二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及相關(guān)典型題目

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二次函數(shù)

一、定義：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)，那么y叫做x的二次函數(shù).例：已知關(guān)于x的函數(shù)yax2bxc(a,b,c是常數(shù)）當(dāng)a,b,c滿(mǎn)足什么條件時(shí)（1）是一次函數(shù)（2）是正比例函數(shù)（3）是二次函數(shù)二、二次函數(shù)yax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)的性質(zhì)（1）①當(dāng)a0時(shí)拋物線開(kāi)口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；②當(dāng)a0時(shí)拋物線開(kāi)口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).③｜a｜越大，開(kāi)口越小。

Ox

ybb4acb2（，）（2）頂點(diǎn)是，對(duì)稱(chēng)軸是直線x

2a2a4a（3）①當(dāng)a0時(shí)，在對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x的增大而減小；在在對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x的增大而增大；

②當(dāng)a0時(shí)，在對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x的增大而增大；在在對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x的增大而減小。（4）y軸與拋物線yax2bxc得交點(diǎn)為(0,c)

2

c0，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，c0，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方則下列結(jié)論中正確的是(D)

例：1、（201*四川重慶，7，4分）已知拋物線y＝ax＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，

A．a(chǎn)>0B．b＜0C．c＜0D．a(chǎn)＋b＋c>0

山東威海題圖

練習(xí)：1、（201*山東威海，7，3分）二次函數(shù)yx22x3的圖象如圖所示．當(dāng)y＜0時(shí)，自變量x的

取值范圍是（A）．A．－1＜x＜3

B．x＜－1

C．x＞3

D．x＜－1或x＞3

2、（201*湖北孝感，12，3分）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,1，下列結(jié)論：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；2④a+b+c＜0.其中正確的個(gè)數(shù)是（C）A.1B.2C.3D.4

1

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三、求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸的方法

bb4acb2（，）（1）公式法：yaxbxc，頂點(diǎn)是，對(duì)稱(chēng)軸是直線x.

2a2a4a2（2）配方法：yaxhk的頂點(diǎn)為(h,k)，對(duì)稱(chēng)軸是直線xh.

2(3)利用交點(diǎn)式求對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn)：yaxx1xx2例1、求下列各拋物線的頂點(diǎn)和對(duì)稱(chēng)軸：（1）yxx，對(duì)稱(chēng)軸為x122

x23x5（2）y2(x1)7（3）y3(x7)(x9)

2

2例2、201*江蘇淮安，14，3分）拋物線y=x-2x-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.（1，－4）四、拋物線的平移

將函數(shù)換成頂點(diǎn)式，用口決“（x）左加右減，上加下減”．．．例1、拋物線yx22x3經(jīng)過(guò)怎樣平移得到y(tǒng)x24x1答案：向右平移3，再向下移5個(gè)單位得到；

3、（201*山東濱州，7，3分）拋物線yx23可以由拋物線yx2平移得到,則下列平移過(guò)程正確的是(B)

A.先向左平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位B.先向左平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位C.先向右平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位D.先向右平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位五、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

（1）一般式：yax2bxc.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x、y的值，通常選擇一般式.（2）頂點(diǎn)式：yaxhk.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸，通常選擇頂點(diǎn)式.

22（3）交點(diǎn)式：已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)x1、x2，通常選用交點(diǎn)式：yaxx1xx2.(4)一般式與頂點(diǎn)式的變換

例：1、根據(jù)已知條件確定下列函數(shù)的解析式：

（－3，0），（0，－3）,(5，0)（1）已知拋物線過(guò)

2

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（2）已知拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，且過(guò)點(diǎn)（1，0）、（－2，4）；（3）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（－2，0），過(guò)點(diǎn)（1，4）

（201*山東濟(jì)寧，12，3分）將二次函數(shù)yx24x5化為y(xh)2k的形式，則y2y(x2)1）（

七、yax2bxc(a0)與一元二次方程ax2bxc0(a0)的關(guān)系

b4ac>0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根2＝0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根用專(zhuān)業(yè)的心，做專(zhuān)業(yè)的教育

A.k4

八、二次函數(shù)的應(yīng)用

B.k4C.k4且k3D.k4且k3

1、求yax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)最大值或最小值

①a0，函數(shù)有最小值為頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，此時(shí)x等于頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)；②a0，函數(shù)有最大值為頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，此時(shí)x等于頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)。例1、（201*廣東肇慶，10，3分）二次函數(shù)yx22x5有（D）

A．最大值5

B．最小值5

C．最大值6

D．最小值6

例3、某商場(chǎng)以每件30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，試銷(xiāo)中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷(xiāo)量m（件）與每件的銷(xiāo)售價(jià)x(元)滿(mǎn)足一次函數(shù)：m=162-3x.

