高中數(shù)學(xué)選修知識點總結(jié)(全)

高中數(shù)學(xué)選修4-1知識點總結(jié)

平行線等分線段定理

平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。推理1：經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊。推理2：經(jīng)過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線平分另一腰。

平分線分線段成比例定理

平分線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。

推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例。

相似三角形的判定及性質(zhì)

相似三角形的判定：

定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。相似三角形對應(yīng)邊的比值叫做相似比（或相似系數(shù)）。由于從定義出發(fā)判斷兩個三角形是否相似，需考慮6個元素，即三組對應(yīng)角是否分別相等，三組對應(yīng)邊是否分別成比例，顯然比較麻煩。所以我們曾經(jīng)給出過如下幾個判定兩個三角形相似的簡單方法：（1）兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似；（2）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；（3）三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。

預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與三角形相似。判定定理1：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。

判定定理2：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。

判定定理3：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似。簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。

引理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。定理：（1）如果兩個直角三角形有一個銳角對應(yīng)相等，那么它們相似；

（2）如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應(yīng)成比例，那么它們相似。

定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似。

相似三角形的性質(zhì)：

（1）相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)平分線的比都等于相似比；（2）相似三角形周長的比等于相似比；

（3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方。

直角三角形的射影定理

射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項。

圓周定理

圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓周角的一半。圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)。

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理

定理1：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補。

定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角。

圓內(nèi)接四邊形判定定理：如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓。推論：如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓。

圓的切線的性質(zhì)及判定定理

切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點。推論2：經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。

切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

弦切角的性質(zhì)

弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。

與圓有關(guān)的比例線段

相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。

割線定理：從園外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。

切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。

高中數(shù)學(xué)選修4-4知識點總結(jié)

一、選考內(nèi)容《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》高考考試大綱要求：1．坐標(biāo)系：

①理解坐標(biāo)系的作用.②了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.

③能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點的位置，理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.

④能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形（如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓）的方程.通過比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程，理解用方程表示平面圖形時選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義.2．參數(shù)方程：①了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義.

②能選擇適當(dāng)?shù)膮��?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程.二、知識歸納總結(jié)：

xx,(0),1．伸縮變換：設(shè)點P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點，在變換:的作用下，點P(x,y)對應(yīng)

yy,(0).到點P(x,y)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換。

2.極坐標(biāo)系的概念：在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點；自極點O引一條射線Ox叫做極軸；再選定一個長度單位、一

個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系。

3．點M的極坐標(biāo)：設(shè)M是平面內(nèi)一點，極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑，記為；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的xOM叫做點M的極角，記為。有序數(shù)對(,)叫做點M的極坐標(biāo)，記為M(,).極坐標(biāo)(,)與(,2k)(kZ)表示同一個點。極點O的坐標(biāo)為(0,)(R).

4.若0,則0,規(guī)定點(,)與點(,)關(guān)于極點對稱，即(,)與(,)表示同一點。

如果規(guī)定0,02，那么除極點外，平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標(biāo)(,)表示；同時，極坐標(biāo)(,)表示的點也是唯一確定的。5．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化：

2x2y,2xcos,tanyxysin,(x0)

6。圓的極坐標(biāo)方程：

在極坐標(biāo)系中，以極點為圓心，r為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是r；

在極坐標(biāo)系中，以C(a,0)(a0)為圓心，a為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是2acos；在極坐標(biāo)系中，以C(a,2)(a0)為圓心，a為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是2asin；

7.在極坐標(biāo)系中，(0)表示以極點為起點的一條射線；(R)表示過極點的一條直線.在極坐標(biāo)系中，過點A(a,0)(a0)，且垂直于極軸的直線l的極坐標(biāo)方程是cosa.

8．參數(shù)方程的概念：在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點的坐標(biāo)x,y都是某個變數(shù)t的函數(shù)xf(t),yg(t),并且對于

t的每一個允許值，由這個方程所確定的點M(x,y)都在這條曲線上，那么這個方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系

變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)。

相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。9．圓(xa)(yb)r的參數(shù)方程可表示為2222222xarcos,ybrsin.(為參數(shù)).

橢圓

xaybxacos,(為參數(shù)).1(ab0)的參數(shù)方程可表示為ybsin.拋物線y2x2px2,(t為參數(shù)).2px的參數(shù)方程可表示為y2pt.xxotcos,經(jīng)過點MO(xo,yo)，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程可表示為（t為參數(shù)）.

yytsin.o10．在建立曲線的參數(shù)方程時，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x,y的取值范圍保持一致.

高中數(shù)學(xué)選修4-5知識點總結(jié)

1、不等式的基本性質(zhì)①（對稱性）abba②（傳遞性）ab,bcac③（可加性）ab（同向可加性）a（異向可減性）a④（可積性）ab,c

acbc

b,cdacbdb,cdacb0acbcd

b0,0cdacbd,ab,c0acbc⑤（同向正數(shù)可乘性）a⑥（平方法則）ab0,cd0acbdnn（異向正數(shù)可除性）ab0n

b0ab(nN,且n1)⑦（開方法則）a1a1banb(nN,且n1)

⑧（倒數(shù)法則）ab0

1a1b;ab2、幾個重要不等式①ab2aba，bR,（當(dāng)且僅當(dāng)ab時取""號）.變形公式：ab22ab222.

②（基本不等式）

ab2aba，bR,（當(dāng)且僅當(dāng)ab時取到等號）.

ab變形公式：ab2abab.

22用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”.

③（三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式）

abc33abc(a、b、cR)（當(dāng)且僅當(dāng)abc時取到等號）.

④abcabbccaa，bR（當(dāng)且僅當(dāng)abc時取到等號）.⑤abc3abc(a0,b0,c0)（當(dāng)且僅當(dāng)abc時取到等號）.⑥若ab0,則baab2（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）若ab0,則baab2（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）

333222⑦絕對值三角不等式ababab.

3、幾個著名不等式①平均不等式：

2a1b1abab2ab222（a,bR，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取""號）.，（即調(diào)和平均幾何平均算術(shù)平均平方平均）.

(ab)abab22ab.;變形公式：ab2222222

4、一元二次不等式的解法求一元二次不等式axbxc0(或0)(a0,b4ac0)解集的步驟：

一化：化二次項前的系數(shù)為正數(shù).二判：判斷對應(yīng)方程的根.三求：求對應(yīng)方程的根.四畫：畫出對應(yīng)函數(shù)的圖象.五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集.規(guī)律：當(dāng)二次項系數(shù)為正時，小于取中間，大于取兩邊.5、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿（奇穿偶切），結(jié)合原式不等號的方向，寫出不等式的解集.6、分式不等式的解法：先移項通分標(biāo)準(zhǔn)化，則

f(x)g(x)f(x)0f(x)g(x)0“或”時同理）（

22f(x)g(x)00g(x)g(x)0規(guī)律：把分式不等式等價轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.7、無理不等式的解法：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解⑴f(x)0f(x)a(a0)⑵2f(x)af(x)0f(x)a(a0)2f(x)a⑶f(x)0f(x)0f(x)g(x)g(x)0或

g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)0f(x)g(x)g(x)0⑸f(x)[g(x)]2f(x)0g(x)g(x)0

f(x)g(x)⑷f(x)規(guī)律：把無理不等式等價轉(zhuǎn)化為有理不等式，訣竅在于從“小”的一邊分析求解.8、指數(shù)不等式的解法：⑴當(dāng)a1時,af(x)ag(x)f(x)g(x)⑵當(dāng)0a1時,af(x)ag(x)f(x)g(x)

規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.9、對數(shù)不等式的解法f(x)0f(x)0f(x)logag(x)g(x)0.⑵當(dāng)0a1時,logaf(x)logag(x)g(x)0f(x)g(x)f(x)g(x)⑴當(dāng)a1時,loga規(guī)律：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.10、含絕對值不等式的解法：(a0)a22.⑵平方法：f(x)g(x)f(x)g(x).⑴定義法：aa(a0)⑶同解變形法，其同解定理有：

①xaaxa(a0);②xaxa或xa(a0);③f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)④

f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(g(x)0)

規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號.11、含有兩個（或兩個以上）絕對值的不等式的解法：規(guī)律：找零點、劃區(qū)間、分段討論去絕對值、每段中取交集，最后取各段的并集.12、含參數(shù)的不等式的解法解形如axbxc0且含參數(shù)的不等式時，要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類討論的標(biāo)準(zhǔn)有：⑴討論a與0的大��；⑵討論與0的大��；⑶討論兩根的大小.13、恒成立問題⑴不等式axbxc0的解集是全體實數(shù)（或恒成立）的條件是：

①當(dāng)a0時b0,c0;②當(dāng)a0時a00.22

⑵不等式axbxc0的解集是全體實數(shù)（或恒成立）的條件是：

①當(dāng)a0時b0,c0;②當(dāng)a0時a00.⑶f(x)a恒成立f(x)maxa;f(x)a恒成立f(x)maxa;⑷f(x)a恒成立f(x)mina;f(x)a恒成立f(x)mina.

擴展閱讀：(新課標(biāo)人教版)201*年高中數(shù)學(xué)必修+選修全部知識點精華歸納總結(jié)

高中數(shù)學(xué)必修+選修知識點歸納

新課標(biāo)人教A版

引言

1.課程內(nèi)容：

必修課程由5個模塊組成：

必修1：集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（指、

對、冪函數(shù)）

必修2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。必修3：算法初步、統(tǒng)計、概率。必修4：基本初等函數(shù)（三角函數(shù)）、平面向量、

三角恒等變換。

必修5：解三角形、數(shù)列、不等式。

以上是每一個高中學(xué)生所必須學(xué)習(xí)的。上述內(nèi)容覆蓋了高中階段傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的主要部分，其中包括集合、函數(shù)、數(shù)列、不等式、解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證打好基礎(chǔ)的同時，進(jìn)一步強調(diào)了這些知識的發(fā)生、發(fā)展過程和實際應(yīng)用，而不在技巧與難度上做過高的要求。

此外，基礎(chǔ)內(nèi)容還增加了向量、算法、概率、統(tǒng)計等內(nèi)容。

選修課程有4個系列：系列1：由2個模塊組成。

選修11：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。

選修12：統(tǒng)計案例、推理與證明、數(shù)系的擴

充與復(fù)數(shù)、框圖

系列2：由3個模塊組成。

選修21：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、

空間向量與立體幾何。

選修22：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，推理與證明、數(shù)系

的擴充與復(fù)數(shù)

選修23：計數(shù)原理、隨機變量及其分布列，

統(tǒng)計案例。

系列3：由6個專題組成。選修31：數(shù)學(xué)史選講。

選修32：信息安全與密碼。選修33：球面上的幾何。選修34：對稱與群。

-1-

選修35：歐拉公式與閉曲面分類。選修36：三等分角與數(shù)域擴充。系列4：由10個專題組成。選修41：幾何證明選講。選修42：矩陣與變換。選修43：數(shù)列與差分。

選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程。選修45：不等式選講。選修46：初等數(shù)論初步。

選修47：優(yōu)選法與試驗設(shè)計初步。選修48：統(tǒng)籌法與圖論初步。選修49：風(fēng)險與決策。

選修410：開關(guān)電路與布爾代數(shù)。

高中數(shù)學(xué)解題基本方法

一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、

配方法換元法待定系數(shù)法定義法數(shù)學(xué)歸納法參數(shù)法反證法消去法分析與綜合法特殊與一般法

十一、類比與歸納法十二、觀察與實驗法

高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想

一、數(shù)形結(jié)合思想二、類討論思想三、函數(shù)與方程思想四轉(zhuǎn)化（化歸）思想

2．重難點及考點：

重點：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量，

圓錐曲線，立體幾何，導(dǎo)數(shù)難點：函數(shù)、圓錐曲線高考相關(guān)考點：

⑴集合與簡易邏輯:集合的概念與運算、簡易邏

輯、充要條件

⑵函數(shù)：映射與函數(shù)、函數(shù)解析式與定義域、

值域與最值、反函數(shù)、三大性質(zhì)、函數(shù)圖象、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用

