高中數(shù)學(xué)公式總結(jié)(文)

高中數(shù)學(xué)常用公式及結(jié)論考前過目（文）

1.元素與集合的關(guān)系xAxCUA,xCUAxA.2.包含關(guān)系A(chǔ)BAABBABCUBCUA

3．集合{a1,a2,,an}的子集共有2個；真子集有21個；非空子集有21個.

4.二次函數(shù)解析式的三種形式：(1)一般式f(x)2axnnnbx(;(2)c0a)頂點(diǎn)式

f(x)a(x2h);(3)f(x)a(xx1)(xx2)(a0).k(a0零點(diǎn)式)5.二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)在閉區(qū)間p,q上的最值只能在xb處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得。2a6.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)

(1)在給定區(qū)間(,)的子區(qū)間L（形如,，,，,不同）上含參數(shù)的二次不等式

f(x,t)0(t為參數(shù))恒成立的充要條件是f(x,t)min0(xL).

(2)在給定區(qū)間(,)的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式f(x,t)0(t為參數(shù))恒成立的充要條件是

.f(x,t)man0(xL)7.真值表ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假8.常見結(jié)論的否定形式原結(jié)論反設(shè)詞是不是都是不都是大于不大于小于不小于對所有x，成立存在某x，不成立對任何x，不成立

9.四種命題的相互關(guān)系

原命題互逆逆命題若ｐ則ｑ若ｑ則ｐ互互互為為互否否逆逆（互為逆否的兩命題真值相同）否否否命題逆否命題若非ｐ則非ｑ互逆若非ｑ則非ｐ10.充要條件

（1）充分條件：若pq，則p是q充分條件.（2）必要條件：若qp，則p是q必要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.11.函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)yf(x)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f(x)0，則f(x)為增函數(shù)；如果f(x)0，則f(x)為減函數(shù).12．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;13.若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa).

14.對于函數(shù)yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,則函數(shù)f(x)的對稱軸是函數(shù)x存在某x，成立原結(jié)論至少有一個至多有一個至少有n個至多有n個p或q反設(shè)詞一個也沒有至少有兩個至多有（n1）個至少有（n1）個p且qp且qp或qab;2第1頁

15.若f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對稱;若f(x)f(xa),則函數(shù)

a2yf(x)為周期為2a的周期函數(shù).

16．多項(xiàng)式函數(shù)P(x)anxnan1xn1a0的奇偶性

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)P(x)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)P(x)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.

17.函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對稱f(ax)f(ax)f(2ax)f(x).18.(1)函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x0(即y軸)對稱.

(3)函數(shù)yf(x)和其反函數(shù)yf1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.

19.若將函數(shù)yf(x)的圖象右移a、上移b個單位，得到函數(shù)yf(xa)b的圖象.20.（1）f(x)f(xa)，則f(x)的周期T=a；（2）f(xa)則f(x)的周期T=2a；

11或f(xa)(f(x)0)，(f()x0)f(x)f(x),

am22.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式logaNbabN(a0,a1,N0).

23．對數(shù)的四則運(yùn)算法則：若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則(1)loga(MN)logaMlogaN;(2)MlogmNlogalogaMlogaN;(3)logaMnnlogaM(nR).（4）logaN

Nlogma24．等差數(shù)列與等比數(shù)列公式及性質(zhì)：等差數(shù)列等比數(shù)列公式定義an1and（定義式）通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和公式21.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)amn1n（a0,m,nN，且n1）.

anqan1作用：這是證明一個數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列的“唯一”方法（呵呵，我怎么敢這么說）！ana1(n1)d（d=0為常數(shù)列，d0為“n”的一次函數(shù)）ana1qn1(aan)nn(n1)dsn1na122（關(guān)于“n”的二次式，常數(shù)項(xiàng)為0）a1(1qn)sn,(q1)1q（“q”的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù)）n性質(zhì)①②2ana1a2n1a2a2n2（等差中項(xiàng)）ana1a2n1a2a2n2m,n,p,qN*amanapaqmnpq“中項(xiàng)”是靈活的核心！2m,n,p,qN*amanapaqmnpqs2n1(2n1)ansn,s2nsn,s3ns2n成等差數(shù)列③④25．幾個求通項(xiàng)公式的方法、幾個求和方法：①已知“sn”求“an”的方法：a1s1單獨(dú)求，n2時ansnsn1，然后再來個“綜上”。（注：式子；ansnsn1其實(shí)常用來實(shí)現(xiàn)“sn”與“an”的互相轉(zhuǎn)化，即留下“an”把“sn”消掉或反之）

