高考積分,導數知識點精華總結[1]

定積分

一、知識點與方法：1、定積分的概念

設函數f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，用分點ax0x1…xi1xi…xnb把區(qū)間[a,b]等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間[xi1,xi]上取任一點i(i1,2,…,n)作和式

nIni1，把n即x0時，和式In的極限叫做函f(i)x（其中x為小區(qū)間長度）

bbn數f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作：f(x)dx，即f(x)dx＝limaani1f(i)x。

這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間[a,b]叫做積分區(qū)間，函數f(x)叫做被積函數，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式。

(1)定積分的幾何意義：當函數f(x)在區(qū)間[a,b]上恒為正時，定積分f(x)dx的幾何意

ab義是以曲線yf(x)為曲邊的曲邊梯形的面積。(2)定積分的性質①

akf(x)dxbkf(x)dxab（k；

為常數）；②

abf(x)g(x)dxbcabf(x)dxbag(x)dxb③f(x)dxaaf(x)dxcf(x)dx（其中acb)。

2、微積分基本定理

如果yf(x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數，并且F(x)f(x)，那么:

baf(x)dxF(x)|aF(b)F(a)

b3、定積分的簡單應用

(1)定積分在幾何中的應用：求曲邊梯形的面積由三條直線

xa,xb(ab)，x軸及一條曲線yf(x)(f(x)0)圍成的

曲邊梯的面積Sbaf(x)dx。

如果圖形由曲線y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨設f1(x)≥f2(x)≥0），及直線x＝a，x＝b（a

二、練習題

1、計算下列定積分：(1)(x1e1x1x0)dx(2)2(sinx2cosx)dx(3)(2sinx3e2)dx203x(4)(4xx2)dx(5)|2x|dx

0122、求下列曲線所圍成圖形的面積：

（1）曲線y2xx2,y2x24x；（2）曲線yex,yex,x1。

3、2(sinxcosx)dx的值是：

2A.4B.2C.

4D.0

4、曲線y2x,yx2所圍成圖形的面積是：A.1B.

23C.

12D.

13

5、已知自由下落物體的速度為vgt，則物體從t0到t1所走過的路程是：A.

13gB.gC.

1112gD.

14g

6、已知f(x)3x22x1，且7、已知f(a)f(x)dx2f(a)，則a

10(2axax)dx，求f(a)的最大值。

1228、已知f(x)為二次函數，且f(1)2,f(0)0,f(x)dx2，求：

0(1)f(x)的解析式；(2)f(x)在[1,1]上的最大值與最小值。

導數

1.導數（導函數的簡稱）的定義：設x0是函數yf(x)定義域的一點，如果自變

量x在x0處有增量x，則函數值y也引起相應的增量yyxf(x0x)f(x0)xyxlimx0f(x0x)f(x0)；比值

稱為函數yf(x)在點x0到x0x之間的平均變化率；如果極

f(x)在點x0f(x0)"限

limx0f(x0x)f(x0)x存在，則稱函數y處可導，并把這個或

y|xx"0極限叫做

f(x0)=lim"yf(x)在

x0處的導數，記作

.

，即

yxlimx0f(x0x)f(x0)xx0注：①x是增量，我們也稱為“改變量”，因為x可正，可負，但不為零(趨向0).②已知函數y2.函數y⑴函數yf(x)定義域為A，yf(x)"的定義域為B，則A與B關系為AB.

f(x)在點x0f(x)在點x0處連續(xù)與點x0處可導的關系：

f(x)在點x0處連續(xù)是y處可導的必要不充分條件.

f(x)點x0可以證明，如果y事實上，令xx0于是

xx0f(x)在點x0處可導，那么y.

處連續(xù).

x，則xx0相當于x0limf(x)limf(x0x)lim[f(xx0)f(x0)f(x0)]

x0x0lim[x0f(x0x)f(x0)xxf(x0)]limf(x0x)f(x0)xlimlimx0x0x0f(x0)f(x0)0f(x0)f(x0)."⑵如果yf(x)點x0處連續(xù)，那么y0f(x)在點x00處可導，是不成立的.

yx|x|x例：f(x)|x|在點x00時，

yx1；當x處連續(xù)，但在點x0yx處不可導，因為不存在.

