高二數(shù)學(xué)2-2.2-3知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)小結(jié)

高二數(shù)學(xué)2-2.2-3知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)小結(jié)

一、導(dǎo)數(shù)

1、導(dǎo)數(shù)定義：f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)記作yxx0f(x0)limx0f(x0x)f(x0)；

x2、幾何意義：切線斜率；物理意義：瞬時(shí)速度；3、常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:

"①C0；②(xn)"nxn1；③(sinx)"cosx；④(cosx)"sinx；

⑤(ax)"axlna；⑥(ex)"ex；⑦(logax)"11"；⑧(lnx)。xlnax11⑨2；⑩

xxx21x

uuvuv4、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：(uv)uv;(uv)uvuv;();2vv5、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：yxyuux;6、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：

（1）利用導(dǎo)數(shù)求切線：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得該點(diǎn)的切線斜率為該處的導(dǎo)數(shù)（kf(x0)）；利用點(diǎn)斜式（yy0k(xx0)）求得切線方程。

注意）所給點(diǎn)是切點(diǎn)嗎？）所求的是“在”還是“過(guò)”該點(diǎn)的切線？（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性：①f(x)0f(x)是增函數(shù)；

②f(x)0f(x)為減函數(shù)；③f(x)0f(x)為常數(shù)；反之，f(x)是增函數(shù)f(x)0，f(x)是減函數(shù)f(x)0

（3）利用導(dǎo)數(shù)求極值：）求導(dǎo)數(shù)f(x)；）求方程f(x)0的根；）列表得極值。（4）利用導(dǎo)數(shù)最大值與最小值：

）求得極值；）求區(qū)間端點(diǎn)值（如果有）；得最值。（5）求解實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題：

①根據(jù)所求假設(shè)未知數(shù)x和y，并由題意找出兩者的函數(shù)關(guān)系式，同時(shí)給出x的范圍；②求導(dǎo)，令其為0，解得x值，舍去不符合要求的值；

③根據(jù)該值兩側(cè)的單調(diào)性，判斷出最值情況（最大還是最��？）；④求最值（題目需要時(shí)）；回歸題意，給出結(jié)論；7、定積分定積分的定義：

baf(x)dxlimni1nbaf(i)（注意整體思想）n

定積分的性質(zhì)：①

②③

kf(x)dxkabba；f(x)dx（k常數(shù)）

bb[f(x)fa1b2(x)]dxf1(x)dxf2(x)dx；

aacbacba（分步累加）f(x)dxf(x)dxf(x)dx（其中acb)。

微積分基本定理（牛頓萊布尼茲公式）：

baf(x)dxF(x)|baF(b)F(a)

n11xnsinxcosxcosxsinxn1lnx（熟記x（），，，，n1xxaxx）ee，axlna定積分的應(yīng)用：①求曲邊梯形的面積：S；(f(x)g(x))dx（兩曲線所圍面積）

ab注意：若是單曲線yf(x)與x軸所圍面積，位于x軸下方的需在定積分式子前加“”②求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程：S③求變力做功：Wv(t)dt；

abbaF(s)ds。

二、復(fù)數(shù)

1．概念：

z=a+bi∈Rb=0(a,b∈R)z=zz2≥0；z=a+bi是虛數(shù)b≠0(a,b∈R)；

z=a+bi是純虛數(shù)a=0且b≠0(a,b∈R)z＋z＝0（z≠0）z2

（1）復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸

（2）復(fù)數(shù)zabi點(diǎn)Z（a,b）向量OZ(a,b)

三、推理與證明

（一）．推理：

合情推理：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，在進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們稱為合情推理。①歸納推理：由某類食物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者有個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理，簡(jiǎn)稱歸納。注：歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理。②類比推理：由兩類對(duì)象具有類似和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理，稱為類比推理，簡(jiǎn)稱類比啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊。注：類比推理是特殊到特殊的推理啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊。

演繹推理：從一般的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，這種推理叫演繹推理。注：演繹推理是由一般到特殊的推理。“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：大前提---------已知的一般結(jié)論；小前提---------所研究的特殊情況；結(jié)論---------根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況得出的判斷。（二）證明⒈直接證明綜合法