⑶數(shù)列：數(shù)列的有關(guān)概念、等差數(shù)列、等比數(shù)

列、數(shù)列求和、數(shù)列的應(yīng)用

⑷三角函數(shù)：有關(guān)概念、同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式、

和、差、倍、半公式、求值、化簡、證明、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用

⑸平面向量：有關(guān)概念與初等運算、坐標(biāo)運算、

數(shù)量積及其應(yīng)用

⑹不等式：概念與性質(zhì)、均值不等式、不等式

的證明、不等式的解法、絕對值不等式、不等式的應(yīng)用

⑺直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位

置關(guān)系、線性規(guī)劃、圓、直線與圓的位置關(guān)系

⑻圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直

線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡問題、圓錐曲線的應(yīng)用

⑼直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線

與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間向量

⑽排列、組合和概率：排列、組合應(yīng)用題、二

項式定理及其應(yīng)用

⑾概率與統(tǒng)計：概率、分布列、期望、方差、

抽樣、正態(tài)分布

⑿導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用⒀復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念與運算

必修1數(shù)學(xué)知識點第一章：集合與函數(shù)概念

1.1.1、集合

1、把研究的對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總

體叫做集合。集合三要素：確定性、互異性、無序性。2、只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個

集合相等。

3、常見集合：正整數(shù)集合：N*或N，整數(shù)集合：Z，有理數(shù)集合：Q，實數(shù)集合：R.

f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是增函數(shù)；f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是減函數(shù).

步驟：取值作差變形定號判斷格式：解：設(shè)x1,x2a,b且x1x2，則：fx1fx2=

(2)導(dǎo)數(shù)法：設(shè)函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若f(x)0，則f(x)為增函數(shù)；

若f(x)0，則f(x)為減函數(shù). 1.3.2、奇偶性

1、一般地，如果對于函數(shù)fx的定義域內(nèi)任意一個

x，都有fxfx，那么就稱函數(shù)fx為

4、集合的表示方法：列舉法、描述法.

1.1.2、集合間的基本關(guān)系

1、一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A中任

意一個元素都是集合B中的元素，則稱集合A是集合B的子集。記作AB.

2、如果集合AB，但存在元素xB，且xA，

則稱集合A是集合B的真子集.記作：AB.3、把不含任何元素的集合叫做空集.記作：.并規(guī)定：

空集合是任何集合的子集.4、如果集合A中含有n個元素，則集合A有2n個子

集，2n1個真子集.

1.1.3、集合間的基本運算

1、一般地，由所有屬于集合A或集合B的元素組成

的集合，稱為集合A與B的并集.記作：AB.2、一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素

組成的集合，稱為A與B的交集.記作：AB.3、全集、補集？CUA{x|xU,且xU} 1.2.1、函數(shù)的概念

1、設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)

關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有惟一確定的數(shù)fx和它對應(yīng)，那么就稱f:AB為集合A到集合B的一個函數(shù)，記作：yfx,xA.

2、一個函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值

域.如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完

全一致，則稱這兩個函數(shù)相等.

1.2.2、函數(shù)的表示法

1、函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法. 1.3.1、單調(diào)性與最大（�。┲�1、注意函數(shù)單調(diào)性的證明方法：

(1)定義法：設(shè)x1、x2[a,b],x1x2那么

-3-

偶函數(shù).偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱.

2、一般地，如果對于函數(shù)fx的定義域內(nèi)任意一個

都有fxfx，那么就稱函數(shù)fx為x，

奇函數(shù).奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱.知識鏈接：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1、函數(shù)yf(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)yf(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)是曲線yf(x)在

P(x0,f(x0))處的切線的斜率f(x0)，相應(yīng)的切線方

程是yy0f(x0)(xx0).2、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)"n"n1①C0；②(x)nx；

③(sinx)cosx；④(cosx)sinx；⑤(a)alna；⑥(e)e；⑦(logax"xx"x""xlna3、導(dǎo)數(shù)的運算法則""""""x)"1；⑧(lnx)"1x

（1）(uv)uv.（2）(uv)uvuv.(v0).（3）()2vv4、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則u"uvuv""復(fù)合函數(shù)yf(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)

yf(u),ug(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yxyuux，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.

解題步驟:分層層層求導(dǎo)作積還原.5、函數(shù)的極值(1)極值定義：

極值是在x0附近所有的點，都有f(x)＜f(x0)，則f(x0)是函數(shù)f(x)的極大值；

極值是在x0附近所有的點，都有f(x)＞f(x0)，則f(x0)是函數(shù)f(x)的極小值.(2)判別方法：

①如果在x0附近的左側(cè)f"(x)＞0，右側(cè)f"(x)＜0，那么f(x0)是極大值；

②如果在x0附近的左側(cè)f"(x)＜0，右側(cè)f"(x)＞0，那么f(x0)是極小值.6、求函數(shù)的最值(1)求yf(x)在(a,b)內(nèi)的極值（極大或者極小值）

2.1.2、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、記住圖象：yaxa0,a1

2、性質(zhì)：

yy=ax0

7、倒數(shù)關(guān)系：logab1logb2、零點存在性定理：aa0,a1,b0,b1.

如果函數(shù)yfx在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有fafb0，那么函數(shù)yfx在區(qū)間a,b內(nèi)有零點，即存在ca,b，

2..2.2、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、記住圖象：ylog

2、性質(zhì)：圖-12.51.5axa0,a1

yy=logax0

必修2數(shù)學(xué)知識點第一章：空間幾何體1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)⑴常見的多面體有：棱柱、棱錐、棱臺；常見的旋轉(zhuǎn)體有：圓柱、圓錐、圓臺、球。

⑵棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且

每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。

3、公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它

們有且只有一條過該點的公共直線。

4、公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

5、定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這

兩個角相等或互補。

6、線線位置關(guān)系：平行、相交、異面。

7、線面位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)、直線和平面平行、直

線和平面相交。

8、面面位置關(guān)系：平行、相交。9、線面平行：

⑴判定：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則

該直線與此平面平行（簡稱線線平行，則線面平行）。⑵性質(zhì)：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一

平面與此平面的交線與該直線平行（簡稱線面平行，則線線平行）。

⑶棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺。

2、空間幾何體的三視圖和直觀圖把光由一點向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影線交于一點；把在一束平行光線照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影線是平行的。

3、空間幾何體的表面積與體積10、面面平行：

⑴判定：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，

則這兩個平面平行（簡稱線面平行，則面面平行）。

⑵性質(zhì)：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么

⑴圓柱側(cè)面積；S側(cè)面2rl

它們的交線平行（簡稱面面平行，則線線平行）。

11、線面垂直：⑴定義：如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的任意一條直線，

那么就說這條直線和這個平面垂直。

⑵判定：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，

則該直線與此平面垂直（簡稱線線垂直，則線面垂直）。

⑵圓錐側(cè)面積：S側(cè)面rl

⑶圓臺側(cè)面積：S側(cè)面rlRl⑷體積公式：

V柱體Sh；V錐體⑶性質(zhì)：垂直于同一個平面的兩條直線平行。12、面面垂直：

⑴定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面

角，就說這兩個平面互相垂直。

⑵判定：一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個

平面垂直（簡稱線面垂直，則面面垂直）。

⑶性質(zhì)：兩個平面互相垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的

直線垂直于另一個平面。（簡稱面面垂直，則線面垂直）。

第三章：直線與方程

1、傾斜角與斜率：ktan2、直線方程：⑴點斜式：yy0kxx0

y2y1x2x113Sh；

V臺體13S2上S上S下S下h

⑸球的表面積和體積：

S球4R，V球43R.

3第二章：點、直線、平面之間的位置關(guān)系

1、公理1：如果一條直線上兩點在一個平面內(nèi)，那么這條

直線在此平面內(nèi)。

⑵斜截式：ykxb

yy1xx1y2y1x2x1⑶兩點式：

2、公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

⑷截距式：

xayb1

第四章：圓與方程1、圓的方程：⑴標(biāo)準(zhǔn)方程：xaybr2

22⑸一般式：AxByC03、對于直線：l1:yk1xb1,l2:yk2xb2有：

其中圓心為(a,b)，半徑為r.

⑵一般方程：x2y2DxEyF0.

k1k2⑴l1//l2；

b1b2其中圓心為(D2,E2半徑為r)，

12DE4F.22⑵l1和l2相交k1k2；k1k2⑶l1和l2重合；

bb212、直線與圓的位置關(guān)系直線AxByC0與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系有三種:

dr相離0;dr相切0;dr相交0.

⑷l1l2k1k21.

4、對于直線：l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20弦長公式：l2rd有：

1k222

2(x1x2)4x1x2

A1B2A2B1⑴l1//l2；

B1C2B2C13、兩圓位置關(guān)系：dO1O2⑴外離：d⑵外切：d⑶相交：R⑷內(nèi)切：dRr；Rr；

rdRr；Rr；

⑵l1和l2相交A1B2A2B1；A1B2A2B1⑶l1和l2重合；BCBC2112⑸內(nèi)含：dRr.

3、空間中兩點間距離公式：P1P2⑷l1l2A1A2B1B20.

5、兩點間距離公式：P1P2x2x1y2y1z2z1

222

2x2x1y2y1

2

6、點到直線距離公式：dAx0By0CAB22

7、兩平行線間的距離公式：l1：AxByC10與l2：AxByC20平行，

則dC1C2AB22

-7-

必修3數(shù)學(xué)知識點第一章：算法1、算法三種語言：自然語言、流程圖、程序語言；2、流程圖中的圖框：起止框、輸入輸出框、處理框、判斷框、流程線等⑶循環(huán)結(jié)構(gòu)示意圖：

①當(dāng)型（WHILE型）循環(huán)結(jié)構(gòu)示意圖：循環(huán)體規(guī)范表示方法；

3、算法的三種基本結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)⑴順序結(jié)構(gòu)示意圖：語句n

語句n+1（圖1）

⑵條件結(jié)構(gòu)示意圖：①IF-THEN-ELSE格式：滿足條件？否是

語句1語句2

（圖2）

②IF-THEN格式：是滿足條件？否語句

（圖3）

滿足條件？是否

（圖4）

②直到型（UNTIL型）循環(huán)結(jié)構(gòu)示意圖：循環(huán)體否

滿足條件？是（圖5）

4、基本算法語句：①輸入語句的一般格式：INPUT“提示內(nèi)容”；變量②輸出語句的一般格式：PRINT“提示內(nèi)容”；表達(dá)式③賦值語句的一般格式：變量＝表達(dá)式（“=”有時也用“←”）.④條件語句的一般格式有兩種：

IFTHENELSE語句的一般格式為：IF條件THEN語句1

ELSE

語句2ENDIF（圖2）

IFTHEN語句的一般格式為：IF條件THEN語句ENDIF（圖3）

-8-

⑤循環(huán)語句的一般格式是兩種：

當(dāng)型循環(huán)（WHILE）語句的一般格式：

2、總體分布的估計：⑴一表二圖：①頻率分布表數(shù)據(jù)詳實②頻率分布直方圖分布直觀

③頻率分布折線圖便于觀察總體分布趨勢注：總體分布的密度曲線與橫軸圍成的面積為1。⑵莖葉圖：

①莖葉圖適用于數(shù)據(jù)較少的情況，從中便于看出數(shù)據(jù)的分布，以及中位數(shù)、眾位數(shù)等。

②個位數(shù)為葉，十位數(shù)為莖，右側(cè)數(shù)據(jù)按照從小到大書寫，相同的數(shù)據(jù)重復(fù)寫。3、總體特征數(shù)的估計：⑴平均數(shù)：xx1x2x3xnnWHILE條件循環(huán)體WEND（圖4）直到型循環(huán)（UNTIL）語句的一般格式：

