導(dǎo)數(shù)總結(jié)卷(自己的教師版)

高二年級(jí)導(dǎo)數(shù)總結(jié)（教師版）

一、選擇題：1.已知ysin30o,則導(dǎo)數(shù)y(D)A.32B.12C.

12D．0

1．f(x)與g(x)是定義在R上的兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，若f(x)、g(x)滿足f′(x)＝g′(x)，則()

Af(x)=g(x)Bf(x)－g(x)為常數(shù)函數(shù)Cf(x)=g(x)=0Df(x)+g(x)為常數(shù)函數(shù)1．一物體運(yùn)動(dòng)方程為s1tt2（s單位米，t單位秒），那么物體在3秒末的瞬時(shí)速度是

A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒2.曲線yA

4xx3在點(diǎn)(1,3)處的切線方程是（D）B

y7x2y7x43C

yx4D

yx2

2．曲線f(x)=x+x-2在p0處的切線平行于直線y=4x-1，則p0點(diǎn)的坐標(biāo)為（A）

A．(1,0)和(1,4)B．(2,8)C．(1,0)D．(2,8)和(1,4)2．若曲線y3x1與y1x23在x3x0處的切線互相垂直，則x0等于（A）．366A．3．函數(shù)

366B．xlnx2C．

23D．

23或0

y12的單調(diào)減區(qū)間是……（方程難解）……………………()．

A．(0,1)B．(0,1)∪(－∞，－1)C．(－∞，1)D．(－∞，＋∞)4.比較m5.若5.若

10edx與n=xe11xdx的大小關(guān)系是（A）A、mnBmnCmnD無法確定

12f(x0)2f(x),則limf(x0k)f(x0)2kxk0(B)A．2B.1C.

2D.無法確定

可導(dǎo),且limx0f(x02x)f(x0)，則

f(x0)(B)A

12B.-1C.0D.-2

=(B)

5．已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且x0∈(a，b)，則limf(x0h)f(x0h)hh0Af′(x0)B2f′(x0)C－2f′(x0)D0

6．如圖是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象，則下面判斷正確的是(C)三月考

A．在區(qū)間(－3,1)上y＝f(x)是增函數(shù)B．在(1,3)上y＝f(x)是減函數(shù)C．在(4,5)上y＝f(x)是增函數(shù)

D．在x＝2時(shí)y＝f(x)取到極小值

6．設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=f(x)的圖象如圖1所示，則導(dǎo)函數(shù)y=f(x)可能為（D）

yyyyy

OAxxxxOB

OCOD

O圖1x

6.已知函數(shù)yf(x)xf(x)的圖像如下圖所示，其中f(x)是函數(shù)

的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是圖中的(C)

6．若函數(shù)

f(x)x2

bxc的圖象的頂點(diǎn)在第四象限，則函數(shù)

f(x)的圖象是（）

"

6.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a,b)，導(dǎo)函數(shù)f(x)在

(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點(diǎn)（A）

A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)7.已知函數(shù)h(x)f(x)g(x)，x0,3,g(x)0yyf(x)baOx，對(duì)任意x0,3,f(x)g(x)f(x)g(x)恒成立，則（B）。

A.函數(shù)h(x)有最大值也有最小值B.函數(shù)h(x)只有最小值

C．函數(shù)h(x)只有最大值D.函數(shù)h(x)沒有最大值也沒有最小值

12118.定積分(1(x1)2x)dx等于（A）AB1CD

04242

8.定積分11(1xx)dx2等于

二、填空題:(本大題共小題，每小題5分，共25分，把答案填在題中橫線上.)

