初中三角形總結(jié)

初中三角形的有關(guān)總結(jié)

⑴內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°；三角形的面積=外角等于和它不相鄰的來兩個內(nèi)角的和。

⑵三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。

⑶三角形中的中位線：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。（區(qū)別三角形中線與中位線）；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。常用結(jié)論：任一個三角形都有三條中位線，由此有：

結(jié)論1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。

結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。

結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。⑷角的平分線及其性質(zhì)：一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。角的平分線有下面的性質(zhì)定理：

①角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。②到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。⑸三角形

1×底×高；三角形的一個2銳角三角形：三個角都是銳角一般三角形：斜三角形鈍角三角形：有一個角為鈍角等邊對等角，等角對等邊一般等腰三角形三線合一：頂角的角平分線、底邊的中線和高亦可反之用來等腰三角形等腰直角三角形兩腰上的中線和高、兩底角的角平分線分別相判定等腰三角等，且它們的各自交點到底邊兩端的距離相等如有一個角為30，則其所對應(yīng)的直角邊的長度為斜邊的一半斜邊上的中線等于斜邊的一半三角形222特殊三角形直角三角形勾股定理：abc(a、b為直角邊，c為斜邊)射影定理：斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上的射影的比例中項，每條直角邊是CD2ADBD2ACB90它們在斜邊上的射影和斜邊的比例中項：ACADABCDAB2BCBDAB等邊三角形：三邊相等，三角相等且為

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專題八三角形一目標(biāo)：

（1）掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有關(guān)概念。

（2）利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知識進(jìn)行計算、解答有關(guān)綜合題。（3）培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、及分類討論的數(shù)學(xué)思想的能力二重點、難點：

三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的基礎(chǔ)知識、基本技能是本節(jié)的重點。難點是綜合應(yīng)用這些知識解決問題的能力。三知識要點：

知識點1三角形的邊、角關(guān)系

①三角形任何兩邊之和大于第三邊；②三角形任何兩邊之差小于第三邊；③三角形三個內(nèi)角的和等于180°；④三角形三個外角的和等于360°；

⑤三角形一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；⑥三角形一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。知識點2三角形的主要線段和外心、內(nèi)心①三角形的角平分線、中線、高；

②三角形三邊的垂直平分線交于一點，這個點叫做三角形的外心，三角形的外心到各頂點的距離相等；③三角形的三條角平分線交于一點，這個點叫做三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等；

④連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半。知識點3等腰三角形等腰三角形的識別：

①有兩邊相等的三角形是等腰三角形；

②有兩角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）；③三邊相等的三角形是等邊三角形；④三個角都相等的三角形是等邊三角形；

⑤有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。等腰三角形的性質(zhì)：①等邊對等角；

②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合；③等腰三角形是軸對稱圖形，底邊的中垂線是它的對稱軸；④等邊三角形的三個內(nèi)角都等于60°。知識點4直角三角形直角三角形的識別：

①有一個角等于90°的三角形是直角三角形；②有兩個角互余的三角形是直角三角形；

③勾股定理的逆定理：如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。直角三角形的性質(zhì)：

①直角三角形的兩個銳角互余；

②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；

③勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。知識點5全等三角形定義、判定、性質(zhì)知識點6相似三角形

定義,夾角相等兩對應(yīng)邊的比相等相似三角形判定方法兩個對應(yīng)角相等三條對應(yīng)邊的比相等對應(yīng)邊的比對應(yīng)高的比等于相似比相似三角形的性質(zhì)周長比面積比相似比平方知識點7銳角三角函數(shù)

三角函數(shù)sinα

0°0

30°

45°

60°

90°1

12

cosα1

tanα0

323322221

32120

3

33不存在

cotα不存在

310

例題精講

例1.（1）已知：等腰三角形的一邊長為12，另一邊長為5，求第三邊長。（2）已知：等腰三角形中一內(nèi)角為80°，求這個三角形的另外兩個內(nèi)角的度數(shù)。分析：利用等腰三角形兩腰相等、兩底角相等即可求得。解：（1）分兩種情況：

