二次函數知識點總結及相關典型題目

二次函數知識點總結及相關典型題目

第一部分基礎知識

1.直線與拋物線的交點

（1）y軸與拋物線yax2bxc得交點為(0,c).

2（2）與y軸平行的直線xh與拋物線yax2bxc有且只有一個交點(h,ahbhc).

（3）拋物線與x軸的交點

二次函數yax2bxc的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標x1、x2，是對應一元二次方程

ax2bxc0的兩個實數根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：

①有兩個交點0拋物線與x軸相交；

②有一個交點（頂點在x軸上）0拋物線與x軸相切；③沒有交點0拋物線與x軸相離.（4）平行于x軸的直線與拋物線的交點

同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為k，

則橫坐標是axbxck的兩個實數根.

（5）一次函數ykxnk0的圖像l與二次函數yax2bxca0的圖像G的交點，由方程組

2ykxnyaxbxc2的解的數目來確定：①方程組有兩組不同的解時l與G有兩個交點;②方程組只有

一組解時l與G只有一個交點；③方程組無解時l與G沒有交點.

（6）拋物線與x軸兩交點之間的距離：若拋物線yax2bxc與x軸兩交點為Ax1，0，Bx2，0，由于x1、

x2是方程ax2bxc0的兩個根，故

bcx1x2,x1x2aaABx1x2x1x22x1x22b24acb4c4x1x2

aaaa2

第二部分典型習題

1、有一個運算裝置，當輸入值為x時，其輸出值為y，且y是x的二次函數，已知輸入值為2,0,1時,相應的輸出值分別為5,3,4．

（1）求此二次函數的解析式；

（2）在所給的坐標系中畫出這個二次函數的圖象,并根據圖象寫出當輸出值y為正數時輸入值x的取值范圍.

yOx4yax2(3a)x432、已知拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．是否存在實數a，使得△

ABC為直角三角形．若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

2y＝ax－2的圖象經過點（1，－1）3、已知二次函數．求這個二次函數的解析式，并判斷該函數圖象與x

軸的交點的個數．

4、已知拋物線y＝－x2＋mx－m＋2.

（1）若拋物線與x軸的兩個交點A、B分別在原點的兩側，并且AB＝5，試求m的值；

（2）設C為拋物線與y軸的交點，若拋物線上存在關于原點對稱的兩點M、N，并且△MNC的面積等于27，試求m的值.

5、已知在平面直角坐標系內，O為坐標原點，A、B是x軸正半軸上的兩點，點A在點B的左側，如圖．二次函數y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象經過點A、B，與y軸相交于點C（1）a、c的符號之間有何關系?

（2）如果線段OC的長度是線段OA、OB長度的比例中項，試證a、c互為倒數；（3）在（2）的條件下，如果b＝－4，AB＝43，求a、c的值．6、如圖，直線y3x3分別與x軸、y軸交于點A、B，⊙E經過原點O及A、B兩點．3（1）C是⊙E上一點，連結BC交OA于點D，若∠COD＝∠CBO，求點A、B、C的坐標；（2）求經過O、C、A三點的拋物線的解析式：

（3）若延長BC到P，使DP＝2，連結AP，試判斷直線PA與⊙E的位置關系，并說明理由．

y2yaxbxc與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．1、已知：拋物線

其中點A在x軸的負半軸上，點C在y軸的負半軸上，線段OA、OC的長（OA

課后習題：

1、15、（09湖南懷化）如圖11，已知二次函數y(xm)2km2的圖象與x軸相交于兩個不同的點A(x1，0)、

B(x2，0)，與y軸的交點為C．設△ABC的外接圓的圓心為點P．

（1）求⊙P與y軸的另一個交點D的坐標；

（2）如果AB恰好為⊙P的直徑，且△ABC的面積等于5，求m和k的值．

2、(201*年肇慶市)已知一元二次方程x2pxq10的一根為2．（1）求q關于p的關系式；

（2）求證：拋物線yx2pxq與x軸有兩個交點；

（3）設拋物線yx2pxq的頂點為M，且與x軸相交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點，求使△AMB面積最小時的拋物線的解析式．

