初中二次函數(shù)知識點總結(全面)

二次函數(shù)知識點

（一）、二次函數(shù)概念：

1．二次函數(shù)的概念：一般地，形如yax2bxc（a，b，c是常數(shù)，a0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)a0，而b，c可以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)．2.二次函數(shù)yax2bxc的結構特征：

⑴等號左邊是函數(shù)，右邊是關于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2．⑵a，b，c是常數(shù)，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項．

（二）、二次函數(shù)yax2bxc的性質(zhì)

b4acb2b1.當a0時，拋物線開口向上，對稱軸為x，頂點坐標為，．2a4a2a當xbb時，y隨x的增大而減小；當x時，y隨x的增大而增大；當2a2a4acb2b．x時，y有最小值

4a2a2.當a0時，拋物線開口向下，對稱軸為xb，頂點坐標為2ab4acb2bb時，y隨x的增大而增大；當x時，y隨x的增，．當x4a2a2a2a4acb2b大而減小；當x時，y有最大值．

4a2a（三）、二次函數(shù)解析式的表示方法

1.一般式：yax2bxc（a，b，c為常數(shù)，a0）；2.頂點式：ya(xh)2k（a，h，k為常數(shù)，a0）；

3.兩根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐標）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函

數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與x軸有交點，即b24ac0時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.練習

1.下列關系式中，屬于二次函數(shù)的是(x為自變量)()A.

B.C.D.

2.函數(shù)y=x2-2x+3的圖象的頂點坐標是()

A.(1，-4)B.(-1，2)C.(1，2)D.(0，3)3.拋物線y=2(x-3)2的頂點在()

A.第一象限B.第二象限C.x軸上D.y軸上4.拋物線

的對稱軸是()

A.x=-2B.x=2C.x=-4D.x=4

5.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結論中，正確的是()A.ab>0，c>0B.ab>0，c10.把拋物線的圖象向左平移2個單位，再向上平移3個單位，

所得的拋物線的函數(shù)關系式是()A.C.二、填空題

1、下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？（1）yx20（3）yx2（2）y(x2)(x2)(x1)2

B.D.

1（4）yx22x3x2、二次函數(shù)y2(x3)25的圖象開口方向，頂點坐標是，對稱軸

是；

3、當k為何值時，函數(shù)y(k1)xk2k1為二次函數(shù)？畫出其函數(shù)的圖象．

3、函數(shù)yx(23x)，當x為時，函數(shù)的最大值是；

14、二次函數(shù)yx22x，當x時，y0;且y隨x的增大而減

2��；

5.二次函數(shù)y=x2-2x+1的對稱軸方程是______________.

6.若將二次函數(shù)y=x2-2x+3配方為y=(x-h)2+k的形式，則y=________.

7.若拋物線y=x2-2x-3與x軸分別交于A、B兩點，則AB的長為_________.

8.拋物線y=x2+bx+c，經(jīng)過A(-1，0)，B(3，0)兩點，則這條拋物線的解析式為_____________.

9、二次函數(shù)yx2x的對稱軸是．

10二次函數(shù)y2x2x1的圖象的頂點是，當x時，y隨x的增大而減�。�

11拋物線yax4x6的頂點橫坐標是-2，則a=．12、拋物線yax2xc的頂點是(,1)，則a、c的值是多少？

222213．已知拋物線y=

125x－３x－22（１）寫出拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標；

（２）求拋物線與x軸、y軸的交點坐標；（３）畫出草圖

（４）觀察草圖，指出x為何值時，y＞0,y＝0,y＜0.

14、（201*年寧波市）如圖，已知二次函數(shù)y12xbxc2的圖象經(jīng)過A（2，0）、B（0，－6）兩點。（1）求這個二次函數(shù)的解析式

（2）設該二次函數(shù)的對稱軸與x軸交于點C，求點C的坐標

1.某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到贏利的過程，

下面的二次函數(shù)圖象（部分）刻畫了該公司年初以來累積利潤s（萬元）與銷售時間t（月）之間的關系（即前t個月的利潤總和s與t之間的關系）.（1）由已知圖象上的三點坐標，求累積利潤s（萬元）與銷

售時間t（月）之間的函數(shù)關系式；（2）求截止到幾月累積利潤可達到30萬元；（3）求第8個月公司所獲利潤是多少萬元？

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二次函數(shù)知識點

一、二次函數(shù)概念：

一切為了孩子美好的未來

b，c是常數(shù)，a0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強調(diào)：和一1．二次函數(shù)的概念：一般地，形如yaxbxc（a，c可以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)．元二次方程類似，二次項系數(shù)a0，而b，2.二次函數(shù)yaxbxc的結構特征：

⑴等號左邊是函數(shù)，右邊是關于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2．

22b，c是常數(shù)，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項．⑵a，二、二次函數(shù)的基本形式

1.二次函數(shù)基本形式：yax的性質(zhì)：a的絕對值越大，拋物線的開口越小。

2a的符號a0開口方向向上頂點坐標對稱軸性質(zhì)

00，00，y軸x0時，y隨x的增大而增大；x0時，y隨x的增大而減��；x0時，y有最小值0．a(chǎn)0向下y軸x0時，y隨x的增大而減小；x0時，y隨x的增大而增大；x0時，y有最大值0．2.yaxc的性質(zhì)：上加下減。

2a的符號a0開口方向向上頂點坐標對稱軸性質(zhì)

c0，c0，y軸x0時，y隨x的增大而增大；x0時，y隨x的增大而減小；x0時，y有最小值c．a(chǎn)0向下y軸x0時，y隨x的增大而減��；x0時，y隨x的增大而增大；x0時，y有最大值c．3.yaxh的性質(zhì)：

左加右減。4.