第2頁

②已知“anan1f(n)”求“an”：累加a1a1,a2a1f(1),a3a2f(2),，anan1f(n)；③已知“anan1f(n)”求“an”：疊乘；

④已知“anAan1B”求“an”：構(gòu)造等比數(shù)列anx；（其中x由假設(shè)anxA(an1x)與原式比較得到，可推出xB�。〢1⑤裂項(xiàng)相消求前n項(xiàng)和：用于數(shù)列1，其中涉及的數(shù)列an是公差為d的的求和（這兩年考試k=1）

aann1等差數(shù)列；方法：

1111()。

anan1danan1⑥錯位相減求前n項(xiàng)和：用于數(shù)列anbn的求和，其中涉及的數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列bn是公比為q的等比數(shù)列；方法：sa1b1a2b2a3b3anbn

與（上式兩邊同乘以q得）qsa1b2a2b3an1bnanbn1兩式相減（注意錯位對齊）。26．三角公式：

誘導(dǎo)公式：sinsinsin(k)cos2cos“奇變偶不變，符號看向限”輔助角公式：例：sinx3cosx2sin(xsinxcosxsin()sincoscossincos()coscoscoscos二倍角公式：sin22sincoscos2cos2sin2tantantan()1tantan12sin22cos12“降冪”公式：（就是二倍角公式逆用）3)sin2x)427．三角函數(shù)yAsin(x),A0,0的性質(zhì)定義域：R；值域：奇偶性2sin(x1(1cos2x)21cos2x(1cos2x)2A,A的整數(shù)倍2一般沒有，除非是周期性由2kT=2增區(qū)間減區(qū)間23x2k由2k22由sin(x)2x2k解得解得對稱軸1解得0解得第3頁

對稱中心由sin(x)

28.函數(shù)ytan(x)，(ω＞0)的周期T29.正弦定理

.abc1112R.面積定理SabsinCbcsinAcasinBsinAsinBsinC22222222222230.余弦定理abc2bccosA;bca2cacosB;cab2abcosC.31.在△ABC中，有ABCC(AB)

32.平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．33．向量平行的坐標(biāo)表示：設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，則a//bb=ax1y2x2y10.34.a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)：ab=|a||b|cosθ=x1x2y1y2．35.b在a的方向上的投影|b|cosθ．

36.設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2),則ABOBOA(x2x1,y2y1).

2237.平面兩點(diǎn)間的距離公式dA,B=|AB|ABAB(x2x1)(y2y1)；

38.向量的垂直:ab(a0)ab=0x1x2y1y20.

39.O為ABC的重心OAOBOC0.

2240.常用不等式：（1）a,bRab2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取“=”號)．

abab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取“=”號)．（2）a,bR2yy141.斜率公式k2，（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.

x2x142.直線的五種方程

（1）點(diǎn)斜式y(tǒng)y1k(xx1)(直線l過點(diǎn)P1(x1,y1)，且斜率為k)．（2）斜截式y(tǒng)kxb(b為直線l在y軸上的截距).

xy1(a、b分別為直線的橫、縱截距，a、b0)ab（5）一般式AxByC0(其中A、B不同時為0).

(4)截距式

43.兩條直線的平行和垂直

(1)若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2則①l1||l2k1k2,b1b2;②l1l2k1k21.(2)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,且A1、A2、B1、B2都不為零,

A1B1C1；②

l1l2A1A2B1B20；A2B2C2|Ax0By0C|44.點(diǎn)到直線的距離d(點(diǎn)P(x0,y0),直線l：AxByC0).

22AB222222245.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)(yb)r.一般方程xyDxEyF0(DE4F＞0).

則①l1||l2x2y2n46.雙曲線221的漸近線方程：yx.

mmnykxb2247.直線與圓錐曲線相交，由方程，弦長公式AB(1k)[(x1x2)4x1x2]

F(x,y)0a//ba,b//48．立體幾何常用定理:①線面平行ba//；面面平行:abO//；；④線a//；③

aaa//,b//a,baa線垂直:；⑤線面垂直:；；；⑥面面垂直：ababOlabla,lb；

第4頁

49.球的半徑是R，則其體積V4R3,其表面積S4R2．350.(1)球與長方體的組合體:長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.(2)球與正四面體的組合體:棱長為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑為51．V柱體66a,外接球的半徑為a.12411Sh（S是柱體的底面積、h是柱體的高）.V錐體Sh（S是錐體的底面積、h是錐體的高）.33m52.等可能性事件的概率P(A).

n22253.方差Dx1Ep1x2Ep2xnEpn；標(biāo)準(zhǔn)差=D.

f(x0x)f(x0)ylim.xx0x0xx0xyf(xx)f(x)lim55.f(x)在xa的導(dǎo)數(shù)f(a)lim.

x0xx0x56.函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)是曲線yf(x)在P(x0,f(x0))處的切線的斜率f(x0)，相應(yīng)的切線方程是yy0f(x0)(xx0).