DO循環(huán)體LOOPUNTIL條件（圖5）；

⑹算法案例：①輾轉(zhuǎn)相除法結(jié)果是以相除余數(shù)為0而得到利用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：）：用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個商S0和一個余數(shù)R0；）：若R0＝0，則n為m，n的最大公約數(shù)；若R0≠0，則用除數(shù)n除以余數(shù)R0得到一個商S1和一個余數(shù)R1；）：若R1＝0，則R1為m，n的最大公約數(shù)；若R1≠0，則用除數(shù)R0除以余數(shù)R1得到一個商S2和一個余數(shù)R2；

依次計算直至Rn＝0，此時所得到的Rn1即為所求的最大公約數(shù)。

②更相減損術(shù)結(jié)果是以減數(shù)與差相等而得到利用更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟如下：）：任意給出兩個正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步。）：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。③進(jìn)位制十進(jìn)制數(shù)化為k進(jìn)制數(shù)除k取余法k進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)第二章：統(tǒng)計1、抽樣方法：①簡單隨機抽樣（總體個數(shù)較少）

②系統(tǒng)抽樣（總體個數(shù)較多）③分層抽樣（總體中差異明顯）注意：在N個個體的總體中抽取出n個個體組成樣本，每個個體被抽到的機會（概率）均為

nN取值為x1,x2,,xn的頻率分別為p1,p2,,pn，則其

平均數(shù)為x1p1x2p2xnpn；

注意：頻率分布表計算平均數(shù)要取組中值。⑵方差與標(biāo)準(zhǔn)差：一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,,xn方差：s21nn2i(xi1x)；

2標(biāo)準(zhǔn)差：s1nn(xi1ix)

注：方差與標(biāo)準(zhǔn)差越小，說明樣本數(shù)據(jù)越穩(wěn)定。平均數(shù)反映數(shù)據(jù)總體水平；方差與標(biāo)準(zhǔn)差反映數(shù)據(jù)的穩(wěn)定水平。⑶線性回歸方程

①變量之間的兩類關(guān)系：函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系；②制作散點圖，判斷線性相關(guān)關(guān)系③線性回歸方程：ybxa（最小二乘法）

nxiyinxyi1bn22xnxii1aybx注意：線性回歸直線經(jīng)過定點(x,y)。第三章：概率

1、隨機事件及其概率：⑴事件：試驗的每一種可能的結(jié)果，用大寫英文字母表示；

⑵必然事件、不可能事件、隨機事件的特點；

。

⑶隨機事件A的概率：P(A)2、古典概型：mn,0P(A)1.

⑴基本事件：一次試驗中可能出現(xiàn)的每一個基本結(jié)果；⑵古典概型的特點：

①所有的基本事件只有有限個；②每個基本事件都是等可能發(fā)生。

⑶古典概型概率計算公式：一次試驗的等可能基本事件共有n個，事件A包含了其中的m個基本事件，則事件A發(fā)生的概率P(A)3、幾何概型：⑴幾何概型的特點：

①所有的基本事件是無限個；

②每個基本事件都是等可能發(fā)生。⑵幾何概型概率計算公式：P(A)d的測度D的測度mn.

；

其中測度根據(jù)題目確定，一般為線段、角度、面積、體積等。4、互斥事件：⑴不可能同時發(fā)生的兩個事件稱為互斥事件；⑵如果事件A1,A2,,An任意兩個都是互斥事件，則稱事件A1,A2,,An彼此互斥。

⑶如果事件A，B互斥，那么事件A+B發(fā)生的概率，等于事件A，B發(fā)生的概率的和，

即：P(AB)P(A)P(B)

⑷如果事件A1,A2,,An彼此互斥，則有：

P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)

⑸對立事件：兩個互斥事件中必有一個要發(fā)生，則稱這兩個事件為對立事件。①事件A的對立事件記作A

P(A)P(A)1,P(A)1P(A)

②對立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是對立事件。

必修4數(shù)學(xué)知識點第一章：三角函數(shù)

1.1.1、任意角

1、正角、負(fù)角、零角、象限角的概念.2、與角終邊相同的角的集合：2k,kZ.

1.1.2、弧度制

1、把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度

的角.2、lr 1.2.2、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式1、平方關(guān)系：sin2cos21.2、商數(shù)關(guān)系：tansincos3、倒數(shù)關(guān)系：tancot1 1.3、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

（概括為“奇變偶不變，符號看象限”kZ）

.

1、誘導(dǎo)公式一：

sin2ksin,cos2kcos,（其中：kZ）tan2ktan..

nR180R.nR36023、弧長公式：l2、誘導(dǎo)公式二：

sinsin,4、扇形面積公式：S12lR.

coscos,

tantan. 1.2.1、任意角的三角函數(shù)

1、設(shè)是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點Px,y，那么：siny,cosx,tanyx3、誘導(dǎo)公式三：

sinsin,

coscos,

tantan.2、設(shè)點Ax,yrxy）

22為角終邊上任意一點，那么：（設(shè)

4、誘導(dǎo)公式四：

sinsin,coscos,

sinyr，cosxr，tanyx，cotxy

tantan.5、誘導(dǎo)公式五：

sincos,2cossin.23、sin，cos，tan在四個象限的符號和三角

函數(shù)線的畫法.y

正弦線：MP;余弦線：OM;正切線：AT

OMAxPT

6、誘導(dǎo)公式六：

sincos,2cossin.2

5、特殊角0°，30°，45°，60°，90°，180°，270等的三角函數(shù)值.06

322

4322334sin

-11-

costan

1.4.1、正弦、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)1、記住正弦、余弦函數(shù)圖象：2、能夠?qū)φ請D象講出正弦、余弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)：定

義域、值域、最大最小值、對稱軸、對稱中心、

奇偶性、單調(diào)性、周期性.3、會用五點法作圖.

4y=sinx-52-2-3-2-2y1-1y-2-4-7-32-4-7o322253272xyx在x[0,2]上的五個關(guān)鍵點為：

y=cosx-5-32--2-31o32257323（0，0）（，，1）（，，0）（，，）-1（，2，0）.

224x22-12

1.4.3、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1、記住正切函數(shù)的圖象：

yy=tanx-32--2o3x22

2

2、記住余切函數(shù)的圖象：

yy=cotx--32o2x22

3、能夠?qū)φ請D象講出正切函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)：定義域、值域、對稱中心、奇偶性、單調(diào)性、周期性.

周期函數(shù)定義：對于函數(shù)fx，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有fxTfx，那么函數(shù)fx就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.圖表歸納：正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像及其性質(zhì)

ysinxycosxytanx圖象定義域值域x2kRR{x|x2k,kZ}[-1,1]2x2k[-1,1]R無,kZ時，ymax1最值2,kZ時，ymin1x2k,kZ時，ymax1x2k,kZ時，ymin1周期性奇偶性在[2kT2T2T奇2,2k偶]上單調(diào)遞增奇2單調(diào)性在[2k,2k]上單調(diào)遞增3上單調(diào)遞減kZ在在[2k,2k]上單調(diào)遞減[2k,2k]22在(k,k)上單調(diào)遞增22對稱性對稱軸方程：xkZk2對稱軸方程：x對稱中心(kk無對稱軸對稱中心(k2,0)2對稱中心(k,0),0)

-2-

1.5、函數(shù)yAsinx的圖象1、對于函數(shù)：

yAsinxBA0,0有：振幅A，周

數(shù)ytan(x)，xk常數(shù)，且A≠0)的周期T2,kZ(A,ω,為

||.

期T2，初相，相位x，頻率f1T2.

對于yAsin(x和)yAcos(x)來說，對稱中心與零點相聯(lián)系，對稱軸與最值點聯(lián)系.求函數(shù)yAsin(x)圖像的對稱軸與對稱中心，只需令xk2(kZ)與xk(kZ)

2、能夠講出函數(shù)ysinx的圖象與

yAsinxB的圖象之間的平移伸縮變

換關(guān)系.

①先平移后伸縮：xysinx平移||個單位ysin（左加右減）

解出x即可.余弦函數(shù)可與正弦函數(shù)類比可得.

4、由圖像確定三角函數(shù)的解析式y(tǒng)yminyymin利用圖像特征：Amax，Bmax.

22要根據(jù)周期來求,要用圖像的關(guān)鍵點來求.

1.6、三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用1、要求熟悉課本例題.

第三章、三角恒等變換

3.1.1、兩角差的余弦公式記住15°的三角函數(shù)值：cossin12橫坐標(biāo)不變yAsinx

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍

縱坐標(biāo)不變yAsinx

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膢平移|B|個單位（上加下減）

1|倍

tanyAsinxB

64264223

②先伸縮后平移：ysinx橫坐標(biāo)不變yAsinx

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍

3.1.2、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式1、sinsincoscossin2、sinsincoscossin3、coscoscossinsin4、coscoscossinsin5、tan6、tantantan.

1tantantantan.

1tantanx縱坐標(biāo)不變yAsin橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膢平移1|倍

個單位yAsinx

（左加右減）平移|B|個單位（上加下減）

yAsinxB

3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式

1、sin22sincos，sin2.變形：sincos123、三角函數(shù)的周期，對稱軸和對稱中心函數(shù)ysin(x)，x∈R及函數(shù)ycos(x)，x∈R(A,,為常數(shù)，且A≠0)的周期T2||；函

2、cos2cos2sin2

2cos112sin.

22

2.2.1、向量加法運算及其幾何意義1、三角形加法法則和平行四邊形加法法則.

2、ab≤ab.

2.2.2、向量減法運算及其幾何意義

1、與a長度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.2、三角形減法法則和平行四邊形減法法則.

2.2.3、向量數(shù)乘運算及其幾何意義

2變形如下：

21cos22cos升冪公式：

21cos22sincos21(1cos2)2降冪公式：

21sin(1cos2)22tan3、tan2.

21tan4、tan

3.2、簡單的三角恒等變換1、注意正切化弦、平方降次.2、輔助角公式y(tǒng)asinxbcosxabsin(x)

2sin21cos21cos2sin21、規(guī)定：實數(shù)與向量a的積是一個向量，這種運

算叫做向量的數(shù)乘.記作：a，它的長度和方向規(guī)定如下：

（其中輔助角所在象限由點(a,b)的象限決定,tanba).

⑴aa,

⑵當(dāng)0時,a的方向與a的方向相同；當(dāng)

第二章：平面向量

2.1.1、向量的物理背景與概念

1、了解四種常見向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量.

2.1.2、向量的幾何表示

1、帶有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三

個要素：起點、方向、長度.2、向量AB的大小，也就是向量AB的長度（或稱

模），記作AB；長度為零的向量叫做零向量；

0時,a的方向與a的方向相反.

2、平面向量共線定理：向量aa0與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)，使ba. 2.3.1、平面向量基本定理

1、平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩

個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對實數(shù)1,2，使a1e12e2. 2.3.2、平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示1、axiyjx,y.

-3-

長度等于1個單位的向量叫做單位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共

線向量）.規(guī)定：零向量與任意向量平行. 2.1.3、相等向量與共線向量

1、長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

2.3.3、平面向量的坐標(biāo)運算1、設(shè)ax1,y1,bx2,y2，則：⑴abx1x2,y1y2，

⑵abx1x2,y1y2，⑶ax1,y1，⑷a//bx1y2x2y1.2、設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則：ABx2x1,y2y1. 2.3.4、平面向量共線的坐標(biāo)表示1、設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，則⑴線段AB中點坐標(biāo)為

x1x2y22,y12，

⑵△ABC的重心坐標(biāo)為

x1x2x3y33,y1y23.