，當x＞

＜0時，1，故limx0yx注：①可導的奇函數函數其導函數為偶函數.

②可導的偶函數函數其導函數為奇函數.3.導數的幾何意義：函數yf(x)在點x0處的導數的幾何意義就是曲線yf(x)在點

f(x)在點(x0,f(x))處的切線

的斜率，也就是說，曲線y方程為yy0

f(x)(xx0).

"P(x0,f(x))處的切線的斜率是f"(x0)，切線

4.求導數的四則運算法則：

(uv)uvyf1(x)f2(x)...fn(x)yf1(x)f2(x)...fn(x)"""""""

(uv)vuvu(cv)cvcvcvuv""""""""（c為常數）

vu"vuv2"(v0)

注：①u,v必須是可導函數.

②若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導.例如：設和

f(x)2sinx2x，g(x)cosx2x，則f(x),g(x)在x0處均不可導，但它們

f(x)g(x)

sinxcosx在x0處均可導.

fx((x))f(u)(x)"""5.復合函數的求導法則：或y"xy"uu"x

復合函數的求導法則可推廣到多個中間變量的情形.6.函數單調性：

⑴函數單調性的判定方法：設函數yyf(x)為增函數；如果f(x)"f(x)在某個區(qū)間內可導，如果f(x)"＞0，則

＜0，則yf(x)為減函數.

⑵常數的判定方法；如果函數y注：①

f(x)在區(qū)間I內恒有

f(x)"=0，則yf(x)為常數.

f(x)0是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如y2x3在(,)上

，有一個點例外即x=0時f（x）=0，同樣f(x)0是f（x）

并不是都有

f(x)0遞減的充分非必要條件.

②一般地，如果f（x）在某區(qū)間內有限個點處為零，在其余各點均為正（或負），那么f（x）在該區(qū)間上仍舊是單調增加（或單調減少）的.

7.極值的判別方法：（極值是在x0附近所有的點，都有函數

f(x)的極大值，極小值同理）f(x)在點x0f(x)＜

f(x0)，則f(x0)是

當函數處連續(xù)時，

f(x)"①如果在x0附近的左側

＞0，右側

f(x)"＜0，那么

f(x0)是極大值；

②如果在x0附近的左側

f(x)"＜0，右側

f(x)"＞0，那么

f(x0)是極小值.

也就是說x0是極值點的充分條件是x0點兩側導數異號，而不是f"(x)=0①.此外，函數不可導的點也可能是函數的極值點②.當然，極值是一個局部概念，極值點的大小關系是不確定的，即有可能極大值比極小值�。ê瘮翟谀骋稽c附近的點不同）.

注①：若點x0是可導函數

f(x)的極值點，則

f(x)"=0.但反過來不一定成立.對

于可導函數，其一點x0是極值點的必要條件是若函數在該點可導，則導數值為零.例如：函數yf(x)x3，x0使

f(x)"=0，但x0不是極值點.

是函數的極小值點.

②例如：函數yf(x)|x|，在點x0處不可導，但點x08.極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對函數值進行比較，最值是在整體區(qū)間上對函數值進行比較.

注：函數的極值點一定有意義.9.幾種常見的函數導數：I.C"n0"n)cosx（C為常數）(six(arcsxi)n"11x2

(x)nx""n1（

11x2nR）(cosx)sinx

"(arccxo)s

1xx"2II.

(e(lnx)"1x

x(loagx)"1xlogae

(arctxa)n"1x

x)e""

1x2(a)alna

(arcotx)1

III.求導的常見方法：①常用結論：(ln②形如

|x|)"1x.