（1）寫(xiě)出商場(chǎng)賣(mài)這種商品每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)y與每件的銷(xiāo)售價(jià)x間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果商場(chǎng)要想每天獲得最大銷(xiāo)售利潤(rùn)，每件商品的定價(jià)為多少最合適？最大銷(xiāo)售利潤(rùn)為多

少？附表.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：

函數(shù)解析式開(kāi)口方向?qū)ΨQ(chēng)軸頂點(diǎn)坐標(biāo)（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)yax2yax2k2yaxhx0（y軸）當(dāng)a0時(shí)開(kāi)口向上當(dāng)a0時(shí)x0（y軸）xhxhyaxhk2開(kāi)口向下yaxbxc2bx2ab4acb2，()2a4a1、兩點(diǎn)間距離公式（當(dāng)遇到?jīng)]有思路的題時(shí)，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法）

如圖：點(diǎn)A坐標(biāo)為（x1，y1）點(diǎn)B坐標(biāo)為（x2，y2）則AB間的距離，即線段AB的長(zhǎng)度為

1、二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)函數(shù)x1x22y1y22

yax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)a>0a用專(zhuān)業(yè)的心，做專(zhuān)業(yè)的教育

y0xy0x（1）拋物線開(kāi)口向下，并向下無(wú)限延伸；（1）拋物線開(kāi)口向上，并向上無(wú)限延伸；b（2）對(duì)稱(chēng)軸是x=2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（（2）對(duì)稱(chēng)軸是x=b2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)是4acbb2a，4a）；24acb2b4a（2a，）；bb（3）在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，即當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而增大，簡(jiǎn)記左減右增；時(shí)，y隨x的增大而減小，簡(jiǎn)記左增右減；（4）拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)x=b2a時(shí)，（4）拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)x=y有最小值，y最小值4acb24ab2a時(shí)，y有最大值，y最大值4acb24a5

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二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及相關(guān)典型題目

第一部分基礎(chǔ)知識(shí)

1.定義：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)，那么y叫做x的二次函數(shù).2.二次函數(shù)yax2的性質(zhì)

（1）拋物線yax2的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是y軸.（2）函數(shù)yax2的圖像與a的符號(hào)關(guān)系.

①當(dāng)a0時(shí)拋物線開(kāi)口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；

②當(dāng)a0時(shí)拋物線開(kāi)口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).

（a0）（3）頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是y軸的拋物線的解析式形式為yax2.

3.二次函數(shù)yax2bxc的圖像是對(duì)稱(chēng)軸平行于（包括重合）y軸的拋物線.

b4acb2，k4.二次函數(shù)yaxbxc用配方法可化成：yaxhk的形式，其中h.2a4a225.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①yax2；②yax2k；③yaxh；④yaxhk；

22⑤yaxbxc.

6.拋物線的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn).

①a的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向：當(dāng)a0時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)a0時(shí)，開(kāi)口向下；

2a相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同.

②平行于y軸（或重合）的直線記作xh.特別地，y軸記作直線x0.

7.頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)a相同，那么拋物線的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.

8.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸的方法

bb4acb2b4acb22（，）（1）公式法：yaxbxcax，∴頂點(diǎn)是，對(duì)稱(chēng)軸是直線x.2a2a4a2a4a（2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為yaxhk的形式，得到頂點(diǎn)為(h,k)，對(duì)稱(chēng)軸是直線

22xh.

（3）運(yùn)用拋物線的對(duì)稱(chēng)性：由于拋物線是以對(duì)稱(chēng)軸為軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，所以對(duì)稱(chēng)軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)

稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).