2.4.1、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義1、ababcos.

2、a在b方向上的投影為：acos.3、a22a.4、aa2.5、abab0.

2.4.2、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角1、設(shè)ax1,y1,bx2,y2，則：

⑴abx1x2y1y2⑵ax221y1

⑶abab0x1x2y1y20⑷a//babx1y2x2y10

2、設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則：

ABx222x1y2y1.

3、兩向量的夾角公式

cosabx1x2y1y2

abx221y1x22y224、點的平移公式

平移前的點為P(x,y)（原坐標(biāo)），平移后的對應(yīng)點為P(x,y)（新坐標(biāo)），平移向量為PP(h,k)，

則xxhyyk.

函數(shù)yf(x)的圖像按向量a(h,k)平移后的

圖像的解析式為ykf(xh). 2.5.1、平面幾何中的向量方法

2.5.2、向量在物理中的應(yīng)用舉例

知識鏈接：空間向量空間向量的許多知識可由平面向量的知識類比而得.下面對空間向量在立體幾何中證明，求值的應(yīng)用進(jìn)行總結(jié)歸納.

1、直線的方向向量和平面的法向量⑴．直線的方向向量：若A、B是直線l上的任意兩點，則AB為直線l的一個方向向量；與AB平行的任意非零向量也是直線l的方向向量.

⑵．平面的法向量：若向量n所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作n，如果n，那么向量n叫做平面的法向量.

⑶．平面的法向量的求法（待定系數(shù)法）：①建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．

②設(shè)平面的法向量為n(x,y,z)．

③求出平面內(nèi)兩個不共線向量的坐標(biāo)a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3)．

-4-

na0④根據(jù)法向量定義建立方程組.

nb0量是u，則要證明l，只需證明a∥u，即au.②（法二）設(shè)直線l的方向向量是a，平面內(nèi)的兩

am0個相交向量分別為m、n，若,則l.

an0⑤解方程組，取其中一組解，即得平面的法向量.

（如圖）

即：直線與平面垂直直線的方向向量與平面的

法向量共線直線的方向向量與平面內(nèi)兩條不共線直線的方向向量都垂直。⑶面面垂直

2、用向量方法判定空間中的平行關(guān)系⑴線線平行設(shè)直線l1,l2的方向向量分別是a、b，則要證明l1∥

若平面的法向量為u，平面的法向量為v，要證，只需證uv，即證uv0.

即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直。4、利用向量求空間角⑴求異面直線所成的角已知a,b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a,b上的任意兩點，a,b所成的角為，

ACBD則cos.

ACBDl2，只需證明a∥b，即akb(kR).

即：兩直線平行或重合⑵線面平行兩直線的方向向量共線。

①（法一）設(shè)直線l的方向向量是a，平面的法向量是u，則要證明l∥，只需證明au，即au0.

即：直線與平面平行直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外

②（法二）要證明一條直線和一個平面平行，也可以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可.⑶面面平行若平面的法向量為u，平面的法向量為v，要證∥，只需證u∥v，即證uv.

⑵求直線和平面所成的角①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角②求法：設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量

為u，直線與平面所成的角為，a與u的夾角為，

則為的余角或的補角的余角.即有：

ausincos.

au即：兩平面平行或重合兩平面的法向量共線。3、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系⑴線線垂直b，則要證明設(shè)直線l1,l2的方向向量分別是a、

-5-

l1l2，只需證明ab，即ab0.

即：兩直線垂直⑵線面垂直兩直線的方向向量垂直。

①（法一）設(shè)直線l的方向向量是a，平面的法向

⑶求二面角①定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面平面的法向量為n，則P到平面的距離就等于MP在法向量n方向上的投影的絕對值.

即dMPcosn,MPnMPMP

nMPnMPn

二面角的平面角是指在二面角l的棱上任取一點O，分別在兩個半平面內(nèi)作射線

AOl,BOl，則AOB為二面角l的平

面角.

如圖：

ABOlB

⑶直線a與平面之間的距離當(dāng)一條直線和一個平面平行時，直線上的各點到平面的距離相等。由此可知，直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化為求直線上任一點到平面的距離，即轉(zhuǎn)化為點面距離。

nMP即d.n②求法：設(shè)二面角l的兩個半平面的法向量

分別為m、n，再設(shè)m、n的夾角為，二面角的平面角為，則二面角為m、n的夾角lOA或其補角.

根據(jù)具體圖形確定是銳角或是鈍角：

mn◆如果是銳角，則coscos，

mnmn即arccos；

mnmn◆如果是鈍角，則coscos，

mn

⑷兩平行平面,之間的距離利用兩平行平面間的距離處處相等，可將兩平行平面間的距離轉(zhuǎn)化為求點面距離。

nMP即d.nmn即arccos.

mn

⑸異面直線間的距離設(shè)向量n與兩異面直線a,b都垂直，Ma,Pb,則兩異面直線a,b間的距離d就是MP在向量n方向

5、利用法向量求空間距離⑴點Q到直線l距離若Q為直線l外的一點,P在直線l上，a為直線l的

上投影的絕對值。

方向向量，b=PQ，則點Q到直線l距離為nMP122即d.h(|a||b|)(ab)n|a|⑵點A到平面的距離若點P為平面外一點，點M為平面內(nèi)任一點，

-6-

6、三垂線定理及其逆定理⑴三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直9、一個結(jié)論長度為l的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為l1、l2、l3，夾角分別為1、2、3,則有

ll1l2l3cos1cos2cos31

2222222推理模式：

POAsin1sin2sin32.

222（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.

aPO,OPAAaPAa,aOA

-7-

概括為：垂直于射影就垂直于斜線.

⑵三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直PO,O推理模式：PAAaAO

a,aAP概括為：垂直于斜線就垂直于射影.

7、三余弦定理設(shè)AC是平面內(nèi)的任一條直線，AD是的一條斜線AB在內(nèi)的射影，且BD⊥AD，垂足為D.設(shè)AB與(AD)所成的角為1，AD與AC所成的角為2，AB與AC所成的角為．則coscos1cos2.

BA12

DC

8、面積射影定理已知平面內(nèi)一個多邊形的面積為SS原，它在平面內(nèi)的射影圖形的面積為SS射，平面與平面所成的二面角的大小為銳二面角，則cosSS"=S射S原.

必修5數(shù)學(xué)知識點第一章：解三角形1、正弦定理：2R.sinBsinC（其中R為ABC外接圓的半徑）sinAabc第二章：數(shù)列

1、數(shù)列中an與Sn之間的關(guān)系：,(n1)S1注意通項能否合并。anSnSn1,(n2).2、等差數(shù)列：⑴定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，即an－an1=d，（n≥

;

a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC;sinAa,sinBb,sinCc2R2R2Ra:b:csinA:sinB:sinC.

2，n∈N），

那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。

⑵等差中項：若三數(shù)a、A、b成等差數(shù)列

abA2⑶通項公式：ana1(n1)dam(nm)d或anpnq(p、q是常數(shù)）.⑷前n項和公式：

nn12na1an2用途：⑴已知三角形兩角和任一邊，求其它元素；⑵已知三角形兩邊和其中一邊的對角，求其它

元素。

2、余弦定理：abc2bccosA,222bac2accosB,222cab2abcosC.bcacosA,2bc222acb,cosB2ac222abc.cosC2ab222222Snna1d

⑸常用性質(zhì)：

①若mnpqm,n,p,qN，則

amanapaq；

用途：⑴已知三角形兩邊及其夾角，求其它元素；

⑵已知三角形三邊，求其它元素。

做題中兩個定理經(jīng)常結(jié)合使用.

3、三角形面積公式：SABC12absinC12bcsinA12acsinB

②下標(biāo)為等差數(shù)列的項ak,akm,ak2m,，仍組成等差數(shù)列；

③數(shù)列anb（,b為常數(shù)）仍為等差數(shù)列；④若{an}、{bn}是等差數(shù)列，則{kan}、{kanpbn}(k、p是非零常數(shù))、{apnq}(p,qN)、，也成等差數(shù)列。

⑤單調(diào)性：an的公差為d，則：

）d0*4、三角形內(nèi)角和定理：在△ABC中，有ABCC(AB)

C22AB22C22(AB).

5、一個常用結(jié)論：在ABC中，absinAsinBAB;若sin2Asin2B,則AB或AB2在三角函數(shù)中，sinAsinBAB不成立。

.特別注意，

an為遞增數(shù)列；an為常數(shù)列；

）d0an為遞減數(shù)列；）d0

-8-

⑥數(shù)列{an}為等差數(shù)列anpnq（p,q是常數(shù)）

⑦若等差數(shù)列an的前n項和Sn，則Sk、S2kSk、

S3kS2k是等差數(shù)列。

⑦若等比數(shù)列an的前n項和Sn，則Sk、S2kSk、

S3kS2k是等比數(shù)列.

3、等比數(shù)列⑴定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前

一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。

2⑵等比中項：若三數(shù)a、G、b成等比數(shù)列Gab,4、非等差、等比數(shù)列通項公式的求法類型Ⅰ觀察法：已知數(shù)列前若干項，求該數(shù)列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個通項。

類型Ⅱ公式法：若已知數(shù)列的前n項和Sn與an的關(guān)系，求數(shù)列an的通項an可用公式,(n1)S1an構(gòu)造兩式作差求解。

SnSn1,(n2)用此公式時要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一

（ab同號）。反之不一定成立。⑶通項公式：ana1qn1amqnm

a11q1qn⑷前n項和公式：Sn⑸常用性質(zhì)

a1anq1q

①若mnpqm,n,p,qN，則

amanapaq；

分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即a1和an合為一個表達(dá)，（要先分n1和n2兩種情況分別進(jìn)

行運算，然后驗證能否統(tǒng)一）。

類型Ⅲ累加法：形如(一)an1anf(n)型的遞推數(shù)列（其中f(n)anan1f(n1)an1an2f(n2)是關(guān)于n的函數(shù)）可構(gòu)造：

...aaf(1)21②ak,akm,ak2m,為等比數(shù)列，公比為qk(下標(biāo)成等差數(shù)列,則對應(yīng)的項成等比數(shù)列)

③數(shù)列an（為不等于零的常數(shù)）仍是公比為q的等比數(shù)列；正項等比數(shù)列an；則lgan是公差為

lgq的等差數(shù)列；

12④若an是等比數(shù)列，則can，a，nan，anr21r是等比數(shù)列，公比依次是q，q，，q.(rZ)q將上述n1個式子兩邊分別相加，可得：

anf(n1)f(n2)...f(2)f(1)a1,(n2)⑤單調(diào)性：

a10,q1或a10,0q1an為遞增數(shù)列；

①若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;

②若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;

③若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和;④若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項求和.

-9-

a10,0q1或a10,q1an為遞減數(shù)列；

q1an為常數(shù)列；q0an為擺動數(shù)列；

⑥既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列是常數(shù)列。

類型Ⅳ累乘法：a形如an1anf(n)n1f(n)型的遞推數(shù)列（其ananf(n1)an1an1f(n2)中f(n)是關(guān)于n的函數(shù)）可構(gòu)造：an2

...a2af(1)1得an.

法二：由an1panq得anpan1q(n2)兩式

相減并整理得

an1ananan1p,即an1an構(gòu)成以

a2a1為首項，以p為公比的等比數(shù)列.求出

an1an的通項再轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法）便可求

出an.