2a的符號a0開口方向向上頂點坐標對稱軸X=h性質(zhì)0h，0h，xh時，y隨x的增大而增大；xh時，y隨x的增大而減��；xh時，y有最小值0．a(chǎn)0向下X=hxh時，y隨x的增大而減�。粁h時，y隨x的增大而增大；xh時，y有最大值0．yaxhk的性質(zhì)：

2a的符號a0開口方向向上頂點坐標對稱軸X=h性質(zhì)h，kxh時，y隨x的增大而增大；xh時，y隨x的增大而減小；xh時，y有最小值k．廈門分校

三、二次函平移1.平移一切為了孩子美好的未來

X=ha0向下h，kxh時，y隨x的增大而減��；xh時，y隨x的增大而增大；xh時，數(shù)圖象的步驟：y有最大值k．方法一：⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式y(tǒng)axhk，確定其頂點坐標h，k；⑵保持拋物線yax的形狀不變，將其頂點平移到h，k處，具體平移方法如下：

22y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k廈門分校

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bbb4acb2當x時，y隨x的增大而減�。划攛時，y隨x的增大而增大；當x時，y有最小值．

2a2a2a4ab4acb2bb2.當a0時，拋物線開口向下，對稱軸為x，頂點坐標為時，y隨x的增大而增大；當，．當x2a4a2a2abb4acb2．x時，y隨x的增大而減��；當x時，y有最大值

2a2a4a七、二次函數(shù)解析式的表示方法

21.一般式：yaxbxc（a，b，c為常數(shù)，a0）；22.頂點式：ya(xh)k（a，h，k為常數(shù)，a0）；

3.兩根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐標）.

注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與x軸有交點，即

b24ac0時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.

八、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關系1.二次項系數(shù)a

二次函數(shù)yaxbxc中，a作為二次項系數(shù)，顯然a0．

⑴當a0時，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之a(chǎn)的值越小，開口越大；⑵當a0時，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之a(chǎn)的值越大，開口越大．

總結起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負決定開口方向，a的大小決定開口的大小．2.一次項系數(shù)b

在二次項系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸．⑴在a0的前提下，

當b0時，當b0時，當b0時，2b0，即拋物線的對稱軸在y軸左側；2ab0，即拋物線的對稱軸就是y軸；2ab0，即拋物線對稱軸在y軸的右側．2ab0，即拋物線的對稱軸在y軸右側；2ab0，即拋物線的對稱軸就是y軸；2ab0，即拋物線對稱軸在y軸的左側．2a⑵在a0的前提下，結論剛好與上述相反，即當b0時，當b0時，當b0時，總結起來，在a確定的前提下，b決定了拋物線對稱軸的位置．

ab的符號的判定：對稱軸x總結：3.常數(shù)項c

b在y軸左邊則ab0，在y軸的右側則ab0，概括的說就是“左同右異”2ay軸的交點在x軸上方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為正；

⑵當c0時，拋物線與y軸的交點為坐標原點，即拋物線與y軸交點的縱坐標為0；⑶當c0時，拋物線與y軸的交點在x軸下方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為負．總結起來，c決定了拋物線與y軸交點的位置．

⑴當c0時，拋物線與

b，c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的．總之，只要a，二次函數(shù)解析式的確定：

根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當?shù)男问剑?/p>

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才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：

1.已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；

2.已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大（小）值，一般選用頂點式；3.已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4.已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式．

九、二次函數(shù)圖象的對稱

二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達1.關于x軸對稱

yaxbxc關于x軸對稱后，得到的解析式是yaxbxc；

22一切為了孩子美好的未來

yaxhk關于x軸對稱后，得到的解析式是yaxhk；

2.關于

22y軸對稱

2yaxbxc關于

2y軸對稱后，得到的解析式是yax2bxc；

2yaxhk關于y軸對稱后，得到的解析式是yaxhk；

3.關于原點對稱

yaxbxc關于原點對稱后，得到的解析式是yaxbxc；yaxhk關于原點對稱后，得到的解析式是yaxhk；4.關于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180°）

2222b2yaxbxc關于頂點對稱后，得到的解析式是yaxbxc；

2a22yaxhk關于頂點對稱后，得到的解析式是yaxhk．

n對稱5.關于點m，22n對稱后，得到的解析式是yaxh2m2nkyaxhk關于點m，根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此a永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式．

十、二次函數(shù)與一元二次方程：

1.二次函數(shù)與一元二次方程的關系（二次函數(shù)與x軸交點情況）：

2一元二次方程axbxc0是二次函數(shù)yaxbxc當函數(shù)值y0時的特殊情況.

