⑹tan25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sincos．⑵cos2cos2sin22cos2112sin2（cos2cos211cos22，sin）．22⑶tan22tan．21tan22sin，其中tan26、sincos

．

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必修5第一章解三角形

1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對(duì)邊，R為C的外接圓的半徑，則有

abc2R．sinsinsinC2、正弦定理的變形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；②sin④

abc，sin，sinC；③a:b:csin:sin:sinC；2R2R2Rabcabc．

sinsinsinCsinsinsinC（正弦定理主要用來解決兩類問題：1、已知兩邊和其中一邊所對(duì)的角，求其余的量。2、已知兩角和

一邊，求其余的量。）

⑤對(duì)于已知兩邊和其中一邊所對(duì)的角的題型要注意解的情況。（一解、兩解、無解三中情況）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A為銳角）求B。具體的做法是：數(shù)形結(jié)合思想畫出圖：法一：把a(bǔ)擾著C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，看所得軌跡以AD有無交點(diǎn)：

C當(dāng)無交點(diǎn)則B無解、當(dāng)有一個(gè)交點(diǎn)則B有一解、當(dāng)有兩個(gè)交點(diǎn)則B有兩個(gè)解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情況：

a當(dāng)a高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（復(fù)習(xí)專用）人教版富寧一中

第二章數(shù)列

1、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)．2、數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)．3、有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列．4、無窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列．

5、遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列（即：an+1>an）．6、遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列（即：an+1高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（復(fù)習(xí)專用）人教版

*②若項(xiàng)數(shù)為2n1n，則S2n12n1an，且S奇S偶a富寧一中

n，S奇n（其中S奇nan，S偶n1．S偶n1an）

18、如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比．符號(hào)表示：

an1q（注：①等比數(shù)列中不會(huì)出現(xiàn)值為0的項(xiàng)；②同號(hào)位an上的值同號(hào)）

注：看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：

2①anan1q(n2,q為常數(shù),且0)②anan1an1(n2，anan1an10)

③ancqn(c,q為非零常數(shù)).

④正數(shù)列{an}成等比的充要條件是數(shù)列{logxan}（x1）成等比數(shù)列.

G，b成等比數(shù)列，19、在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，則G稱為a與b的等比中項(xiàng)．若Gab，

則稱G為a與b的等比中項(xiàng)．（注：由Gab不能得出a，G，b成等比，由a，G，bGab）

20、若等比數(shù)列an的首項(xiàng)是a1，公比是q，則ana1qn1．

n1nmaaqaaq21、通項(xiàng)公式的變形：①n；②1；③qn1mn222annmanq；④．a(chǎn)a1m*22、若an是等比數(shù)列，且mnpq（m、n、p、q），則amanapaq；若an是*等比數(shù)列，且2npq（n、p、q），則an2apaq．

23、等比數(shù)列

anna1q1的前n項(xiàng)和的公式：①Sna11qnaaq．②

1nq11q1qsna1a2an

24、對(duì)任意的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系：ans1a1(n1)

snsn1(n2)[注]：①ana1n1dnda1d（d可為零也可不為零→為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）→若d不為0，則是等差數(shù)列充分條件）.

②等差{an}前n項(xiàng)和SnAn2Bnn2a1d2ddn→可以為零也可不為零→為等差的充要條件22→若d為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若d不為零，則是等差數(shù)列的充分條件.

③非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不可能有等比數(shù)列）．．

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附：幾種常見的數(shù)列的思想方法：

1、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，在d0時(shí)，有最大值.如何確定使Sn取最大值時(shí)的n值，有兩種方法：一是求使an0,an10，成立的n值；二是由Sn

數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式與函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列（指數(shù)型函數(shù)）數(shù)列等差數(shù)列（等比數(shù)列（指數(shù)型函數(shù)）我們用函數(shù)的觀點(diǎn)揭開了數(shù)列神秘的“面紗”，將數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和看成是關(guān)于n的函數(shù)，為我們解決數(shù)列有關(guān)問題提供了非常有益的啟示。

例題：1、等差數(shù)列{an}中anm,amn，(nm)則anm.分析：因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以an是關(guān)于n的一次函數(shù)，一次函數(shù)圖像是一條直線，則（n,m）,(m,n),(nm,anm)三點(diǎn)共線，所以利用每?jī)牲c(diǎn)形成直線斜率相等，即得anm0（圖像如上），這里利用等差

數(shù)列通項(xiàng)公式與一次函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并結(jié)合圖像，直觀、簡(jiǎn)潔。