㈡形如an1panf(n)(p1)型的遞推式：⑴當(dāng)f(n)為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時：將上述n1個式子兩邊分別相乘，可得：

anf(n1)f(n2)...f(2)f(1)a1,(n2)

有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。

類型Ⅴ構(gòu)造數(shù)列法：㈠形如an1panq（其中p,q均為常數(shù)且p0）型的遞推式：（1）若p1時，數(shù)列{an}為等差數(shù)列;（2）若q0時，數(shù)列{an}為等比數(shù)列;

（3）若p1且q0時，數(shù)列{an}為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求.方法有如下兩種：

法一：設(shè)an1p(an),展開移項整理得

an1pan(p1),與題設(shè)an1panq比較系

法一：設(shè)anAnBpan1A(n1)B，

通過待定系數(shù)法確定A、轉(zhuǎn)化成以a1ABB的值，為首項，以p為公比的等比數(shù)列anAnB，再利用等比數(shù)列的通項公式求出anAnB的通項整理可得an.

法二：當(dāng)f(n)的公差為d時，由遞推式得：

an1panf(n)，anpan1f(n1)兩式相減

得：an1anp(anan1)d，令bnan1an得：

bnpbn1d轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠求出bn，再用類型Ⅲ

數(shù)（待定系數(shù)法）得

（累加法）便可求出an.

qp1p(anqp1)qp1,(p0)an1⑵當(dāng)f(n)為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時：anqp1qp1p(an1qa),即n構(gòu)成

p1p1q法一：設(shè)anf(n)pan1f(n1)，通過

待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以a1f(1)為首項，以p為公比的等比數(shù)列anf(n)，再利用等比數(shù)列的通項公式求出anf(n)的通項整理可得an.

以a1為首項，以p為公比的等比數(shù)列.再利用

q等比數(shù)列的通項公式求出an的通項整理可

p1

法二：當(dāng)f(n)的公比為q時，由遞推式得：

an1panf(n)①，anpan1f(n1)，兩

類型Ⅶ倒數(shù)變換法：形如an1anpan1an（p為常數(shù)且p0）的遞推式：兩邊同除于an1an，轉(zhuǎn)化為化歸為an1panq型求出還有形如an1manpanqqanp1an1an邊同時乘以q得anqpqan1qf(n1)②，由①②兩式相減得an1anqp(anqan1)，即

an1qananqan1p，在轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠便可求出an.

1an1p形式，

的表達(dá)式，再求an；

的遞推式，也可采用取倒數(shù)方

法轉(zhuǎn)化成1m1m形式，化歸為an1panqan1法三：遞推公式為an1panqn（其中p，q均

為常數(shù)）或an1panrq（其中p，q,r均為常數(shù)）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以qn1，得：

an1qn1n型求出

1an的表達(dá)式，再求an.

類型Ⅷ形如an2pan1qan型的遞推式：用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列{anan1}的形式求解。方法為：設(shè)an2kan1h(an1kan)，比較

pqanqn1q，引入輔助數(shù)列bn（其中

bnanqn），得：bn1pqbn1q再應(yīng)用類型Ⅴ㈠的方

系數(shù)得hkp,hkq，可解得h、k，于是

{an1kan}是公比為h的等比數(shù)列，這樣就化歸為

法解決。

⑶當(dāng)f(n)為任意數(shù)列時，可用通法：an1panq型。

n1在an1panf(n)兩邊同時除以p可得到

an1pn1anpnf(n)pn1，令

anpn則bn1bnbn，

f(n)pn1總之，求數(shù)列通項公式可根據(jù)數(shù)列特點采用以上不同方法求解，對不能轉(zhuǎn)化為以上方法求解的數(shù)列，，

可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項公式an.

5、非等差、等比數(shù)列前n項和公式的求法⑴錯位相減法①若數(shù)列an為等差數(shù)列，數(shù)列bn為等比數(shù)列，則數(shù)列anbn的求和就要采用此法.

②將數(shù)列anbn的每一項分別乘以bn的公比，然后在錯位相減，進(jìn)而可得到數(shù)列anbn的前n項和.

n在轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法），求出bn之后得anpbn.

類型Ⅵ對數(shù)變換法：q形如an1pa(p0,an0)型的遞推式：q在原遞推式an1pa兩邊取對數(shù)得

lgan1qlganlgp，令bnlgan得：

bn1qbnlgp，化歸為an1panq型，求出bn之后得an10.（注意：底數(shù)不一定要取10，可根據(jù)題意選擇）。

bn此法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法.

⑵裂項相消法一般地，當(dāng)數(shù)列的通項anc(anb1)(anb2)①123...n

n(n1)2;

②135...(2n1)n2;③122232...n2

第三章：不等式 3.1、不等關(guān)系與不等式1、不等式的基本性質(zhì)①（對稱性）abba

16n(n1)(2n1).

時，往往可將an變成兩項的差，(a,b1,b2,c為常數(shù)）采用裂項相消法求和.

可用待定系數(shù)法進(jìn)行裂項：設(shè)ananb1anb2，通分整理后與原式相

比較，根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等得cb2b1，從而可得

②（傳遞性）ab,bcac

③（可加性）abacbc

（同向可加性）ab,cdacbd（異向可減性）ab,cdacbd④（可積性）ab,c0acbc

ab,c0acbc⑤（同向正數(shù)可乘性）ab0,cd0acbdc(anb1)(anb2)=c(b2b1)anb1(11anb2).

常見的拆項公式有：①

1n(n1)1n1n1

；（異向正數(shù)可除性）ab0,0cdab

cd②

1(2n1)(2n1)1ab1122n1(112n1⑥（平方法則）ab0anbn(nN,且n1)

⑦（開方法則）ab0nanb(nN,且n1)

);

ab0⑧（倒數(shù)法則）

1a1b;ab01a1b

2、幾個重要不等式(ab);

22①ab2aba，bR,（當(dāng)且僅當(dāng)ab時取

③abm④Cnm1Cn1Cn;

m""號）.變形公式：abab222.

⑤nn!(n1)!n!.

⑶分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.一般分兩步：①找通向項公式②由通項公式確定如何分組.

⑷倒序相加法如果一個數(shù)列an，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，則可用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到了一個常數(shù)列的和，這種求和方法稱為倒序相加法。特征：a1ana2an1...⑸記住常見數(shù)列的前n項和：

-12-

②（基本不等式）

ab2aba，bR,（當(dāng)

且僅當(dāng)ab時取到等號）.

ab變形公式：ab2abab.

22用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”.

③（三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式）abc33abc(a、b、cR)（當(dāng)且僅當(dāng)

abc時取到等號）.

④abcabbccaa，bR

222僅當(dāng)adbc時，等號成立.⑤三維形式的柯西不等式：

(a1a2a3)(b1b2b3)(a1b1a2b2a3b3).2222222（當(dāng)且僅當(dāng)abc時取到等號）.⑤a3b3c33abc(a0,b0,c0)

（當(dāng)且僅當(dāng)abc時取到等號）.

ba⑥若ab0,則2（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）

abba若ab0,則2（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）

ab⑦

babmam1anbnab⑥一般形式的柯西不等式：

(a1a2...an)(b1b2...bn)(a1b1a2b2...anbn).

2222222⑦向量形式的柯西不等式：

設(shè),是兩個向量，則,當(dāng)且僅當(dāng)

其中(ab0，m0，n0)

規(guī)律：小于1同加則變大，大于1同加則變小.⑧當(dāng)a0時，xaxaxa或xa;

22是零向量，或存在實數(shù)k，使k時，等號成

立.

⑧排序不等式（排序原理）：

設(shè)a1a2...an,b1b2...bn為兩組實

xaxaaxa.

22數(shù).c1,c2,...,cn是b1,b2,...,bn的任一排列，則

⑨絕對值三角不等式ababab.

3、幾個著名不等式①平均不等式：

a1bna2bn1...anb1a1c1a2c2...ancna1b1a2b2...anbn.（反序和亂序和順序和）

12a1babab2ab222

當(dāng)且僅當(dāng)a1a2...an或b1b2...bn時，反序和等于順序和.

⑨琴生不等式:（特例:凸函數(shù)、凹函數(shù)）

若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對于定義域中任意兩點x1,x2(x1f(x1x22)a，bR,（當(dāng)且僅當(dāng)ab時取""號）.

（即調(diào)和平均幾何平均算術(shù)平均平方平均）.變形公式：

ababab;22ab22222x2),有

f(x1)f(x2)2或f(x1x22)f(x1)f(x2)2.

(ab)22.

則稱f(x)為凸（或凹）函數(shù).

4、不等式證明的幾種常用方法常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、

2②冪平均不等式：

a1a2...an2221n(a1a2...an).

分析法；

其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等.常見不等式的放縮方法：①舍去或加上一些項，如(a124②將分子或分母放大（縮小），如1k-13-

2③二維形式的三角不等式：x1y122x2y222(x1x2)(y1y2)

22)23(a12);

2(x1,y1,x2,y2R).

④二維形式的柯西不等式：

(ab)(cd)(acbd)(a,b,c,dR).當(dāng)且

222221k(k1),

1k21k(k1),

(22k1k2k2kk1k)1k2kk1,

⑸f(x)f(x)0g(x)g(x)0f(x)g(x)(kN,k1)等.

*5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式ax2bxc0(或0)

(a0,b4ac0)解集的步驟：

2規(guī)律：把無理不等式等價轉(zhuǎn)化為有理不等式，訣竅在于從“小”的一邊分析求解.9、指數(shù)不等式的解法：⑴當(dāng)a1時,af(x)ag(x)f(x)g(x)⑵當(dāng)0a1時,af(x)ag(x)f(x)g(x)規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.10、對數(shù)不等式的解法⑴當(dāng)a1時,

f(x)0f(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)一化：化二次項前的系數(shù)為正數(shù).二判：判斷對應(yīng)方程的根.三求：求對應(yīng)方程的根.

四畫：畫出對應(yīng)函數(shù)的圖象.

五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集.規(guī)律：當(dāng)二次項系數(shù)為正時，小于取中間，大于取兩邊.

6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿（奇穿偶切），結(jié)合原式不等號的方向，寫出不等式的解集.

7、分式不等式的解法：先移項通分標(biāo)準(zhǔn)化，則f(x)g(x)f(x)0f(x)g(x)0loga⑵當(dāng)0a1時,

f(x)0f(x)logag(x)g(x)0.

f(x)g(x)loga規(guī)律：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.11、含絕對值不等式的解法：f(x)g(x)00g(x)g(x)0（時同理）“或”(a0)a.⑴定義法：aa(a0)規(guī)律：把分式不等式等價轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.8、無理不等式的解法：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解⑴⑵

f(x)0f(x)a(a0)2f(x)af(x)0f(x)0f(x)g(x)g(x)0或

g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)0f(x)g(x)g(x)0

f(x)[g(x)]2⑵平方法：f(x)g(x)f(x)g(x).⑶同解變形法，其同解定理有：①xaaxa(a0);②xaxa或xa(a0);

③f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)④

f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(g(x)0)22f(x)0f(x)a(a0)2f(x)a

⑶

規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號.12、含有兩個（或兩個以上）絕對值的不等式的解法：規(guī)律：找零點、劃區(qū)間、分段討論去絕對值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含參數(shù)的不等式的解法解形如axbxc0且含參數(shù)的不等式時，要

-14-

2⑷

對參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類討論的標(biāo)準(zhǔn)有：⑴討論a與0的大�。虎朴懻撆c0的大��；⑶討論兩根的大小.14、恒成立問題⑴不等式ax2bxc0的解集是全體實數(shù)（或恒成立）的條件是：

①當(dāng)a0時b0,c0;

a00.符號與不等式開口的符號，若同號，AxByC0(或0)表示直線上方的區(qū)域；若異號，則表示直線上方的區(qū)域.即：同號上方，異號下方.