用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ(chēng)性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一失.9.拋物線yax2bxc中，a,b,c的作用

（1）a決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與yax2中的a完全一樣.

（2）b和a共同決定拋物線對(duì)稱(chēng)軸的位置.由于拋物線yax2bxc的對(duì)稱(chēng)軸是直線

xbbb，故：①b0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為y軸；②0（即a、b同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)；③0（即a、2aab異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè).

（3）c的大小決定拋物線yax2bxc與y軸交點(diǎn)的位置.

當(dāng)x0時(shí)，yc，∴拋物線yax2bxc與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，c）：①c0，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn);②c0,與y軸交于正半軸；③c0,與y軸交于負(fù)半軸.以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，則ba0.10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開(kāi)口方向?qū)ΨQ(chēng)軸頂點(diǎn)坐標(biāo)yax2x0（y軸）（0,0）yax2kx0（y軸）(0,k)yaxh2當(dāng)a0時(shí)xh(h,0)yaxh2k開(kāi)口向上x(chóng)h(h,k)當(dāng)a0時(shí)yax2bxcb開(kāi)口向下x2a(b4acb22a，4a)11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

（1）一般式：yax2bxc.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x、y的值，通常選擇一般式.（2）頂點(diǎn)式：yaxh2k.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸，通常選擇頂點(diǎn)式.

（3）交點(diǎn)式：已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)x1、x2，通常選用交點(diǎn)式：yaxx1xx2.12.直線與拋物線的交點(diǎn)

（1）y軸與拋物線yax2bxc得交點(diǎn)為(0,c).

-2-

a2（2）與y軸平行的直線xh與拋物線yax2bxc有且只有一個(gè)交點(diǎn)(h,ahbhc).

（3）拋物線與x軸的交點(diǎn)

二次函數(shù)yax2bxc的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2，是對(duì)應(yīng)一元二次方程axbxc0的兩

個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：①有兩個(gè)交點(diǎn)0拋物線與x軸相交；

②有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在x軸上）0拋物線與x軸相切；③沒(méi)有交點(diǎn)0拋物線與x軸相離.（4）平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)

同（3）一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為k，則橫

坐標(biāo)是axbxck的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

（5）一次函數(shù)ykxnk0的圖像l與二次函數(shù)yax2bxca0的圖像G的交點(diǎn)，由方程組

22ykxnyaxbxc2的解的數(shù)目來(lái)確定：①方程組有兩組不同的解時(shí)l與G有兩個(gè)交點(diǎn);②方程組只有一組解時(shí)

l與G只有一個(gè)交點(diǎn)；③方程組無(wú)解時(shí)l與G沒(méi)有交點(diǎn).

（6）拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線yax2bxc與x軸兩交點(diǎn)為Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是

方程axbxc0的兩個(gè)根，故

2bcx1x2,x1x2aaABx1x2x1x22x1x22b24acb4c4x1x2

aaaa2第二部分典型習(xí)題

１.拋物線y＝x＋2x－2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（D）

A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3）２.已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（C）

Ａ．a(chǎn)b＞0，c＞0Ｂ．a(chǎn)b＞0，c＜0Ｃ．a(chǎn)b＜0，c＞0Ｄ．a(chǎn)b＜0，c＜0

AEFDC2

B

第２,３題圖第4題圖

３.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（Ｄ）A．a(chǎn)＞0，b＜0，c＞0B．a(chǎn)＜0，b＜0，c＞0C．a(chǎn)＜0，b＞0，c＜0D．a(chǎn)＜0，b＞0，c＞0

４.如圖，已知ABC中，BC=8，BC上的高h(yuǎn)4，D為BC上一點(diǎn)，EF//BC，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F（EF不過(guò)A、B），設(shè)E到BC的距離為x，則DEF的面積y關(guān)于x的函數(shù)的圖象大致為（Ｄ）

4y444O2A4xO2B4O2C4O2D4

EF4xEF82x,yx24x84５.拋物線yx22x3與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，則AB的長(zhǎng)為4．

6.已知二次函數(shù)y＝kx2＋(2k－，則對(duì)于下列結(jié)論：①當(dāng)x＝－2時(shí)，y1)x－1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1、x2（x1＜x2）＝1；②當(dāng)x＞x2時(shí)，y＞0；③方程kx2＋(2k－1；⑤1)x1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2；④x1＜1，x2＞－1＋4k2，其中所有正確的結(jié)論是①③④（只需填寫(xiě)序號(hào)）．x2－x1＝k7.已知直線y2xbb0與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B；一拋物線的解析式為yxb10xc.

