二次函數(shù)知識點總結及相關典型題目(教師用)

用專業(yè)的心，做專業(yè)的教育

二次函數(shù)

主講：陳老師

一、定義：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)，那么y叫做x的二次函數(shù).例：已知關于x的函數(shù)yax2bxc(a,b,c是常數(shù)）當a,b,c滿足什么條件時（1）是一次函數(shù)（2）是正比例函數(shù)（3）是二次函數(shù)二、二次函數(shù)yax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)的性質（1）①當a0時拋物線開口向上頂點為其最低點；②當a0時拋物線開口向下頂點為其最高點.③｜a｜越大，開口越小。

Ox

ybb4acb2（，）（2）頂點是，對稱軸是直線x

2a2a4a（3）①當a0時，在對稱軸左邊，y隨x的增大而減�。辉谠趯ΨQ軸右邊，y隨x的增大而增大；

②當a0時，在對稱軸左邊，y隨x的增大而增大；在在對稱軸右邊，y隨x的增大而減小。（4）y軸與拋物線yax2bxc得交點為(0,c)

2

c0，拋物線與y軸的交點在x軸上方，c0，拋物線與y軸的交點在x軸下方則下列結論中正確的是(D)

例：1、（201*四川重慶，7，4分）已知拋物線y＝ax＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐標系中的位置如圖所示，

A．a(chǎn)>0B．b＜0C．c＜0D．a(chǎn)＋b＋c>0

2山東威海題圖

練習：1、（201*山東威海，7，3分）二次函數(shù)yx2x3的圖象如圖所示．當y＜0時，自變量x的

取值范圍是（A）．A．－1＜x＜3

B．x＜－1

C．x＞3

D．x＜－1或x＞3

2、（201*湖北孝感，12，3分）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點坐標為1,1，下列結論：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；21

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④a+b+c＜0.其中正確的個數(shù)是（C）A.1B.2C.3D.4

三、求拋物線的頂點、對稱軸的方法

bb4acb2（，）（1）公式法：yaxbxc，頂點是，對稱軸是直線x.

2a2a4a2（2）配方法：yaxhk的頂點為(h,k)，對稱軸是直線xh.

2(3)利用交點式求對稱軸及頂點：yaxx1xx2，對稱軸為x例1、求下列各拋物線的頂點和對稱軸：（1）yxx122

x23x5（2）y2(x1)7（3）y3(x7)(x9)

2

2例2、201*江蘇淮安，14，3分）拋物線y=x-2x-3的頂點坐標是.（1，－4）四、拋物線的平移

方法1：計算機兩條拋物線的頂點，由頂點判定平移情況方法2：將函數(shù)換成頂點式，用口決“（x）左加右減，上加下減”．．．例1、拋物線yx22x3經(jīng)過怎樣平移得到y(tǒng)x24x1答案：向右平移3，再向下移5個單位得到；

例2、（201*四川樂山5，3分）將拋物線yx向左平移2個單位后，得到的拋物線的解析式是（A）A．y(x2)B．yx2C．y(x2)D．yx2

例3、（201*重慶江津，18，4分）將拋物線y=x－2x向上平移3個單位,再向右平移4個單位等到的拋

物線是_______.（y=(x-5)+2或y=x-10x+27）練習：

1、拋物線y2x2x3經(jīng)過怎樣平移得到y(tǒng)2x4x1

2、拋物線yx2x3向左平移2個單位，再向上移3個單位得到y(tǒng)xbxc，求b和c。

23、（201*山東濱州，7，3分）拋物線yx23可以由拋物線yx平移得到,則下列平移過程正確

2222

222222222的是(B)

A.先向左平移2個單位,再向上平移3個單位

2

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B.先向左平移2個單位,再向下平移3個單位C.先向右平移2個單位,再向下平移3個單位D.先向右平移2個單位,再向上平移3個單位五、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

（1）一般式：yax2bxc.已知圖像上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式.（2）頂點式：yaxhk.已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.