⑵二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域：

不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.

⑶利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)zAxBy(A,B為常

②當(dāng)a0時數(shù)）的最值：法一：角點法：

如果目標(biāo)函數(shù)zAxBy（x、y即為公共區(qū)域中點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)）的最值存在，則這些最值都在該公共區(qū)域的邊界角點處取得，將這些角點的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，得到一組對應(yīng)z值，最大的那個數(shù)為目標(biāo)函數(shù)z的最大值，最小的那個數(shù)為目標(biāo)函數(shù)z的最小值

法二：畫移定求：第一步，在平面直角坐標(biāo)系中畫出可行域；第二步，作直線l0:AxBy0，平移直線l0（據(jù)可行域，將

⑵不等式ax2bxc0的解集是全體實數(shù)（或恒成立）的條件是：

①當(dāng)a0時b0,c0;

a0a0②當(dāng)時

0.⑶f(x)a恒成立f(x)maxa;

f(x)a恒成立f(x)maxa;

直線l0平行移動）確定最優(yōu)解；第三步，求出最優(yōu)解

⑷f(x)a恒成立f(x)mina;

(x,y)；第四步，將最優(yōu)解(x,y)代入目標(biāo)函數(shù)

f(x)a恒成立f(x)mina.

15、線性規(guī)劃問題⑴二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的判斷：

法一：取點定域法：

由于直線AxByC0的同一側(cè)的所有點的

zAxBy即可求出最大值或最小值.

第二步中最優(yōu)解的確定方法：

ABzBzB利用z的幾何意義：y坐標(biāo)代入AxByC后所得的實數(shù)的符號相同.所以，在實際判斷時，往往只需在直線某一側(cè)任取一特殊點(x0,y0)（如原點），由Ax0By0C的正負(fù)即可判斷出AxByC0(或0)表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.

即：直線定邊界，分清虛實；選點定區(qū)域，常選原點.

法二：根據(jù)AxByC0(或0)，觀察B的

x,為直線的

縱截距.

①若B0,則使目標(biāo)函數(shù)zAxBy所表示直線的縱截距最大的角點處，z取得最大值，使直線的縱截距最小的角點處，z取得最小值；

②若B0,則使目標(biāo)函數(shù)zAxBy所表示直線的縱截距最大的角點處，z取得最小值，使直線的縱截距最小的角點處，z取得最大值.

⑷常見的目標(biāo)函數(shù)的類型：①“截距”型：zAxBy;

Ⅰ、從邏輯推理關(guān)系上看：①若pq，則p是q充分條件，q是p的必要條件；②若pq，但qp，則p是q充分而不必要條件;③若pq，但qp，則p是q必要而不充分條件;④若pq且qp，則p是q的充要條件；

;

②“斜率”型：zyx或zybxa⑤若pq且qp，則p是q的既不充分也不必要條件.

Ⅱ、從集合與集合之間的關(guān)系上看：

③“距離”型：zx2y2或

zzxy;z(xa)(yb)或(xa)(yb).

222222已知Axx滿足條件p，Bxx滿足條件q：①若AB,則p是q充分條件；②若BA,則p是q必要條件；

在求該“三型”的目標(biāo)函數(shù)的最值時，可結(jié)合線性規(guī)劃與代數(shù)式的幾何意義求解，從而使問題簡單化.

③若AB，則p是q充分而不必要條件;④若BA，則p是q必要而不充分條件;⑤若AB，則p是q的充要條件；

⑥若AB且BA，則p是q的既不充分也不必要條件.

4、復(fù)合命題⑴復(fù)合命題有三種形式：p或q（pq）；p且q（pq）；非p（p）.⑵復(fù)合命題的真假判斷

“p或q”形式復(fù)合命題的真假判斷方法：一真必真；“p且q”形式復(fù)合命題的真假判斷方法：一假必假；“非p”形式復(fù)合命題的真假判斷方法：真假相對.5、全稱量詞與存在量詞⑴全稱量詞與全稱命題短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示.含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題.

⑵存在量詞與特稱命題

短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示.含有存在量詞的命題，叫做特稱命題.

⑶全稱命題與特稱命題的符號表示及否定

①全稱命題p：x,p(x)，它的否定p：

x0,p(x0).全稱命題的否定是特稱命題．

選修數(shù)學(xué)知識點專題一：常用邏輯用語1、命題：可以判斷真假的語句叫命題；邏輯聯(lián)結(jié)詞：“或”“且”“非”這些詞就叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；

簡單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題;

復(fù)合命題：由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題.常用小寫的拉丁字母p，q，r，s，表示命題.

2、四種命題及其相互關(guān)系

四種命題的真假性之間的關(guān)系：

⑴、兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；⑵、兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．

3、充分條件、必要條件與充要條件⑴、一般地，如果已知pq，那么就說：p是q的充分條件，q是p的必要條件；若pq，則p是q的充分必要條件，簡稱充要條件．⑵、充分條件，必要條件與充要條件主要用來區(qū)分命題的條件p與結(jié)論q之間的關(guān)系：

②特稱命題p：x0,p(x0),，它的否定p：

x,p(x).特稱命題的否定是全稱命題.

專題二：圓錐曲線與方程1．橢圓焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形xa22ya22標(biāo)準(zhǔn)方程yb221ab0xb221ab0第一定義第二定義范圍到兩定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)2a，即|MF1||MF2|2a（2a|F1F2|）與一定點的距離和到一定直線的距離之比為常數(shù)e，即axa且bybMFde(0e1)bxb且aya1a,0、2a,010,a、20,a頂點10,b、20,b1b,0、2b,0軸長對稱性焦點焦距長軸的長2a短軸的長2b關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點中心對稱F1c,0、F2c,0F10,c、F20,cF1F22ccaca22(cab)2222離心率eaba221ba22(0e1)準(zhǔn)線方程xa2cya2c焦半徑M(x0,y0)左焦半徑：MF1aex0右焦半徑：MF2aex0SMF1F2btan2下焦半徑：MF1aey0上焦半徑：MF2aey02(F1MF2)焦點三角形面積通徑過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：HHb2a（焦點）弦長公式A(x1,y1),B(x2,y2)，AB-1-

1k2x1x21k2(x1x2)4x1x2

2．雙曲線焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程xa22ya22yb221a0,b0xb221a0,b0第一定義第二定義范圍頂點軸長對稱性焦點焦距到兩定點F1、F2的距離之差的絕對值等于常數(shù)2a，即|MF1||MF2|2a（02a|F1F2|）與一定點的距離和到一定直線的距離之比為常數(shù)e，即xa或xa，yRMFde(e1)ya或ya，xR1a,0、2a,010,a、20,a實軸的長2a虛軸的長2b關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點中心對稱F1c,0、F2c,0F10,c、F20,cF1F22ccaca222(cab)2222離心率eaba21ba22(e1)準(zhǔn)線方程xa2cya2c漸近線方程ybaxyabx焦半徑M(x0,y0)MF1ex0a左焦：M在右支MF2ex0a右焦：MF1ey0a左焦：M在上支MF2ey0a右焦：MF1ex0a左焦：M在左支右焦：MFexa20SMF1F2bcot2MF1ey0a左焦：M在下支右焦：MFeya20焦點三角形面積2(F1MF2)通徑過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：HHb2a

3．拋物線圖形y2y2x2x22px2px2py2py標(biāo)準(zhǔn)方程p定義頂點離心率對稱軸范圍0p0p0p0與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點F不在定直線l上)0,0e1x軸y軸x0pF,02x0pF,02y0y0焦點pF0,2pF0,2準(zhǔn)線方程焦半徑M(x0,y0)xp2p2xp2p2yp2p2yp2p2MFx0MFx0MFy0MFy0通徑焦點弦長公式參數(shù)p的幾何意義過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑：HH2pABx1x2p參數(shù)p表示焦點到準(zhǔn)線的距離，p越大，開口越闊關(guān)于拋物線焦點弦的幾個結(jié)論：設(shè)AB為過拋物線yp22B(x2,y2)，直線AB的傾斜角為，則2px(p0)焦點的弦，A(x1,y1)、⑴x1x24,y1y2p;⑵AB22psin2;

⑶以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；⑷焦點F對A、B在準(zhǔn)線上射影的張角為

1|FA|1|FB|2P2；⑸.

專題三：定積分1、定積分的概念如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，用分點

ax0x1xi1xixnb將區(qū)間[a,b]⑷1xxdxlnxc

x⑸edxec

ax⑹adxxlnac(a0,a1)

等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間[xi1,xi]上任取一點i(i1,2,,n)，作和式

nn⑺sinxdxcosxc⑻cosxdxsinxc

Lni1f(i)xi1ban當(dāng)n時，上f(i),，

⑼sinaxdx⑽cosaxdx1a1acosaxc(a0)(a0)

述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分.記作f(x)dx，即

absinaxc4、定積分的性質(zhì)⑴kf(x)dxkf(x)dx（k為常數(shù)）；

aabbbanf(x)dxlimni1banf(i)，這里，a與b分別叫

⑵f(x)g(x)dxabbaf(x)dxbag(x)dx；

做積分下限與積分上限，區(qū)間[a,b]叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式.

說明：

（1）定積分的值是一個常數(shù)，可正、可負(fù)、可為零；（2）用定義求定積分的四個基本步驟：①分割；②近似代替；③求和；④取極限.

2、微積分基本定理(牛頓-萊布尼茲公式)如果F(x)f(x)，且f(x)在[a,b]上可積，則

⑶f(x)dxabcaf(x)dxbcf(x)dx（其中acb);

⑷利用函數(shù)的奇偶性求定積分:若f(x)是[a,a]上的奇函數(shù),則f(x)dx0;若f(x)是[a,a]上的偶

aa函數(shù),則f(x)dx2f(x)dx.

a0aa5、定積分的幾何意義定積分f(x)dx表示在區(qū)間[a,b]上的曲線

abbaf(x)dxF(x)aF(b)F(a)，

byf(x)與直線xa、xb以及x軸所圍成的平面

圖形（曲邊梯形）的面積的代數(shù)和，即

【其中F(x)叫做f(x)的一個原函數(shù)，因為

baf(x)dxSx軸上方－Sx軸下方.（在x軸上方的面積取

F(x)CF(x)f(】x)

正號,在x軸下方的面積取負(fù)號）

6、求曲邊梯形面積的方法與步驟⑴畫出草圖，在直角坐標(biāo)系中畫出曲線或直線的大致圖像；

⑵借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點坐標(biāo)，確定積分的上、下限；

⑶寫出定積分表達(dá)式；

⑷求出曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對值的和.

