高中數(shù)學(xué)平面向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高中數(shù)學(xué)必修4之平面向量

知識(shí)點(diǎn)歸納

一.向量的基本概念與基本運(yùn)算1、向量的概念：

①向量：既有大小又有方向的量向量不能比較大小，但向量的模可以比較大�。�

②零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記為0，其方向是任意的，0與任意向量平行

③單位向量：模為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量④平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量

2、向量加法：設(shè)ABa,BCb，則a+b=ABBC=AC（1）0aa0a；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；

．ABBCCDPQQRAR，但這時(shí)必須“首尾相連”

3、向量的減法：①相反向量：與a長(zhǎng)度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量②向量減法：向量a加上b的相反向量叫做a與b的差，③作圖法：ab可以表示為從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)

的向量（a、b有共同起點(diǎn)）4、實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作λa，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：

（Ⅰ）aa；（Ⅱ）當(dāng)0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，λa的方向與a的方向

相反；當(dāng)0時(shí)，a0，方向是任意的

5、兩個(gè)向量共線定理：向量b與非零向量a共線有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得b=a6、平面向量的基本定理：如果e1,e2是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1,2使：a1e12e2，其中不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底二.平面向量的坐標(biāo)表示

1平面向量的坐標(biāo)表示：平面內(nèi)的任一向量a可表示成axiyj，記作a=(x,y)。

2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：

(1)若ax1,y1,bx2,y2，則abx1x2,y1y2(2)若Ax1,y1,Bx2,y2，則ABx2x1,y2y1

(3)若a=(x,y)，則a=(x,y)

(4)若ax1,y1,bx2,y2，則a//bx1y2x2y10(5)若ax1,y1,bx2,y2，則abx1x2y1y2

若ab，則x1x2y1y三．平面向量的數(shù)量積

1兩個(gè)向量的數(shù)量積：

已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為，則ab=abcos叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積）規(guī)定0a0ab2向量的投影：bcos=∈R，稱為向量b在a方向上的投影投影的絕對(duì)值稱為射影|a|3數(shù)量積的幾何意義：ab等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上的投影的乘積4向量的模與平方的關(guān)系：aaa2|a|25乘法公式成立：

aba2abb222222abababab；

222a2abb

6平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律：

①交換律成立：abba

②對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：abababR

③分配律成立：abcacbccab

特別注意：（1）結(jié)合律不成立：abcabc；

（2）消去律不成立abac不能（3）ab=0不能

bc

a=0或b=07兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：

已知兩個(gè)向量a(x1,y1),b(x2,y2)，則ab=x1x2y1y201*向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a與b，作OA=a,OB=b,則∠AOB=（0180）叫做向量a與b的

夾角x1x2y1y2abcos=cosa,b=2222abx1y1x2y200

當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量a與b同方向時(shí)，θ=0，當(dāng)且僅當(dāng)a與b反方向時(shí)θ=180，同時(shí)0與其它任何非零向量

之間不談夾角這一問(wèn)題

0

9垂直：如果a與b的夾角為90則稱a與b垂直，記作a⊥b10兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：a⊥bab＝Ox1x2y1y20平面向量數(shù)量積的性質(zhì)

擴(kuò)展閱讀：高中數(shù)學(xué)平面向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

平面向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第一部分：向量的概念與加減運(yùn)算，向量與實(shí)數(shù)的積的運(yùn)算。一．向量的概念：

1．向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。2．向量的表示方法：（1）幾何表示法：點(diǎn)射線有向線段具有一定方向的線段有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度記作（注意起訖）（2）字母表示法：AB可表示為a

3.模的概念：向量AB的大小長(zhǎng)度稱為向量的模。

記作：|AB|模是可以比較大小的

4.兩個(gè)特殊的向量：

1零向量長(zhǎng)度（模）為0的向量，記作0。0的方向是任意的。注意0與0的區(qū)別

2單位向量長(zhǎng)度（模）為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量。二．向量間的關(guān)系：

1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

記作：a∥b∥c規(guī)定：0與任一向量平行

2．相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

abc記作：a=b規(guī)定：0=0

任兩相等的非零向量都可用一有向線段表示，與起點(diǎn)無(wú)關(guān)。3．共線向量：任一組平行向量都可移到同一條直線上，所以平行向量也叫共線向量。

三．向量的加法：

1．定義：求兩個(gè)向量的和的運(yùn)算，叫做向量的加法。注意：；兩個(gè)向量的和仍舊是向量（簡(jiǎn)稱和向量）2．三角形法則：

aaCb

a+baba+b

A

ACB強(qiáng)調(diào)：B

ab

a+bCA

B1“向量平移”（自由向量）：使前一個(gè)向量的終點(diǎn)為后一個(gè)向量的起點(diǎn)

