二次函數(shù)知識點總結及相關典型題目201*.12.8

二次函數(shù)知識點總結及相關典型題目

一．基礎知識

1.定義：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)，那么y叫做x的二次函數(shù).2.二次函數(shù)yax2的性質(zhì)

（1）拋物線yax2的頂點是坐標原點，對稱軸是y軸.（2）函數(shù)yax2的圖像與a的符號關系.

①當a0時拋物線開口向上頂點為其最低點；

②當a0時拋物線開口向下頂點為其最高點.

（3）頂點是坐標原點，對稱軸是y軸的拋物線的解析式形式為yax2（a0）.

3.二次函數(shù)yax2bxc的圖像是對稱軸平行于（包括重合）y軸的拋物線.4.二次函數(shù)yax2bxc用配方法可化成：yaxh2k的形式，

其中hb4acb22a，k4a.5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①yax2；②yax2k；③yaxh2；

④yaxh2k；⑤yax2bxc.

6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.

①a的符號決定拋物線的開口方向：當a0時，開口向上；當a0時，開口向下；

a相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

②平行于y軸（或重合）的直線記作xh.特別地，y軸記作直線x0.

7.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)a相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.8.求拋物線的頂點、對稱軸的方法

2（1）公式法：yax2bxcab4acb4acb2xb22a4a，頂點是（2a，4a），對稱軸是直線xb2a.

（2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為yaxh2k的形式，得到頂點為

(h,k)，對稱軸是直線xh.

（3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂

直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.9.拋物線yax2bxc中，a,b,c的作用

（1）a決定開口方向及開口大小，這與yax2中的a完全一樣.

（2）b和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線yax2bxc的對稱軸是直線

xb2a，故：①b0時，對稱軸為y軸；②b

a

0（即a、b同號）時，對稱軸在y軸左側；③

ba0（即a、b異號）時，對稱軸在y軸右側.（3）c的大小決定拋物線yax2bxc與y軸交點的位置.

當x0時，yc，∴拋物線yax2bxc與y軸有且只有一個交點（0，c）：①c0，拋物線經(jīng)過原點;②c0,與y軸交于正半軸；③c0,與y軸交于負半軸.以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側，則ba0.10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標yax2x0（y軸）（0,0）yax2kx0（y軸）(0,k)yaxh2當a0時xh(h,0)yaxh2k開口向上xh(h,k)yax2bxc當a0時開口向下xbb4acb22a(2a，4a)11．a(chǎn),b,c,b2-4ac,a+b+c,a-b+c等符號的確定

12．二次函數(shù)值恒正或恒負的條件：

恒正的條件：a＜0且0；恒負的條件：a＞0且0。

13．拋物線的平移規(guī)律：①在頂點式的基礎上---“左加右減，上加下減”。

②在一般式的基礎上---

14．兩拋物線關于坐標軸對稱的條件：

拋物線yaxh2k關于x軸對稱的解析式：

拋物線yaxh2k關于x軸對稱的解析式：

15.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

（1）一般式：yax2bxc.已知圖像上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式.（2）頂點式：yaxh2k.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.

（3）交點式：已知圖像與x軸的交點坐標x1、x2，通常選用交點式：yaxx1xx2.

16．二次函數(shù)的最值問題

(1)公式法:y=ax2+bx+c中,當a>0時,x=___________,y最小=___________;當a0,當x=___________,y最小=___________;若a17.直線與拋物線的交點

（1）y軸與拋物線yax2bxc得交點為(0,c).

（2）與y軸平行的直線xh與拋物線yax2bxc有且只有一個交點(h,ah2bhc).（3）拋物線與x軸的交點

二次函數(shù)yax2bxc的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標x1、x2，是對應一元二次方程ax2bxc0的兩個實數(shù)根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：

①有兩個交點0拋物線與x軸相交；

②有一個交點（頂點在x軸上）0拋物線與x軸相切；③沒有交點0拋物線與x軸相離.（4）平行于x軸的直線與拋物線的交點

同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相

等，設縱坐標為k，則橫坐標是ax2bxck的兩個實數(shù)根.

（5）一次函數(shù)ykxnk0的圖像l與二次函數(shù)yax2bxca0的圖像G的交點，

由方程組ykxnyax2bxc的解的數(shù)目來確定：①方程組有兩組不同的解時l與G有

兩個交點;②方程組只有一組解時l與G只有一個交點；③方程組無解時l與G沒有交點.