2（1）若該拋物線過(guò)點(diǎn)B，且它的頂點(diǎn)P在直線y2xb上，試確定這條拋物線的解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)B作直線BC⊥AB交x軸交于點(diǎn)C，若拋物線的對(duì)稱(chēng)軸恰好過(guò)C點(diǎn)，試確定直線y2xb的解析式.解：（1）yx10或yx4x6

22b10b216b100b10b216b100,)，b（0，b)代入，將得cb.頂點(diǎn)坐標(biāo)為(由題意得2，2424解得b110,b26.（2）y2x2

8.有一個(gè)運(yùn)算裝置，當(dāng)輸入值為x時(shí)，其輸出值為y，且y是x的二次函數(shù)，已知輸入值為2,0,1時(shí),相應(yīng)的輸出值分別為5,3,4．

（1）求此二次函數(shù)的解析式；

（2）在所給的坐標(biāo)系中畫(huà)出這個(gè)二次函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象寫(xiě)出當(dāng)輸出值y為正數(shù)時(shí)輸入值x的取值范圍.解：（1）設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為yax2bxc,

a(2)2b(2)c5a1c3則a02b0c3,即2ab4,解得b2abc4c3ab1故所求的解析式為:yx22x3.（2)函數(shù)圖象如圖所示.

由圖象可得，當(dāng)輸出值y為正數(shù)時(shí)，輸入值x的取值范圍是x1或x3．

9.某生物興趣小組在四天的實(shí)驗(yàn)研究中發(fā)現(xiàn)：駱駝的體溫會(huì)隨外部環(huán)境溫度的變化而變化，而且在這四天中每晝夜的體溫變化情況相同．他們將一頭駱駝前兩晝圖．請(qǐng)根據(jù)圖象回答：

⑴第一天中，在什么時(shí)間范圍內(nèi)這頭駱駝從最低上升到最高需要多少時(shí)間?⑵第三天12時(shí)這頭駱駝的體溫是多少?⑶興趣小組又在研究中發(fā)現(xiàn)，圖中10時(shí)到22時(shí)的曲線是拋物線，求該拋物線的解析式．

解：⑴第一天中，從4時(shí)到16時(shí)這頭駱駝的

體溫是上升的

它的體溫從最低上升到最高需要12小時(shí)⑵第三天12時(shí)這頭駱駝的體溫是39℃

第9題

夜的體溫變化情況繪制成下

的體溫是上升的?它的體溫

12x2x2410x22164210.已知拋物線yax(3a)x4與x軸交于A、

3⑶yB兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．是否存在實(shí)數(shù)a，使得△ABC為直角三角形．若存在，請(qǐng)求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

解：依題意，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）．

設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（x1，0），（x2，0），

由ax(3a)x40，解得x13，x2∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-3，0），（∴AB|2434．3a4，0）．3a43|，ACAO2OC25，3aBCBO2OC2|∴AB|242|42．3a41641683|2223929，3a9a3a9aa162216．AC25，BC29a〈〉當(dāng)ABACBC時(shí)，∠ACB＝90°．由ABACBC，

22222216816925(16)．9a2a9a21解得a．

4116625400222∴當(dāng)a時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0），AB，AC25，BC．

4399得

于是ABACBC．∴當(dāng)a22221時(shí)，△ABC為直角三角形．422〈〉當(dāng)ACABBC時(shí)，∠ABC＝90°．由ACABBC，得25(解得a222168169)(16)．9a2a9a24．9444當(dāng)a時(shí)，3，點(diǎn)B（-3，0）與點(diǎn)A重合，不合題意．

493a39〈〉當(dāng)BCACAB時(shí)，∠BAC＝90°．由BCACAB，得解得a222222161681625(9)．22a9a9a4．不合題意．91時(shí)，△ABC為直角三角形．4綜合〈〉、〈〉、〈〉，當(dāng)a11.已知拋物線y＝－x2＋mx－m＋2.