54.f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)（或變化率或微商）f(x0)ylim57.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(1)C0（C為常數(shù)）.(2)(xn)"nxn1(nQ).(3)(sinx)cosx.(4)(cosx)sinx.(5)(lnx)11exxxxx；(loga)loga.(6)(e)e;(a)alna.xx""""""58.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

u"u"vuv"(v0).（1）(uv)uv.（2）(uv)uvuv.（3）()vv259.判別f(x0)是極大（�。┲档姆椒�

（1）如果在x0附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，則f(x0)是極大值；（2）如果在x0附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，則f(x0)是極小值.60.復(fù)數(shù)的相等abicdiac,bd.（a,b,c,dR）

61.復(fù)數(shù)zabi的模（或絕對值）|z|=|abi|=a2b2.62．總體．個體．樣本．樣本容量；抽樣方法:①簡單隨機(jī)抽樣②分層抽樣(用于個體有明顯差異時，“按比例抽取”)．③系統(tǒng)抽樣；④共同點(diǎn)：每個個體被抽到的概率都相等。

63．線性規(guī)劃：畫圖；找到表達(dá)式（幾何意義：截距或斜率或距離？）取得最值的點(diǎn)。64．程序框圖：前三圈后三圈親自轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)。

出門裝備：回2戒指、樹枝（1）、遠(yuǎn)古祭祀（2）。早期1裝備：回復(fù)頭巾、虛無寶石（優(yōu)先）、藝人面罩、法師長袍、樹枝（1）、鞋；早期2裝備：梅肯（優(yōu)先）、空明杖、虛無寶石、鞋；中期1裝備：梅肯、振魂石、空明杖、虛無寶石、鞋；中期2裝備：梅肯、A杖、空明杖、虛無寶石、鞋；中期3裝備：跳刀、A杖、梅肯、空明杖、鞋、虛無寶石；后期1裝備：跳刀、A杖、梅肯、堅(jiān)韌球、鞋、空明杖；后斯2裝備：跳刀、A杖、梅肯、刷新球、鞋；后期3裝備：跳刀、A杖、梅肯、飛鞋、不死盾（優(yōu)先）。

第5頁

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高中數(shù)學(xué)公式結(jié)論大全

1.,.

2..

3.

4.集合

個.

的子集個數(shù)共有個；真子集有個；非空子集有個；非空的真子集有

5.二次函數(shù)的解析式的三種形式(1)一般式

;

(2)頂點(diǎn)式;當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)時，設(shè)為此式

(3)零點(diǎn)式；當(dāng)已知拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為時，設(shè)為此式

4切線式：設(shè)為此式6.解連不等式

。當(dāng)已知拋物線與直線相切且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時，

常有以下轉(zhuǎn)化形式

.

7.方程在內(nèi)有且只有一個實(shí)根,等價于或。

8.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值

二次函數(shù)具體如下：

在閉區(qū)間上的最值只能在處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得，(1)當(dāng)a>0時，若，則；

，，.

(2)當(dāng)a(3)在給定區(qū)間

。

的子區(qū)間上含參數(shù)的不等式(為參數(shù))的有解充要條件是

(4)在給定區(qū)間

。

的子區(qū)間上含參數(shù)的不等式(為參數(shù))有解的充要條件是

對于參數(shù)及函數(shù)若若函數(shù)11.真值表ｐ真真假假

12.常見結(jié)論的否定形式原結(jié)論是都是大于小于對所有，成立對任何，不成立反設(shè)詞不是不都是不大于不小于ｑ真假真假非ｐ假假真真ｐ或ｑ真真真假有解，則

.若；若

恒成立，則有解，則

；若

；若恒成立，則有解，則

；.

無最大值或最小值的情況，可以仿此推出相應(yīng)結(jié)論

ｐ且ｑ

真假假假

原結(jié)論反設(shè)詞至少有一個一個也沒有至多有一個至少有兩個至少有個至多有個至多有個或且至少有且或個存在某，不成立存在某，成立13.四種命題的相互關(guān)系(右圖):14.充要條件記表示條件，表示結(jié)論

1充分條件：若，則是充分條件.

2必要條件：若，則是必要條件.

3充要條件：若，且，則是充要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.15.函數(shù)的單調(diào)性的等價關(guān)系(1)設(shè)

那么

上是增函數(shù)；

上是減函數(shù).

(2)設(shè)函數(shù)函數(shù).16.如果函數(shù)

和

在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減

和都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)也是減函數(shù);如果函數(shù)

和和和

是減函數(shù).

都是增函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)在其對應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)在其對應(yīng)的定義域上都是增函數(shù),則復(fù)合函數(shù)

也是增函數(shù);如果函數(shù)是增函數(shù)；如果函數(shù)是增函數(shù)；如果函數(shù)

在其對應(yīng)的定義域上一個是減函數(shù)而另一個是增函數(shù),則復(fù)合函數(shù)

17．奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù)．18.常見函數(shù)的圖像：

19.對于函數(shù)(),恒成立,則函數(shù)的對稱軸是;兩個函數(shù)

與的圖象關(guān)于直線對稱.