①若腰長為12，底邊長為5，則第三邊長為12。

②若腰長為5，底邊長為12，則第三邊長為5。但此時兩邊之和小于第三邊，故不合題意。因此第三邊長為12。（2）分兩種情況：

①若頂角為80°，則另兩個內(nèi)角均為底角分別是50°、50°。②若底角為80°，則另兩個內(nèi)角分別是80°、20°。

因此這個三角形的另外兩個內(nèi)角分別是50°、50°或80°、20°。

說明：此題運用“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，本題著重考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系。例2.已知：如圖，ABC和ECD都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，ADEBD為AB邊上的一點，求證：（1）ACE≌BCD，（2）AD＋AE＝DE。

分析：要證ACE≌BCD，已具備AC＝BC，CE＝CD兩個條件，還需AE＝BD或∠ACE＝∠BCD，而∠ACE＝∠BCD顯然能證;要證AD＋AE＝DE，

222222C需條件∠DAE＝90°，因為∠BAC＝45°，所以只需證∠CAE＝∠B＝45°，由ACE≌BCD能得證。

證明：（1）∵∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠DCE－∠ACD＝∠ACB－∠ACD，

即∠ACE＝∠BCD，∵AC＝BC，CE＝CD，∴ACE≌BCD。

（2）∵ACE≌BCD，∴∠CAE＝∠B＝45°，∵∠BAC＝∠B＝45°，∴∠DAE＝90°，∴AD＋AE＝DE。

例3.已知：點P是等邊ABC內(nèi)的一點，∠BPC＝150°，PB＝2，PC＝3，求PA的長。

分析：將BAP繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°至BCD，即可證得BPD為等邊三角形，PCD為直角三角形。

解：∵BC＝BA，

∴將BAP繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，使BA與BC重合，得BCD，連結(jié)PD。

∴BD＝BP＝2，PA＝DC�！郆PD是等邊三角形。∴∠BPD＝60°。∴∠DPC＝∠BPC－∠BPD＝150°－60°＝90°。

∴DC＝PD2PC2223213．∴PA＝DC＝13。

【變式】若已知點P是等邊ABC內(nèi)的一點，PA＝13，PB＝2，PC＝3。能求出∠BPC的度數(shù)嗎？請試一試。

例4.如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，連結(jié)PA、PB、PC，以BP為邊作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，連結(jié)CQ．

（1）觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

（2）若PA：PB：PC＝3：4：5，連結(jié)PQ，試判斷△PQC的形狀，并說明理由．

解：（1）把△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°即可得到△CBQ．利用等邊三角形的性質(zhì)證△ABP≌△CBQ，得到AP＝CQ．

（2）連接PQ，則△PBQ是等邊三角形．PQ＝PB，AP＝CQ故CQ：PQ：PC＝PA：PB：PC＝3：4：5，∴△PQC是直角三角形．

點評：利用等邊三角形性質(zhì)、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知識點完成此題的證明．例5.如圖，有兩個長度相同的滑梯（即BC＝EF），左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，則∠ABC＋∠DFE＝______．

分析：∠ABC與∠DFE分布在兩個直角三角形中，若說明這兩個直角三角形全等則問題便會迎刃而解．

解答：在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC＝EF，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∴∠ABC＋∠DFE＝90°，因此填90°．

點評：此例主要依據(jù)用所探索的直角三角形全等的條件來識別兩個直角三角形全等，并運用與它相關(guān)的性質(zhì)進(jìn)行解題．

DBPCA2

例6.《中華人民共和國道路交通管理條例》規(guī)定：“小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過70千米/時”．一輛小汽車在一條城市街道上由西向東行駛（如圖所示），在距離路邊25米處有“車速檢測儀O”，測得該車從北偏西60°的A點行駛到北偏西30°的B點，所用時間為1.5秒．