例題：2、等差數(shù)列{an}中，a125，前n項(xiàng)和為Sn，若S9S17，n為何值時(shí)Sn最大？分析：等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn可以看成關(guān)于n的二次函數(shù)Sn時(shí)為二次函數(shù)）前n項(xiàng)和公式對(duì)應(yīng)函數(shù)通項(xiàng)公式對(duì)應(yīng)函數(shù)（時(shí)為一次函數(shù)）d2dn(a1)n利用二次函數(shù)的性質(zhì)求n的值.22anmnnm，mn(nm)md2dn(a1)n22是拋物線f(n)-36-

d2dn(a1)n上的離散點(diǎn)，根據(jù)題意，S9S17，高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（復(fù)習(xí)專用）人教版富寧一中

則因?yàn)橛�求Sn最大值，故其對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖像開口向下，并且對(duì)稱軸為x時(shí)，Sn最大。

例題：3遞增數(shù)列{an}，對(duì)任意正整數(shù)n，ann2n恒成立，求

91713，即當(dāng)n132分析：1)構(gòu)造一次函數(shù)，由數(shù)列{an}遞增得到：an1an0對(duì)于一切

恒成立，所以(2n1)對(duì)一切

恒成立，即

恒成立，設(shè)f(n)(2n1)，則只需求出f(n)的最大值即可，顯然f(n)有最大值f(1)3，所以的取值范圍是：3。

2)構(gòu)造二次函數(shù)，

看成函數(shù)

，它的定義域是

，因?yàn)槭?/p>

遞增數(shù)列，即函數(shù)為遞增函數(shù)，單調(diào)增區(qū)間為,拋物線對(duì)稱軸，因?yàn)楹瘮?shù)

f(x)為離散函數(shù)，要函數(shù)單調(diào)遞增，就看動(dòng)軸與已知區(qū)間的位。從對(duì)應(yīng)圖像上看，對(duì)稱軸

的左側(cè)，也可以（如圖），因?yàn)榇藭r(shí)B點(diǎn)比A點(diǎn)高。于是，

，得

在

2、如果數(shù)列可以看作是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積，求此數(shù)列前n項(xiàng)和可依照等比數(shù)

111列前n項(xiàng)和的推倒導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減求和.例如：1,3,...(2n1)n,...

242

3、兩個(gè)等差數(shù)列的相同項(xiàng)亦組成一個(gè)新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項(xiàng)就是原兩個(gè)數(shù)列的第一個(gè)相同項(xiàng)，公差是兩個(gè)數(shù)列公差d1，d2的最小公倍數(shù).

4.判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：(1)定義法:對(duì)于n≥2的任意自然數(shù),驗(yàn)證

anan1(an)為同一常數(shù)。(2)通項(xiàng)公式法。(3)中項(xiàng)公式法:驗(yàn)證an122an1anan2(an1anan2)nN都成立。

5.在等差數(shù)列｛an｝中,有關(guān)Sn的最值問題：(1)當(dāng)a1>0,d高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（復(fù)習(xí)專用）人教版富寧一中

最大值.(2)當(dāng)a10時(shí)，滿足注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

am0的項(xiàng)數(shù)m使得sm取最小值。在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問題時(shí),

am10附：數(shù)列求和的常用方法

1.公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。2.裂項(xiàng)相消法:適用于階乘的數(shù)列等。

例題：已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=

c其中{an}是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含

anan11,求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.

n(n1)解：觀察后發(fā)現(xiàn)：an=

11nn1sna1a2an

11111(1)()()

223nn111n13.錯(cuò)位相減法:適用于anbn其中{an}是等差數(shù)列，bn是各項(xiàng)不為0的等比數(shù)列。例題：已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為ann2n，求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)之和sn。解：由題設(shè)得：

sna1a2a3an

=122232n2

即sn=122232n2①把①式兩邊同乘2后得

123n123n2sn=122223324n2n1②

用①-②，即：

sn=121222323n2n①2sn=122223324n2n1②

得

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sn1222232nn2n12(12n)2n2n11

2n12n2n1(1n)2n12sn(n1)2n12

4.倒序相加法:類似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.5.常用結(jié)論1）:1+2+3+...+n=

n(n1)22）1+3+5+...+(2n-1)=n23）1323n312n(n1)2

4）122232n216n(n1)(2n1)5）

1n(n1)1n11n1

n(n2)12(1n1n2)6）

1111pqqp(pq)(pq)

第三章不等式

1、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

2、不等式的性質(zhì)：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；

⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0anbnn,n1；

⑧ab0nanbn,n1．

3、一元二次不等式：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式．4、含絕對(duì)值不等式、一元二次不等式的解法及延伸（1）整式不等式（高次不等式）的解法