20.若,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱;

若,則函數(shù)為周期為的周期函數(shù).

21．多項(xiàng)式函數(shù)的奇偶性

多項(xiàng)式函數(shù)是奇函數(shù)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.

多項(xiàng)式函數(shù)是偶函數(shù)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.

22.函數(shù)的圖象的對稱性

(1)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.

(2)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱

.

23.兩個函數(shù)圖象的對稱性(1)函數(shù)

與函數(shù)

的圖象關(guān)于直線

(即軸)對稱.

(2)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.(3)函數(shù)和的圖象關(guān)于直線y=x對稱.

24.若將函數(shù)的圖象右移、上移個單位，得到函數(shù)的圖象；若將曲線

的圖象.

的圖象右移、上移個單位，得到曲線

25.幾個常見的函數(shù)方程(1)正比例函數(shù)

.

(2)指數(shù)函數(shù).

(3)對數(shù)函數(shù).

(4)冪函數(shù).

(5)余弦函數(shù),正弦函數(shù)，，

.

26.幾個函數(shù)方程的周期(約定a>0)1

，則

的周期T=a；

2，或,則的周期T=2a；

(3)，則的周期T=3a；

(4)

27.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

且，則的周期T=4a；

(1)，且.(2)

28.根式的性質(zhì)1

.

，且.

2當(dāng)為奇數(shù)時，；

當(dāng)為偶數(shù)時，

29．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)

..

(2).

(3).

p

注：若a＞0，p是一個無理數(shù)，則a表示一個確定的實(shí)數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用.

30.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式:

.

31.對數(shù)的換底公式:(,且,,且,).

對數(shù)恒等式：(,且,).

推論(,且,).

32．對數(shù)的四則運(yùn)算法則:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則

(1);(2);(3);(4)。

33.設(shè)函數(shù)

的值域?yàn)?則

，且

。

,記.若的定義域?yàn)?則且;若

34.對數(shù)換底不等式及其推廣：設(shè)，，，且，則

1.2.

35.平均增長率的問題負(fù)增長時

如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為，則對于時間的總產(chǎn)值，有.

36.數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系：

).

(數(shù)列的前n項(xiàng)的和為

37.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：；

其前n項(xiàng)和公式為：.

38.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：；

其前n項(xiàng)的和公式為39.等比差數(shù)列

:或

的通項(xiàng)公式為

.

；其前n項(xiàng)和公式為：.

40.分期付款(按揭貸款)：每次還款41．常見三角不等式

元(貸款元,次還清,每期利率為).

1若，則.

(2)若，則.

(3).

42.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：，=，.

43.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式奇變偶不變，符號看象限

，

44.和角與差角公式

;;.

(平方正弦公式);

.

=(輔助角所在象限由點(diǎn)的象限決定,).45.二倍角公式及降冪公式

...

46.三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)，x∈R及函數(shù)，x∈R(A,ω,為常數(shù)，且A≠0)的周期；函數(shù)

，

三角函數(shù)的圖像：

(A,ω,為常數(shù)，且A≠0)的周期.

五點(diǎn)法作圖列表：

0π/2π3π/22π47.正弦定理：R為外接圓的半徑.

48.余弦定理

;

53.面積定理

;.

1分別表示a、b、c邊上的高.

2.3.

49.三角形內(nèi)角和定理在△ABC中，有

.

50.簡單的三角方程的通解

...

特別地,有

.

..

51.最簡單的三角不等式及其解集

......

52.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律:設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，那么(1)結(jié)合律：λ(μ

)=(λμ);

(2)第一分配律：(λ+μ)=λ+μ;

(3)第二分配律：λ(+)=λ53.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：(1)=交換律;

+λ.

(2)===;

(3)+=+.54.平面向量基本定理如果、是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1、λ2，使得=λ

1

+λ

2．

不共線的向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．

三點(diǎn)A、B、C共線的充要條件：55．向量平行的坐標(biāo)表示設(shè)=

,=

，且

，則

(

(M為任意點(diǎn))

).

56.與的數(shù)量積(或內(nèi)積)：=||||。

57.的幾何意義：

數(shù)量積等于的長度||與在的方向上的投影||的乘積．

向量在向量上的投影：||58.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè)=

,=

＝．

，則+=.

(2)設(shè)=,=，則-=.

(3)設(shè)A，B,則.

(4)設(shè)=，則=.

(5)設(shè)=,=，則=.

59.兩向量的夾角公式

(=,=).60.平面兩點(diǎn)間的距離公式

=(A，B).

61.向量的平行與垂直：設(shè)=,=，且，則

||=λ.

()=0.

62.線段的定比分公式：設(shè)，，是線段的分點(diǎn),是實(shí)數(shù)，且，

則

63.三角形的重心坐標(biāo)公式△ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

、、.

,則△ABC的重心的坐標(biāo)是

.

64.點(diǎn)的平移公式

.