2（3）交點式：已知圖像與x軸的交點坐標x1、x2，通常選用交點式：yaxx1xx2.(4)一般式與頂點式的變換

例：1、根據(jù)已知條件確定下列函數(shù)的解析式：

（－3，0），（0，－3）,(5，0)（1）已知拋物線過

（2）已知拋物線的頂點在x軸上，且過點（1，0）、（－2，4）；（3）已知拋物線的頂點坐標為（－2，0），過點（1，4）例2、將yx26x2和y2x2x4換成頂點式（y（x37,y2(x）221)229）2練習：1、將yx24x－5和y3x7x4換成頂點式

22、（201*山東濟寧，12，3分）將二次函數(shù)yx24x5化為y(xh)2k的形式，則y2y(x2)1）（

七、yax2bxc(a0)與一元二次方程ax2bxc0(a0)的關系

b4ac>0方程有兩個不相等的實數(shù)根2＝0方程有兩個相等的實數(shù)根用專業(yè)的心，做專業(yè)的教育

bc，x1x2ax1x2a（二者都可以用）例1、（201*臺灣臺北，32）如圖(十四)，將二次函數(shù)y＝31x2－999x＋892的圖形畫在坐標平面上，判

韋達定理：89＝0的兩根，下列敘述何者正確？（A）斷方程式31x－999x＋22

A．兩根相異，且均為正根B．兩根相異，且只有一個正根C．兩根相同，且為正根D．兩根相同，且為負根

例2、.拋物線yx22x3與x軸分別交于A、B兩點，與y軸交于點C，則AB的長為4，三角形

ABC的面積是6。

練習：1.已知二次函數(shù)y＝ax2－2的圖象經(jīng)過點（1，－1）．求這個二次函數(shù)的解析式，并判斷該函數(shù)圖

象與x軸的交點的個數(shù)．（y＝x22，兩個交點）

2.（201*湖北襄陽，12，3分）已知函數(shù)y(k3)x22x1的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是（B）A.k4

B.k4

C.k4且k3

D.k4且k3

3、（201*廣東東莞，15，6分）已知拋物線y(1)求c的取值范圍；

12xxc與x軸有交點．2(2)試確定直線y＝cx+l經(jīng)過的象限，并說明理由．

八、二次函數(shù)的應用

21、求yaxbxc(a,b,c是常數(shù)，a0)最大值或最小值

①a0，函數(shù)有最小值為頂點的縱坐標，此時x等于頂點的橫坐標；②a0，函數(shù)有最大值為頂點的縱坐標，此時x等于頂點的橫坐標。2、面積問題，主要利用各種圖形的面積公式，如三角形面積＝底高3、利潤問題：利潤＝銷量（售價－進價）－其他4、拱橋問題

4

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1用專業(yè)的心，做專業(yè)的教育

例1、（201*廣東肇慶，10，3分）二次函數(shù)yx22x5有（D）

A．最大值5

B．最小值5

C．最大值6

D．最小值6

例2、一塊矩形耕地大小尺寸如圖所示（單位：m），要在這塊土地上沿東

西方向挖一條水渠，沿南北方向挖兩條水渠，水渠的寬為x（m），余

下的可耕地面積為y（

m2）。

（1）請你寫出y與x之間的解析式；

（2）根據(jù)你寫出的函數(shù)解析式，當水渠的寬度為1m時，余下的可

耕地面積為多少？（3）若余下的耕地面積為4408

m2，求此時水渠的寬度。

例3、某商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷量m（件）與每件的銷售

價x(元)滿足一次函數(shù)：m=162-3x.

（1）寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y與每件的銷售價x間的函數(shù)關系式；

（2）如果商場要想每天獲得最大銷售利潤，每件商品的定價為多少最合適？最大銷售利潤為多

少？

練習：1、某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品。據(jù)市場分析，若按每千克50元銷售，一個

月能售出500千克；銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克，針對這種水產(chǎn)品的銷售情況，請解答下列問題:

（1）當銷售單價定為每千克55元時，計算月銷售量和月銷售利潤；

（2）設銷售單價為每千克X元，月銷售利潤為Y元，求Y與X的函數(shù)關系式(不必寫出X的取值范圍）；

（3）商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單

價應定為多少？

2、盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分．在大橋截面1∶11000的比例圖上，跨度AB＝5cm，

拱高OC＝0.9cm，線段DE表示大橋拱內(nèi)橋長，DE∥AB，如圖（1）．在比例圖上，以直線AB為x軸，拋物線的對稱軸為y軸，以1cm作為數(shù)軸的單位長度，建立平面直角坐標系，如圖（2）．

（1）求出圖（2）上以這一部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式，寫出函數(shù)定義域；

y＝－182955x＋(x)12510225

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（2）如果DE與AB的距離OM＝0.45cm，求盧浦大橋拱內(nèi)實際橋長（備用數(shù)據(jù)：21.4，計算結果