2可以推廣到n個(gè)向量連加3a00aa

4不共線向量都可以采用這種法則三角形法則3.加法的交換律和平行四邊形法則

1向量加法的平行四邊形法則（三角形法則）：2向量加法的交換律：a+b=b+a

3向量加法的結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

4.向量加法作圖：兩個(gè)向量相加的和向量，箭頭是由始向量始端指向終向量末端。

四．向量的減法：

1.用“相反向量”定義向量的減法

1“相反向量”的定義：與a長(zhǎng)度相同、方向相反的向量。記作a2規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量。(a)=a

任一向量與它的相反向量的和是零向量。a+(a)=0如果a、b互為相反向量，則a=b,b=a,a+b=0

3向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差。即：ab=a+(b)求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法。2.用加法的逆運(yùn)算定義向量的減法：向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算：

若b+x=a，則x叫做a與b的差，記作ab

3.向量減法做圖：AB表示ab。強(qiáng)調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù)

總結(jié)：1向量的概念：定義、表示法、模、零向量、單位向量、平行向量、

相等向量、共線向量

2向量的加法與減法：定義、三角形法則、平行四邊形法則、運(yùn)算定律五：實(shí)數(shù)與向量的積（強(qiáng)調(diào)：“�！迸c“方向”兩點(diǎn))

1.實(shí)數(shù)與向量的積

實(shí)數(shù)λ與向量a的積，記作：λa

定義：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作：λa

1|λa|=|λ||a|

2λ>0時(shí)λa與a方向相同；λ向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)λ

使b=λa

六．平面向量定理：用兩個(gè)不共線向量表示一個(gè)向量；或一個(gè)向量分解為兩個(gè)向量。

（其實(shí)質(zhì)在于：同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個(gè)不共線向量的線性組合）

平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么于一平

面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

注意幾個(gè)問(wèn)題：1e1、e2必須不共線，且它是這一平面內(nèi)所有向量的一組基底

2這個(gè)定理也叫共面向量定理

3λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數(shù)量

第二部分：向量的坐標(biāo)運(yùn)算七．向量的坐標(biāo)表示與坐標(biāo)運(yùn)算

1.平面向量的坐標(biāo)表示：在坐標(biāo)系下，平面上任何一點(diǎn)都可用一對(duì)實(shí)數(shù)(坐標(biāo))來(lái)表示

取x軸、y軸上兩個(gè)單位向量i,j作基底，則平面內(nèi)作一向量a=xi+yj，

記作：a=(x,y)稱作向量a的坐標(biāo)

2．注意：1每一平面向量的坐標(biāo)表示是唯一的；

2設(shè)A(x1,y1)B(x2,y2)則AB=(x2x1,y2y1)3兩個(gè)向量相等的充要條件是兩個(gè)向量坐標(biāo)相等。

3．結(jié)論：兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差。同理可得：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)。

4．實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo)運(yùn)算：已知a=(x,y)實(shí)數(shù)λ

則λa=λ(xi+yj)=λxi+λyj

∴λa=(λx,λy)

結(jié)論：實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)的向量相應(yīng)的坐標(biāo)。八．向量平行的坐標(biāo)表示

結(jié)論：a∥b(b0)的充要條件是x1y2-x2y1=0

注意：1消去λ時(shí)不能兩式相除，∵y1,y2有可能為0，∵b0

∴x2,y2中至少有一個(gè)不為2充要條件不能寫成

y1y2∵x1,x2有可能為0x1x2abx1y2x2y103從而向量共線的充要條件有兩種形式：a∥b(b0)九．線段的定比分點(diǎn)：

1．線段的定比分點(diǎn)及λ

P1,P2是直線l上的兩點(diǎn)，P是l上不同于P1,P2的任一點(diǎn)，存在實(shí)數(shù)λ，

使P1P=λPP2λ叫做點(diǎn)P分P1P2所成的比，有三種情況：

P1PP2P1P2PPP1P2λ>0(內(nèi)分)(外分)λC

3．注意的幾個(gè)問(wèn)題；兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別1兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由cos的符號(hào)所決定。

2兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成ab；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積

a×b，而ab是兩個(gè)數(shù)量的積，書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分。

3在實(shí)數(shù)中，若a0，且ab=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a0，

且ab=0，不能推出b=0。因?yàn)槠渲衏os有可能為0。這就得性質(zhì)2。

4已知實(shí)數(shù)a、b、c(b0)，則ab=bca=c。但是ab=bca=c如右圖：ab=|a||b|cos=|b||OA|abc=|b||c|cos=|b||OA|cab=bc但acb5在實(shí)數(shù)中，有(ab)c=a(bc)，但是(ab)ca(bc)OA顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的向量，而右端是與a共線的向量，

而一般a與c不共線。

（二）投影的概念及兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：

1．“投影”的概念：作圖BBBOOObbbO(B)aAAAaO1aBO1B1OO

OOO叫做向量b在aO定義：|b|cos方向上的投影。注意：1投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量。2當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)投影為0；當(dāng)=0時(shí)投影為|b|；當(dāng)=180時(shí)投影為|b|。2．向量的數(shù)量積的幾何意義：

數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cos的乘積。3．兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：

設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量。1ea=ae=|a|cos2abab=0

3當(dāng)a與b同向時(shí)，ab=|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，ab=|a||b|。

特別的aa=|a|2或|a|aa4cos=

ab|a||b|5|ab|≤|a||b|

十一.平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律

1.交換律：ab=ba

2.結(jié)合律：(a)b=(ab)=a(b)3.分配律：(a+b)c=ac+bc十二.平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示

1.設(shè)a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，x軸上單位向量i，y軸上單位向量j，則：ii=1，jj=1，ij=ji=02.ab=x1x2+y1y2

3.長(zhǎng)度、角度、垂直的坐標(biāo)表示

1a=(x,y)|a|2=x2+y2|a|=x2y2

2若A=(x1,y1)，B=(x2,y2)，則AB=(x1x2)2(y1y2)23cos=

ab|a||b|x1x2y1y2x1y122x2y222

4∵abab=0即x1x2+y1y2=0（注意與向量共線的坐標(biāo)表示原則）

十三.平移

一、平移的概念：點(diǎn)的位置、圖形的位置改變，而形狀、大小沒(méi)有改變，從而

導(dǎo)致函數(shù)的解析式也隨著改變。這個(gè)過(guò)程稱做圖形的平移。（作圖、講解）一個(gè)平移實(shí)質(zhì)上是一個(gè)向量二、平移公式：設(shè)PP"=(h,k)，即：OP"OPPP"

x"xh∴(x’,y’)=(x,y)+(h,k)∴平移公式

y"yk三、注意：1它反映了平移后的新坐標(biāo)與原坐標(biāo)間的關(guān)系

2知二求一

3這個(gè)公式是坐標(biāo)系不動(dòng)，點(diǎn)P(x,y)按向量a=(h,k)平移到點(diǎn)P’(x’,

y’)。另一種平移是：點(diǎn)不動(dòng)，把坐標(biāo)系平移向量a，即：

x"xh。這兩種變換使點(diǎn)在坐標(biāo)系中的相對(duì)位置是一樣y"yk的，

這兩個(gè)公式作用是一致的。十四.正弦定理

1正弦定理的敘述：在一個(gè)三角形中。各邊和它所對(duì)角的正弦比相等公式即：

abc==它適合于任何三角形。sinAsinBsinCabc===2R（R為△ABC外接圓半徑）sinAsinBsinC2可以證明3每個(gè)等式可視為一個(gè)方程：知三求一從理論上正弦定理可解決兩類問(wèn)題：

1．兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

2．兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角。十五.余弦定理

1．余弦定理語(yǔ)言描述：三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去

這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。2.余弦定理公式：

a2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2a2b22abcosC

4.強(qiáng)調(diào)幾個(gè)問(wèn)題：

1熟悉定理的結(jié)構(gòu)，注意“平方”“夾角”“余弦”等

2知三求一

3當(dāng)夾角為90時(shí)，即三角形為直角三角形時(shí)即為勾股定理（特例）

b2c2a24變形：cosA2bca2b2c2cosC

2ac

a2c2b2cosB2ac三、余弦定理的應(yīng)用

能解決的問(wèn)題：1．已知三邊求角

2．已知三邊和它們的夾角求第三邊

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