1.某物體做直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s=t2+(t的單位是秒，s的單位是米)，則它在4秒末的

t3瞬時(shí)速度為

12516

2.過點(diǎn)P（－1，2）且與曲線y=3x2-4x+2在點(diǎn)M（1，1）處的切線平行的直線方程是_2x－y+4=0_________．

2、若函數(shù)yf(x)的圖象在x4處的切線方程是y2x9，則f(4)f(4)2]上有最大值3，2]上的最小值3函數(shù)f(x)2x36x2m(m為常數(shù)）在[2，那么此函數(shù)在[2，為-37

3．函數(shù)f(x)＝x3－3x+1在閉區(qū)間[-3，0]上的最大值、最小值分別是（B）

A1，－1B3，-17C1，－17D9，－19

3、若函數(shù)f(x)xxmx1是R32上的單調(diào)函數(shù)，則m的取值范圍。3．若函數(shù)f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是解析∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，∴不等式3x2－2ax－10，則3x2－75>0，解得x>5或x

由表可得：函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0)，(1,+∞)．

x(x4)(xa)2.（二次月考）已知a為實(shí)數(shù)，f

210（1）求導(dǎo)數(shù)fx；（2）若f，求fx在[-2，2]上的最大值和最小值。

2．(12分)已知函數(shù)f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.（練習(xí)題）

(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)若f(x)在區(qū)間[－2,2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．19.解(1)∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9.

令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，

∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，

f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)＞f(－2)．

于是有22＋a＝20，∴a＝－2.∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.

∵在(－1,3)上f′(x)＞0，∴f(x)在[－1,2]上單調(diào)遞增．又由于f(x)在[－2，－1]上單調(diào)遞減，

∴f(2)和f(－1)分別是f(x)在區(qū)間[－2,2]上的最大值和最小值，∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即f(x)最小值為－7.

3.（第二次月考試題）函數(shù)fx

yfxaxbxcx23,0),32的極小值為-8，其導(dǎo)函數(shù)

的圖像經(jīng)過點(diǎn)(2,0),(的解析式；

f(x)m2如圖所示，

（Ⅰ）求

f(x)（Ⅱ）若對(duì)x[3,3]都有14m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.21、（14

22b2b2a33af(x)ax分）（1）2cc4a233a

32ax24ax,

3（第三次月考題考過的）

已知函數(shù)

f(x)2x3ax3bx8c32

在x=1及x=2時(shí)取得極值，其中a,b,c為常數(shù)。

（1）試確定a,b的值；（2）若對(duì)任意的x[0,3]，都有

f(x)c2恒成立，求c的取值范圍。

3、解：（Ⅰ）f(x)6x26ax3b，

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x1及x2取得極值，則有f(1)0，f(2)0．即

66a3b0，2412a3b0．解得a3，b4．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f(x)2xf(x)6x239x12x8c2，

18x126(x1)(x2)．

當(dāng)x(0，1)時(shí)，f(x)0；

當(dāng)x(1，2)時(shí)，f(x)0；可以列表看結(jié)果當(dāng)x(2，3)時(shí)，f(x)0．

所以，當(dāng)x1時(shí)，f(x)取得極大值f(1)58c，又f(0)8c，f(3)98c．

3時(shí)，f(x)的最大值為f(3)98c．則當(dāng)x0，3，有f(x)c恒成立，因?yàn)閷?duì)于任意的x0，

所以

98cc2，解得c1或c9，

因此c的取值范圍為(，1)(9，)．

3（本小題滿分10分）

已知f(x)=x3+ax2+bx+c,在x＝1與x＝－2時(shí)，都取得極值。⑴求a，b的值；

⑵若x[－3，2]都有f(x)>16.解：a＝

321c12恒成立，求c的取值范圍。

71c1，b＝－6.由f(x)min＝－+c>-得

223213c0或c3213

4、(本小題滿分12分)已知a為實(shí)數(shù)，f(x)(x24)(xa)。

⑴求導(dǎo)數(shù)f(x)；

⑵若f(1)0，求f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值；

⑶若f(x)在(－∞，－2)和[2，+∞]上都是遞增的，求a的取值范圍。17.解：⑴由原式得f(x)x3ax24x4a,∴f(x)3x22ax4.

⑵由

f(1)0得a12,此時(shí)有

43f(x)(x24)(x122),f(x)3xx4.