（6）拋物線與x軸兩交點之間的距離：若拋物線yax2bxc與x軸兩交點為

Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是方程ax2bxc0的兩個根，故

xbc1x2a,x1x2a2ABx1x2x1x22x1x224xb4cb24ac1x2aaaa

二．典型題目一、選擇題

1．拋物線y=x2+2x-3與x軸的交點的個數(shù)有()

A.0個B.1個C.2個D.3個2．二次函數(shù)y=(x-1)2+2的最小值是()

A.-2B.2C.-1D.1

3．用配方法將二次函數(shù)y=3x2-4x-2寫成形如y=a(x+m)2+n的形式,則m,n的值分別是()

A.m=23,n=103B.m=-23,n=-103C.m=2,n=6D.m=2,n=-2

4．關于x的一元二次方程x2-x-n=0沒有實數(shù)根,則拋物線y=x2-x-n的頂點在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5．拋物線y12(x2)21可由拋物線y12x2（）而得到。A．先向左平移2個單位，再向下平移1個單位；

B．先向左平移2個單位，再向上平移1個單位；C．先向右平移2個單位，再向下平移1個單位；D．先向右平移2個單位，再向上平移1個單位。

6．已知二次函數(shù)y=ax2

+bx+c(a≠0)的圖象如右上圖所示，給出以下結論：①a+b+cy3B.y2>y1>y3C.y3>y1>y22D.y3>y2>y112．由于被墨水污染,一道數(shù)學題僅能見到如下文字:“已知二次函數(shù)y=x+bx+c的圖象過點(1,0)求證:這個二次函數(shù)的圖象關于直線x=2對稱.”根據(jù)現(xiàn)有信息,題中的二次函數(shù)圖象不具有的性質(zhì)是()

A.過點(3,0)B.頂點為(2,-2)

C.在x軸上截得的線段長是2D.與y軸的交點是(0,3)13．如圖函數(shù)y=ax2-bx+c的圖象過點(-1,0),則

abcbccaab的值是()

A.-3B.3C.-1D.1

14．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,下面結論:

(1)a+b+c0;(3)abc>0;(4)b=2a.其中正確的結論有()

A.4個B.3個C.2個D.1個

15．二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c的圖象在x軸的上方的條件是（）

A．a(chǎn)＞0，b2－4ac＞0B．a(chǎn)＞0，b2－4ac＜0C．a(chǎn)＜0，b2－4ac＞0D．a(chǎn)＜0，b2－4ac＜016．如圖，如果函數(shù)y=kx＋b的圖象在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)y=kx2＋bx－1的大致圖象是（）

17．已知拋物線y=ax2＋bx＋c，如圖所示，則x的方程ax2＋bx＋c－3=0的根的情況是（）

A．有兩個不相等的正實根B．有兩個異號實數(shù)根C．有兩個相等實數(shù)根D．沒有實數(shù)根

18．下列四個函數(shù)：①y=x＋1；②y=

3x；③y=－x2；④y=2x（－1≤x≤2）．其中圖象是中心對稱圖形，且對稱中心是原點的共有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

