九年級數(shù)學二次函數(shù)重點歸納總結(中考復習重要資料)

二次函數(shù)知識點總結

一、定義與定義表達式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：y=ax2+bx+c（a≠0），則稱y為x的二次函數(shù)。二、二次函數(shù)的三種表達式

一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）頂點式：y=a(x-h)2+k（a≠0），此時拋物線的頂點坐標為P（h，k）

交點式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0）僅用于函數(shù)圖像與x軸有兩個交點時，x1、x2為交點的橫坐標，所以兩交點的坐標分別為A（x1，0）和B（x2，0）），對稱軸所在的直線為x=

注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系：

x1x22bb4ac-b2-bb2-4ach=-，k=；x1,x2=；x1+x2=-2a2a4a2a三、二次函數(shù)的圖像

從圖像可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，屬于軸對稱圖形。四、拋物線的性質

1．拋物線是軸對稱圖形，對稱軸為直線x=-b，對稱軸與拋物線唯一的交點是拋物線的頂點2aP。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）bb4ac-b24ac-b22．拋物線有一個頂點P，坐標為P（-，）。當x=-時，y最值=，當a>02a2a4a4a時，函數(shù)y有最小值；當a6．拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交點個數(shù)與方程ax2+bx+c=0的根的判定方法：Δ=b2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點，對應方程有兩個不相同的實數(shù)根；Δ=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點，對應方程有兩個相同的實數(shù)根。Δ=b2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點，對應方程沒有實數(shù)根。五、二次函數(shù)與一元二次方程

特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax2+bx+c（a≠0），當y=0時，二次函數(shù)為關于x的一元二次方程，即ax2+bx+c=0，此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。

函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為方程的根。（參考四-6）六、常用的計算方法：

1、求解析式的時候：

若給定三個普通點的坐標，則設為一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0），分別將三點坐標代入組成三元一次方程組，然后解此方程組求出a、b、c，再代回設的一般式中即可求出解析式；

若給定有頂點坐標或對稱軸、最值，則設為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k（a≠0），再找一點坐標代入即可求出a，再代回設的頂點式即可求出解析式；

若給定有與x軸的交點坐標，則設為交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)（a≠0），再找一點坐標代入即可求出a，再代回設的交點式即可求出解析式。

以上方法特別要注意括號內的正負號。

2、若求函數(shù)與x軸的交點坐標，讓y=0，解一元二次方程所得的根就是交點的橫坐標；3、若求函數(shù)的頂點坐標，用配方的方法或者直接套用頂點坐標的公式；

4、若求函數(shù)的最大值或者最小值，也可以用配方的方法或者直接套用最值的公式（同頂點坐標）。5、當需要判定函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸沒有交點時，需判定方程ax2+bx+c=0的Δ0。對Δ的判定方法仍然是用配方的方法。

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二次函數(shù)知識點總結

一、定義與定義表達式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：y=ax2+bx+c（a≠0），則稱y為x的二次函數(shù)。二、二次函數(shù)的三種表達式

一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）頂點式：y=a(x-h)2+k（a≠0），此時拋物線的頂點坐標為P（h，k）

交點式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0）僅用于函數(shù)圖像與x軸有兩個交點時，x1、x2為交點的橫坐標，所以兩交點的坐標分別為A（x1，0）和B（x2，0）），對稱軸所在的直線為x=

注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系：

x1x22bb4ac-b2-bb2-4ach=-，k=；x1,x2=；x1+x2=-2a2a4a2a三、二次函數(shù)的圖像

從圖像可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，屬于軸對稱圖形。四、拋物線的性質

1．拋物線是軸對稱圖形，對稱軸為直線x=-b，對稱軸與拋物線唯一的交點是拋物線的頂點2aP。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）bb4ac-b24ac-b22．拋物線有一個頂點P，坐標為P（-，）。當x=-時，y最值=，當a>02a2a4a4a時，函數(shù)y有最小值；當a5．常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點位置，拋物線與y軸交于點（0，c）。

6．拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交點個數(shù)與方程ax2+bx+c=0的根的判定方法：Δ=b2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點，對應方程有兩個不相同的實數(shù)根；Δ=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點，對應方程有兩個相同的實數(shù)根。Δ=b2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點，對應方程沒有實數(shù)根。五、二次函數(shù)與一元二次方程