注:圖形F上的任意一點(diǎn)P(x，y)在平移后圖形65.“按向量平移”的幾個結(jié)論1點(diǎn)

按向量=

平移后得到點(diǎn)

上的對應(yīng)點(diǎn)為，且的坐標(biāo)為.

.

(2)函數(shù)的圖象按向量=平移后得到圖象,則的函數(shù)解析式為.

(3)圖象按向量=.

平移后得到圖象,若的解析式,則的函數(shù)解析式為(4)曲線:按向量=平移后得到圖象,則的方程為.

(5)向量=按向量=平移后得到的向量仍然為=.

66.三角形五“心”向量形式的充要條件設(shè)

為

所在平面上一點(diǎn)，角

所對邊長分別為

，則

1為的外心.

2為的重心.

3為的垂心.

4為的內(nèi)心.

5為的的旁心.

67.常用不等式：1

(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取“=”號)．

2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取“=”號)．

345.6

68.最值定理:已知

(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取“=”號)。

都是正數(shù)，則有1若積是定值，則當(dāng)時和有最小值；

2若和是定值，則當(dāng)時積有最大值.

3已知，若則有

。

4已知，若則有

69.一元二次不等式在兩根之外；如果與

，如果與同號，則其解集

異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.

；.

70.含有絕對值的不等式：當(dāng)a>0時，有

.或

71.無理不等式

.

1.2.

3

72.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式(1)當(dāng)

時,

.;

(2)當(dāng)

時,

.;

73.斜率公式

、

74.直線的五種方程1點(diǎn)斜式

.

(直線過點(diǎn)，且斜率為)．

2斜截式(b為直線在y軸上的截距).

3兩點(diǎn)式()(、()).

兩點(diǎn)式的推廣：無任何限制條件！

(4)截距式(分別為直線的橫、縱截距，)5一般式(其中A、B不同時為0).

直線的法向量：，方向向量：

75.兩條直線的平行和垂直(1)若

，①;

②.

(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不為零,

①；②；

,,，

此時直線

76．四種常用直線系方程及直線系與給定的線段相交：(1)定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過定點(diǎn)的系數(shù);經(jīng)過定點(diǎn)

的直線系方程為

,其中

(除直線

),其中是待定

的直線系方程為是待定的系數(shù)．

(2)共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過兩直線,

(除)，其中λ是待定的系數(shù)．

的交點(diǎn)的直線系方程為

(3)平行直線系方程：直線

平行的直線系方程是

中當(dāng)斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程．與直線

(

)，λ是參變量．

(4)垂直直線系方程：與直線變量．(5)直線系

與線段

(A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是,λ是參

相交。77.點(diǎn)到直線的距離：(點(diǎn),直線：).

78.或所表示的平面區(qū)域

設(shè)直線，則或所表示的平面區(qū)域是：

若，當(dāng)與同號時，表示直線的上方的區(qū)域；當(dāng)與異號時，表示直線的

下方的區(qū)域.簡言之,同號在上,異號在下.若

，當(dāng)與

同號時，表示直線的右方的區(qū)域；當(dāng)

與

異號時，表示直線的

左方的區(qū)域.簡言之,同號在右,異號在左。79.

或

所表示的平面區(qū)域

或所表示的平面區(qū)域是兩直線和所

成的對頂角區(qū)域上下或左右兩部分。80.圓的四種方程1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

.

2圓的一般方程(＞0).

3圓的參數(shù)方程.

4圓的直徑式方程81.圓系方程(1)過點(diǎn)

,

的圓系方程是

(圓的直徑的端點(diǎn)是、).

,其中

系數(shù)．

是直線的方程,λ是待定的(2)過直線:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程是

,λ是待定的系數(shù)．

(3)過圓:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程是

,λ是待定的系數(shù)．

特別地，當(dāng)時，就是

表示：

①當(dāng)兩圓相交時，為公共弦所在的直線方程；②向兩圓所引切線長相等的點(diǎn)的軌跡直線方程82.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)

與圓

的位置關(guān)系有三種

若

83.直線與圓的位置關(guān)系

，則點(diǎn)在圓外;點(diǎn)在圓上;點(diǎn)在圓內(nèi).

直線與圓的位置關(guān)系有三種():

;;.

84.兩圓位置關(guān)系的判定方法:設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，

;;;;

.85.圓的切線方程及切線長公式(1)已知圓

．

①若已知切點(diǎn)在圓上，則切線只有一條，其方程是

.

當(dāng)圓外時,表示過兩個切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程．求切點(diǎn)弦方

程，還可以通過連心線為直徑的圓與原圓的公共弦確定。②過圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為漏掉平行于y軸的切線．③斜率為k的切線方程可設(shè)為

，再利用相切條件求b，必有兩條切線．

，再利用相切條件求k，這時必有兩條切線，注意不要

(2)已知圓．

①過圓上的點(diǎn)的切線方程為;

②斜率為的圓的切線方程為.

