高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)專題知識(shí)點(diǎn)整理和總結(jié)人教版

專題二復(fù)數(shù)

一．基本知識(shí)

【1】復(fù)數(shù)的基本概念

（1）形如a+bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù)（其中a，bR）；復(fù)數(shù)的單位為i，它的平方等于－1，即i21.其中a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做虛部實(shí)數(shù)：當(dāng)b=0時(shí)復(fù)數(shù)a+bi為實(shí)數(shù)虛數(shù)：當(dāng)b0時(shí)的復(fù)數(shù)a+bi為虛數(shù)；

純虛數(shù)：當(dāng)a=0且b0時(shí)的復(fù)數(shù)a+bi為純虛數(shù)（2）兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：

abicdiac且bd（其中，a，b，c，d，R）特別地abi0ab0

（3）共軛復(fù)數(shù)：zabi的共軛記作zabi；

（4）復(fù)平面：建立直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫復(fù)平面；zabi，對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為pa,b；（象限的復(fù)習(xí)）

（5）復(fù)數(shù)的模：對(duì)于復(fù)數(shù)zabi，把za2b2叫做復(fù)數(shù)z的模；【2】復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算設(shè)z1a1b1i，z2a2b2i

（1）加法：z1z2a1a2b1b2i；（2）減法：z1z2a1a2b1b2i；

（3）乘法：z1z2a1a2b1b2a2b1a1b2i特別zza2b2。

123564（4）冪運(yùn)算：iii1iii1iii1

【3】復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)

cdiz（a,b是均不為0的實(shí)數(shù)）；的化簡(jiǎn)就是通過(guò)分母實(shí)數(shù)化的方法將分母

abi化為實(shí)數(shù)：zcdicdiabiacbdadbci22abiabiabiab對(duì)于zcdicdab0，當(dāng)時(shí)z為實(shí)數(shù)；當(dāng)z為純虛數(shù)是z可設(shè)為abiabcdizxi進(jìn)一步建立方程求解

abi二．

例題分析

【例1】已知za1b4i，求（1）當(dāng)a,b為何值時(shí)z為實(shí)數(shù)（2）當(dāng)a,b為何值時(shí)z為純虛數(shù)（3）當(dāng)a,b為何值時(shí)z為虛數(shù)

（4）當(dāng)a,b滿足什么條件時(shí)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的第二象限。

【變式1】若復(fù)數(shù)z(x21)(x1)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x的值為A．1B．0C1D．1或1

【例2】已知z134i；z2a3b4i，求當(dāng)a,b為何值時(shí)z1=z2

【例3】已知z1i，求z，zz；

【變式1】復(fù)數(shù)z滿足z

2i，則求z的共軛z1i【變式2】（201*年全國(guó)卷新課標(biāo)）已知復(fù)數(shù)zA.

3i，則zz=2(13i)11B.C.1D.242

【例4】已知z12i，z232i（1）求z1z2的值；（2）求z1z2的值；（3）求z1z2.

【變式1】已知復(fù)數(shù)z滿足z2i1i，求z的模.

【變式2】若復(fù)數(shù)1ai是純虛數(shù)，求復(fù)數(shù)1ai的模.

【例5】（201*年全國(guó)卷新課標(biāo)）下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z的真命題為（）

2的四個(gè)命題：其中1i2p1:z2p2:z22ip3:z的共軛復(fù)數(shù)為1ip4:z的虛部為1(A)p2,p3(B)p1,p2(C)p,p

(D)p,pa3i，aR（i為虛數(shù)單位）

12i（1）若z為實(shí)數(shù)，求a的值（2）當(dāng)z為純虛，求a的值.

a1i【變式1】設(shè)a是實(shí)數(shù)，且是實(shí)數(shù)，求a的值..1i2

y3i【變式2】若zx,yR是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)xy的值是.