精確到1米）．

52110000.01＝275238523、.如圖6，一單杠高2.2m，兩立柱之間的距離為1.6m，將一根繩子的兩端拴于立柱與橫杠結合處，

繩子自然下垂呈拋物線形狀，一身高0.7m的小孩站在離左邊立柱0.4m處，其頭部剛好觸到繩子，求繩子最低點到地面的距離。（答案：0.2m）

圖6

附表.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：

函數(shù)解析式開口方向對稱軸頂點坐標（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)yax2yax2k2yaxhx0（y軸）當a0時開口向上當a0時x0（y軸）xhxhyaxhk2開口向下yaxbxc2bx2a

b4acb2，()2a4a

6

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二次函數(shù)

一、定義：一般地，如果yax例：已知關于x的函數(shù)yax22bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)，那么y叫做x的二次函數(shù).

bxc(a,b,c是常數(shù)）當a,b,c滿足什么條件時

（1）是一次函數(shù)（2）是正比例函數(shù)（3）是二次函數(shù)二、二次函數(shù)yax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)的性質y（1）①當a0時拋物線開口向上頂點為其最低點；②當a0時拋物線開口向下頂點為其最高點.③｜a｜越大，開口越小。

4acbb（，），對稱軸是直線x（2）頂點是

2a4a2ab2x

O（3）①當a0時，在對稱軸左邊，y隨x的增大而減�。辉谠趯ΨQ軸右邊，y隨x的增大而增大；

②當a0時，在對稱軸左邊，y隨x的增大而增大；在在對稱軸右邊，y隨x的增大而減小。（4）y軸與拋物線yax

2

2bxc得交點為(0,c)

c0，拋物線與c0，拋物線與y軸的交點在y軸的交點在x軸上方，x軸下方

例：1、（201*四川重慶，7，4分）已知拋物線y＝ax＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐標系中的位置如圖所示，則下列結論中正確的是(D)

A．a(chǎn)>0B．b＜0C．c＜0D．a(chǎn)＋b＋c>0

2山東威海題圖

練習：1、（201*山東威海，7，3分）二次函數(shù)yx2x3的圖象如圖所示．當y＜0時，自變量x的取值范圍是（A）．

A．－1＜x＜3

B．x＜－1

C．x＞3

D．x＜－1或x＞3

相

2、（201*湖北孝感，12，3分）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與y軸正半軸交，其頂點坐標為12

,1，下列結論：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b=4a；④2a+b+c＜0.其中正確的個數(shù)是（C）A.1B.2C.3D.4

三、求拋物線的頂點、對稱軸的方法

1

（1）公式法：yax24acbb（，），對稱軸是直線xbxc，頂點是.

2a4a2a2b2（2）配方法：yaxhk的頂點為(h,k)，對稱軸是直線xh.

(3)利用交點式求對稱軸及頂點：yaxx1xx2，對稱軸為x例1、求下列各拋物線的頂點和對稱軸：（1）yx12x2

x23x5（2）y2(x1)7（3）y3(x7)(x9)

2

2例2、201*江蘇淮安，14，3分）拋物線y=x-2x-3的頂點坐標是.（1，－4）四、拋物線的平移

方法1：計算機兩條拋物線的頂點，由頂點判定平移情況方法2：將函數(shù)換成頂點式，用口決“（x）左加右減，上加下減”．．．例1、拋物線yx2x3經(jīng)過怎樣平移得到y(tǒng)x4x1答案：向右平移3，再向下移5個單位得到；

例2、（201*四川樂山5，3分）將拋物線yx向左平移2個單位后，得到的拋物線的解析式是（A）A．y(x2)B．yx2C．y(x2)D．yx2

例3、（201*重慶江津，18，4分）將拋物線y=x－2x向上平移3個單位,再向右平移4個單位等到的拋物線是_______.

（y=(x-5)+2或y=x-10x+27）練習：

1、拋物線y2x2x3經(jīng)過怎樣平移得到y(tǒng)2x4x1

2、拋物線yx2x3向左平移2個單位，再向上移3個單位得到y(tǒng)xbxc，求b和c。

23、（201*山東濱州，7，3分）拋物線yx23可以由拋物線yx平移得到,則下列平移過程正確的是(B)

222222222

22

2222A.先向左平移2個單位,再向上平移3個單位B.先向左平移2個單位,再向下平移3個單位C.先向右平移2個單位,再向下平移3個單位D.先向右平移2個單位,再向上平移3個單位五、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（1）一般式：yax2bxc.已知圖像上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式.

2（2）頂點式：yaxhk.已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.

