高中數(shù)學(xué)：導(dǎo)數(shù)總結(jié)

十、導(dǎo)數(shù)：

一、導(dǎo)數(shù)的概念：

（1）函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)：函數(shù)yf(x)在x0到x0x之間的平均變化率，即

yxf(x0x)f(x0)x；

如果當(dāng)x0時(shí)，

yx有極限，則稱函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)。

（2）函數(shù)yf(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)：如果函數(shù)yf(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)處都

可導(dǎo)，則稱函數(shù)yf(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；

（3）函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)：

如果函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，那么極限lim導(dǎo)

數(shù)（或

yxyxz0叫做函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0的

f"(x0)變化率），記作：或

y"|xx0；即

f"(x0)limx0limf(x0x)f(x0)x

x0（4）函數(shù)yf(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)(導(dǎo)數(shù))：

如果函數(shù)yf(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么對(duì)于開區(qū)間(a,b)的每一個(gè)確定的值x0都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f"(x0)，這樣在開區(qū)間(a,b)內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們把這新函數(shù)叫做函數(shù)yf(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)（簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)），記

yxf(xx)f(x)xf"(x)或y"；即：f"(x)y"limx0lim

x0（5）導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f"(x0)，就是曲線yf(x)在點(diǎn)

P(x0,f(x0))處的切線的斜率k，即ktanf"(x0)；

（6）導(dǎo)數(shù)在物理中的運(yùn)用：函數(shù)ss(t)在點(diǎn)t0處的導(dǎo)數(shù)s"(t0)，就是當(dāng)物體的運(yùn)動(dòng)方程為

ss(t)時(shí)，物體運(yùn)動(dòng)在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度v，即vs"(t0)；物體運(yùn)動(dòng)在時(shí)刻t0的

加速度as""(t0)；

二、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：C"0（C為常數(shù)）；(xn)"nxn1

三、函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)：

（1）和(差)的導(dǎo)數(shù)：兩個(gè)函數(shù)的和(差)的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(差)，即

(uv)"u"v"

容易推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形：(uvw)"u"v"w"（2）積的導(dǎo)數(shù)：兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)，加上第一個(gè)

函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即：(uv)"u"vuv"

容易推出：(Cu)"Cu"（C為常數(shù)）：常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于這個(gè)常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；四、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：（1）函數(shù)的單調(diào)性：

①設(shè)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f"(x)0，則f(x)為增函數(shù)；如果

f"(x)0，則f(x)為減函數(shù)。

②設(shè)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f(x)在該區(qū)間上單調(diào)遞增(或遞減)，則在該區(qū)間內(nèi)f"(x)0(或f"(x)0)。求可導(dǎo)函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間的步驟：

①求f"(x)；②解不等式f"(x)0(或f"(x)0)；③確認(rèn)并指出遞增區(qū)間(或

遞減區(qū)間)；

證明可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的單調(diào)性的步驟：

①求f"(x)；②確認(rèn)f"(x)在(a,b)內(nèi)的符號(hào)；③作出結(jié)論；

（2）函數(shù)的極大值與極小值：

函數(shù)極值的定義：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有

f(x)f(x0)(或f(x)f(x0))，就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大(小)值；

求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟：

①求f"(x)；②求方程f"(x)0的全部實(shí)根；

③檢查f"(x)在方程f"(x)0的根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值。

（3）函數(shù)的最大值與最小值：

求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步驟：①求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；

②將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，確定f(x)的最大值與最小值；

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

擴(kuò)展閱讀：高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)及例題

導(dǎo)數(shù)

考試內(nèi)容：

導(dǎo)數(shù)的背影．導(dǎo)數(shù)的概念．多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值．函數(shù)的最大值和最小值．考試要求：（1）了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景．（2）理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．（3）掌握函數(shù)，y=c(c為常數(shù))、y=xn(n∈N+)的導(dǎo)數(shù)公式，會(huì)求多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．（4）理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念，并會(huì)用導(dǎo)數(shù)求多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值和最小值．（5）會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求某些簡(jiǎn)單實(shí)際問題的最大值和最小值．

14.導(dǎo)數(shù)知識(shí)要點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的幾何意義、物理意義常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的極值函數(shù)的最值導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)的簡(jiǎn)稱）的定義：設(shè)x0是函數(shù)yf(x)定義域的一點(diǎn)，如果自變量x在x0處有增量x，則函數(shù)值y也引起相應(yīng)的增量yf(x0x)f(x0)；比值yf(x0x)f(x0)稱為函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0到x0x之間的平均變化率；如果極限xxf(x0x)f(x0)y存在，則稱函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做limx0xx0xlim記作f"(x0)或y"|xx0，即f"(x0)=limyf(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)，

f(x0x)f(x0)y.limx0xx0x注：①x是增量，我們也稱為“改變量”，因?yàn)閤可正，可負(fù)，但不為零.