(xa1)(xa2)...(xan)(xb1)(xb2)...(xbn)y(xa1)(xa2)...(xan)或y兩邊同取自然對數，可

轉化求代數和形式.③無理函數或形如y對兩邊求導可得

xx這類函數，如yxx取自然對數之后可變形為lnyxlnx，

擴展閱讀：高考積分_導數知識點精華總結

1.定積分

一、知識點與方法：1、定積分的概念

設函數f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，用分點ax0x1…xi1xi…xnb把區(qū)間[a,b]等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間[xi1,xi]上取任一點

n，把n即i(i1,2…,n,作和式Inf(i)x（其中x為小區(qū)間長度）

x0a時，和式In的極限叫做函數f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作：

nbbf(x)dx，即f(x)dx＝limf(i)x。

ai1這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間[a,b]叫做積分區(qū)間，函數

f(x)叫做被積函數，x叫做積分變量，f(x)dxni1叫做被積式。

ba(1)定積分的幾何意義：當函數f(x)在區(qū)間[a,b]上恒為正時，定積分f(x)dx的幾何意義是以曲線yf(x)為曲邊的曲邊梯形的面積。(2)定積分的性質①

abkf(x)dxkf(x)dxab（k；

為常數）；②

abf(x)g(x)dxbcabf(x)dxbag(x)dxb③f(x)dxaaf(x)dxcf(x)dx（其中acb)。

2、微積分基本定理

如果yf(x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數，并且F(x)f(x)，那么:

baf(x)dxF(x)|aF(b)F(a)

b3、定積分的簡單應用

(1)定積分在幾何中的應用：求曲邊梯形的面積由三條直線xa,xb(ab)，x軸及一條曲線yf(x)(f(x)0)圍成的曲邊梯的面積Sbaf(x)dx。

如果圖形由曲線y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨設f1(x)≥f2(x)≥0），及直線x＝a，x＝b（a

二、練習題

1、計算下列定積分：(1)(x1e1x1x20)dx2(2)2(sinx2cosx)dx(3)(2sinx3ex2)dx

03(4)(4xx)dx(5)|2x|dx

0122、求下列曲線所圍成圖形的面積：

（1）曲線y2xx2,y2x24x；（2）曲線yex,yex,x1。

3、2(sinxcosx)dx的值是：

2A.4B.2C.

4D.0

4、曲線y2x,yx2所圍成圖形的面積是：A.1B.

23C.

12D.

315、已知自由下落物體的速度為vgt，則物體從t0到t1所走過的路程是：A.gB.gC.gD.g

3241116、已知f(x)3x22x1，且f(x)dx2f(a)，則a

117、已知f(a)10(2axax)dx，求f(a)的最大值。

1228、已知f(x)為二次函數，且f(1)2,f(0)0,f(x)dx2，求：

0(1)f(x)的解析式；(2)f(x)在[1,1]上的最大值與最小值。

導數

1.導數（導函數的簡稱）的定義：設x0是函數yf(x)定義域的一點，如果自變

量x在x0處有增量x，則函數值y也引起相應的增量yyxf(x0x)f(x0)xyxlimx0f(x0x)f(x0)；比值

稱為函數yf(x)在點x0到x0x之間的平均變化率；如果極

f(x)在點x0f(x0)"限

limx0f(x0x)f(x0)x存在，則稱函數y處可導，并把這個或

y|xx"0極限叫做

f(x0)"yf(x)在

x0處的導數，記作

.

，即

=

limx0yxlimx0f(x0x)f(x0)x注：①x是增量，我們也稱為“改變量”，因為x可正，可負，但不為零(趨向

0).

②已知函數y2.函數y⑴函數yf(x)定義域為A，yf(x)"的定義域為B，則A與B關系為AB.

f(x)在點x0處連續(xù)與點x0處可導的關系：

f(x)在點x0f(x)在點x0處連續(xù)是y處可導的必要不充分條件.

f(x)點x0可以證明，如果y事實上，令x于是

xx0f(x)在點x0處可導，那么y.

處連續(xù).

x0x，則xx0相當于x0limf(x)limf(x0x)lim[f(xx0)f(x0)f(x0)]

x0x0lim[x0f(x0x)f(x0)xxf(x0)]limf(x0x)f(x0)xlimlimx0x0x0f(x0)f(x0)0f(x0)f(x0)."⑵如果yf(x)點x0處連續(xù)，那么y0f(x)在點x00處可導，是不成立的.

yx|x|x例：f(x)|x|在點x00時，

yx1；當x處連續(xù)，但在點x0yx處不可導，因為不存在.

