高中數(shù)學(xué)必修1、4知識點(diǎn)歸納

必修1數(shù)學(xué)知識點(diǎn)第一章、集合與函數(shù)概念

1.1.1、集合

1、把研究的對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。集合三要素：確定性、互異性、無序性。

2、只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，就稱這兩個(gè)

集合相等。3、常見集合：正整數(shù)集合：N*或N，整數(shù)集合：Z，有理數(shù)集合：Q，實(shí)數(shù)集合：R.

fx1fx2=…

1.3.2、奇偶性

1、一般地，如果對于函數(shù)fx的定義域內(nèi)任意一個(gè)

x，都有fxfx，那么就稱函數(shù)fx為

偶函數(shù).偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱.

2、一般地，如果對于函數(shù)fx的定義域內(nèi)任意一個(gè)

都有fxfx，那么就稱函數(shù)fx為x，

奇函數(shù).奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.第二章、基本初等函數(shù)（Ⅰ） 2.1.1、指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算

1、一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根。

其中n1,nN.2、當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，aa；

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a3、我們規(guī)定：

nnn4、集合的表示方法：列舉法、描述法.

1.1.2、集合間的基本關(guān)系

1、一般地，對于兩個(gè)集合A、B，如果集合A中任

意一個(gè)元素都是集合B中的元素，則稱集合A是集合B的子集。記作AB.

2、如果集合AB，但存在元素xB，且xA，

則稱集合A是集合B的真子集.記作：AB.

.并規(guī)定：3、把不含任何元素的集合叫做空集.記作：

空集合是任何集合的子集.

nn4、如果集合A中含有n個(gè)元素，則集合A有2n個(gè)子

集.

1.1.3、集合間的基本運(yùn)算

1、一般地，由所有屬于集合A或集合B的元素組成

的集合，稱為集合A與B的并集.記作：AB.2、一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素

組成的集合，稱為A與B的交集.記作：AB.3、全集、補(bǔ)集？CUA{x|xU,且xU} 1.2.1、函數(shù)的概念

1、設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)

關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有惟一確定的數(shù)fx和它對應(yīng)，那么就稱f:AB為集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作：yfx,xA.

2、一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值

域.如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，則稱這兩個(gè)函數(shù)相等. 1.2.2、函數(shù)的表示法

1、函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法. 1.3.1、單調(diào)性與最大（�。┲�

1、注意函數(shù)單調(diào)性證明的一般格式：

解：任取x1,x2a,b且x1x2，則：

a.

⑴amma

*na0,m,nN⑵an,m1；

1ann0；

4、運(yùn)算性質(zhì)：⑴aaasrsrsa0,r,sQ；

⑵ararsa0,r,sQ；

rr⑶ababa0,b0,rQ.

r 2.1.2、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、記住圖象：yaxa0,a1

2.2.1、對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算

-1-

1、axNlogaNx；

2、alogaNa.

3、loga10，logaa1.

4、當(dāng)a0,a1,M0,N0時(shí)：

⑴logaMNlogaMlogaN；

⑵logMalogNlogaMaN；

⑶logaMnnlogaM.

5、換底公式：loglogcbablogca

a0,a1,c0,c1,b0.

6、logab1log

baa0,a1,b0,b1. 2..2.2、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、記住圖象：ylogaxa0,a1

2.3、冪函數(shù)

1、幾種冪函數(shù)的圖象：

（指大圖高，指小圖低）

第三章、函數(shù)的應(yīng)用

3.1.1、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)1、方程fx0有實(shí)根

函數(shù)yfx的圖象與x軸有交點(diǎn)

函數(shù)yfx有零點(diǎn).

2、性質(zhì)：如果函數(shù)yfx在區(qū)間a,b上的圖象

是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有fafb0，

那么，函數(shù)yfx在區(qū)間a,b內(nèi)有零點(diǎn)，即存在ca,b，使得fc0，這個(gè)c也就是方

程fx0的根.

3.1.2、用二分法求方程的近似解1、掌握二分法.

3.2.1、幾類不同增長的函數(shù)模型 3.2.2、函數(shù)模型的應(yīng)用舉例

1、解決問題的常規(guī)方法：先畫散點(diǎn)圖，再用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)擬合，最后檢驗(yàn).

必修4數(shù)學(xué)知識點(diǎn)第一章、三角函數(shù)

1.1.1、任意角

1、正角、負(fù)角、零角、象限角的概念.2、與角終邊相同的角的集合：

2k,kZ.

1.1.2、弧度制

1、把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度

的角.2、lr.

3、弧長公式：lnR180R.

4、扇形面積公式：SnR236012lR.

1.2.1、任意角的三角函數(shù)

1、設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)

Px,y，那么：

-2-

siny,cosx,tanyx.

2、設(shè)點(diǎn)Ax0,y0為角終邊上任意一點(diǎn)，那么：（設(shè)

rxy2020sincos,2cossin.2

）

x0rsiny0r，cos，tany0x0.