(3)過圓外一點(diǎn)的切線長為

86.橢圓的離心率，

過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為：.

87.橢圓

，；。88．橢圓的的內(nèi)外部

1點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部.

2點(diǎn)在橢圓的外部.

89.橢圓的切線方程

(1)橢圓上一點(diǎn)處的切線方程是.

2過橢圓外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.

3橢圓與直線相切的條件是.

90.雙曲線的離心率，過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦長為：，

，。

91.雙曲線的內(nèi)外部

(1)點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部.

(2)點(diǎn)在雙曲線的外部.

92.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系

(1若雙曲線方程為漸近線方程：.

(2)若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為.

.(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為

，焦點(diǎn)在x軸上，，焦點(diǎn)在y軸上.

(4)焦點(diǎn)到漸近線的距離總是。93.雙曲線的切線方程

(1)雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程是.

2過雙曲線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.

3雙曲線與直線相切的條件是.

94.拋物線的焦半徑公式

拋物線，.

(其中θ為x軸的正向繞焦點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到FC的角)

過焦點(diǎn)弦長.

(其中α為傾斜角)

95.拋物線上的動點(diǎn)可設(shè)為P或P，其中.

95.二次函數(shù)的圖象是拋物線：1頂點(diǎn)坐標(biāo)為；2焦點(diǎn)的坐標(biāo)為；

3準(zhǔn)線方程是.

97.以拋物線上的點(diǎn)為圓心，焦半徑為半徑的圓必與準(zhǔn)線相切；以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓，必與準(zhǔn)線相切；以拋物線的半徑為直徑徑的圓必與過頂點(diǎn)垂直于軸的直線相切。98.拋物線的切線方程(1)拋物線

上一點(diǎn)

處的切線方程是

.

2過拋物線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.

3拋物線

99.兩個常見的曲線系方程(1)過曲線

,

與直線相切的條件是.

的交點(diǎn)的曲線系方程是(為參數(shù)).

(2)共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程,其中.

當(dāng)時,表示橢圓;當(dāng)時,表示雙曲線.

100.直線與圓錐曲線相交的弦長公式或

弦端點(diǎn)A

角，為直線的斜率，

，由方程消去y得到.

，,為直線的傾斜

101.圓錐曲線的兩類對稱問題1曲線

關(guān)于點(diǎn)

成中心對稱的曲線是

.2曲線關(guān)于直線成軸對稱的曲線是

.

特別地，曲線關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的曲線是.

曲線關(guān)于直線軸對稱的曲線是.

曲線關(guān)于直線軸對稱的曲線是.

曲線關(guān)于直線軸對稱的曲線是.

曲線關(guān)于直線軸對稱的曲線是.

102.動點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)，若的軌跡為拋物線；若

，M的軌跡為雙曲線。

，M的軌跡為橢圓；若，M

103．證明直線與直線的平行的思考途徑1轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點(diǎn)；2轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；3轉(zhuǎn)化為線面平行；4轉(zhuǎn)化為線面垂直；5轉(zhuǎn)化為面面平行.

104．證明直線與平面的平行的思考途徑1轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn)；2轉(zhuǎn)化為線線平行；3轉(zhuǎn)化為面面平行.

105．證明平面與平面平行的思考途徑1轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn)；2轉(zhuǎn)化為線面平行；3轉(zhuǎn)化為線面垂直.

106．證明直線與直線的垂直的思考途徑1轉(zhuǎn)化為相交垂直；2轉(zhuǎn)化為線面垂直；

3轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；4轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.107．證明直線與平面垂直的思考途徑1轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；2轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；3轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；4轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個平行平面。108．證明平面與平面的垂直的思考途徑1轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；2轉(zhuǎn)化為線面垂直；

(3)轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量平行。

109.空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律(1)加法交換律：＋=＋．

(2)加法結(jié)合律：(＋)＋=＋(＋)．

(3)數(shù)乘分配律：λ(＋)=λ＋λ．

110.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣

始點(diǎn)相同且不在同一個平面內(nèi)的三個向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對角線所表示的向量.111.共線向量定理

對空間任意兩個向量、(≠)，∥

存在實(shí)數(shù)λ使=λ

．三點(diǎn)共線.

、

112.共面向量定理向量

共線且不共線且不共線.

與兩個不共線的向量、共面的存在實(shí)數(shù)對,使．

推論空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的存在有序?qū)崝?shù)對,使，

或?qū)�空間任一定點(diǎn)O，有序?qū)崝?shù)對，使.

113.對空間任一點(diǎn)對于空間任一點(diǎn)若

和不共線的三點(diǎn)A、B、C，滿足，總有P、A、B、C四點(diǎn)共面；當(dāng)

時，若

，則當(dāng)時，

平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)共面；

平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)不共面．

四點(diǎn)共面與、共面

平面ABC.

114.空間向量基本定理

如果三個向量、、不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使＝x＋y＋z．

推論設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x，y，z，使

.