由又

f(1)0得x或x=-1,

4509f(),f(1),f(2)0,f(2)0,327292,所以f(x)在[－2,2]上的最大值為最小值為5027.

⑶解法一:f(x)3x22ax4的圖象為開口向上且過點(diǎn)(0,－4)的拋物線,由條件得

f(2)0,f(2)0,即

4a8084a0∴－2≤a≤2.

所以a的取值范圍為[－2,2].解法二:令

f(x)0即3x22ax40,由求根公式得:

x1,2aa1232(x1x2)

所以f(x)3x22ax4.在,x1和x2,上非負(fù).由題意可知,當(dāng)x≤-2或x≥2時(shí),f(x)≥0,從而x1≥-2,x2≤2,

即aa2212a6126a.解不等式組得－2≤a≤2.

∴a的取值范圍是[－2,2].

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函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題進(jìn)階（學(xué)生版）

常見題型及解法1.常見題型

一、小題：1.函數(shù)的圖象2.函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性);3.分段函數(shù)求函數(shù)值；4.函數(shù)的定義域、值域（最值）；5.函數(shù)的零點(diǎn)；6.抽象函數(shù)；7.定積分運(yùn)算（求面積）

2.在解題中常用的有關(guān)結(jié)論（需要熟記）：

(1)曲線yf(x)在xx0處的切線的斜率等于f(x0)，且切線方程為二、大題：1.求曲線y=f(x)在某點(diǎn)處的切線的方程；2.求函數(shù)的解析式3.討論函數(shù)的單調(diào)性，求單調(diào)區(qū)間；4.求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值；5.求函數(shù)的最值或值域；6.求參數(shù)的取值范圍7.證明不等式；8.函數(shù)應(yīng)用問題yf(x0)(xx0)f(x0)。(2)若可導(dǎo)函數(shù)yf(x)在xx0處取得極值，則f(x0)0。反之，不成立。(3)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，不等式f(x)0的解集決定函數(shù)f(x)的遞增（減）區(qū)間。（0）(4)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上遞增（減）的充要條件是：xIf(x)0(0)恒成立（f(x)不恒為0）.(5)函數(shù)f(x)（非常量函數(shù)）在區(qū)間I上不單調(diào)等價(jià)于f(x)在區(qū)間I上有極值，則可等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程f(x)0在區(qū)間I上有實(shí)根且為非二重根。（若f(x)為二次函數(shù)且I=R，則有0）。(6)f(x)在區(qū)間I上無極值等價(jià)于f(x)在區(qū)間在上是單調(diào)函數(shù)，進(jìn)而得到f(x)0或f(x)0在I上恒成立(7)若x0I，f(x)0恒成立，則f(x)min0;若xI，f(x)0恒成立，則f(x)max0(8)若x0I，使得f(x0)0，則f(x)max0；若x0I，使得f(x0)0，則f(x)min0.(9)設(shè)f(x)與g(x)的定義域的交集為D，若xDf(x)g(x)恒成立，則有f(x)g(x)min0.(10)若對(duì)x1I1、x2I2，f(x1)g(x2)恒成立，則f(x)ming(x)max.若對(duì)x1I1，x2I2，使得f(x1)g(x2),則f(x)ming(x)min.若對(duì)x1I1，x2I2，使得f(x1)g(x2)，則f(x)maxg(x)max.（11）已知f(x)在區(qū)間I1上的值域?yàn)锳,，g(x)在區(qū)間I2上值域?yàn)锽，若對(duì)x1I1,x2I2，使得f(x1)=g(x2)成立，則AB。x2，且極大值大于0，極小(12)若三次函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則方程f(x)0有兩個(gè)不等實(shí)根x1、值小于0.(13)證題中常用的不等式:（x+1）x(x1)①lnxx1(x0)②ln③e1x④x12xex1xx22x⑤lnxx1(x1)⑥lnx11(x0)223.解題方法規(guī)律總結(jié)1.關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的討論：大多數(shù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次函數(shù)，因此，討論函數(shù)單調(diào)性的問題，又往往轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在所給區(qū)間上的符號(hào)問題。要結(jié)合函數(shù)圖象，考慮判別式、對(duì)稱軸、區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào)等因素。2.已知函數(shù)（含參數(shù)）在某區(qū)間上單調(diào)，求參數(shù)的取值范圍，有三種方法：①子區(qū)間法；②分離參數(shù)法；③構(gòu)造函數(shù)法。3.注意分離參數(shù)法的運(yùn)用：含參數(shù)的不等式恒成立問題，含參數(shù)的不等式在某區(qū)間上有解，含參數(shù)的方程在某區(qū)間上有實(shí)根（包括根的個(gè)數(shù)）等問題，都可以考慮用分離參數(shù)法，前者是求函數(shù)的最值，后者是求函數(shù)的值域。4.關(guān)于不等式的證明：通常是構(gòu)造函數(shù)，考察函數(shù)的單調(diào)性和最值。有時(shí)要借助上一問的有關(guān)單調(diào)性或所求的最值的結(jié)論，對(duì)其中的參數(shù)或變量適當(dāng)賦值就可得到所要證的不等式。對(duì)于含有正整數(shù)n的帶省略號(hào)的不定式的證明，先觀察通項(xiàng)，聯(lián)想基本不定式（上述結(jié)論中的13），確定要證明的函數(shù)不定式（往往與所給的函數(shù)及上一問所得到的結(jié)論有關(guān)），再對(duì)自變量x賦值，令x分別等于1、2、…….、n,把這些不定式累加，可得要證的不定式。）5.關(guān)于方程的根的個(gè)數(shù)問題：一般是構(gòu)造函數(shù)，有兩種形式，一是參數(shù)含在函數(shù)式中，二是參數(shù)被分離，無論哪種形式，都需要研究函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性、極值、最值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，結(jié)合函數(shù)圖象，確立所滿足的條件，再求參數(shù)或其取值范圍。小題講解：