（1）若拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，并且AB＝5，試求m的值；

（2）設(shè)C為拋物線與y軸的交點(diǎn)，若拋物線上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)M、N，并且△MNC的面積等于27，試求m的值.解:(1)Ａ（x1，0）,B(x2，0).則x1，x2是方程x2－mx＋m－2＝0的兩根.∵x1＋x2＝m,x1x2=m－2＜0即m＜2;

2又AB＝x1x2＝（x1+x2）4x1x25,∴m2－4m＋3=0.

解得：m=1或m=3(舍去),∴m的值為1.（2）M(a，b)，則N(－a，－b).∵M(jìn)、N是拋物線上的兩點(diǎn),

∴yCamam2b,①

2amam2b.②2MOxN①＋②得：－2a2－2m＋4＝0.∴a2＝－m＋2.∴當(dāng)m＜2時(shí)，才存在滿(mǎn)足條件中的兩點(diǎn)M、N.∴a2m.

這時(shí)M、N到y(tǒng)軸的距離均為2m,又點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2－m）,而S△MNC=27,∴2

1（2－m）2m=27.2∴解得m=－7.

12.已知：拋物線y＝ax＋4ax＋t與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（－1，0）．（1）求拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）D是拋物線與y軸的交點(diǎn)，C是拋物線上的一點(diǎn)，且以AB為求此拋物線的解析式；

（3）E是第二象限內(nèi)到x軸、y軸的距離的比為5∶2的點(diǎn)，如果且它與點(diǎn)A在此拋物線對(duì)稱(chēng)軸的同側(cè)，問(wèn)：在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上長(zhǎng)最小?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解法一：

（1）依題意，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x＝－2．∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（－1，0），

∴由拋物線的對(duì)稱(chēng)性，可得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－3，0）．

（2）∵拋物線y＝ax＋4ax＋t與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（－1，0），

-7-

22一底的梯形ABCD的面積為9，

點(diǎn)E在（2）中的拋物線上，是否存在點(diǎn)P，使△APE的周∴a(－1)2＋4a(－1)＋t＝0．∴t＝3a．∴y＝ax2＋4ax＋3a．

∴D（0，3a）．∴梯形ABCD中，AB∥CD，且點(diǎn)C在拋物線y＝ax2＋4ax＋3a上，∵C（－4，3a）．∴AB＝2，CD＝4．∵梯形ABCD的面積為9，∴∴a±1．

∴所求拋物線的解析式為y＝x2＋4x＋3或y＝x24ax3．（3）設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（x0，y0）.依題意，x0＜0，y0＜0，且

11(ABCD)OD＝9．∴(2＋4)3a＝9．

2255＝．∴y0＝－x0．

2x02y0①設(shè)點(diǎn)E在拋物線y＝x2＋4x＋3上，

2∴y0＝x0＋4x0＋3．

15x＝，x0＝6，0y0＝－x0,2解方程組得2y＝15；50y＝．y＝x2＋4x＋300004∵點(diǎn)E與點(diǎn)A在對(duì)稱(chēng)軸x＝－2的同側(cè)，∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（15，）．24設(shè)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x＝－2上存在一點(diǎn)P，使△APE的周長(zhǎng)最�。�∵AE長(zhǎng)為定值，∴要使△APE的周長(zhǎng)最小，只須PA＋PE最�。�∴點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x＝－2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是B（－3，0），∴由幾何知識(shí)可知，P是直線BE與對(duì)稱(chēng)軸x＝－2的交點(diǎn)．設(shè)過(guò)點(diǎn)E、B的直線的解析式為y＝mx＋n，

15m＝,1m＋n＝,2∴24解得3n＝.－3m＋n＝0.2∴直線BE的解析式為y＝∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（－2，

131x＋．∴把x＝－2代入上式，得y＝．2221）．222②設(shè)點(diǎn)E在拋物線y＝x4x3上，∴y0＝x04x03．

5y0＝－x0,32解方程組消去y0，得x02x0＋3＝0．

2y＝x24x3.000∴△＜0.∴此方程無(wú)實(shí)數(shù)根．綜上，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)P（－2，解法二：