19．已知函數(shù)y=ax2

＋bx＋c的圖象如圖所示，關于系數(shù)a、b、c有下列不等式：①a＜0；②b＜

0；③c＞0；④2a＋b＜0；⑤a＋b＋c＞0．其中正確個數(shù)為（）A．1個B．2個C．3個D．4個

20．已知二次函數(shù)y=ax2

＋bx＋c的圖象如圖所示，那么下列判斷正確的是（）（多選）

A．a(chǎn)bc＞0B．b2

－4ac＞0C．2a＋b＞0D．4a－2b＋c＜0

21．如圖，二次函數(shù)y=x2

－4x＋3的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，則△ABC的面積為（）

A．6B．4C．3D．1

22．函數(shù)y=ax2與y=ax＋a（a＜0＝在同一直角坐標系中的圖象大致是（）

23．一臺機器原價為60萬元，如果每年的折舊率為x，兩年后這臺機器的價位為y萬元，則y與x之間的函數(shù)表達式為（）

A．y=60（1－x）2B．y=60（1－x）

C．y=60－x2

D．y=60（1＋x）224．拋物線y=x2＋ax＋b向左平移2個單位再向上平移3個單位得到拋物線y=x2－2x＋1，則（）

A．a(chǎn)=2，b=－2B．a(chǎn)=－6，b=6C．a(chǎn)=－8，b=14D．a(chǎn)=－8，b=18二、填空題

1．拋物線y=3(x+4)(x-2)與x軸的兩交點坐標為_________,與y軸的交點坐標為___________.2．已知拋物線y=x2＋（m－1）x－

14的頂點的橫坐標是2，則m的值是．

3．二次函數(shù)y=x2－2x＋3的最小值是

．

4．拋物線y=x2－2ax＋a2的頂點在直線x=2上，則a的值是．

5．二次函數(shù)y=－x2

＋6x－5，當x時，y0，且y隨x的增大而減小。6．已知二次函數(shù)y=x2

＋（a－b）x＋a的圖象如圖所示，那么化簡

a22abb2ab的

結果是

7．若一拋物線y=ax2與四條直線x=1，x=2，y=1，y=2圍成的正方形有公共點，則a的取值范圍是．

8．把拋物線y=2x2－4x－5向左又向上分別移動4個單位，再繞頂點旋轉(zhuǎn)180°，則所得新的圖象的表達式是．

9．請你寫出函數(shù)y=3（x－1）2

與y=x2－1具有的一個共同性質(zhì)．10．拋物線y=x2－（2m－1）x－2m與x軸的兩個交點坐標分別為A（x1，0），B（x2，0），且

x1x=1，2則m的值為．

11．拋物線與直線在同一直角坐標系中，如圖所示．點P1（x1，y1），P2（x2，y2）均在拋物線上，點P3（x3，y3）在直線上，其中－2＜x1＜x2，x3＜－2，則y1、y2、y3的大小關系為．

12．如圖，已知一次函數(shù)y=－2x＋3的圖象與x軸交于A點，則y軸交于C點，二次函數(shù)y=x2＋bx＋c的圖象過點C，且與一次函數(shù)在第二象限交于另一點B．若AC：CB=1：2，那么這個拋物線的頂點坐標是．三、解答題

1．已知拋物線y=x2－（a＋2）x＋12的頂點在x=－3上，求a的值及頂點的坐標．

2．已知二次函數(shù)y=x2－x－6．

（1）求二次函數(shù)圖象與坐標軸的交點坐標及頂點坐標；（2）畫出函數(shù)圖象；

（3）觀察圖象，指出方程x2－x－6=0的解及使不等式x2－x－6＜0成立的x的取值范圍；（4）求二次函數(shù)圖象與坐標軸交點所構成的三角形面積．

3．如圖所示，一單杠高2．2m，兩立柱之間的距離為1．6m，將一根繩子的兩端栓于立柱與鐵杠結合處，繩子自然下垂呈拋物線狀．

（1）一身高0．7m的小孩站在離立柱0．4m處，其頭部剛好碰到繩子，求繩子最低點到地面的距離；

（2）為供孩子們打秋千，把繩子剪斷后，中間系一塊長為0．4m的木板，除掉系木板用去的繩子后，兩邊的繩子長正好各為2m，木板與地面平行，求這時木板到地面的距離．（供選用數(shù)據(jù)：3.36=1．8，3.64≈1．9，4.36≈2．1）

4．已知拋物線y=x2－2mx＋m＋2的頂點在坐標軸上，直線y=3x＋b經(jīng)過拋物線的頂點，求直線與兩條坐標軸圍成的面積．5．已知二次函數(shù)y=2x2-mx-m2.

(1)求證:對于任意實數(shù)m,該二次函數(shù)圖象與x軸總有公共點;

(2)若該二次函數(shù)圖象與x軸有兩個公共點A、B,且A點坐標為(1,0),求B點坐標.

6．如圖1是泰州某河上一座古拱橋的截面圖,拱橋橋洞上沿是拋物線形狀,拋物線兩端點與水面的距離都是1m,拱橋的跨度為10m,橋洞與水面的最大距離是5m,橋洞兩側壁上各有一盞距離水面4m的景觀燈.若把拱橋的截面圖放在平面直角坐標系中.(如圖2)

(1)求拋物線的解析式;

(2)求兩盞景觀燈之間的水平距離.

7．如圖,直線y=2x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點,將△AOB繞點O順時針轉(zhuǎn)90°得到△A1OB1.

(1)在圖中畫出△A1OB1;

(2)求經(jīng)過A、A1、B1三點的拋物線的解析式.