3、（201*年常德市）已知二次函數過點A（0，2），B（1，0），C（，）．（1）求此二次函數的解析式；（2）判斷點M（1，（3）過點M（1，

59481）是否在直線AC上？21）作一條直線l與二次函數的圖象交于E、F兩點（不同于A，B，C三點），請自已給出E2點的坐標，并證明△BEF是直角三角形．

圖8

擴展閱讀：中考數學二次函數知識點總結及相關題型

二次函數知識點總結及相關典型題目

第一部分基礎知識

1.定義：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常數，a0)，那么y叫做x的二次函數.2.二次函數yax2的性質

（1）拋物線yax2的頂點是坐標原點，對稱軸是y軸.（2）函數yax2的圖像與a的符號關系.

①當a0時拋物線開口向上頂點為其最低點；

②當a0時拋物線開口向下頂點為其最高點.

（a0）（3）頂點是坐標原點，對稱軸是y軸的拋物線的解析式形式為yax2.

3.二次函數yax2bxc的圖像是對稱軸平行于（包括重合）y軸的拋物線.

b4acb2，k4.二次函數yaxbxc用配方法可化成：yaxhk的形式，其中h.2a4a225.二次函數由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①yax2；②yax2k；③yaxh；④yaxhk；

22⑤yaxbxc.

6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.

①a的符號決定拋物線的開口方向：當a0時，開口向上；當a0時，開口向下；

2a相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

②平行于y軸（或重合）的直線記作xh.特別地，y軸記作直線x0.

7.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數，如果二次項系數a相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.

8.求拋物線的頂點、對稱軸的方法

bb4acb2b4acb22（，）（1）公式法：yaxbxcax，∴頂點是，對稱軸是直線x.2a2a4a2a4a（2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為yaxhk的形式，得到頂點為(h,k)，對稱軸是直線

22xh.

（3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對

稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.

用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失.9.拋物線yax2bxc中，a,b,c的作用

（1）a決定開口方向及開口大小，這與yax2中的a完全一樣.

（2）b和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線yax2bxc的對稱軸是直線

xbbb，故：①b0時，對稱軸為y軸；②0（即a、b同號）時，對稱軸在y軸左側；③0（即a、2aab異號）時，對稱軸在y軸右側.

（3）c的大小決定拋物線yax2bxc與y軸交點的位置.

當x0時，yc，∴拋物線yax2bxc與y軸有且只有一個交點（0，c）：①c0，拋物線經過原點;②c0,與y軸交于正半軸；③c0,與y軸交于負半軸.以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側，則ba0.10.幾種特殊的二次函數的圖像特征如下：函數解析式開口方向對稱軸頂點坐標yax2x0（y軸）（0,0）yax2kx0（y軸）(0,k)yaxh2當a0時xh(h,0)yaxh2k開口向上xh(h,k)當a0時yax2bxcb開口向下x2a(b4acb22a，4a)11.用待定系數法求二次函數的解析式

（1）一般式：yax2bxc.已知圖像上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式.（2）頂點式：yaxh2k.已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.

（3）交點式：已知圖像與x軸的交點坐標x1、x2，通常選用交點式：yaxx1xx2.12.直線與拋物線的交點

（1）y軸與拋物線yax2bxc得交點為(0,c).

-2-

a2（2）與y軸平行的直線xh與拋物線yax2bxc有且只有一個交點(h,ahbhc).

（3）拋物線與x軸的交點

二次函數yax2bxc的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標x1、x2，是對應一元二次方程axbxc0的兩

個實數根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：①有兩個交點0拋物線與x軸相交；

②有一個交點（頂點在x軸上）0拋物線與x軸相切；③沒有交點0拋物線與x軸相離.（4）平行于x軸的直線與拋物線的交點

同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為k，則橫

坐標是axbxck的兩個實數根.

（5）一次函數ykxnk0的圖像l與二次函數yax2bxca0的圖像G的交點，由方程組

22ykxnyaxbxc2的解的數目來確定：①方程組有兩組不同的解時l與G有兩個交點;②方程組只有一組解時

l與G只有一個交點；③方程組無解時l與G沒有交點.