115.射影公式已知向量則

=和軸，是上與同方向的單位向量.作A點(diǎn)在上的射影

，作B點(diǎn)在上的射影

，

116.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)＝，＝則

(1)＋＝；

(2)－＝；

(3)λ＝(λ∈R)；

(4)＝；

117.設(shè)A，B，則

=

118．空間的線線平行或垂直設(shè)

，

，則

.；.

119.夾角公式

設(shè)＝，＝，則.

推論，此即三維柯西不等式.

120.正棱錐的側(cè)面與底面所成的角為，則。

特別地，對于正四面體每兩個面所成的角為，有。121．異面直線所成角

=

其中122.直線

為異面直線與平面所成角

所成角，分別表示異面直線的方向向量

(為平面的法向量).

123.二面角的平面角根據(jù)具體圖形確定是銳角或是鈍角

或

124折疊角定理

，為平面，的法向量.

設(shè)AC是α內(nèi)的任一條直線，AD是α的一條斜線AB在α內(nèi)的射影，且BD⊥AD，垂足為D，設(shè)AB與α(AD)所成的角為

，AD與AC所成的角為

125.空間兩點(diǎn)間的距離公式

，AB與AC所成的角為．則

.

若A126.點(diǎn)

，B到直線距離

，則=.

(點(diǎn)

127.異面直線間的距離

在直線上，為直線的方向向量，=).(

128.點(diǎn)

是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點(diǎn)，為間的距離).

到平面的距離

為平面的法向量，

129.異面直線上兩點(diǎn)距離公式

.

，是的一條斜線段.

..

(兩條異面直線a、b所成的角為θ，其公垂線段

,,).

的長度為h.在直線a、b上分別取兩點(diǎn)E、F，

130.三個向量和的平方公式

131．作截面的依據(jù)

三個平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點(diǎn)或互相平行.132．棱錐的平行截面的性質(zhì)

如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊對應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對應(yīng)邊的比的平方；相應(yīng)小棱錐的體積與原棱錐的體積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的立方比；相應(yīng)小棱錐的的側(cè)面積與原棱錐的的側(cè)面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比．

133.球的半徑是R，則其體積,其表面積．134.球的組合體

(1)球與長方體的組合體:長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.

(2)球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長,正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長,正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.

(3)球與正四面體的組合體:棱長為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為(正四面體高的),

外接球的半徑為(正四面體高的).

135．柱體、錐體的體積

是柱體的底面積、是柱體的高.

是錐體的底面積、是錐體的高.

136.分類計(jì)數(shù)原理加法原理：.

137.分步計(jì)數(shù)原理乘法原理：.

138.排列數(shù)公式：==.(，∈N*，且)．規(guī)定.

139.排列恒等式:(1;2;

3;4;5.

(6).

140.組合數(shù)公式：===(∈N*，，且).

141.組合數(shù)的兩個性質(zhì):(1)=;(2)+=.規(guī)定.142.組合恒等式

1;2;

3;4=;

5.

(6).

(7).

(8).

(9).

(10).

143.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系:.

個元素的排列

144．單條件排列以下各條的大前提是從個元素中取1“在位”與“不在位”①某特元必在某位有

種；②某特元不在某位有

補(bǔ)集思想著眼位置

著眼元素種.

2緊貼與插空即相鄰與不相鄰①定位緊貼：

個元在固定位的排列有

種.

②浮動緊貼：個元素的全排列把k個元排在一起的排法有注：此類問題常用捆綁法；

種.③插空：兩組元素分別有k、h個排列數(shù)有

種.

，把它們合在一起來作全排列，k個的一組互不能挨近的所有

3兩組元素各相同的插空

個大球個小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？

當(dāng)時，無解；當(dāng)時，有種排法.

4兩組相同元素的排列：兩組元素有m個和n個，各組元素分別相同的排列數(shù)為145．分配問題

1(平均分組有歸屬問題)將相異的

個物件等分給

.

個人，各得件，其分配方法數(shù)共有

.

2(平均分組無歸屬問題)將相異的

個物體等分為無記號或無順序的

堆，其分配方法數(shù)共有

.

3(非平均分組有歸屬問題)將相異的，

，，

件，且

，

，，

這

個物體分給個人，物件必須被分完，分別得到

個數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)共有

.

4(非完全平均分組有歸屬問題)將相異的得到

，

，，

件，且

，

，，

這

個物體分給個人，物件必須被分完，分別

個數(shù)中分別有a、b、c、個相等，則其分配方法數(shù)

有.

5(非平均分組無歸屬問題)將相異的個物體分為任意的，，，件無記號的堆，

且，，，這個數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)有.6(非完全平均分組無歸屬問題)將相異的個物體分為任意的，，，件無記號

的堆，且，，，這個數(shù)中分別有a、b、c、個相等，則其分配方法數(shù)有.