5、誘導(dǎo)公式六：

sincos,23、sin，cos，tan在四個(gè)象限的符號和三角

函數(shù)線的畫法.4、誘導(dǎo)公式一：

sin2ksin,cos2kcos,（其中：kZ）tan2ktan.5、特殊角0°，30°，45°，60°，90°，180°，270°的三角函數(shù)值.643sincostan 1.2.2、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式1、平方關(guān)系：sin2cos21.2、商數(shù)關(guān)系：tansincos.

1.3、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式1、誘導(dǎo)公式二：

sinsin,coscos,

tantan.2、誘導(dǎo)公式三：

sinsin,coscos,

tantan.3、誘導(dǎo)公式四：

sinsin,coscos,

tantan.4、誘導(dǎo)公式五：

cossin.2 1.4.1、正弦、余弦函數(shù)的圖象1、記住正弦、余弦函數(shù)圖象：

2、能夠?qū)φ請D象講出正弦、余弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)：

定義域、值域、最大最小值、對稱軸、對稱中心、奇偶性、單調(diào)性、周期性.

3、會用五點(diǎn)法作圖.

1.4.2、正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)

1、周期函數(shù)定義：對于函數(shù)fx，如果存在一個(gè)非

零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有fxTfx，那么函數(shù)fx就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

1.4.3、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)1、記住正切函數(shù)的圖象：

2、能夠?qū)φ請D象講出正切函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)：定義域、

值域、對稱中心、奇偶性、單調(diào)性、周期性. 1.5、函數(shù)yAsinx的圖象

1、能夠講出函數(shù)ysinx的圖象和函數(shù)

yAsinxb的圖象之間的平移伸縮變

0時(shí),a的方向與a的方向相反.

換關(guān)系.2、對于函數(shù)：

yAsinxbA0,0有：振幅A，

2、平面向量共線定理：向量aa0與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba. 2.3.1、平面向量基本定理

1、平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩

個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)1,2，使a1e12e2. 2.3.2、平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示1、axiyjx,y. 2.3.3、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1、設(shè)ax1,y1,bx2,y2，則：⑴abx1x2,y1y2，

⑵abx1x2,y1y2，⑶ax1,y1，⑷a//bx1y2x2y1.2、設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則：ABx2x1,y2y1. 2.3.4、平面向量共線的坐標(biāo)表示1、設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，則⑴線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為

周期Tf1T22，初相，相位x，頻率

.

1.6、三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用1、要求熟悉課本例題.

第二章、平面向量

2.1.1、向量的物理背景與概念

1、了解四種常見向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量. 2.1.2、向量的幾何表示

1、帶有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三

個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長度.2、向量AB的大小，也就是向量AB的長度（或稱

模），記作AB；長度為零的向量叫做零向量；長度等于1個(gè)單位的向量叫做單位向量.

3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共線向量）.規(guī)定：零向量與任意向量平行. 2.1.3、相等向量與共線向量

1、長度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 2.2.1、向量加法運(yùn)算及其幾何意義1、三角形法則和平行四邊形法則.2、ab≤ab.

2.2.2、向量減法運(yùn)算及其幾何意義

1、與a長度相等方向相反的向量叫做a的相反向量. 2.2.3、向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義

1、規(guī)定：實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)

算叫做向量的數(shù)乘.記作：a，它的長度和方向規(guī)定如下：⑴aa,

x1x22,y1y22，

3⑵△ABC的重心坐標(biāo)為

x1x2x33,y1y2y3.

2.4.1、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義1、ababcos.

2、a在b方向上的投影為：acos.3、aa.

22⑵當(dāng)0時(shí),a的方向與a的方向相同；當(dāng)

4、a

-4-

a2.5、abab0.

2.4.2、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角1、設(shè)ax1,y1,bx2,y2，則：

⑴abx1x2y1y2⑵ax221y1

⑶abx1x2y1y202、設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則：

ABx222x1y2y1.

2.5.1、平面幾何中的向量方法 2.5.2、向量在物理中的應(yīng)用舉例

第三章、三角恒等變換

3.1.1、兩角差的余弦公式

1、coscoscossinsin2、記住15°的三角函數(shù)值：sincostan2126462423 3.1.2、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式1、coscoscossinsin2、sinsincoscossin3、sinsincoscossin4、tantantan1tantan.5、tantantan1tantan.

3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、sin22sincos，變形：sincos12sin2.

2、cos2cos2sin2

2cos2112sin2，

變形1：cos21cos22，

變形2：sin21cos22.

3、tan22tan.1tan2 3.2、簡單的三角恒等變換注意切化弦、平方降次.