1xi

【例7】復(fù)數(shù)zcos3isin3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第象限

【例6】若復(fù)數(shù)z

【變式1】i是虛數(shù)單位,(A．i

【變式2】已知

Z=2+i,則復(fù)數(shù)z=（）1＋i1i4)等于()1-iB．-iC．1D．-1

（A）-1+3i(B)1-3i(C)3+i(D)3-i

【變式3】i是虛數(shù)單位，若

17iabi(a,bR)，則乘積ab的值是2i（A）－15（B）－3（C）3（D）【例8】（201*年天津）復(fù)數(shù)z7i3i=（）（A）2i（Ｂ）2i（Ｃ）2i（Ｄ）2i

【變式4】（201*年天津）已知i是虛數(shù)單位，2i31i（）Ａ1iＢ1iＣ1iＤ．1i

【變式5】.（201*年天津）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)13i1i=（A2iB2iC12iD12i

【變式6】（201*年天津）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)13i12i（(A)1＋i(B)5＋5i(C)-5-5i(D)-1－i

【變式7】.（201*年天津）已知i是虛數(shù)單位，則

i3i1i1（(A)1(B)1(C)i(D)i

））

）

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【1】復(fù)數(shù)的基本概念

（1）形如a+bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù)（其中a，bR）；復(fù)數(shù)的單位為i，它的平方等于－1，即i21.其中a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做虛部實(shí)數(shù)：當(dāng)b=0時(shí)復(fù)數(shù)a+bi為實(shí)數(shù)虛數(shù)：當(dāng)b0時(shí)的復(fù)數(shù)a+bi為虛數(shù)；

純虛數(shù)：當(dāng)a=0且b0時(shí)的復(fù)數(shù)a+bi為純虛數(shù)（2）兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：

abicdiac且bd（其中，a，b，c，d，R）特別地abi0ab0

（3）共軛復(fù)數(shù)：zabi的共軛記作zabi；

（4）復(fù)平面：建立直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫復(fù)平面；zabi，對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為pa,b；（象限的復(fù)習(xí)）

（5）復(fù)數(shù)的模：對(duì)于復(fù)數(shù)zabi，把za2b2叫做復(fù)數(shù)z的模；【2】復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算設(shè)z1a1b1i，z2a2b2i

（1）加法：z1z2a1a2b1b2i；（2）減法：z1z2a1a2b1b2i；

（3）乘法：z1z2a1a2b1b2a2b1a1b2i特別zza2b2。

（4）冪運(yùn)算：i1ii21i3ii41i5ii61

【3】復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)cdi（a,b是均不為0的實(shí)數(shù)）；的化簡(jiǎn)就是通過(guò)分母實(shí)數(shù)化的方法將分母zabicdicdiabiacbdadbci化為實(shí)數(shù)：zabiabiabia2b2對(duì)于zcdicdab0，當(dāng)時(shí)z為實(shí)數(shù)；當(dāng)z為純虛數(shù)是z可設(shè)為abiabcdizxi進(jìn)一步建立方程求解

abiza3iaR12i（i為虛數(shù)單位），

【例4】若復(fù)數(shù)(1)若z為實(shí)數(shù)，求a的值(2)當(dāng)z為純虛，求a的值.

a1i【變式1】設(shè)a是實(shí)數(shù)，且是實(shí)數(shù)，求a的值..1i2y3i【變式2】若zx,yR是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)xy的值是.

1xi【例7】復(fù)數(shù)zcos3isin3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第象限【變式1】i是虛數(shù)單位,(A．i【變式2】已知

1i4)等于()1-iB．-iC．1

Z=2+i,則復(fù)數(shù)z=（）1＋iD．-1

（A）-1+3i(B)1-3i(C)3+i(D)3-i【變式3】i是虛數(shù)單位，若

17iabi(a,bR)，則乘積ab的值是2i（A）－15（B）－3（C）3（D）157i【例8】（201*年天津）復(fù)數(shù)z=（）

3i（A）2i（Ｂ）2i（Ｃ）2i（Ｄ）2i

2i3【變式4】（201*年天津）已知i是虛數(shù)單位，（）

1iＡ1iＢ1iＣ1iＤ．1i【變式5】.（201*年天津）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)A2iB2iC12iD12i

【變式6】（201*年天津）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)(A)1＋i(B)5＋5i(C)-5-5i(D)-1－i

i3i1（）【變式7】.（201*年天津）已知i是虛數(shù)單位，則

i113i（）12i13i=（）1i(A)1(B)1(C)i(D)i

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