，當x＞

＜0時，1，故limx0yx注：①可導的奇函數函數其導函數為偶函數.②可導的偶函數函數其導函數為奇函數.3.導數的幾何意義：函數yf(x)在點x0處的導數的幾何意義就是曲線yf(x)在點

f(x)在點(x0,f(x))處的切線

的斜率，也就是說，曲線y方程為yy0f(x)(xx0).

"P(x0,f(x))處的切線的斜率是f"(x0)，切線

4.求導數的四則運算法則：

(uv)uvyf1(x)f2(x)...fn(x)yf1(x)f2(x)...fn(x)"""""""

(uv)vuvu(cv)cvcvcvuv""""""""（c為常數）

vu"vuv2"(v0)

注：①u,v必須是可導函數.

②若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導.例如：設和

f(x)2sinx2x，g(x)cosx2x，則f(x),g(x)在x0處均不可導，但它們

f(x)g(x)

sinxcosx在x0處均可導.

fx((x))f(u)(x)"""5.復合函數的求導法則：或y"xy"uu"x

復合函數的求導法則可推廣到多個中間變量的情形.6.函數單調性：

⑴函數單調性的判定方法：設函數yyf(x)為增函數；如果f(x)"f(x)在某個區(qū)間內可導，如果f(x)"＞0，則

＜0，則yf(x)為減函數.

⑵常數的判定方法；如果函數y注：①

f(x)在區(qū)間I內恒有

f(x)"=0，則yf(x)為常數.

f(x)0是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如y2x3在(,)上

，有一個點例外即x=0時f（x）=0，同樣f(x)0是f（x）

并不是都有

f(x)0遞減的充分非必要條件.

②一般地，如果f（x）在某區(qū)間內有限個點處為零，在其余各點均為正（或負），那么f（x）在該區(qū)間上仍舊是單調增加（或單調減少）的.

7.極值的判別方法：（極值是在x0附近所有的點，都有函數

f(x)的極大值，極小值同理）f(x)在點x0f(x)＜f(x0)，則f(x0)是

當函數處連續(xù)時，

f(x)""①如果在x0附近的左側②如果在x0附近的左側

＞0，右側＜0，右側

f(x)""＜0，那么＞0，那么

f(x0)是極大值；f(x0)是極小值.

f(x)f(x)也就是說x0是極值點的充分條件是x0點兩側導數異號，而不是f"(x)=0①.此

外，函數不可導的點也可能是函數的極值點②.當然，極值是一個局部概念，極值點的大小關系是不確定的，即有可能極大值比極小值�。ê瘮翟谀骋稽c附近的點不同）.

注①：若點x0是可導函數

f(x)的極值點，則f(x)"=0.但反過來不一定成立.對

于可導函數，其一點x0是極值點的必要條件是若函數在該點可導，則導數值為零.例如：函數yf(x)x3，x0使

f(x)"=0，但x0不是極值點.

是函數的極小值點.

②例如：函數yf(x)|x|，在點x0處不可導，但點x08.極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對函數值進行比較，最值是在整體區(qū)間上對函數值進行比較.

注：函數的極值點一定有意義.9.幾種常見的函數導數：I.C"n0（C"為常數）(sinx)cosx(arcsinx)"11x2

(x)nx""n1（

11x2nR"）(cosx)sinx

(arccosx)

1x2II.(ln(ex"x)"1xx(logax)"1xlogae(arctanx)"1

)e"x"x(a)alna

(arccotx)x121

III.求導的常見方法：①常用結論：(ln②形如

|x|)"1x.

(xa1)(xa2)...(xan)(xb1)(xb2)...(xbn)y(xa1)(xa2)...(xan)或y兩邊同取自然對數，可

轉化求代數和形式.③無理函數或形如y對兩邊求導可得

xx這類函數，如yxx取自然對數之后可變形為lnyxlnx，

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