（1）試求該車從A點到B的平均速度；（2）試說明該車是否超過限速．解析：（1）要求該車從A點到B點的速度．只需求出AB的距離，

在△OAC中，OC＝25米．∵∠OAC＝90°－60°＝30°，∴OA＝2CO＝50米

由勾股定理得CA＝OA2OC2502252＝253（米）在△OBC中，∠BOC＝30°∴BC＝

125OB�！啵�2BC）2＝BC2＋252∴BC＝232533（米）

503∴AB＝AC－BC＝253－（2）

3＝5033（米）∴從A到B的速度為3÷1.5＝

10093（米/秒）

10093米/秒≈69.3千米/時

∵69.3千米/時

又∠DAE＝105°，∴∠DAB＋∠CAE＝75°．又∠DAB＋∠ADB＝∠ABC＝75°，∴∠CAE＝∠ADB，∴△ADB∽△EAC，∴

1ABBD1x,即，∴y＝．

xECACy1（2）當(dāng)α、β滿足β－

1＝90°，y＝仍成立．

x2此時∠DAB＋∠CAE＝β－α，∴∠DAB＋∠ADB＝β－α，∴∠CAE＝∠ADB．

又∵∠ABD＝∠ACE，∴△ADB∽△EAC，∴y＝

1．x點評：確定兩線段間的函數(shù)關(guān)系，可利用線段成比例、找相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系．

例9.如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，EF與BD相交于點M．

（1）求證：△EDM∽△FBM；（2）若DB＝9，求BM．

（1）證明：∵E是AB中點，∴AB＝2BE，AB＝2CD，∴CD＝EB，又AB∥CD，∴四邊形CBED是平行四邊形，∴CB∥DE，∴DEMBFM，∴△EDM∽△FBM．

EDMFBMDMDE，BMBF1DB＝33（2）解：△EDM∽△FBM，∴

∴F是BC中點，DE＝2FB，∴DM＝2BM，∴BM＝

例10.已知△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3且CD＝6。求（1）AB；（2）AC。

分析：設(shè)AD＝2k，BD＝3k。根據(jù)直角三角形和它斜邊上的高，可知△ABC∽△ACD∽△CBD。通過相似三角形對應(yīng)邊成比例求出其中k的大小；但是如果根據(jù)射影定理，那么就可以直接計算出k的大小。

解：設(shè)AD＝2k，BD＝3k（k>0）。

∵∠ACB＝90，CD⊥AB�！郈D2＝ADBD，

∴62＝2k3k，∴k＝6。∴AB＝56。又∵AC2＝ADAB，∴AC＝215。

例11.已知△ABC中，∠ACB＝90，CH⊥AB，HE⊥BC，HF⊥AC。求證：（1）△HEF≌△EHC；（2）△HEF∽△HBC。

分析：從已知條件中可以獲得四邊形CEHF是矩形，要證明三角形全等要收集到三個條件，有公共邊EH，根據(jù)矩形的性質(zhì)可知EF＝CH，HF

＝EC。

要證明三角形相似，從條件中得∠FHE＝∠CHB＝90，由全等三角形可知，∠HEF＝∠HCB，這樣就可以證明兩個三角形相似。

證明：∵HE⊥BC，HF⊥AC，

∴∠CEH＝∠CFH＝90。又∵∠ACB＝90，∴四邊形CEHF是矩形�！郋F＝CH，HF＝EC，∠FHE＝90。又∵HE＝EH，

∴△HFE≌△EHC�！唷螲EF＝∠HCB�！摺螰HE＝∠CHB＝90，∴△HEF∽△HBC。

說明：在這一題的分析過程中，走“兩頭湊”比較快捷，從已知出發(fā)，發(fā)現(xiàn)有用的信息，從結(jié)論出發(fā)，尋找解決問題需要的條件。解題中還要注意上下兩小題的“臺階”關(guān)系。培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣。

例12.兩個全等的含30，60角的三角板ADE和ABC如圖所示放置，E，A，C三點在一條直線上，連接BD，取BD的中點M，連結(jié)ME，MC。試判斷△EMC是什么樣的三角形，并說明理由。

分析：判斷一個三角形的形狀，可以結(jié)合所給出的圖形作出假設(shè)，或許是等腰

三角形。這樣就可以轉(zhuǎn)化為另一個問題：嘗試去證明EM＝MC，要證線段相等可以尋找全等三角形來解決，然而圖中沒有形狀大小一樣的兩個三角形。這時思考的問題就可以轉(zhuǎn)化為這樣一個新問題：如何構(gòu)造一對全等三角形？根據(jù)已知點M是直角三角形斜邊的中點，產(chǎn)生聯(lián)想：直角三角形斜邊上的中點是斜邊的一半，得：MD＝MB＝MA。連結(jié)MA后，可以證明△MDE≌△MAC。