擴(kuò)展閱讀：高一數(shù)學(xué)必修4知識點(diǎn)總結(jié)

高一數(shù)學(xué)必修4知識點(diǎn)

正角:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角1、任意角負(fù)角:按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角2、角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．

第一象限角的集合為k360k36090,k第二象限角的集合為k36090k360180,k第三象限角的集合為k360180k360270,k第四象限角的集合為k360270k360360,k終邊在x軸上的角的集合為k180,k終邊在y軸上的角的集合為k18090,k終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為k90,k3、與角終邊相同的角的集合為k360,k4、已知是第幾象限角，確定

nnn所在象限的方法：先把各象限均分n等

*份，再從x軸的正半軸的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則原來是第幾象限對應(yīng)的標(biāo)號即為

終邊所落在的區(qū)域．

lr5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度．

6、半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為l，則角的弧度數(shù)的絕對值是1807、弧度制與角度制的換算公式：2360，1，157.3．180．

8、若扇形的圓心角為為弧度制，半徑為r，弧長為l，周長為C，面積為S，則lr，C2rl，S12lr12r．

29、設(shè)是一個(gè)任意大小的角，的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是x,y，它與原點(diǎn)的距離是rrxy022，則sinyr，cosxr，tanyxx0．

10、三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正．

11、三角函數(shù)線：sin，cos，tan．12、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：1sincos1

22yPTsin1cos,cos1sin2222；2sincostan

OvMAxsinsintancos,cos．

tan13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．

口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限．

5sincos2cos2，cossin2．

6sin，cossin2．

口訣：奇變偶不變，符號看象限．

14、函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)

ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮

短）到原來的

1倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)ysinx的圖象；再將函數(shù)

ysinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），

得到函數(shù)ysinx的圖象．

函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的得到函數(shù)

ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx1倍（縱坐標(biāo)不變），

的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移

個(gè)單位

長度，得到函數(shù)ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)

的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)ysinx的圖象．

函數(shù)ysinx0,0的性質(zhì)：

①振幅：；②周期：．

2；③頻率：f12；④相位：x；⑤初相：

函數(shù)ysinx，當(dāng)xx1時(shí)，取得最小值為ymin；當(dāng)xx2時(shí)，取得最大值為ymax，則12ymaxymin，12ymaxymin，

2x2x1x1x2．

15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函ycosx

性質(zhì)

數(shù)ysinxytanx

圖象

定義域值域

RR

xxk,k

2R1,1

當(dāng)x2k21,1

k當(dāng)x2kk時(shí)，

ymax1；當(dāng)x2k

最值

時(shí)，ymax1；當(dāng)

x2k

既無最大值也無最小值

2

1．

k時(shí)，ymin1．

k時(shí)，ymin2周

期性奇奇函數(shù)偶性單

調(diào)在2k,2k

22性

2

偶函數(shù)奇函數(shù)

在2k,2kk上是

增函

-3-在k2,k數(shù)；在

k上是增函數(shù)；在2k,2k

32k,2k22k上是增函數(shù)．

k上是減函數(shù)．

k上是減函數(shù)．

對稱中心k,0k對

對稱軸稱

性xkk

2對稱中心

對稱中心

k,0k

2k,0k2對稱軸xkk

無對稱軸

16、向量：既有大小，又有方向的量．?dāng)?shù)量：只有大小，沒有方向的量．

有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長度．

零向量：長度為0的向量．

單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量．平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．相等向量：長度相等且方向相同的向量．17、向量加法運(yùn)算：

⑴三角形法則的特點(diǎn)：首尾相連．⑵平行四邊形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)．

⑶三角形不等式：ababab．

⑷運(yùn)算性質(zhì)：①交換律：abba；②結(jié)合律：abcabc；③

a00aa．

⑸坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．

Ca

18、向量減法運(yùn)算：

⑴三角形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量．

⑵坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x1,y1，x2,y2，則x1x2y,1y2

b．

abCC

19、向量數(shù)乘運(yùn)算：

⑴實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量的運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作a．

①aa；

②當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0．

⑵運(yùn)算律：①aa；②aaa；③abab．

⑶坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)ax,y，則ax,yx,y．

20、向量共線定理：向量aa0與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba．

設(shè)ax1,y1，bx2,y2，其中b0，則當(dāng)且僅當(dāng)x1y2x2y10時(shí)，向量a、bb0共線．

21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)1、2，使a1e12e2．（不共線的向量e1、e2作為

這一平面內(nèi)所有向量的一組基底）

22、分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)是線段12上的一點(diǎn)，1、2的坐標(biāo)分別是x1,y1，x2,y2，xx2y1y2當(dāng)12時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是1,．

1123、平面向量的數(shù)量積：

⑴ababcosa0,b0,0180．零向量與任一向量的數(shù)量積為0．

⑵性質(zhì)：設(shè)a和b都是非零向量，則①abab0．②當(dāng)a與b同向時(shí)，abab；22當(dāng)a與b反向時(shí)，abab；aaaa或aaa．③abab．

⑶運(yùn)算律：①abba；②ababab；③abcacbc．

⑷坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)兩個(gè)非零向量ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2y1y2．

若ax,y，則a222xy，或axy．

22設(shè)ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2y1y20．

設(shè)a、b都是非零向量，ax1,y1，bx2,y2，是a與b的夾角，則

abcosabx1x2y1y2xy2121xy2222．

24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：⑴coscoscossinsin；

⑵coscoscossinsin；⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；⑸tantantan1tantantantan1tantan（tantantan1tantan）；

⑹tan（tantantan1tantan）．

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴sin22sincos．⑵

2cos2cossin2cos112sin1cos222222（cos2cos212，

sin）．

⑶tan22tan1tan2．

26、sincossin，其中tan22．

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