一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫順推法或由因?qū)Ч�法。分析�?/p>

一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定義、定理、公理等），這種證明的方法叫分析法。分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法。2．間接證明------反證法

一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明原命題成立，這種證明方法叫反證法。（三）數(shù)學(xué)歸納法

一般的證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的一個(gè)命題，可按以下步驟進(jìn)行：證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0是命題成立；

假設(shè)當(dāng)nk(kn0,kN)命題成立，證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立。那么由就可以判定命題對(duì)從n0開始所有的正整數(shù)都成立。

注：①數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可，用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)必須嚴(yán)格按步驟進(jìn)行；①n0的取值視題目而定，可能是1，也可能是2等。

四、排列、組合和二項(xiàng)式定理

m排列數(shù)公式:An=n(n-1)(n-2)(n-m＋1)=(nm)!(m≤n,m、n∈N*),當(dāng)m=n時(shí)為全排列

n!

n0=n(n-1)(n-2)3.2.1=n!，AnAn1;

mAnn(n1)(nm1)（m≤n）,C0Cn1；m組合數(shù)公式：CnmnnAmm(m1)(m2)321組合數(shù)性質(zhì)：Cnmnmmm1m12nn1Cn;CnCnCn；1；Cn2CnnCnn20n1n11knkknn二項(xiàng)式定理：(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN)rnrr①通項(xiàng)：Tr1Cnab(r0,1,2,...,n);②注意二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別；

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：

mnm①與首末兩端等距離的二項(xiàng)式系數(shù)相等（Cn）；Cnnn②若n為偶數(shù)，中間一項(xiàng)（第＋1項(xiàng)）二項(xiàng)式系數(shù)（C2n）最大；若n為奇數(shù)，中間

2n1n1兩項(xiàng)（第+1和+1項(xiàng)）二項(xiàng)式系數(shù)（Cn2，Cn2）最大；

2201*n0213③CnCnCnCn2n;CnCnCnCn2n1;

n1n1(6)求二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)和或奇（偶）數(shù)項(xiàng)系數(shù)和時(shí)，注意運(yùn)用代入法（取x1,0,1）。

五.概率與統(tǒng)計(jì)

隨機(jī)變量的分布列：

（求解過(guò)程：直接假設(shè)隨機(jī)變量啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊，找其可能取值，求對(duì)應(yīng)概率，列表）

①隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)：0pi1,i=1,2,；p1+p2+=1;②離散型隨機(jī)變量：

XPx1P1X2P2xnPn期望：EX＝x1p1+x2p2++xnpn+;

方差：DX＝(x1EX)p1(x2EX)p2(xnEX)pn;注：E(aXb)aEXb;D(aXb)aDX；DXEX(EX)

22222

③兩點(diǎn)分布（01分布）：

X01期望：EX＝p；方差：DX＝p(1-p).P1－pp④超幾何分布：一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則

knkCMCNMP(Xk),k0,1,m,mmin{M,n},其中，nN,MN。nCN稱分布列

X01m

0n01n1mnmCMCNCMCNCMCNMMMPnnnCNCNCN為超幾何分布列，稱X服從超幾何分布。

⑤二項(xiàng)分布（n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)）：

kk若X～B（n,p）,則EX＝np,DX＝np（1-p）;注：P(Xk)Cnp(1p)nk。

條件概率：

P(B|A)n(AB)P(AB)，稱為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率。n(A)P(A)注：①0P（B|A）1；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。

獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。正態(tài)總體的概率密度函數(shù)：f(x)12e(x)222,xR,式中,（0）是參數(shù)，

分別表示總體的平均數(shù)（期望值）與標(biāo)準(zhǔn)差；正態(tài)曲線的性質(zhì)：

①曲線位于x軸上方，與x軸不相交啊啊啊啊啊啊啊��；②曲線是單峰的，關(guān)于直線x＝對(duì)稱；

③曲線在x＝處達(dá)到峰值

b12；④曲線與x軸之間的面積為1；

P(aXb)af(x)dx，則X~N(,2)