2

（3）交點式：已知圖像與x軸的交點坐標x1、x2，通常選用交點式：yaxx1xx2.(4)一般式與頂點式的變換

例：1、根據(jù)已知條件確定下列函數(shù)的解析式：

（－3，0），（0，－3）,(5，0)（1）已知拋物線過

（2）已知拋物線的頂點在x軸上，且過點（1，0）、（－2，4）；（3）已知拋物線的頂點坐標為（－2，0），過點（1，4）例2、將yx26x2和y2x22x4換成頂點式（y（x3）7,y2(x2122)92）

練習：1、將yx24x－5和y3x27x4換成頂點式2

222、（201*山東濟寧，12，3分）將二次函數(shù)yx4x5化為y(xh)k的形式，則y（y(x2)1）七、yaxax22bxc(a0)與一元二次方程ax2bxc0(a0)的關系

b24ac>0＝0練習：1.已知二次函數(shù)y＝ax－2的圖象經(jīng)過點（1，－1）．求這個二次函數(shù)的解析式，并判斷該函數(shù)圖象與x軸的交

點的個數(shù)．（y＝x2，兩個交點）2.（201*湖北襄陽，12，3分）已知函數(shù)yA.k4

(k3)x2222x1的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是（B）

且k3B.k4C.k4且k3D.k4

3、（201*廣東東莞，15，6分）已知拋物線y(1)求c的取值范圍；

12xxc2與x軸有交點．

(2)試確定直線y＝cx+l經(jīng)過的象限，并說明理由．

八、二次函數(shù)的應用1、求yax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)最大值或最小值

①a0，函數(shù)有最小值為頂點的縱坐標，此時x等于頂點的橫坐標；②a0，函數(shù)有最大值為頂點的縱坐標，此時x等于頂點的橫坐標。2、面積問題，主要利用各種圖形的面積公式，如三角形面積＝底高3、利潤問題：利潤＝銷量（售價－進價）－其他4、拱橋問題

例1、（201*廣東肇慶，10，3分）二次函數(shù)yx2x5有（D）

A．最大值5

B．最小值5

C．最大值6

D．最小值6

212

例2、一塊矩形耕地大小尺寸如圖所示（單位：m），要在這塊土地上沿東

西方向挖一條水渠，沿南北方向挖兩條水渠，水渠的寬為x（m），余

下的可耕地面積為y（m）。

（1）請你寫出y與x之間的解析式；

（2）根據(jù)你寫出的函數(shù)解析式，當水渠的寬度為1m時，余下的可

耕地面積為多少？（3）若余下的耕地面積為4408m，求此時水渠的寬度。

例3、某商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷量m（件）與每件的銷售價x(元)滿足

一次函數(shù)：m=162-3x.

（1）寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y與每件的銷售價x間的函數(shù)關系式；

（2）如果商場要想每天獲得最大銷售利潤，每件商品的定價為多少最合適？最大銷售利潤為多少？

練習：1、某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品。據(jù)市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500

千克；銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克，針對這種水產(chǎn)品的銷售情況，請解答下列問題:（1）當銷售單價定為每千克55元時，計算月銷售量和月銷售利潤；

（2）設銷售單價為每千克X元，月銷售利潤為Y元，求Y與X的函數(shù)關系式(不必寫出X的取值范圍）；（3）商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應定為多少？

4

2、盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分．在大橋截面1∶11000的比例圖上，跨度AB＝5cm，拱高OC＝

0.9cm，線段DE表示大橋拱內(nèi)橋長，DE∥AB，如圖（1）．在比例圖上，以直線AB為x軸，拋物線的對稱軸為y軸，以1cm作為數(shù)軸的單位長度，建立平面直角坐標系，如圖（2）．

（1）求出圖（2）上以這一部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式，寫出函數(shù)定義域；y＝－18125x＋2

910(52x52)

（2）如果DE與AB的距離OM＝0.45cm，求盧浦大橋拱內(nèi)實際橋長（備用數(shù)據(jù)：21.4，計算結果精確到1

522米）．

110000.01＝2752385

3、.如圖6，一單杠高2.2m，兩立柱之間的距離為1.6m，將一根繩子的兩端拴于立柱與橫杠結合處，繩子自然下垂呈拋物線形狀，一身高0.7m的小孩站在離左邊立柱0.4m處，其頭部剛好觸到繩子，求繩子最低點到地面的距離。（答案：0.2m）

圖6

附表.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：

函數(shù)解析式y(tǒng)axyax22開口方向對稱軸x0（y軸）x0（y軸）頂點坐標（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)4acb，(2a4ab2當a0時開口向上當a0時k2yaxhyaxhk2xhxh開口向下xb2ayax2bxc)

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