7(限定分組有歸屬問題)將相異的被分完，如果指定甲得

件，乙得

件，丙得

個物體分給甲、乙、丙，等件，時，則無論

，

，，

等

個人，物體必須個數(shù)是否全相

異或不全相異其分配方法數(shù)恒有

.

146．“錯位問題”

2封信與2個信封全部錯位排列數(shù)：1；3封信與3個信封全部錯位排列數(shù)：2；4封信與4個信封全部錯位排列數(shù)：9；5封信與5個信封全部錯位排列數(shù)：44；一般記著上面的就夠了推廣

貝努利裝錯箋問題:信封信與個信封全部錯位的組合數(shù)為

.

推廣:個元素與個位置,其中至少有

個元素錯位的不同組合總數(shù)為

.

147．不定方程的解的個數(shù)

(1)方程的正整數(shù)解有個.(2)方程的非負(fù)整數(shù)解有個.

(3)方程滿足條件(,)的非負(fù)整數(shù)解有個.

148.二項(xiàng)式定理;

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式.

的展開式的系數(shù)關(guān)系：

；；。

149.等可能性事件的概率：.

150.互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的和：P(A＋B)=P(A)＋P(B)．151.個互斥事件分別發(fā)生的概率的和：P(A1＋A2＋＋An)=P(A1)＋P(A2)＋＋P(An)．

152.獨(dú)立事件A，B同時發(fā)生的概率：P(AB)=P(A)P(B).153.n個獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率：

P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)154.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率：155.離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個性質(zhì)1

;2.

156.數(shù)學(xué)期望：157.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1

.

2若～,則.(3)若服從幾何分布,且，則.

158.方差：

159.標(biāo)準(zhǔn)差：160.方差的性質(zhì)(1)

=.；

(2若～，則.

(3)若服從幾何分布,且，則.

161.方差與期望的關(guān)系：.

162.正態(tài)分布密度函數(shù)：式中的實(shí)數(shù)μ，

，

>0是參數(shù)，分別表示個體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.

163.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)：.

164.對于，取值小于x的概率：.

.

165.回歸直線方程，其中.

166.相關(guān)系數(shù)：.

|r|≤1，且|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越小.167.特殊數(shù)列的極限

1.2.

3無窮等比數(shù)列()的和.

168.函數(shù)的極限定理：.

169.函數(shù)的夾逼性定理如果函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)在點(diǎn)x0的附近滿足：

1;2常數(shù),

則.本定理對于單側(cè)極限和的情況仍然成立.

170.幾個常用極限

1，；2，.

171.兩個重要的極限1；2(e=2.718281845).

172.函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則

若，，則

(1)；(2);(3).

173.數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則

若，則

(1)；(2)；(3)

(4)(c是常數(shù)).

174.在處的導(dǎo)數(shù)或變化率或微商

.

175.瞬時速度：.

176.瞬時加速度：.

177.在的導(dǎo)數(shù)：.

178.函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是曲線.

在處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程是179.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)

C為常數(shù).(2)

.(3)

.

(4).(5)；.

(6);.

180.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

1.2.3.

181.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

設(shè)函數(shù)合函數(shù)

在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)，且

，函數(shù)在點(diǎn)處的對應(yīng)點(diǎn)U處有導(dǎo)數(shù)

，或?qū)懽?/p>.

，則復(fù)

182.常用的近似計(jì)算公式當(dāng)充分小時

(1);；(2)；；

(3)；(4)；(5)為弧度；

(6)為弧度；(7)為弧度

183.判別是極大小值的方法

當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)時，

1如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極大值；

2如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極小值.

184.復(fù)數(shù)的相等：.185.復(fù)數(shù)的�；蚪^對值==.

186.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則(1)

;

(2);

(3);

(4)

187.復(fù)數(shù)的乘法的運(yùn)算律對于任何

，有

.

交換律:.

結(jié)合律:.

分配律:.

188.復(fù)平面上的兩點(diǎn)間的距離公式

，

189.向量的垂直非零復(fù)數(shù)

，

對應(yīng)的向量分別是

，.

，則

的實(shí)部為零為純虛數(shù)

(λ為非零實(shí)數(shù)).

190.實(shí)系數(shù)一元二次方程的解實(shí)系數(shù)一元二次方程，

①若,則;

②若,則;

③若，它在實(shí)數(shù)集內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根；在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有兩個共軛復(fù)數(shù)根

.

191.三角形的內(nèi)角平分線性質(zhì)：在中，的平分線交邊BC于D，則

。

三角形的外角平分線也有同樣的性質(zhì)

192.數(shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法．用數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：(1)證明：當(dāng)n取第一個值n0結(jié)論正確；

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*，且k≥n0)時結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時結(jié)論也正確.由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確

193.有理不等式解集的端點(diǎn)，恰好就是其對應(yīng)的“零點(diǎn)”就是對應(yīng)方程的解和使分母為零的值.

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