（6）拋物線與x軸兩交點之間的距離：若拋物線yax2bxc與x軸兩交點為Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是

方程axbxc0的兩個根，故

2bcx1x2,x1x2aaABx1x2x1x22x1x22b24acb4c4x1x2

aaaa2第二部分典型習題

１.拋物線y＝x＋2x－2的頂點坐標是（D）

A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3）２.已知二次函數yax2bxc的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（C）

Ａ．ab＞0，c＞0Ｂ．ab＞0，c＜0Ｃ．ab＜0，c＞0Ｄ．ab＜0，c＜0

AEFDC2

B

第２,３題圖第4題圖

３.二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（Ｄ）A．a＞0，b＜0，c＞0B．a＜0，b＜0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＞0，c＞0

４.如圖，已知ABC中，BC=8，BC上的高h4，D為BC上一點，EF//BC，交AB于點E，交AC于點F（EF不過A、B），設E到BC的距離為x，則DEF的面積y關于x的函數的圖象大致為（Ｄ）

4y444O2A4xO2B4O2C4O2D4

EF4xEF82x,yx24x84５.拋物線yx22x3與x軸分別交于A、B兩點，則AB的長為4．

6.已知二次函數y＝kx2＋(2k－，則對于下列結論：①當x＝－2時，y1)x－1與x軸交點的橫坐標為x1、x2（x1＜x2）＝1；②當x＞x2時，y＞0；③方程kx2＋(2k－1；⑤1)x1＝0有兩個不相等的實數根x1、x2；④x1＜1，x2＞－1＋4k2，其中所有正確的結論是①③④（只需填寫序號）．x2－x1＝k7.已知直線y2xbb0與x軸交于點A，與y軸交于點B；一拋物線的解析式為yxb10xc.

2（1）若該拋物線過點B，且它的頂點P在直線y2xb上，試確定這條拋物線的解析式；

（2）過點B作直線BC⊥AB交x軸交于點C，若拋物線的對稱軸恰好過C點，試確定直線y2xb的解析式.解：（1）yx10或yx4x6

22b10b216b100b10b216b100,)，b（0，b)代入，將得cb.頂點坐標為(由題意得2，2424解得b110,b26.（2）y2x2

8.有一個運算裝置，當輸入值為x時，其輸出值為y，且y是x的二次函數，已知輸入值為2,0,1時,相應的輸出值分別為5,3,4．

（1）求此二次函數的解析式；

（2）在所給的坐標系中畫出這個二次函數的圖象,并根據圖象寫出當輸出值y為正數時輸入值x的取值范圍.解：（1）設所求二次函數的解析式為yax2bxc,

a(2)2b(2)c5a1c3則a02b0c3,即2ab4,解得b2abc4c3ab1故所求的解析式為:yx22x3.（2)函數圖象如圖所示.

由圖象可得，當輸出值y為正數時，輸入值x的取值范圍是x1或x3．

9.某生物興趣小組在四天的實驗研究中發(fā)現：駱駝的體溫會隨外部環(huán)境溫度的變化而變化，而且在這四天中每晝夜的體溫變化情況相同．他們將一頭駱駝前兩晝圖．請根據圖象回答：

⑴第一天中，在什么時間范圍內這頭駱駝從最低上升到最高需要多少時間?⑵第三天12時這頭駱駝的體溫是多少?⑶興趣小組又在研究中發(fā)現，圖中10時到22時的曲線是拋物線，求該拋物線的解析式．

解：⑴第一天中，從4時到16時這頭駱駝的

體溫是上升的

它的體溫從最低上升到最高需要12小時⑵第三天12時這頭駱駝的體溫是39℃

第9題

夜的體溫變化情況繪制成下

的體溫是上升的?它的體溫

12x2x2410x22164210.已知拋物線yax(3a)x4與x軸交于A、

3⑶yB兩點，與y軸交于點C．是否存在實數a，使得△ABC為直角三角形．若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

解：依題意，得點C的坐標為（0，4）．

設點A、B的坐標分別為（x1，0），（x2，0），

由ax(3a)x40，解得x13，x2∴點A、B的坐標分別為（-3，0），（∴AB|2434．3a4，0）．3a43|，ACAO2OC25，3aBCBO2OC2|∴AB|242|42．3a41641683|2223929，3a9a3a9aa162216．AC25，BC29a〈〉當ABACBC時，∠ACB＝90°．由ABACBC，