（1）∵拋物線y＝ax2＋4ax＋t與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（－1，0），∴a(－1)2＋4a(－1)＋t＝0．∴t＝3a．∴y＝ax2＋4ax＋3a．令y＝0，即ax＋4ax＋3a＝0．解得x1＝－1，x2＝－3．∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－3，0）．

（2）由y＝ax2＋4ax＋3a，得D（0，3a）．∵梯形ABCD中，AB∥CD，且點(diǎn)C在拋物線

21），使△APE的周長(zhǎng)最小．2y＝ax2＋4ax＋3a上，

∴C（－4，3a）．∴AB＝2，CD＝4．∵梯形ABCD的面積為9，∴∴3a＝3．∴a±1．

∴所求拋物線的解析式為y＝x＋4x＋3或y＝－x－4x－3．

（3）同解法一得，P是直線BE與對(duì)稱(chēng)軸x＝－2的交點(diǎn)．∴如圖，過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥x軸于點(diǎn)Q．設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交

點(diǎn)為F．

221(AB＋CD)OD＝9．解得OD＝3．21BFPF1PF＝．∴＝．∴PF＝．

552BQEQ241∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（－2，）．

2由PF∥EQ，可得以下同解法一．

13.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示．

（1）求二次函數(shù)的解析式及拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)．

（2）若點(diǎn)N為線段BM上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)N在線段BM上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)N不與點(diǎn)B，點(diǎn)M

重合），設(shè)NQ的長(zhǎng)為l，四邊形NQAC的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；

（3）在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PAC為直角三角形?若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（4）將△OAC補(bǔ)成矩形，使△OAC的兩個(gè)頂點(diǎn)成為矩形一邊的兩個(gè)頂形這一邊的對(duì)邊上，試直接寫(xiě)出矩形的未知的頂點(diǎn)坐標(biāo)（不需要計(jì)算過(guò)解：（1）設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)a(x1)(x2)，

∴2a1(2)．∴a1．∴yx2x2．其頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是，點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩程）．

129．4（2）設(shè)線段BM所在的直線的解析式為ykxb，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（t，h），

02kb，3∴91．解得k，b3．

2kb.423x3．231112321∴ht3，其中t2．∴s12(2t3)ttt1．

22223423211∴s與t間的函數(shù)關(guān)系式是Stt1，自變量t的取值范圍是t2．

422∴線段BM所在的直線的解析式為y（3）存在符合條件的點(diǎn)P，且坐標(biāo)是P1，，P2，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(m，n)，則nmm2．

25724325．4PA2(m1)2n2，PC2m2(n2)2，AC25．

分以下幾種情況討論：

i）若∠PAC＝90°，則PCPAAC．

2nmm2，∴

2222m(n2)(m1)n5.222解得：m1557，m21（舍去）．∴點(diǎn)P1，．224222ii）若∠PCA＝90°，則PAPCAC．

2nmm2，∴

2222(m1)nm(n2)5.解得：m3353，m40（舍去）．∴點(diǎn)P2，－．242iii）由圖象觀察得，當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)時(shí)，PAAC，所以邊AC的對(duì)角∠APC不可能是直角．

（4）以點(diǎn)O，點(diǎn)A（或點(diǎn)O，點(diǎn)C）為矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這邊OA（或邊OC）的對(duì)邊上，如圖a，此

時(shí)未知頂點(diǎn)坐標(biāo)是點(diǎn)D（－1，－2），

以點(diǎn)A，點(diǎn)C為矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊AC的對(duì)邊上，如圖b，此時(shí)未知頂點(diǎn)坐標(biāo)是E，，

1255F，．

4585

圖a圖b

14.盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分．在大橋截面1∶11000的比例圖上，跨度AB＝5cm，拱高OC＝0.9cm，線段DE表示大橋拱內(nèi)橋長(zhǎng)，DE∥AB，如圖（1）．在比例圖上，以直線AB為x軸，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，以1cm作為數(shù)軸的單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖（2）．

（1）求出圖（2）上以這一部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式，寫(xiě)出函數(shù)定義域；