222圖象與x軸的交點個數(shù)：

0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次方程①當b4ac0時，圖象與x軸交于兩點Ax1，2b24ac.axbxc0a0的兩根．這兩點間的距離ABx2x1a2②當0時，圖象與x軸只有一個交點；③當0時，圖象與x軸沒有交點.

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1"當a0時，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實數(shù)，都有y0；

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2"當a0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實數(shù)，都有y0．

2.拋物線yaxbxc的圖象與3.二次函數(shù)常用解題方法總結：

⑴求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；

⑵求二次函數(shù)的最大（�。┲敌枰�利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點式；

⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)yaxbxc中a，b，c的符號，或由二次函數(shù)中a，b，c的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結合；

⑷二次函數(shù)的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與x軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標.

2⑸與二次函數(shù)有關的還有二次三項式，二次三項式axbxc(a0)本身就是所含字母x的二次函數(shù)；下面以a0時為例，揭示

22y軸一定相交，交點坐標為(0，c)；

二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：

圖像參考：

y=2x2y=x20拋物線與x軸有兩個交點二次三項式的值可正、可零、可負二次三項式的值為非負一元二次方程有兩個不相等實根0拋物線與x軸只有一個交點拋物線與x軸無交點一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根0二次三項式的值恒為正一元二次方程無實數(shù)根.y=x22y=-x22y=-x2y=-2x2

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y=2x2+2y=2x2y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2一切為了孩子美好的未來

y=2x2-4y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2

十一、函數(shù)的應用

y=2x2y=2(x-4)2剎車距離二次函數(shù)應用何時獲得最大利潤

最大面積是多少

二次函數(shù)考查重點與常見題型

1．考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關試題常出現(xiàn)在選擇題中，如：已知以x為自變量的二次函數(shù)值是

2．綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習題的特點是在同一直

則m的y(m2)x2m2m2的圖像經(jīng)過原點，

y=2(x-4)2-3角坐標系內(nèi)考查兩個函數(shù)的圖像，試題類型為選擇題，如：

如圖，如果函數(shù)

ykxb的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)ykx2bx1的圖像大致是（）

yyyy110xo-1x0x0-1xABCD3．考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關習題出現(xiàn)的頻率很高，習題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如：已知一條拋物線經(jīng)過(0,3)，(4,6)兩點，對稱軸為x5，求這條拋物線的解析式。34．考查用配方法求拋物線的頂點坐標、對稱軸、二次函數(shù)的極值，有關試題為解答題，如：32已知拋物線yaxbxc（a≠0）與x軸的兩個交點的橫坐標是－1、3，與y軸交點的縱坐標是－2

（1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標.5．考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見的作為專項壓軸題。【例題經(jīng)典】

由拋物線的位置確定系數(shù)的符號

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例1（1）二次函數(shù)yaxbxc的圖像如圖1，則點M(b,2一切為了孩子美好的未來

c)在（）aA．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

（2）已知二次函數(shù)y=ax+bx+c（a≠0）的圖象如圖2所示，則下列結論：①a、b同號；②當x=1和x=3時，函數(shù)值相等；③4a+b=0；④當y=-2時，x的值只能取0.其中正確的個數(shù)是（）A．1個B．2個C．3個D．4個

2

(1)(2)

【點評】弄清拋物線的位置與系數(shù)a，b，c之間的關系，是解決問題的關鍵．

例2.已知二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象與x軸交于點(-2，O)、(x1，0)，且1廈門分校

∴直線A，C解析式為y=6x-6直線A"C與拋物線交點為(0，-6)，(5，24)．∴符合題意的x的范圍為-1廈門分校一切為了孩子美好的未來

（2）要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價應定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？【解析】（1）設此一次函數(shù)表達式為y=kx+b．則15kb25,解得k=-1，b=40，即一次函數(shù)表達式為y=-x+40．

2kb202

（2）設每件產(chǎn)品的銷售價應定為x元，所獲銷售利潤為w元w=（x-10）（40-x）=-x+50x-400=-（x-25）+225．

產(chǎn)品的銷售價應定為25元，此時每日獲得最大銷售利潤為225元．

【點評】解決最值問題應用題的思路與一般應用題類似，也有區(qū)別，主要有兩點：（1）設未知數(shù)在“當某某為何值時，什么最大（或最小、最省）”的設問中，“某某”要設為自變量，“什么”要設為函數(shù)；（2）問的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．例3.你知道嗎?平時我們在跳大繩時，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線．如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學生拿繩的手間距為4m，距地面均為1m，學生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m、2．5m處．繩子在甩到最高處時剛好通過他們的頭頂．已知學生丙的身高是1．5m，則學生丁的身高為(建立的平面直角坐標系如右圖所示)()

A．1．5mB．1．625mC．1．66mD．1．67m分析：本題考查二次函數(shù)的應用答案：B

2

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