答：△EMC是等腰直角三角形。證明：連接AM，由題意得，

DE＝AC，AD＝AB，∠DAE＋∠BAC＝90�！唷螪AB＝90。∴△DAB為等腰直角三角形。又∵M(jìn)D＝MB，

∴MA＝MD＝MB，AM⊥DB，∠MAD＝∠MAB＝45�！唷螹DE＝∠MAC＝105，∠DMA＝90�！唷鱉DE≌△MAC。

∴∠DME＝∠AMC，ME＝MC。又∠DME＋∠EMA＝90，∴∠AMC＋∠EMA＝90�！郙C⊥EM。

∴△EMC是等腰直角三角形。

說明：構(gòu)造全等三角形是解決這個問題的關(guān)鍵，那么構(gòu)造全等又如何進(jìn)行的呢？對條件的充分認(rèn)識和對知識點的聯(lián)想可以找到添加輔助線的途徑。構(gòu)造過程中要不斷地轉(zhuǎn)化問題或轉(zhuǎn)化思維的角度。會轉(zhuǎn)化，善于轉(zhuǎn)化，更能體現(xiàn)思維的靈活性。在問題中創(chuàng)設(shè)以三角板為情境也是考題的一個熱點。

MD┐E┌CBA

課后練習(xí)

1.如圖，△ABC中，D、E分別是AC、AB上的點，BD與CE交于點O，給出下列三個條件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD．

（1）上述三個條件中，哪兩個條件可判定△ABC是等腰三角形（用序號寫出所有情形）；（2）選擇第（1）小題中的一種情況，證明△ABC是等腰三角形．

2.（1）已知如圖①，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝60。求證：①AC＝BD，②∠APB＝60。

（2）如圖②，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，則AC與BD間的等量關(guān)系式為______________；∠APB的大小為_____________。

（3）如圖③，在△AOB和△COD中，OA＝kOB，OC＝kOD（k>1），∠AOB＝∠COD＝α，則AC與BD間的等量關(guān)系式為_________________；∠APB的大小為_____________。

ODODODCAPB①CAB②PCABP③

3.一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5m，面積為1.5m2，工人師傅要把它加工成一個面積最大的正方形，請兩位同學(xué)設(shè)計加工方案，甲設(shè)計方案如圖（1），乙設(shè)計的方案如圖（2）。你認(rèn)為哪位同學(xué)設(shè)計的方案較好？試說明理由。（加工損耗忽略，計算結(jié)果可保留分?jǐn)?shù)）

CBDBEAADEPC

4.一般的室外放映的電影膠片上每一個圖片的規(guī)格為：3.5cm×3.5cm，放映的熒屏的規(guī)格為2m×2m，若放映機(jī)的光源距膠片20cm時，問熒屏應(yīng)拉在離鏡頭多遠(yuǎn)的地方，放映的圖象剛好布滿整個熒屏？

F(1)GHF(2)

5.如圖，已知∠MON＝90，等邊三角形ABC的一個頂點A是射線OM上的一定點，頂點B與點O重合，頂點C在∠MON內(nèi)部。

（1）當(dāng)頂點B在射線ON上移動到B1時，連結(jié)AB1為一邊的等邊三角形AB1C1（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）；

（2）設(shè)AB1與OC交于點Q，AC的延長線與B1C1交于點D。求證：ACADAB1AQ；（3）連結(jié)CC1，試猜想∠ACC1為多少度？并證明你的猜想。

6.如圖所示，設(shè)A城氣象臺測得臺風(fēng)中心在A城正西方向600km的B處，正以每小時200km的速度沿北偏東60°的BF方向移動，距臺風(fēng)中心500km的范圍是受臺風(fēng)影響的區(qū)域．

（1）A城是否受到這次臺風(fēng)的影響？為什么？

（2）若A城受到這次臺風(fēng)的影響，那么A城遭受這次臺風(fēng)的影響有多長時間？

7.（1）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線，∠CAB＝60°，CD＝3，BD＝23，求AC，AB的長．

（2）“實驗中學(xué)”有一塊三角形狀的花園ABC，有人已經(jīng)測出∠A＝30°，AC＝40米，BC＝25米，你能求出這塊花園的面積嗎？

（3）某片綠地形狀如圖所示，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠A＝60°，AB＝200m，CD＝100m，求AD、BC的長．