22222216816925(16)．9a2a9a21解得a．

4116625400222∴當a時，點B的坐標為（，0），AB，AC25，BC．

4399得

于是ABACBC．∴當a22221時，△ABC為直角三角形．422〈〉當ACABBC時，∠ABC＝90°．由ACABBC，得25(解得a222168169)(16)．9a2a9a24．9444當a時，3，點B（-3，0）與點A重合，不合題意．

493a39〈〉當BCACAB時，∠BAC＝90°．由BCACAB，得解得a222222161681625(9)．22a9a9a4．不合題意．91時，△ABC為直角三角形．4綜合〈〉、〈〉、〈〉，當a11.已知拋物線y＝－x2＋mx－m＋2.

（1）若拋物線與x軸的兩個交點A、B分別在原點的兩側，并且AB＝5，試求m的值；

（2）設C為拋物線與y軸的交點，若拋物線上存在關于原點對稱的兩點M、N，并且△MNC的面積等于27，試求m的值.解:(1)Ａ（x1，0）,B(x2，0).則x1，x2是方程x2－mx＋m－2＝0的兩根.∵x1＋x2＝m,x1x2=m－2＜0即m＜2;

2又AB＝x1x2＝（x1+x2）4x1x25,∴m2－4m＋3=0.

解得：m=1或m=3(舍去),∴m的值為1.（2）M(a，b)，則N(－a，－b).∵M、N是拋物線上的兩點,

∴yCamam2b,①

2amam2b.②2MOxN①＋②得：－2a2－2m＋4＝0.∴a2＝－m＋2.∴當m＜2時，才存在滿足條件中的兩點M、N.∴a2m.

這時M、N到y軸的距離均為2m,又點C坐標為（0，2－m）,而S△MNC=27,∴2

1（2－m）2m=27.2∴解得m=－7.

12.已知：拋物線y＝ax＋4ax＋t與x軸的一個交點為A（－1，0）．（1）求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；

（2）D是拋物線與y軸的交點，C是拋物線上的一點，且以AB為求此拋物線的解析式；

（3）E是第二象限內到x軸、y軸的距離的比為5∶2的點，如果且它與點A在此拋物線對稱軸的同側，問：在拋物線的對稱軸上長最小?若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．解法一：

（1）依題意，拋物線的對稱軸為x＝－2．∵拋物線與x軸的一個交點為A（－1，0），

∴由拋物線的對稱性，可得拋物線與x軸的另一個交點B的坐標為（－3，0）．

（2）∵拋物線y＝ax＋4ax＋t與x軸的一個交點為A（－1，0），

-7-

22一底的梯形ABCD的面積為9，

點E在（2）中的拋物線上，是否存在點P，使△APE的周∴a(－1)2＋4a(－1)＋t＝0．∴t＝3a．∴y＝ax2＋4ax＋3a．

∴D（0，3a）．∴梯形ABCD中，AB∥CD，且點C在拋物線y＝ax2＋4ax＋3a上，∵C（－4，3a）．∴AB＝2，CD＝4．∵梯形ABCD的面積為9，∴∴a±1．

∴所求拋物線的解析式為y＝x2＋4x＋3或y＝x24ax3．（3）設點E坐標為（x0，y0）.依題意，x0＜0，y0＜0，且

11(ABCD)OD＝9．∴(2＋4)3a＝9．

2255＝．∴y0＝－x0．

2x02y0①設點E在拋物線y＝x2＋4x＋3上，

2∴y0＝x0＋4x0＋3．

15x＝，x0＝6，0y0＝－x0,2解方程組得2y＝15；50y＝．y＝x2＋4x＋300004∵點E與點A在對稱軸x＝－2的同側，∴點E坐標為（15，）．24設在拋物線的對稱軸x＝－2上存在一點P，使△APE的周長最�。�∵AE長為定值，∴要使△APE的周長最小，只須PA＋PE最�。�∴點A關于對稱軸x＝－2的對稱點是B（－3，0），∴由幾何知識可知，P是直線BE與對稱軸x＝－2的交點．設過點E、B的直線的解析式為y＝mx＋n，