①曲線的對(duì)稱軸隨的變化沿x軸平移，變大，曲線右移；

②曲線高矮由確定：越大，曲線越“矮胖”，反之，曲線越“高瘦”；標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布X~N(0,1)，其中f(x)1e2x22,xR,

注：P(3X3)=0.9974（3原則）

xab，線性回歸方程y其中x11bxi,yyi，ni1ni1nnxyii1nninxynx2xyb，axi12i（9）獨(dú)立性檢驗(yàn)

2所謂獨(dú)立性檢驗(yàn)，就是要把采集樣本的數(shù)據(jù)，利用公式計(jì)算的值，比較與臨界值的

大小關(guān)系，來(lái)判定事件A與B是否無(wú)關(guān)的問(wèn)題。

具體步驟：（1）采集樣本數(shù)據(jù)。

nn11n22n12n2122nnnn1212（2）由計(jì)算的值。

222（3）統(tǒng)計(jì)推斷，當(dāng)＞3.841時(shí)，有95%的把握說(shuō)事件A與B有關(guān)；當(dāng)＞6.635時(shí)，2有99%的把握說(shuō)事件A與B有關(guān)；當(dāng)≤3.841時(shí)，認(rèn)為事件A與B是無(wú)關(guān)的。

例.為了研究色盲與性別的關(guān)系，調(diào)查了1000人，調(diào)查結(jié)果如下表所示：

男女正常442514

色盲386

根據(jù)上述數(shù)據(jù)試問(wèn)色盲與性別是否是相互獨(dú)立的？分析：?jiǎn)栴}歸結(jié)為二元總體的獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題。解：由已知條件可得下表

正常色盲合計(jì)男442384802女5146520合計(jì)95644100044263851410002依據(jù)公式得＝95644480520＝27.139。

由于27.139＞6.635，所以有99%的把握認(rèn)為色盲與性別是有關(guān)的，從而拒絕原假設(shè)，可以認(rèn)為色盲與性別不是相互獨(dú)立的。

評(píng)注：根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的思想，比較計(jì)算出的與臨界值的大小，選擇接受假設(shè)還是拒絕假設(shè)。

2

擴(kuò)展閱讀：高二數(shù)學(xué)選修2-1知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高二數(shù)學(xué)（上）期末復(fù)習(xí)部分知識(shí)點(diǎn)概要201*-1-5高二數(shù)學(xué)選修2－1知識(shí)點(diǎn)

1、命題：用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句.真命題：判斷為真的語(yǔ)句.假命題：判斷為假的語(yǔ)句.2、“若p，則q”形式的命題中的p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論.

3、對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，則這兩個(gè)命題稱為互逆命題.其中一個(gè)命題稱為原命題，另一個(gè)稱為原命題的逆命題.若原命題為“若p，則q”，它的逆命題為“若q，則p”.

4、對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，則這兩個(gè)命題稱為互否命題.中一個(gè)命題稱為原命題，另一個(gè)稱為原命題的否命題.若原命題為“若p，則q”，則它的否命題為“若p，則q”.

5、對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，則這兩個(gè)命題稱為互為逆否命題.其中一個(gè)命題稱為原命題，另一個(gè)稱為原命題的逆否命題.

若原命題為“若p，則q”，則它的否命題為“若q，則p”.6、四種命題的真假性：

原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真真假假假假

四種命題的真假性之間的關(guān)系：

1兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；

2兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系．

7、若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．若pq，則p是q的充要條件（充分必要條件）．

8、用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來(lái)，得到一個(gè)新命題，記作pq．

當(dāng)p、q都是真命題時(shí)，pq是真命題；當(dāng)p、q兩個(gè)命題中有一個(gè)命題是假命題時(shí)，pq是假命題．

用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來(lái)，得到一個(gè)新命題，記作pq．

當(dāng)p、q兩個(gè)命題中有一個(gè)命題是真命題時(shí)，pq是真命題；當(dāng)p、q兩個(gè)命題都是假命題時(shí)，pq是假命題．