【例1】（山東高考題）已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是

增函數(shù)，若方程

f(x)m(m0)在區(qū)間[8,8]上有四個(gè)不同的根x1,x2,x3,x4，則

x1x2x3x4_________.

【例2】若x1是方程lgxx3的解，x2是10xx3的解，則x1x2的值為（）

23A．錯(cuò)誤！未指定書簽。B．

32

【例3】若函數(shù)

1C．3D．

3

f(x)axxa(a0且a1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．

1【例4】已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0,)單調(diào)遞增，則滿足f(2x1)＜f()的x取值范圍是（）

312121212（A）（，）(B)［，）(C)（，）(D)［，）

33332323

解答題講解一、（單調(diào)性，用到二階導(dǎo)數(shù)的技巧）

例一、已知函數(shù)f(x)lnx⑴若F(x)f(x)a(aR)，求F(x)的極大值；x⑵若G(x)[f(x)]2kx在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求滿足此條件的實(shí)數(shù)k的取值范圍.

二、交點(diǎn)與根的分布

例二、已知函數(shù)f(x)x3x．

（1）求曲線yf(x)在點(diǎn)M(t，f(t))處的切線方程；

（2）設(shè)a0，如果過點(diǎn)(a，b)可作曲線yf(x)的三條切線，證明：abf(a)．

例三、已知aR，函數(shù)f(x)alnx1,g(x)(lnx1)exx,（其中e2.718）x（I）求函數(shù)f(x)在區(qū)間0,e上的最小值；

（II）是否存在實(shí)數(shù)x00,e，使曲線yg(x)在點(diǎn)xx0處的切線與y軸垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

三、不等式證明

作差證明不等式

例四、（201*湖南，最值、作差構(gòu)造函數(shù)）已知函數(shù)f(x)ln(x1)x．

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若x1，求證：11≤ln(x1)≤x．x1

例五（201*湖北20，轉(zhuǎn)換變量，作差構(gòu)造函數(shù)，較容易）

12已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)x2ax，g(x)3a2lnxb，其中a0．設(shè)兩曲線yf(x)，