特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax2+bx+c（a≠0），當y=0時，二次函數(shù)為關于x的一元二次方程，即ax2+bx+c=0，此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。

函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為方程的根。（參考四-6）六、常用的計算方法：

1、求解析式的時候：

若給定三個普通點的坐標，則設為一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0），分別將三點坐標代入組成三元一次方程組，然后解此方程組求出a、b、c，再代回設的一般式中即可求出解析式；

若給定有頂點坐標或對稱軸、最值，則設為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k（a≠0），再找一點坐標代入即可求出a，再代回設的頂點式即可求出解析式；

若給定有與x軸的交點坐標，則設為交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)（a≠0），再找一點坐標代入即可求出a，再代回設的交點式即可求出解析式。

以上方法特別要注意括號內的正負號。

2、若求函數(shù)與x軸的交點坐標，讓y=0，解一元二次方程所得的根就是交點的橫坐標；3、若求函數(shù)的頂點坐標，用配方的方法或者直接套用頂點坐標的公式；

4、若求函數(shù)的最大值或者最小值，也可以用配方的方法或者直接套用最值的公式（同頂點坐標）。5、當需要判定函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸沒有交點時，需判定方程ax2+bx+c=0的Δ0。對Δ的判定方法仍然是用配方的方法。

一元二次方程

1.一元二次方程：只有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的項的最高系數(shù)為2的方程2.一元二次方程的解法(1）配方法

利用配方，使方程變?yōu)橥耆�平方公式，在用直接開平方法去求出解(2)分解因式法

利用提取公因式和十字相乘法把方程化為幾個乘積的形式去解。(3)公式法

bb24acbb24ac方程的根x1，x2。

2a2a3．韋達定理x1x2bc,x1x2aa24.一元一次方程根的情況（其中△=b4ac）

I當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根；II當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數(shù)根；III當△x210若x3x10，則4的值為＿＿＿＿＿。2xx111211解方程：3(x2)5(x)40

xx12求關于x的方程(k1)x2k1x10的解的個數(shù)。

1213m為何值時，關于x的方程x(2k)xk0的兩根是一個直角三角形的兩個銳角的余弦值。

214關于x的方程x2(k2)x5k0的兩個根都大于2，則k的取值范圍為＿＿＿＿＿。

215關于x的方程x2(k5)x1k0的一根小于0，另一根大于3，則k的取值范圍為＿＿＿＿＿。

16關于x的方程(k2)x22(k1)xk10且k3，求證：方程總有實數(shù)根。17關于x的方程2x2x3m10有兩個實數(shù)根x1、x2且滿足圍。

18已知(x2y2)22(x2y2)15，則x2y2=＿＿＿＿＿。

19直角三角形斜邊長為正整數(shù)，兩直角邊長是方程9x2（3k1)xk0的兩個根，則k的值為＿＿＿＿＿。

20已知m、n為有理數(shù)，并且方程xmx+n0有一根是52，那么m+n的值為＿＿＿＿＿。21如果方程(x1)(x22xm)0的三根可以作為一個三角形的三邊長，則m的取值范圍為＿＿＿＿＿。

22若方程xpx有兩個不相等的根，則實數(shù)p的取值范圍為＿＿＿＿＿。

22x1x21，求m的取值范

x1x242x2a僅有兩個不同的實根，則實數(shù)a的取值范圍為＿＿＿＿＿。23關于x的方程

x124已知x1、x2為方程x2＋3x＋1＝0的兩實根，則x12＋8x2＋20＝__________．

25若n（n0）是關于x的方程xmx2n0的根，則m+n的值為____________．26設x1、x2是一元二次方程x2+4x－3=0的兩個根，2x1(x22+5x2－3)+a=2，則a=．

27若關于x的一元二次方程x22(2k)xk2120有實數(shù)根、．(1)求實數(shù)k的取值范圍；(2)設t2k，求t的最小值

2228實數(shù)a、b滿足條件a7a20，b7b20，則

2ab的值為____________。ba29若一個三角形的三邊都是方程x12x320的解，則此三角形的面積為____________。30方程x(x1)(x2)x的解為____________。31若x2x2(x4x3)，則x____________。

2232已知m,n是方程x2x10的兩根，且(7m14ma)(3n6n7)8，則a的值等于____________。

2220

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