對(duì)一個(gè)命題p全盤否定，得到一個(gè)新命題，記作p．

若p是真命題，則p必是假命題；若p是假命題，則p必是真命題．

9、短語(yǔ)“對(duì)所有的”、“對(duì)任意一個(gè)”在邏輯中通常稱為全稱量詞，用“”表示．含有全稱量詞的命題稱為全稱命題．

全稱命題“對(duì)中任意一個(gè)x，有px成立”，記作“x，px”．短語(yǔ)“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常稱為存在量詞，用“”表示．含有存在量詞的命題稱為特稱命題．

特稱命題“存在中的一個(gè)x，使px成立”，記作“x，px”．

10、全稱命題p：x，px，它的否定p：x，px．全稱命題的否定是特稱命題．11、平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F（大于F的點(diǎn)的軌跡稱為橢圓．這F2的距離之和等于常數(shù)1，1F2）兩個(gè)定點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為橢圓的焦距．12、橢圓的幾何性質(zhì)：

1--高二數(shù)學(xué)（上）期末復(fù)習(xí)部分知識(shí)點(diǎn)概要201*-1-5焦點(diǎn)的位置

焦點(diǎn)在x軸上

焦點(diǎn)在y軸上

圖形

標(biāo)準(zhǔn)方程范圍頂點(diǎn)軸長(zhǎng)焦點(diǎn)焦距對(duì)稱性離心率準(zhǔn)線方程

xy1ab0a2b2axa且byb

22yx1ab0a2b2bxb且aya

22

1a,0、2a,010,b、20,bF1c,0、F2c,0

10,a、20,a1b,0、2b,0F10,c、F20,c

短軸的長(zhǎng)2b長(zhǎng)軸的長(zhǎng)2a

F1F22cc2a2b2

關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱

cb2e120e1

aaa2x

ca2y

c13、設(shè)是橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)到F1對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離為d1，點(diǎn)到F2對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離為d2，則

F1d1F2d2e．

14、平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于F1F2）的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)稱為雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為雙曲線的焦距．15、雙曲線的幾何性質(zhì)：

焦點(diǎn)在y軸上焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上

圖形

標(biāo)準(zhǔn)方程范圍頂點(diǎn)軸長(zhǎng)焦點(diǎn)

xy1a0,b022abxa或xa，yR

22yx1a0,b022abya或ya，xR

22

1a,0、2a,0F1c,0、F2c,0

10,a、20,aF10,c、F20,c

虛軸的長(zhǎng)2b實(shí)軸的長(zhǎng)2a

2--高二數(shù)學(xué)（上）期末復(fù)習(xí)部分知識(shí)點(diǎn)概要201*-1-5焦距對(duì)稱性離心率準(zhǔn)線方程漸近線方程

F1F22cc2a2b2

關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱

cb2e12e1

aaa2x

cbyx

aa2y

cayx

b16、實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線稱為等軸雙曲線．

17、設(shè)是雙曲線上任一點(diǎn)，點(diǎn)到F1對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離為d1，點(diǎn)到F2對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離為d2，則

F1d1F2d2e．

18、平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線．定點(diǎn)F稱為拋物線的焦點(diǎn)，定直線l稱為拋物線的準(zhǔn)線．

19、過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作垂直于對(duì)稱軸且交拋物線于、兩點(diǎn)的線段，稱為拋物線的

“通徑”，即2p．20、焦半徑公式：

p；2p2若點(diǎn)x0,y0在拋物線y2pxp0上，焦點(diǎn)為F，則Fx0；

2p2若點(diǎn)x0,y0在拋物線x2pyp0上，焦點(diǎn)為F，則Fy0；

2p2若點(diǎn)x0,y0在拋物線x2pyp0上，焦點(diǎn)為F，則Fy0．

2若點(diǎn)x0,y0在拋物線y22pxp0上，焦點(diǎn)為F，則Fx0

21、拋物線的幾何性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)方程

y22pxy22pxx22pyx22py

p0p0p0p0

圖形頂點(diǎn)對(duì)稱軸焦點(diǎn)準(zhǔn)線方程

0,0

x軸

pF,02xp2y軸

pF,02xp2pF0,

2yp2pF0,

2yp23--高二數(shù)學(xué)（上）期末復(fù)習(xí)部分知識(shí)點(diǎn)概要201*-1-5離心率范圍

e1x0x0y0y0

4--

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