2yg(x)有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同．

⑴用a表示b，并求b的最大值；⑵求證：當(dāng)x0時(shí)，f(x)≥g(x)．

變形構(gòu)造證明不等式例六、已知函數(shù)f(x)1alnxxaR，

（Ⅰ）求f(x)的極值

（Ⅱ）若lnxkx0在R上恒成立，求k的取值范圍（Ⅲ）已知x10，x20且x1x2e，求證x1x2x1x2

例七、（201*遼寧文21，構(gòu)造變形，二次）已知函數(shù)f(x)(a1)lnxax21.⑴討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

⑵設(shè)a≤2，證明：對(duì)任意x1,x2(0,)，|f(x1)f(x2)|≥4|x1x2|.

四、不等式恒成立求字母范圍

恒成立之最值的直接應(yīng)用

例八、已知函數(shù)f(x)(xk)2ek。⑴求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

1⑵若對(duì)于任意的x(0,)，都有f(x)≤，求k的取值范圍.

e

例九、（201*天津理20倒數(shù)第3大題，最值的直接應(yīng)用，第3問帶有小的處理技巧）

a已知函數(shù)fxxbx0，其中a,bR.

xx⑴若曲線yfx在點(diǎn)P2,f2處切線方程為y3x1,求函數(shù)fx的解析式；⑵討論函數(shù)fx的單調(diào)性；

11⑶若對(duì)于任意的a,2，不等式fx10在,1上恒成立，求b的取值范圍.

24

恒成立之分離常數(shù)

例十、（201*長(zhǎng)春一模，恒成立，分離常數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)）

x2已知函數(shù)f(x)eax1,（其中aR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

2x(1)當(dāng)a0時(shí),求曲線yf(x)在(0,f(0))處的切線方程；

(2)當(dāng)x≥1時(shí),若關(guān)于x的不等式f(x)≥0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（改x≥0時(shí)，f(x)≥0恒成立.a≤1）

1lnx．x1(a,a)其中a>0，上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅰ）若函數(shù)在區(qū)間

2k（Ⅱ）如果當(dāng)x1時(shí)，不等式f(x)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

x1

恒成立之討論字母范圍

例十二、（201*全國(guó)I，利用均值，不常見）

例十一、已知函數(shù)f(x)設(shè)函數(shù)f(x)exex．

⑴證明：f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)≥2；

⑵若對(duì)所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范圍．

三年新課標(biāo)導(dǎo)數(shù)高考試題

[201*]1、（2）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的函數(shù)是（0，+）x（A）yx3(B)yx1（C）yx21(D)y2

2、（9）由曲線yx，直線yx2及y軸所圍成的圖形的面積為

1016（A）（B）4（C）（D）6

333（21）（本小題滿分12分）

alnxb已知函數(shù)f(x)，曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x2y30。

x1xlnxk（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果當(dāng)x0，且x1時(shí)，f(x)，求k的取值范圍。

x1x

[201*]

14、（12）設(shè)點(diǎn)P在曲線y=ex上，點(diǎn)Q在曲線y=ln(2x)上，則|pQ|最小值為

2（A）1-ln2（B）2(1ln2)（C）1+ln2（D）2(1ln2)5、（21）（本小題滿分12分）

1已知函數(shù)f（x）滿足f(x)f(1)ex1f(0)xx2

2（1）求f（x）的解析式及單調(diào)區(qū)間；

1（2）若f(x)x2axb求（a+1）b的最大值。

2

【201*年】

6、16、若函數(shù)f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的圖像關(guān)于直線x=－2對(duì)稱，則f(x)的最大值是______.

7、（21）（本小題滿分共12分）

已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲線y＝f(x)和曲線y＝g(x)都過點(diǎn)P(0，2)，且在點(diǎn)P處有相同的切線y＝4x+2（Ⅰ）求a，b，c，d的值

（Ⅱ）若x≥－2時(shí),f(x)kg(x)，求k的取值范圍。

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