3、常用定積分公式⑴0dxc（c為常數(shù)）⑵1dxxc

⑶xdxx11c(1)

-1-

7、定積分的簡單應(yīng)用⑴定積分在幾何中的應(yīng)用：

幾種常見的曲邊梯形面積的計算方法:（1）x型區(qū)域：

①由一條曲線yf(x)(其中f(x)0）與直線

xa,xb(ab)以及x軸所圍成的曲邊梯形的面

圖（3）

④由兩條曲線yf(x)，yg(x)（f(x)g(x))與直線xa,xb(ab)所圍成的曲邊梯形的面積：Sbaf(x)dxg(x)dxabf(x)g(x)dx.（如

ab圖（4））

圖（4）

（2）y型區(qū)域：

①由一條曲線yf(x)(其中x0）與直線

ya,yb(ab)以及y軸所圍成的曲邊梯形的面積,可由yf(x)得xh(y)，然后利用S＝h(y)dy求

abbf(x)dx（如圖（1）積：S＝a）；

圖（1）

②由一條曲線yf(x)(其中f(x)0）與直線xa,xb(ab)以及x軸所圍成的曲邊梯形的面積：S＝f(x)dx＝－f(x)dx（如圖（2））；

aabb

圖（2）

③由一條曲線yf(x)【當(dāng)axc時，f(x)0當(dāng)cxb時，f(x)0出（如圖（5））；

圖（5）

②由一條曲線yf(x)(其中x0）與直線

ya,yb(ab)以及y軸所圍成的曲邊梯形的面積，可由yf(x)先求出xh(y)，然后利用

S＝cabcf(x)dx0;f(x)dx0.】

bah(y)dy＝－）；h(y)dy求出（如圖（6）

ab與直線xa,xb(ab)以及x軸所圍成的曲邊梯形的面積：S＝f(x)dxacbcf(x)dx

＝f(x)dxf(x)dx.（如圖（3））；

accb

圖（6）

③由兩條曲線yf(x)，yg(x)與直線

ya,yb(ab)所圍成的曲邊梯形的面積，可由

yf(x)，yg(x)先分別求出xh1(y)，

b

-2-

然后利用S＝xh2(y)，

|h(y)－h(huán)a12(y)|dy求出（如

圖（7））；

圖（7）

⑵定積分在物理中的應(yīng)用：①變速直線運動的路程

作變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程S，等于其速度函數(shù)vv(t)(v(t)0)在時間區(qū)間a,b上的定積分，即S歸納推理的一般步驟：

通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般命題

（猜想）；

證明（視題目要求，可有可無）.

2、類比推理由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）．

簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.類比推理的一般步驟：

找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，

從而得出一個猜想；檢驗猜想。

3、合情推理歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理.

歸納推理和類比推理統(tǒng)稱為合情推理，通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演繹推理從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為演繹推理．

簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理.演繹推理的一般模式“三段論”，包括⑴大前提-----已知的一般原理；⑵小前提-----所研究的特殊情況；

⑶結(jié)論-----據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷．

用集合的觀點來理解：若集合M中的所有元素都

歸納推理類比推理具有性質(zhì)P,S是M的一個子集,那么S中所有元素也都具有性質(zhì)P.

Mbav(t)dt..

②變力作功

物體在變力F(x)的作用下做直線運動，并且物體沿著與F(x)相同的方向從xa移動到xb(ab)，那么變力F(x)所作的功WbaF(x)dx.

專題四：推理與證明知識結(jié)構(gòu)

合情推理推理推理與證明證明間接證明數(shù)學(xué)歸納法1、歸納推理把從個別事實中推演出一般性結(jié)論的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納).

簡言之,歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理。

-3-

演繹推理比較法直接證明

aS綜合法分析法反證法從推理所得的結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明；演繹推理在前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確.

5、直接證明與間接證明⑴綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立.

框圖表示：要點：順推證法；由因?qū)Ч?

⑵分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定

一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.

框圖表示：要點：逆推證法；執(zhí)果索因.

⑶反證法：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立.的證明方法.它是一種間接的證明方法.反證法法證明一個命題的一般步驟：(1)（反設(shè)）假設(shè)命題的結(jié)論不成立；

專題五：數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)1、復(fù)數(shù)的概念⑴虛數(shù)單位i；

⑵復(fù)數(shù)的代數(shù)形式zabi(a,bR)；

⑶復(fù)數(shù)的實部、虛部，虛數(shù)與純虛數(shù).2、復(fù)數(shù)的分類復(fù)數(shù)zabia,bR

(2)（推理）根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到導(dǎo)出矛盾為止；實數(shù)(b0)(3)（歸謬）斷言假設(shè)不成立；純虛數(shù)(a0,b0)虛數(shù)(b0)(4)（結(jié)論）肯定原命題的結(jié)論成立.非純虛數(shù)(a0,b0)6、數(shù)學(xué)歸納法3、相關(guān)公式數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法.

用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟;

⑴abicdiab,且cd*（1）（歸納奠基）證明當(dāng)n取第一個值n0(n0N)時命題成立；⑵abi0ab0

*（2）（歸納遞推）假設(shè)nk(kn0,kN)時命

22⑶zabiab題成立，推證當(dāng)nk1時命題也成立.

只要完成了這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開

⑷zabi

始的所有正整數(shù)n都成立.

z，z指兩復(fù)數(shù)實部相同，虛部互為相反數(shù)（互為共

用數(shù)學(xué)歸納法可以證明許多與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)

軛復(fù)數(shù)）.命題，其中包括恒等式、不等式、數(shù)列通項公式、幾

4、復(fù)數(shù)運算何中的計算問題等.

-4-

⑴復(fù)數(shù)加減法：abicdiacbdi；⑵復(fù)數(shù)的乘法：

abicdiacbdbcadi；

⑶復(fù)數(shù)的除法：

abicdiabicdi

cdicdiacbdcd22acbdbcadicd22bcadcd22i

（類似于無理數(shù)除法的分母有理化虛數(shù)除法的分母實數(shù)化）

5、常見的運算規(guī)律(1)zz;(3)zzz2(2)zz2a,zz2bi;

z4n22ab;(4)zz;(5)zzzR

4n322(6)i4n1i,i1,ii,i4n41;

(7)1i21ii;(8)i,i,i

1i1i21i1i

⑸排列數(shù)公式：

(9)設(shè)123i是1的立方虛根，則

3n23n3①Anmnn1n2nm1

1

10，23n1,,Anmn！6、復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)平面：用來表示復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)系，其中x軸叫做復(fù)平面的實軸，y軸叫做復(fù)平面的虛軸.

復(fù)數(shù)zabi復(fù)平面內(nèi)的點Z（a,b)一一對應(yīng)nm!；

②Annn!，規(guī)定0!1.⑹組合數(shù)公式：①Cnmnn1n2nm1m!一一對應(yīng)復(fù)數(shù)zabi平面向量OZ或

Cnm

專題六：排列組合與二項式定理1、基本計數(shù)原理⑴分類加法計數(shù)原理：(分類相加)

做一件事情，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方

n！m!nm!；

0②CnmCnnm，規(guī)定Cn1.

⑺排列與組合的區(qū)別：排列有順序，組合無順序.

mmm⑻排列與組合的聯(lián)系：AnCnAm，即排列就是先

法在第n類辦法中有mn種不同的方法.那么完成這件事情共有Nm1m2mn種不同的方法.⑵分步乘法計數(shù)原理：(分步相乘)

做一件事情，完成它需要n個步驟，做第一個步驟有m1種不同的方法，做第二個步驟有m2種不同的方

組合再全排列.

CmnAnmmAmn(n1)(nm1)m(m1)21n!m!nm!(mn)⑼排列與組合的兩個性質(zhì)性質(zhì)

mmm1mmm1排列An1AnmAn；組合Cn1CnCn.

法做第n個步驟有mn種不同的方法.那么完成這件事情共有Nm1m2mn種不同的方法.2、排列與組合⑴排列定義：一般地，從n個不同的元素中任取mmn個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同的元素中任取m個元素的一個排列.

⑽解排列組合問題的方法

①特殊元素、特殊位置優(yōu)先法（元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置）.

②間接法（對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉）.

③相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）.④不相鄰(相間)問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間）.⑤有序問題組合法.

⑥選取問題先選后排法.⑦至多至少問題間接法.

⑧相同元素分組可采用隔板法.⑨分組問題：要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組，平均分成n組問題別忘除以n！.3、二項式定理-5-

⑵組合定義：一般地，從n個不同的元素中任取mmn個元素并成一組，叫做從n個不同的元素中

任取m個元素的一個組合.

⑶排列數(shù)：從n個不同的元素中任取mmn個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同的元素中任取m個元素的排列數(shù)，記作An.

⑷組合數(shù)：從n個不同的元素中任取mmn個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同的元素中任取m個元素的組合數(shù)，記作Cn.

mm

⑴二項展開公式：⑺賦值法

1n1abnCnaCnan0nbCna2n2bCna2rnrbr若(axb)na0a1xa2x2...anxn,則設(shè)f(x)(axb)n.有：①a0f(0);

②a0a1a2...anf(1);

③a0a1a2a3...(1)nanf(1);④a0a2a4a6...⑤a1a3a5a7...f(1)f(1)2f(1)f(1)2;.

CnbnnN.

⑵二項展開式的通項公式：

Tr1Cnarnrb0rn,rN,nN.主要用途

r是求指定的項.

⑶項的系數(shù)與二項式系數(shù)

項的系數(shù)與二項式系數(shù)是不同的兩個概念，但當(dāng)二項式的兩個項的系數(shù)都為1時，系數(shù)就是二項式系數(shù).如

在(axb)n的展開式中，第r1項的二項式系數(shù)為C，第r1項的系數(shù)為Cax展開式中的系數(shù)等于二項式系數(shù)；二項式系數(shù)一定為正，而項的系數(shù)不一定為正.

rnrnnrb；而(xr1)的

n⑷1x的展開式：

n1xnCnxCnx0n1n1Cnx2n2Cnx，

n0若令x1，則有

11n2CnCnCnCn.

n012n二項式奇數(shù)項系數(shù)的和等于二項式偶數(shù)項系數(shù)

13n1Cn2的和.即Cn0Cn2Cn⑸二項式系數(shù)的性質(zhì)：

（1）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項

mnm式系數(shù)相等，即CnCn；

（2）增減性與最大值：當(dāng)r數(shù)Cn的值逐漸增大，當(dāng)rrn12r時，二項式系

n12時,Cn的值逐漸減小，

n2且在中間取得最大值。當(dāng)n為偶數(shù)時，中間一項（第

n＋1項）的二項式系數(shù)Cn2取得最大值.當(dāng)n為奇數(shù)時，中間兩項（第

n1n1n12和

n12＋1項）的二項式系數(shù)

Cn2Cn2相等并同時取最大值.

⑹系數(shù)最大項的求法

ArAr1設(shè)第r項的系數(shù)Ar最大，由不等式組

AAr1r可確定r.

-6-

專題七：隨機變量及其分布知識結(jié)構(gòu)

如果在1次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個試驗恰好發(fā)生k次的概率

Pn(k)Cnpkk(1pn)k0,,12n,.

k⑸條件概率：對任意事件A和事件B，在已知事件A

發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，叫做條件概率.記作P(B|A)，讀作A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率.

公式：P(BA)

1、基本概念⑴互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件.

如果事件A、B、C，其中任何兩個都是互斥事件，則說事件A、B、C彼此互斥.

當(dāng)A、B是互斥事件時，那么事件AB發(fā)生（即A、B中有一個發(fā)生）的概率，等于事件A、B分別發(fā)生的概率的和，即

P(AB)P(A)P(AB)P(A),P(A)0.

2、離散型隨機變量⑴隨機變量：如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量

來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量隨機變量常用

字母X,Y,,等表示.

⑵離散型隨機變量:對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.

⑶連續(xù)型隨機變量:對于隨機變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量.

⑷離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系:離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結(jié)果；但是離散型隨機變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機變量的結(jié)果不可以一一列出.

若X是隨機變量，則YYaXb(a,b是常數(shù)）也是隨機變量并且不改變其屬性（離散型、連續(xù)型）.3、離散型隨機變量的分布列⑴概率分布（分布列）

.P(B⑵對立事件：其中必有一個發(fā)生的兩個互斥事件.事件

A的對立事件通常記著A.

對立事件的概率和等于1.P(A)1P(A).特別提醒：“互斥事件”與“對立事件”都是就

兩個事件而言的，互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件是其中必有一個發(fā)生的互斥事件，因此，對立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件，也就是說“互斥”是“對立”的必要但不充分的條件.

⑶相互獨立事件：事件A（或B）是否發(fā)生對事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，（即其中一個事件是否發(fā)生對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響）.這樣的兩個事件叫做相互獨立事件.