15m＝,1m＋n＝,2∴24解得3n＝.－3m＋n＝0.2∴直線BE的解析式為y＝∴點P坐標為（－2，

131x＋．∴把x＝－2代入上式，得y＝．2221）．222②設點E在拋物線y＝x4x3上，∴y0＝x04x03．

5y0＝－x0,32解方程組消去y0，得x02x0＋3＝0．

2y＝x24x3.000∴△＜0.∴此方程無實數根．綜上，在拋物線的對稱軸上存在點P（－2，解法二：

（1）∵拋物線y＝ax2＋4ax＋t與x軸的一個交點為A（－1，0），∴a(－1)2＋4a(－1)＋t＝0．∴t＝3a．∴y＝ax2＋4ax＋3a．令y＝0，即ax＋4ax＋3a＝0．解得x1＝－1，x2＝－3．∴拋物線與x軸的另一個交點B的坐標為（－3，0）．

（2）由y＝ax2＋4ax＋3a，得D（0，3a）．∵梯形ABCD中，AB∥CD，且點C在拋物線

21），使△APE的周長最�。�2y＝ax2＋4ax＋3a上，

∴C（－4，3a）．∴AB＝2，CD＝4．∵梯形ABCD的面積為9，∴∴3a＝3．∴a±1．

∴所求拋物線的解析式為y＝x＋4x＋3或y＝－x－4x－3．

（3）同解法一得，P是直線BE與對稱軸x＝－2的交點．∴如圖，過點E作EQ⊥x軸于點Q．設對稱軸與x軸的交

點為F．

221(AB＋CD)OD＝9．解得OD＝3．21BFPF1PF＝．∴＝．∴PF＝．

552BQEQ241∴點P坐標為（－2，）．

2由PF∥EQ，可得以下同解法一．

13.已知二次函數的圖象如圖所示．

（1）求二次函數的解析式及拋物線頂點M的坐標．

（2）若點N為線段BM上的一點，過點N作x軸的垂線，垂足為點Q．當點N在線段BM上運動時（點N不與點B，點M

重合），設NQ的長為l，四邊形NQAC的面積為S，求S與t之間的函數關系式及自變量t的取值范圍；

（3）在對稱軸右側的拋物線上是否存在點P，使△PAC為直角三角形?若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（4）將△OAC補成矩形，使△OAC的兩個頂點成為矩形一邊的兩個頂形這一邊的對邊上，試直接寫出矩形的未知的頂點坐標（不需要計算過解：（1）設拋物線的解析式ya(x1)(x2)，

∴2a1(2)．∴a1．∴yx2x2．其頂點M的坐標是，點，第三個頂點落在矩程）．

129．4（2）設線段BM所在的直線的解析式為ykxb，點N的坐標為N（t，h），

02kb，3∴91．解得k，b3．

2kb.423x3．231112321∴ht3，其中t2．∴s12(2t3)ttt1．

22223423211∴s與t間的函數關系式是Stt1，自變量t的取值范圍是t2．

422∴線段BM所在的直線的解析式為y（3）存在符合條件的點P，且坐標是P1，，P2，設點P的坐標為P(m，n)，則nmm2．

25724325．4PA2(m1)2n2，PC2m2(n2)2，AC25．

分以下幾種情況討論：

i）若∠PAC＝90°，則PCPAAC．

2nmm2，∴

2222m(n2)(m1)n5.222解得：m1557，m21（舍去）．∴點P1，．224222ii）若∠PCA＝90°，則PAPCAC．

2nmm2，∴

2222(m1)nm(n2)5.解得：m3353，m40（舍去）．∴點P2，－．242iii）由圖象觀察得，當點P在對稱軸右側時，PAAC，所以邊AC的對角∠APC不可能是直角．

（4）以點O，點A（或點O，點C）為矩形的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這邊OA（或邊OC）的對邊上，如圖a，此

時未知頂點坐標是點D（－1，－2），

以點A，點C為矩形的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這一邊AC的對邊上，如圖b，此時未知頂點坐標是E，，