8．已知拋物線L：y=ax+bx+c（其中a、b、c都不等于0）它的頂點P的坐標是（-b/2a，4ac-b/4a），與y軸的交點是M（0、c）。我們稱以M為頂點，對稱軸是y軸且過點P的拋物線為拋物線L的伴隨拋物線，直線PM為L的伴隨直線。

（1）請直接寫出拋物線y=2x2-4x+1的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式：伴隨拋物線的解析式：。伴隨直線的解析式：。

（2）若一條拋物線的伴隨拋物線和伴隨直線分別是y=-x2-3和y=-x-3。則這條拋物線的解析式是：

（3）求拋物線L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不為0）的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式。（4）利用（3）的結論直接寫出y=-x2+4x+2的伴隨拋物線和伴隨直線。86

9.如圖直線y=－x＋3與x軸、y軸分別交于B、C兩點，拋物線y=－x2

＋bx＋c經(jīng)過點B和點C，點A是拋物線4與x軸的另一個交點；C（1）求此拋物線的解析式；2P（2）若點P在直線BC上，且S1△PAC=2S△PAB，求P點的坐標.

AB-10-5D5-2

-4-6

-8

10.已知直線y＝－2x＋b(b≠0)與x軸交于點A，與y軸交于點B；一拋物線的解析式為

y＝x2

－(b＋10)x＋c.

⑴若該拋物線過點B，且它的頂點P在直線y＝－2x＋b上，試確定這條拋物線的解析式；⑵過點B作直線BC⊥AB交x軸于點C，若拋物線的對稱軸恰好過C點，試確定直線y＝－2x＋b的解析式.

11．二次函數(shù)yax2bxc（a≠0）的圖像如圖所示．

（1）試判斷a、b、c及b24ac的范圍．（2）若|OA|＝|OB|，試證：ac＋b＋1＝0．1012．已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象經(jīng)過點A（2，0）且與直線y34x3相交于B、C兩點，點B在x軸上，點C在y軸上；（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）如果P（x，y）是線段BC上的動點，O為坐標原點，試求POA的面積SPOA與x之間的函數(shù)關系式，并求自變量取

值范圍；（3）是否存在這樣的點P，使PO=AO？若存在，求出P點的坐標，若不存在，請說明理由；

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二次函數(shù)知識點總結及相關典型題目

一．基礎知識

1.定義：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)，那么y叫做x的二次函數(shù).2.二次函數(shù)yax2的性質(zhì)

（1）拋物線yax2的頂點是坐標原點，對稱軸是y軸.（2）函數(shù)yax2的圖像與a的符號關系.

①當a0時拋物線開口向上頂點為其最低點；

②當a0時拋物線開口向下頂點為其最高點.

（3）頂點是坐標原點，對稱軸是y軸的拋物線的解析式形式為yax2（a0）.

3.二次函數(shù)yax2bxc的圖像是對稱軸平行于（包括重合）y軸的拋物線.4.二次函數(shù)yax2bxc用配方法可化成：yaxh2k的形式，

其中hb4acb22a，k4a.5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①yax2；②yax2k；③yaxh2；

④yaxh2k；⑤yax2bxc.

6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.

①a的符號決定拋物線的開口方向：當a0時，開口向上；當a0時，開口向下；

a相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

②平行于y軸（或重合）的直線記作xh.特別地，y軸記作直線x0.

7.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)a相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.8.求拋物線的頂點、對稱軸的方法

2（1）公式法：yax2bxcab4acb4acb2xb22a4a，頂點是（2a，4a），對稱軸是直線xb2a.

（2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為yaxh2k的形式，得到頂點為

(h,k)，對稱軸是直線xh.

（3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂

直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.9.拋物線yax2bxc中，a,b,c的作用

（1）a決定開口方向及開口大小，這與yax2中的a完全一樣.

（2）b和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線yax2bxc的對稱軸是直線

xb2a，故：①b0時，對稱軸為y軸；②ba0（即a、b同號）時，對稱軸在y軸左側；③

ba0（即a、b異號）時，對稱軸在y軸右側.（3）c的大小決定拋物線yax2bxc與y軸交點的位置.