當(dāng)A、B是相互獨立事件時，那么事件AB發(fā)生（即A、B同時發(fā)生）的概率，等于事件A、B分別發(fā)生的概率的積.即

設(shè)離散型隨機變量X可能取的不同值為x1,x2，，xi，，xn，

X的每一個值xi（i1,2,,n）的概率P(Xxi)pi，則稱表XPx1p1x2p2xixnpnP(AB)P(A)P(B).

若A、B兩事件相互獨立，則A與B、A與B、A與B也都是相互獨立的.⑷獨立重復(fù)試驗

①一般地，在相同條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗.

②獨立重復(fù)試驗的概率公式

-7-

pi為隨機變量X的概率分布，簡稱X的分布列.

n性質(zhì)：①pi0,i1,2,...n;②pi1.

i

⑵兩點分布

如果隨機變量X的分布列為

X4、離散型隨機變量的均值與方差⑴離散型隨機變量的均值1一般地，若離散型隨機變量X的分布列為

X0pP1p

則稱X服從兩點分布，并稱pP(X1)為成功概率.

⑶二項分布

Px1p1x2p2xixnpnpi則稱

EXx1p1x2p2xipixnpn為離散型

如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是

P(Xk)Cnp(1p)kknk隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望（簡稱期望）.它反映了

離散型隨機變量取值的平均水平.性質(zhì)：①E(aXb)aE(X)b.②若X服從兩點分布，則E(X)p..

其中k0,1,2,...,n,變量X的概率分布如下：X0q1p，于是得到隨機

kCnpqkknk0Cnpq0n11Cnpq1n1nnCnpqn0③若X~Bn,p，則E(X)np.⑵離散型隨機變量的方差

一般地，若離散型隨機變量X的分布列為

XP我們稱這樣的隨機變量X服從二項分布，記作X~Bn,p，并稱p為成功概率.

Px1p1x2p2xixnpn判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關(guān)鍵有三點：①對立性：即一次試驗中事件發(fā)生與否二者必居其一；②重復(fù)性：即試驗是獨立重復(fù)地進(jìn)行了n次;③等概率性：在每次試驗中事件發(fā)生的概率均相等.注：⑴二項分布的模型是有放回抽樣；

⑵二項分布中的參數(shù)是p,k,n.

pi則稱

nD(X)(xi1iE(X))pi為離散型隨機變量X的

2方差，并稱其算術(shù)平方根D(X)為隨機變量X的標(biāo)

⑷超幾何分布

一般地,在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件,其中恰有X件次品數(shù),則事件Xk發(fā)生的

CMCNMCNnknk準(zhǔn)差.它反映了離散型隨機變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度.

D(X)越小，X的穩(wěn)定性越高，波動越小，取值概率為P(Xk)(k0,1,2,,m),于

越集中；D(X)越大，X的穩(wěn)定性越差，波動越大，取值越分散.

X是得到隨機變量X的概率分布如下：

其中mminM,n,n≤N,M≤N,n,M,NN.

*01mP我們稱這樣的隨機變量X的分布列為超幾何分布列,且稱隨機變量X服從超幾何分布.注:⑴超幾何分布的模型是不放回抽樣；

⑵超幾何分布中的參數(shù)是M,N,n.其意義分別是總體中的個體總數(shù)、N中一類的總數(shù)、樣本容量.

-8-

CMCNMCNn0n0CMCNMCNn1n1mnmCMCNMnCN2性質(zhì)：①D(aXb)aD(X).

②若X服從兩點分布，則D(X)p(1P).③若X~Bn,p，則D(X)np(1P).5、正態(tài)分布正態(tài)變量概率密度曲線函數(shù)表達(dá)式：fx12、獨立性檢驗假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的值域分另為{x1,x2}和{y1,y2}，其樣本頻數(shù)22列聯(lián)表為：

x1x2y1acy2bd總計a+bc+dx222e,xR，其中,是參數(shù)，

總計a+cb+da+b+c+d若要推斷的論述為H1：“X與Y有關(guān)系”，可以利2且0,.記作N(,2).如下圖：

專題八：統(tǒng)計案例1、回歸分析回歸直線方程yabx，nnxixyiyxiyinxyi1其中bi1nnx2ixx22inx

i1i1aybxnxixyiy相關(guān)系數(shù)：ri1

nx2nixyiy2i1i1nxiyinxyi1nn2222xinxyinyi1i1

用獨立性檢驗來考察兩個變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度.

具體的做法是，由表中的數(shù)據(jù)算出隨機變量K2的值K2n(adbc)2，其中

(ab)(cd)(ac)(bd)nabcd為樣本容量，K2

的值越大，說明“X

與Y有關(guān)系”成立的可能性越大.

隨機變量K2越大，說明兩個分類變量，關(guān)系越強；反之，越弱。

K23.841時，X與Y無關(guān)；K23.841時，X

與Y有95%可能性有關(guān)；K26.635時X與Y有99%可能性有關(guān).

專題九：坐標(biāo)系與參數(shù)方程1、平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換設(shè)點P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點，在

xx,(0),變換:的作用下，點P(x,y)對

yy,(0).應(yīng)到點P(x,y)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸

3、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化設(shè)M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標(biāo)是(x,y)，極坐標(biāo)是(,)，從圖中可以得出：

xcos,ysin2xy,22tanyx(x0).縮變換，簡稱伸縮變換。2、極坐標(biāo)系的概念在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點；自極點O引一條射線Ox叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系。

O

M(,)

x

yNxMyHxcosysinO

圖1

點M的極坐標(biāo)：設(shè)M是平面內(nèi)一點，極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑，記為；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的xOM叫做點M的極角，記為。有序數(shù)對(,)叫做點M的極坐標(biāo)，記為M(,).

注：極坐標(biāo)(,)與(,2k)(kZ)表示同一個點。極點O的坐標(biāo)為(0,)(R).

若0,則0,規(guī)定點(,)與點(,)關(guān)于極點對稱，即(,)與(,)表示同一點。

如果規(guī)定0,02，那么除極點外，平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標(biāo)(,)表示（即一一對應(yīng)的關(guān)系）；同時，極坐標(biāo)(,)表示的點也是唯一確定的。

極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)都是一對有序?qū)崝?shù)確定平面上一個點，在極坐標(biāo)系下，一對有序?qū)崝?shù)、對應(yīng)惟一點P(，)，但平面內(nèi)任一個點P的極坐標(biāo)不惟一．一個點可以有無數(shù)個坐標(biāo)，這些坐標(biāo)又有規(guī)律可循的，P(，)（極點除外）的全部坐標(biāo)為(,＋2k)或（，＋(2k1)），(kZ)．極點的極徑為0，而極角任意取．若對、的取值范圍加以限制．則除極點外，平面上點的極坐標(biāo)就惟一了，如限定>0，0≤＜2或⑵直線的極坐標(biāo)方程①過極點的直線的極坐標(biāo)方程是(0)和(0).（如圖1）②過點A(a,0)(a0)，且垂直于極軸的直線l的極坐標(biāo)方程是cosa.化為直角坐標(biāo)方程為xa.（如圖2）③過點A(a,x2y2z2r2xrsincos換關(guān)系：.

yrsinsinzrcos6、參數(shù)方程的概念

在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點的坐標(biāo)

xf(t),并且對于t的x,y都是某個變數(shù)t的函數(shù)yg(t),每一個允許值，由這個方程所確定的點M(x,y)都在

)且平行于極軸的直線l的極坐標(biāo)方程2這條曲線上，那么這個方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)。相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。

7、常見曲線的參數(shù)方程

是sina.化為直角坐標(biāo)方程為ya.（如圖）M（，）M0M（1）圓(xa)2(yb)2r2的參數(shù)方程為

OxOaaO圖10xarcos（為參數(shù)）；ybrsin圖2acos圖3acos（2）橢圓

xa22yb221(ab0)的參數(shù)方程為

M（，）MaOMOaaON(a,)xacos（為參數(shù)）；ybsin圖4asin圖5asinp橢圓

ya22xb221(ab0)的參數(shù)方程為

圖6acos()5、柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系⑴柱坐標(biāo)：空間點P的直角坐標(biāo)(x,y,z)與柱坐標(biāo)xbcos（為參數(shù)）；yasin（3）雙曲線

xcos(,,z)的變換關(guān)系為：ysin.zzxa22yb221(ab0)的參數(shù)方程

xasec（為參數(shù)）；ybtanya22⑵球坐標(biāo)系空間點P直角坐標(biāo)(x,y,z)與球坐標(biāo)(r,,)的變雙曲線

xb221(ab0)的參數(shù)方程

txbco（為參數(shù)）；yacsc

x2pt2（4）拋物線y2px參數(shù)方程(t為參

y2pt2這時要做到：

①多讀題目，仔細(xì)審題。②在草稿上簡單感覺一下。

③不要輕易放棄。許多同學(xué)一看是難題、大題，不多做考慮，就徹底投降。解答題多為小步設(shè)問，許多小問題同學(xué)們都是可以解決的，因此，每一個題、每一個問，考生都要認(rèn)真對待。３．時間分配要合理

⑴考試時主要是在選擇題上搶時間。⑵做題時要邊做邊檢查，充分保證每一題的正確性。不要抱著“等做完后再重新檢查”的念頭而在后面浪費太多的時間用于檢查。

⑶在交卷前３０分鐘要回頭再檢查一下自己的進(jìn)度。注意及時填機讀卡。

解答選擇題的策略是：

①熟練掌握各種基本題型的一般解法。②結(jié)合高考單項選擇題的結(jié)構(gòu)（由“四選一”的指令、題干和選擇項所構(gòu)成）和不要求書寫解題過程的特點，靈活運用特例法、篩選法、圖解法等選擇題的常用解法與技巧。

③挖掘題目“個性”，尋求簡便解法，充分利用選擇支的暗示作用，迅速地作出正確的選擇。

1,直接法2,特殊值3,代入法4,篩選法

數(shù)，t1tan參數(shù)t的幾何意義：拋物線上除頂點外的任意一點

）；

與原點連線的斜率的倒數(shù).

（6）過定點P(x0,y0)、傾斜角為(2)的直線

xx0tcos的參數(shù)方程（t為參數(shù)）.

yy0tsin8、參數(shù)方程與普通方程之間的互化在建立曲線的參數(shù)方程時，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x,y的取值范圍保持一致.

參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消參數(shù)，并且要保證等價性。若不可避免地破壞了同解變形，則一定要通過xf(t),yg(t)。根據(jù)t的取值范圍導(dǎo)出x,y的取值范圍.

數(shù)學(xué)高考應(yīng)試技巧

考試注意：

１．考前５分鐘很重要

在考試中，要充分利用考前５分鐘的時間。考卷發(fā)下后，可瀏覽題目。當(dāng)準(zhǔn)備工作（填寫姓名、考號等）完成后，可以翻到后面的解答題，通讀一遍，做到心中有數(shù)。

２．區(qū)別對待各檔題目

考試題目分為易、中、難三種，它們的分值比約為３：５：２。考試中大家要根據(jù)自身狀況分別對待。

⑴做容易題時，要爭取一次做完，不要中間拉空。這類題要１００％的拿分。⑵做中等題時，要靜下心來，盡量保證拿分，起碼有８０％的完成度。⑶做難題時，大家通常會感覺無從下手。

四、填空題解答策略

根據(jù)填空時所填寫的內(nèi)容形式，可以將填空題分成兩種類型：

填寫數(shù)值、數(shù)集或數(shù)量關(guān)系，如：方程的解、不等式的解集、函數(shù)的定義域、值域、最大值或最小值、線段長度、角度大小等等。

給定二次曲線的準(zhǔn)線方程、焦點坐標(biāo)、離心率等等。1,直接法2,特殊值代入法3數(shù)形結(jié)合法

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