1255F，．

4585

圖a圖b

14.盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分．在大橋截面1∶11000的比例圖上，跨度AB＝5cm，拱高OC＝0.9cm，線段DE表示大橋拱內橋長，DE∥AB，如圖（1）．在比例圖上，以直線AB為x軸，拋物線的對稱軸為y軸，以1cm作為數軸的單位長度，建立平面直角坐標系，如圖（2）．

（1）求出圖（2）上以這一部分拋物線為圖象的函數解析式，寫出函數定義域；

（2）如果DE與AB的距離OM＝0.45cm，求盧浦大橋拱內實際橋長（備用數據：21.4，計算結果精確到1米）．解：（1）由于頂點C在y軸上，所以設以這部分拋物線為圖象的函數解析式為

9．105529185因為點A（，0）（或B（，0））在拋物線上，所以0＝a()＋，得a＝－．

22210125y＝ax＋2182955x＋(x)．12510229918295－x＋，得x＝2．（2）因為點D、E的縱坐標為，所以

20201*510459952，2，所以點D的坐標為（－），點E的坐標為（）．

442020因此所求函數解析式為y＝－所以DE＝555252．因此盧浦大橋拱內實際橋長為．2－(2)＝110000.01＝2752385（米）

442215.已知在平面直角坐標系內，O為坐標原點，A、B是x軸正半軸上的兩點，點A在點B的左側，如圖．二次函數

y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象經過點A、B，與y軸相交于點C．

（1）a、c的符號之間有何關系?

（2）如果線段OC的長度是線段OA、OB長度的比例中項，試證

a、c互為倒數；

（3）在（2）的條件下，如果b＝－4，AB＝43，求a、c的值．解:（1）a、c同號．或當a＞0時，c＞0；當a＜0時，c＜0．

（2）證明：設點A的坐標為（x1，0），點B的坐標為（x2，0），則0＜x1＜x2．∴OAx1，OBx2，OCc．

2據題意，x1、x2是方程ax＋bx＋c0(a0)的兩個根．∴x1x22由題意，得OAOB＝OC，即＝c＝c．

2c．aca2所以當線段OC長是線段OA、OB長的比例中項時，a、c互為倒數．（3）當b4時，由（2）知，x1＋x2＝－＝＞0，∴a＞0．

2解法一：AB＝OB－OA＝x2－x1＝(x1＋x2)4x1x2，

ba4a∴AB()－4()4a2ca164ac23．2aa∵AB43，∴

123＝43．得a．∴c＝2.

2a解法二：由求根公式，x＝4164ac416423＝＝，

2a2aa∴x1＝2323232－323－＝，x2＝．∴AB＝OB－OA＝x2－x1＝．aaaaa∵AB＝43，∴

123＝43，得a＝．∴c＝2．

2a16.如圖，直線y3x3分別與x軸、y軸交于點A、B，⊙E經過原點O及A、B兩點．3（1）C是⊙E上一點，連結BC交OA于點D，若∠COD＝∠CBO，求點A、B、C的坐標；（2）求經過O、C、A三點的拋物線的解析式：

（3）若延長BC到P，使DP＝2，連結AP，試判斷直線PA與⊙E的位置關系，并說明理由．

解：（1）連結EC交x軸于點N（如圖）．∵A、B是直線y

3x3分別與x軸、y軸的交點．∴A（3，0），B(0,3)．3又∠COD＝∠CBO．∴∠CBO＝∠ABC．∴C是∴ON13OB3OA,EN．2222的中點．∴EC⊥OA．

連結OE．∴ECOE3．∴NCECEN333．∴C點的坐標為（,）．222（2）設經過O、C、A三點的拋物線的解析式為yaxx3．333332a(3)．∴a∵C（,）．∴3．222229∴y23223xx為所求．98（3）∵tanBAO3，∴∠BAO＝30°，∠ABO＝50°．311由（1）知∠OBD＝∠ABD．∴OBDABO6030．

22∴OD＝OBtan30°－1．∴DA＝2．∵∠ADC＝∠BDO＝60°，PD＝AD＝2．∴△ADP是等邊三角形．∴∠DAP＝60°．

∴∠BAP＝∠BAO＋∠DAP＝30°＋60°＝90°．即PA⊥AB．即直線PA是⊙E的切線．

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