8.高為12米的教學(xué)樓ED前有一棵大樹AB，如圖所示．

（1）某一時刻測得大樹AB，教學(xué)樓ED在陽光下的投影長分別是BC＝2.5米，DF＝7.5米，求大樹AB的高度；

（2）現(xiàn)有皮尺和高為h米的測角儀，請你設(shè)計另一種測量大樹AB高度的方案，要求：①在圖中，畫出你設(shè)計的圖形（長度用字母m，n表示，角度用希臘字母α，β表示）；②根據(jù)你所畫出的示意圖和標(biāo)注的數(shù)據(jù)，求出大樹的高度并用字母表示．

9.如圖所示，某居民小區(qū)有一朝向為正南方向的居民樓，該居民樓的一樓是高6米的小區(qū)超市，超市以上是居民住房，在該樓的前面15米處要蓋一棟高20米的新樓．當(dāng)冬季正午的陽光與水平線的夾角為32°時．

（1）問超市以上的居民住房采光是否受影響，為什么？

（2）若要使超市采光不受影響，兩樓至少應(yīng)相距多少米？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin32°≈cos32°≈

．）

53，1

練習(xí)答案

1.解：（1）①③或②③

（2）已知①③求證△ABC是等腰三角形．

證：先證△EBO≌△DCO．得OB＝OC，得∠DBC＝∠ECB．∴∠ABC＝∠ACB．即△ABC是等腰三角形2.證明：∵△AOB和△COD為正三角形，

∴OA＝OB，OD＝OC，∠AOB＝60，∠COD＝60。

∵∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，∴∠AOC＝∠BOD�！唷鰽OC≌△BOD，∴AC＝BD�！唷螼AC＝∠OBD，∴∠APB＝∠AOB＝60。

（2）AC與BD間的等量關(guān)系式為AC＝BD；∠APB的大小為α。

（3）AC與BD間的等量關(guān)系式為AC＝kBD；∠APB的大小為180－α。3.解：方案（1）：有題意可知，DE∥BA，得△CDE∽△CBA�！�

x2x6,x.；1.527方案（2）：作BH⊥AC于H。DE∥AC，得△BDE∽△BAC�！�

x1.2x30630,x,∴圖（1）加工出的正方形面積大。�！�2.51.237737綜上所得，甲同學(xué)設(shè)計的方案較好。4.解：膠片上的圖象和熒屏上的圖象是位似的，鏡頭就相當(dāng)于位似中心，因此本題可以轉(zhuǎn)化為位似問題解答．：

80m75.解：（1）如圖所示；

證明：（2）∵△AOC與△AB1C1是等邊三角形，∴∠ACB＝∠AB1D＝60。

又∵∠CAQ＝∠B1AD，∴△ACQ∽△AB1D；

ACAQ,AB1AD

即ACADAQAB1.（3）猜想∠ACC1＝90。

證明：∵△AOC和△AB1C1為正三角形，AO＝AC，AB1＝AC1，∴∠OAC＝∠C1AB1，

∴∠OAC－∠CAQ＝∠C1AB1－∠CAQ，∴∠OAB1＝∠CAC1�！唷鰽OB1≌△ACC1�！唷螦CC1＝∠AOB1＝90。

6.（1）作AM⊥BF可計算AM＝300km

（2）受影響時間為

40024小時201*.解：（1）AC＝3，AB＝6

（2）能，分兩種情況，S△ABC＝201*－150和S△ABC＝201*＋150

C3030CA

ADBDB

（3）延長BC，AD交于E，AD＝400－1003，BC＝201*－200．

8.解：連結(jié)AC，EF，

（1）∵太陽光線是平行的，∴AC∥EF，∠ACB＝∠EFD，∵∠ABC＝∠EDF＝90°，∴△ABC∽△EDF，∴∴AB＝4米

（2）①如圖所示：

ABBCAB2.5,，EDDF127.5

②AB＝（mtanα＋h）米．

9.解：（1）超市以上居民住房采光受影響，由計算知新樓在居民樓上的投影高約11米，故受影響

（2）若要使超市采光不受影響，兩樓至少相距：

208＝20×＝32（米）

tan3

友情提示：本文中關(guān)于《初中三角形總結(jié)》給出的范例僅供您參考拓展思維使用，初中三角形總結(jié)：該篇文章建議您自主創(chuàng)作。

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