-39-

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穿根法（零點(diǎn)分段法）

求解不等式：a0xna1xn1a2xn2an0(0)(a00)

解法：①將不等式化為a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（復(fù)習(xí)專用）人教版富寧一中

一元二次不等式的求解：

特例①一元一次不等式ax>b解的討論；

2

②一元二次不等式ax+bx+c>0(a>0)解的討論.0二次函數(shù)00yax2bxc（a0）的圖象一元二次方程有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根無實(shí)根ax2bxc0a0的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集x1,x2(x1x2)bx1x22axxx或xx12bxx2aRxx1xx2對(duì)于a0(或高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（復(fù)習(xí)專用）人教版富寧一中

式組axbc在解-c高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（復(fù)習(xí)專用）人教版富寧一中

(4).一元二次方程ax+bx+c=0(a>0)的實(shí)根的分布常借助二次函數(shù)圖像來分析：設(shè)ax+bx+c=0的兩根為、，f(x)=ax+bx+c,那么：

222

y0①若兩根都大于0，即0,0，則有0

0

o對(duì)稱軸x=xb2ay0b②若兩根都小于0，即0,0，則有0

2af(0)0

對(duì)稱軸x=b2ayox③若兩根有一根小于0一根大于0，即0，則有f(0)0

④若兩根在兩實(shí)數(shù)m,n之間，即mn，

yox0bmnom則有2af(m)0f(n)0

⑤若兩個(gè)根在三個(gè)實(shí)數(shù)之間，即mtn，yX=b2anxf(m)0則有f(t)0

f(n)0常由根的分布情況來求解出現(xiàn)在a、b、c位上的參數(shù)

omtX=nxb2a高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（復(fù)習(xí)專用）人教版富寧一中

例如：若方程x22(m1)xm22m30有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍。

0解：由①型得004(m1)24(m22m3)02(m1)0m22m30m1m1m1,或m3m3

所以方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根時(shí)，m3。

又如：方程xxm10的一根大于1，另一根小于1，求m的范圍。解：因?yàn)橛袃蓚�(gè)不同的根，所以由

2255220(1)4(m1)0m2221m12f(1)011m101m15、二元一次不等式：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式．

6、二元一次不等式組：由幾個(gè)二元一次不等式組成的不等式組．

7、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對(duì)x,y，所有這樣的有序數(shù)對(duì)x,y構(gòu)成的集合．

8、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線xyC0，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)x0,y0．①若0，x0y0C0，則點(diǎn)x0,y0在直線xyC0的上方．②若0，x0y0C0，則點(diǎn)x0,y0在直線xyC0的下方．9、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線xyC0．（一）由B確定：

①若0，則xyC0表示直線xyC0上方的區(qū)域；xyC0表示直線

xyC0下方的區(qū)域．

②若0，則xyC0表示直線xyC0下方的區(qū)域；xyC0表示直線

xyC0上方的區(qū)域．

（二）由A的符號(hào)來確定：

先把x的系數(shù)A化為正后，看不等號(hào)方向：

①若是“>”號(hào)，則xyC0所表示的區(qū)域?yàn)橹本�l:xyC0的右邊部分。②若是“高中數(shù)學(xué)必修1至必修5知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（復(fù)習(xí)專用）人教版富寧一中

例題：畫出不等式組2xy50所表示的平面區(qū)域。解：略

y3x52yx5010、線性約束條件：由x，y的不等式（或方程）組成的不等式組，是x，y的線性約束條件．目標(biāo)函數(shù)：欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x，y的解析式．線性目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)函數(shù)為x，y的一次解析式．

線性規(guī)劃問題：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題．可行解：滿足線性約束條件的解x,y．

可行域：所有可行解組成的集合．

最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解．11、設(shè)a、b是兩個(gè)正數(shù)，則

ab稱為正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，ab稱為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)．2abab．212、均值不等式定理：若a0，b0，則ab2ab，即13、常用的基本不等式：

a2b2①ab2aba,bR；②aba,bR；

222a2b2abab③aba0,b0；④a,bR．

22214、極值定理：設(shè)x、y都為正數(shù)，則有：

22s2⑴若xys（和為定值），則當(dāng)xy時(shí)，積xy取得最大值．⑵若xyp（積為定值），則當(dāng)xy4時(shí)，和xy取得最小值2p．

例題：已知x51，求函數(shù)f(x)4x2的最大值。44x5解：x

5，4x50由原式可以化為：41111(54x)3[(54x)]3(54x)31324x554x54x54xf(x)4x552當(dāng)54x132，即(54x)1x1，或x(舍去）時(shí)取到“=”號(hào)54x2也就是說當(dāng)x1時(shí)有f(x)max2

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