（2）如果DE與AB的距離OM＝0.45cm，求盧浦大橋拱內(nèi)實(shí)際橋長(zhǎng)（備用數(shù)據(jù)：21.4，計(jì)算結(jié)果精確到1米）．解：（1）由于頂點(diǎn)C在y軸上，所以設(shè)以這部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式為

9．105529185因?yàn)辄c(diǎn)A（，0）（或B（，0））在拋物線上，所以0＝a()＋，得a＝－．

22210125y＝ax＋2182955x＋(x)．12510229918295－x＋，得x＝2．（2）因?yàn)辄c(diǎn)D、E的縱坐標(biāo)為，所以

20201*510459952，2，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（－），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）．

442020因此所求函數(shù)解析式為y＝－所以DE＝555252．因此盧浦大橋拱內(nèi)實(shí)際橋長(zhǎng)為．2－(2)＝110000.01＝2752385（米）

442215.已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B是x軸正半軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，如圖．二次函數(shù)

y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C．

（1）a、c的符號(hào)之間有何關(guān)系?

（2）如果線段OC的長(zhǎng)度是線段OA、OB長(zhǎng)度的比例中項(xiàng)，試證

a、c互為倒數(shù)；

（3）在（2）的條件下，如果b＝－4，AB＝43，求a、c的值．解:（1）a、c同號(hào)．或當(dāng)a＞0時(shí)，c＞0；當(dāng)a＜0時(shí)，c＜0．

（2）證明：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x2，0），則0＜x1＜x2．∴OAx1，OBx2，OCc．

2據(jù)題意，x1、x2是方程ax＋bx＋c0(a0)的兩個(gè)根．∴x1x22由題意，得OAOB＝OC，即＝c＝c．

2c．a(chǎn)ca2所以當(dāng)線段OC長(zhǎng)是線段OA、OB長(zhǎng)的比例中項(xiàng)時(shí)，a、c互為倒數(shù)．（3）當(dāng)b4時(shí)，由（2）知，x1＋x2＝－＝＞0，∴a＞0．

2解法一：AB＝OB－OA＝x2－x1＝(x1＋x2)4x1x2，

ba4a∴AB()－4()4a2ca164ac23．2aa∵AB43，∴

123＝43．得a．∴c＝2.

2a解法二：由求根公式，x＝4164ac416423＝＝，

2a2aa∴x1＝2323232－323－＝，x2＝．∴AB＝OB－OA＝x2－x1＝．a(chǎn)aaaa∵AB＝43，∴

123＝43，得a＝．∴c＝2．

2a16.如圖，直線y3x3分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，⊙E經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O及A、B兩點(diǎn)．3（1）C是⊙E上一點(diǎn)，連結(jié)BC交OA于點(diǎn)D，若∠COD＝∠CBO，求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過(guò)O、C、A三點(diǎn)的拋物線的解析式：

（3）若延長(zhǎng)BC到P，使DP＝2，連結(jié)AP，試判斷直線PA與⊙E的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

解：（1）連結(jié)EC交x軸于點(diǎn)N（如圖）．∵A、B是直線y

3x3分別與x軸、y軸的交點(diǎn)．∴A（3，0），B(0,3)．3又∠COD＝∠CBO．∴∠CBO＝∠ABC．∴C是∴ON13OB3OA,EN．2222的中點(diǎn)．∴EC⊥OA．

連結(jié)OE．∴ECOE3．∴NCECEN333．∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（,）．222（2）設(shè)經(jīng)過(guò)O、C、A三點(diǎn)的拋物線的解析式為yaxx3．333332a(3)．∴a∵C（,）．∴3．222229∴y23223xx為所求．98（3）∵tanBAO3，∴∠BAO＝30°，∠ABO＝50°．311由（1）知∠OBD＝∠ABD．∴OBDABO6030．

22∴OD＝OBtan30°－1．∴DA＝2．∵∠ADC＝∠BDO＝60°，PD＝AD＝2．∴△ADP是等邊三角形．∴∠DAP＝60°．

∴∠BAP＝∠BAO＋∠DAP＝30°＋60°＝90°．即PA⊥AB．即直線PA是⊙E的切線．

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