數(shù)學(xué)必修二第一章知識點(diǎn)總結(jié)+習(xí)題

第一章空間幾何體

1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)：空間幾何體分為多面體和旋轉(zhuǎn)體和簡單組合體⑴常見的多面體有：棱柱、棱錐、棱臺；常見的旋轉(zhuǎn)體有：圓柱、圓錐、圓臺、球。(2)簡單組合體的構(gòu)成形式：

一種是由簡單幾何體拼接而成，例如課本圖1.1-11中（1）（2）物體表示的幾何體；一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成，例如課本圖1.1-11中（3）（4）物體表示的幾何體。

簡單組合體

練習(xí)1．下圖是由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的（）ABCD

2、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

（1）棱柱：

定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱ABCDEABCDE或用對角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱

"""""AD"

幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。（2）棱錐

定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐PABCDE幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似。

(3）棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺PABCDE

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)

練習(xí)2．一個棱柱至少有_____個面，面數(shù)最少的一個棱錐有________個頂點(diǎn)，頂點(diǎn)最少的一個棱臺有________條側(cè)棱。

3.空間幾何體的三視圖和直觀圖

把光由一點(diǎn)向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影線交于一點(diǎn)；把在一束平行光線照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影線是平行的。（1）定義：

正視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影得到的投影圖；側(cè)視圖：光線從幾何體的左面向右面正投影得到的投影圖；俯視圖：光線從幾何體的上面向下面正投影得到的投影圖。幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖。

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度；

側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。

（2）三視圖中反應(yīng)的長、寬、高的特點(diǎn)：“長對正”，“高平齊”，“寬相等”

練習(xí)3．有一個幾何體的三視圖如下圖所示，這個幾何體應(yīng)是一個()

A.棱臺B.棱錐C.棱柱D.都不對

主視圖左視圖俯視圖

練習(xí)4．如圖是一個物體的三視圖，則此物體的直觀圖是()．

""""""""""

練習(xí)5．圖（1）為長方體積木塊堆成的幾何體的三視圖，此幾何體共由________塊木塊堆成;

圖（2）中的三視圖表示的實(shí)物為_____________。

圖（1）圖（2）

練習(xí)6．有一個幾何體的三視圖及其尺寸如下（單位cm），則該幾何體的表面積及體積為：

56

22A.24cm，12cmB.15cm，12cmC.24cm，36cm4、空間幾何體的直觀圖（表示空間圖形的平面圖）.觀察者站在某一點(diǎn)觀察幾何體，畫出的圖形.

斜二測畫法的基本步驟：①建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系xOy（盡可能使更多的點(diǎn)在坐標(biāo)軸上）②建立斜坐標(biāo)系x"O"y"，使x"O"y"=45（或135），注意它們確定的平面表示水平平面；

00

2222③畫對應(yīng)圖形，在已知圖形平行于X軸的線段，在直觀圖中畫成平行于X軸，且長度保持

‘

不變；在已知圖形平行于Y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于Y軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

用斜二測畫法畫出長方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側(cè)棱（4）成圖

練習(xí)7．下列關(guān)于用斜二測畫法畫直觀圖的說法中，錯誤的是()．．．A．用斜二測畫法畫出的直觀圖是在平行投影下畫出的空間圖形B．幾何體的直觀圖的長、寬、高與其幾何體的長、寬、高的比例相同C．水平放置的矩形的直觀圖是平行四邊形D．水平放置的圓的直觀圖是橢圓

練習(xí)8．如果一個水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個底面為45，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是（）A．20‘

2B．

1222C．D．12225、空間幾何體的表面積與體積r

lrlAS側(cè)＝2πrlB⑴圓柱側(cè)面積；S側(cè)面2rl⑵圓錐側(cè)面積：S側(cè)面rl

AlVθlr12hlB圖中：扇形的半徑長為l，圓心角為θ，弧AB的長AB=2πr

圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，扇形面積S扇形弧長半徑Lθl(注：扇形的弧長等于圓心角乘以半徑.提醒圓心角π為弧度角，例如60°弧度，3ππ45°弧度，90°弧度等等)42

O1r

hO2Rl⑶圓臺側(cè)面積：S側(cè)面rlRl練習(xí)9．棱長都是1的三棱錐的表面積為（）A.3B.23C.33D.43說明：正三棱錐是錐體中底面是等邊三角形，三個側(cè)面是全等的等腰三角形的三棱錐。

正三棱錐不等同于正四面體，正四面體必須每個面都是全等的等邊三角形。正三棱錐的性質(zhì)：1．底面是等邊三角形。2．側(cè)面是三個全等的等腰三角形。3．頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的中心（也是重心、垂心、外心、內(nèi)心）。6體積公式：

V柱體Sh1V錐體Sh31V臺體hS上S上S下S下3

練習(xí)10．已知圓柱與圓錐的底面積相等，高也相等，它們的體積分別為V1和V2，則V1:VA.1:3B.1:1C.2:1D.3:1

練習(xí)11．在△ABC中，AB2,BC1.5,ABC1200,若使繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的體積是（）

A.