當x0時，yc，∴拋物線yax2bxc與y軸有且只有一個交點（0，c）：①c0，拋物線經(jīng)過原點;②c0,與y軸交于正半軸；③c0,與y軸交于負半軸.以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側，則ba0.10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標yax2x0（y軸）（0,0）yax2kx0（y軸）(0,k)yaxh2當a0時xh(h,0)yaxh2k開口向上xh(h,k)yax2bxc當a0時開口向下xbb4acb22a(2a，4a)11．a(chǎn),b,c,b2-4ac,a+b+c,a-b+c等符號的確定

12．二次函數(shù)值恒正或恒負的條件：

恒正的條件：a＜0且0；恒負的條件：a＞0且0。

13．拋物線的平移規(guī)律：①在頂點式的基礎上---“左加右減，上加下減”。

②在一般式的基礎上---

14．兩拋物線關于坐標軸對稱的條件：

拋物線yaxh2k關于x軸對稱的解析式：

拋物線yaxh2k關于x軸對稱的解析式：

15.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

（1）一般式：yax2bxc.已知圖像上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式.（2）頂點式：yaxh2k.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.

（3）交點式：已知圖像與x軸的交點坐標x1、x2，通常選用交點式：yaxx1xx2.

16．二次函數(shù)的最值問題

(1)公式法:y=ax2+bx+c中,當a>0時,x=___________,y最小=___________;當a0,當x=___________,y最小=___________;若a17.直線與拋物線的交點

（1）y軸與拋物線yax2bxc得交點為(0,c).

（2）與y軸平行的直線xh與拋物線yax2bxc有且只有一個交點(h,ah2bhc).（3）拋物線與x軸的交點

二次函數(shù)yax2bxc的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標x1、x2，是對應一元二次方程ax2bxc0的兩個實數(shù)根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：

①有兩個交點0拋物線與x軸相交；

②有一個交點（頂點在x軸上）0拋物線與x軸相切；③沒有交點0拋物線與x軸相離.（4）平行于x軸的直線與拋物線的交點

同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相

等，設縱坐標為k，則橫坐標是ax2bxck的兩個實數(shù)根.

（5）一次函數(shù)ykxnk0的圖像l與二次函數(shù)yax2bxca0的圖像G的交點，

由方程組ykxnyax2bxc的解的數(shù)目來確定：①方程組有兩組不同的解時l與G有

兩個交點;②方程組只有一組解時l與G只有一個交點；③方程組無解時l與G沒有交點.（6）拋物線與

x軸兩交點之間的距離：若拋物線yax2bxc與x軸兩交點為

Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是方程ax2bxc0的兩個根，故

xbc1x2a,x1x2a2ABx1x2x1x22x1x224xb4cb24ac1x2aaaa

二．典型題目

一、選擇題

1．拋物線y=x2+2x-3與x軸的交點的個數(shù)有()

A.0個B.1個C.2個D.3個2．二次函數(shù)y=(x-1)2+2的最小值是()

A.-2B.2C.-1D.1

3．用配方法將二次函數(shù)y=3x2-4x-2寫成形如y=a(x+m)2+n的形式,則m,n的值分別是()

A.m=

23,n=103B.m=-23,n=-103C.m=2,n=6D.m=2,n=-24．關于x的一元二次方程x2-x-n=0沒有實數(shù)根,則拋物線y=x2-x-n的頂點在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5．拋物線y12(x2)21可由拋物線y12x2（）而得到。

A．先向左平移2個單位，再向下平移1個單位；

B．先向左平移2個單位，再向上平移1個單位；C．先向右平移2個單位，再向下平移1個單位；D．先向右平移2個單位，再向上平移1個單位。

6．已知二次函數(shù)y=ax2

+bx+c(a≠0)的圖象如右上圖所示，給出以下結論：①a+b+c20．已知二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，那么下列判斷正確的是（）（多選）

2

A．a(chǎn)bc＞0B．b－4ac＞0C．2a＋b＞0D．4a－2b＋c＜0

2

21．如圖，二次函數(shù)y=x－4x＋3的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，則△ABC的面積為（）

A．6B．4C．3D．1

2

22．函數(shù)y=ax與y=ax＋a（a＜0＝在同一直角坐標系中的圖象大致是（）

二、填空題

1．拋物線y=3(x+4)(x-2)與x軸的兩交點坐標為_________,與y軸的交點坐標為___________.2．已知拋物線y=x2＋（m－1）x－

3．二次函數(shù)y=x2－2x＋3的最小值是

1的頂點的橫坐標是2，則m的值是4

．．

4．拋物線y=x2－2ax＋a2的頂點在直線x=2上，則a的值是．

2

5．二次函數(shù)y=－x＋6x－5，當x時，y0，且y隨x的增大而減小。

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