9753B.C.D.2222

練習(xí)12．半徑為R的半圓卷成一個圓錐，則它的體積為（）

A．

3355R3B．R3C．R3D．R3248248練習(xí)13．如圖，在多面體ABCDEF中，已知平面ABCD是邊長為3的正方形，

EF//AB,EF3,且EF與平面ABCD的距離為2，2EDAFCB則該多面體的體積為（）

A．

915Ｂ．5Ｃ．6Ｄ．22練習(xí)14．圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，

圓臺的側(cè)面積為84，則圓臺較小底面的半徑為（）A．7Ｂ．6Ｃ．5Ｄ．37.球的表面積和體積S球4R，V球243R.3練習(xí)15．若三個球的表面積之比是1:2:3，則它們的體積之比是_____________。練習(xí)16．長方體的一個頂點(diǎn)上三條棱長分別是3,4,5，且它的8個頂點(diǎn)都在同一球面上，則這個球的表面積是（）

A．25B．50C．125D．都不對練習(xí)17．正方體的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為（）

A．3:1B．3:2C．2:3D．3:3

練習(xí)18（如圖）在底半徑為2，母線長為4的圓錐中內(nèi)接一個高為3的圓柱，求圓柱的表面積

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數(shù)學(xué)必修2知識點(diǎn)小結(jié)

第一章空間幾何體

1.1柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

1、棱柱的定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點(diǎn)字母表示，如五棱柱ABCDEABCDE或用對角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱AD

幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且

相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

2、棱錐的定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐PABCDE

幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到

截面距離與高的比的平方。

注意理解正三棱椎，正四面體、直棱柱的結(jié)構(gòu)特征

3、棱臺的定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺PABCDE

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)4、圓柱的定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開圖

是一個矩形。

5、圓錐的定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：①底面是一個圓；②母線交于圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖是一個扇形。6、圓臺的定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分幾何特征：①上下底面是兩個圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖是一個弓形。7、球體的定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1、定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度；

側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。

""""""""""""""""2、畫三視圖的原則：長對齊、高對齊、寬相等3、空間幾何體的直觀圖斜二測畫法

斜二測畫法特點(diǎn)：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；

②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。③平行于z軸的平行的線段仍然與z平行且長度不變

S直2=4、平面圖形面積與其直觀圖面積的關(guān)系：S平45用斜二測畫法畫出長方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側(cè)棱（4）成圖

根據(jù)三視圖畫空間幾何體的直觀圖，注意先畫俯視圖。1.3空間幾何體的表面積與體積（一）空間幾何體的表面積

（1）幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。

（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，h為斜高，l為母線）

"S直棱柱側(cè)面積chS圓柱側(cè)2rhS正棱錐側(cè)面積1ch"S圓錐側(cè)面積rl

2S正棱臺側(cè)面積1(rR)l(c1c2)h"S圓臺側(cè)面積222Srlr圓柱的表面積圓錐的表面積S2rl2r圓臺的表面積SrlrRlR球的表面積S4R（二）空間幾何體的體積

（3）柱體、錐體、臺體的體積公式

柱體的體積VS底hV圓柱Shrh錐體的體積V2222

1S底hV圓錐1r2h33臺體的體積V（S上13S上S下S下)h

114V圓臺(S"S"SS)h(r2rRR2)h球體的體積VR3

3專項(xiàng)練習(xí)：

1、已知一個幾何體的三視圖（單位：cm）如右圖所示，則該幾何體的側(cè)面積為_____cm2

2、一組合體三視圖如右，正視圖中正方形邊長為2，俯視圖為正三角形及內(nèi)切圓，則該組合體體積為（）A.23B.

3、已知某個幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm），可得這個幾何體的體積是

4、如圖（單位：cm），求圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積和體積.。A2D

4

C5434344C.23+D.

2733B55、直角三角形三邊長分別是3cm、繞三邊旋轉(zhuǎn)一周分別形成三個幾何體.想4cm、5cm，象并說出三個幾何體的結(jié)構(gòu)，畫出它們的三視圖，求出它們的表面積和體積.

6、棱長都是1的三棱錐的表面積為，體積為。7、(1)等體積的球和正方體,它們的表面積的大小關(guān)系是S球___S正方體；

(2)一個直徑為32厘米的圓柱形水桶中放入一個鐵球，球全部沒入水中后，水面升高9厘米，則此球的半徑為_________厘米.

8、正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是上底面ABCD的中心，若正方體的棱長為a，則三棱錐O－AB1D1的體積為_____________．

9、如果一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是()．

A．2＋2

B．

1＋22C．

2＋22D．1＋

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