②以知函數(shù)yf(x)定義域?yàn)锳，yf"(x)的定義域?yàn)锽，則A與B關(guān)系為AB.2.函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)與點(diǎn)x0處可導(dǎo)的關(guān)系：

⑴函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)是yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)的必要不充分條件.可以證明，如果yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，那么yf(x)點(diǎn)x0處連續(xù).事實(shí)上，令xx0x，則xx0相當(dāng)于x0.

1

于是limf(x)limf(x0x)lim[f(xx0)f(x0)f(x0)]

xx0x0x0lim[x0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)xf(x0)]limlimlimf(x0)f"(x0)0f(x0)f(x0).x0x0x0xxy|x|，當(dāng)x＞0時(shí)，xx⑵如果yf(x)點(diǎn)x0處連續(xù)，那么yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，是不成立的.例：f(x)|x|在點(diǎn)x00處連續(xù)，但在點(diǎn)x00處不可導(dǎo)，因?yàn)閥yy不存在.1；當(dāng)x＜0時(shí)，1，故limx0xxx注：①可導(dǎo)的奇函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù).②可導(dǎo)的偶函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).

3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線yf(x)在點(diǎn)(x0,f(x))處的切線的斜率，也就是說，曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0,f(x))處的切線的斜率是f"(x0)，切線方程為

yy0f"(x)(xx0).

4.求導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：

(uv)"u"v"yf1(x)f2(x)...fn(x)y"f1"(x)f2"(x)...fn"(x)

(uv)"vu"v"u(cv)"c"vcv"cv"（c為常數(shù)）

vu"v"uu(v0)2vv"注：①u,v必須是可導(dǎo)函數(shù).

②若兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個(gè)函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、

積、商不一定不可導(dǎo).例如：設(shè)f(x)2sinx22，g(x)cosx，則f(x),g(x)在x0處均不可導(dǎo)，但它們和xxf(x)g(x)sinxcosx在x0處均可導(dǎo).

5.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：fx"((x))f"(u)"(x)或y"xy"uu"x復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形.

6.函數(shù)單調(diào)性：

⑴函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f"(x)＞0，則yf(x)為增函數(shù)；如果f"(x)＜0，則yf(x)為減函數(shù).⑵常數(shù)的判定方法；

如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間I內(nèi)恒有f"(x)=0，則yf(x)為常數(shù).

注：①f(x)0是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一個(gè)點(diǎn)例外即x=0時(shí)f（x）=0，同樣f(x)0是f（x）遞減的充分非必

2

要條件.

②一般地，如果f（x）在某區(qū)間內(nèi)有限個(gè)點(diǎn)處為零，在其余各點(diǎn)均為正（或負(fù)），那么f（x）在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的.7.極值的判別方法：（極值是在x0附近所有的點(diǎn)，都有f(x)＜f(x0)，則f(x0)是函數(shù)f(x)的極大值，極小值同理）

當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)，

①如果在x0附近的左側(cè)f"(x)＞0，右側(cè)f"(x)＜0，那么f(x0)是極大值；②如果在x0附近的左側(cè)f"(x)＜0，右側(cè)f"(x)＞0，那么f(x0)是極小值.

也就是說x0是極值點(diǎn)的充分條件是x0點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)，而不是f"(x)=0.此外，函數(shù)不

①

可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).當(dāng)然，極值是一個(gè)局部概念，極值點(diǎn)的大小關(guān)系是不確定的，即有可能極大值比極小值小（函數(shù)在某一點(diǎn)附近的點(diǎn)不同）.

②

注①：若點(diǎn)x0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，則f"(x)=0.但反過來不一定成立.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，其一點(diǎn)x0是極值點(diǎn)的必要條件是若函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)值為零.例如：函數(shù)yf(x)x3，x0使f"(x)=0，但x0不是極值點(diǎn).

②例如：函數(shù)yf(x)|x|，在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)，但點(diǎn)x0是函數(shù)的極小值點(diǎn).

8.極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對(duì)函數(shù)值進(jìn)行比較，最值是在整體區(qū)間上對(duì)函數(shù)值進(jìn)行比較.注：函數(shù)的極值點(diǎn)一定有意義.9.幾種常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)：

"I.C"0（C為常數(shù)）(sinx)cosx(arcsinx)"11x2

(xn)"nxn1（nR）(cosx)"sinx(arccosx)"11x2

1"11"(arctanx)II.(lnx)(logax)logae

xxx21"(ex)"ex(ax)"axlna(arccotx)"III.求導(dǎo)的常見方法：①常用結(jié)論：(ln|x|)"1x21

(xa1)(xa2)...(xan)1.②形如y(xa1)(xa2)...(xan)或y兩

(xb1)(xb2)...(xbn)x邊同取自然對(duì)數(shù)，可轉(zhuǎn)化求代數(shù)和形式.

③無理函數(shù)或形如yxx這類函數(shù)，如yxx取自然對(duì)數(shù)之后可變形為lnyxlnx，對(duì)兩邊

y"1lnxxy"ylnxyy"xxlnxxx.求導(dǎo)可得yx3

導(dǎo)數(shù)中的切線問題

例題1：已知切點(diǎn)，求曲線的切線方程

曲線yx33x21在點(diǎn)(1，1)處的切線方程為（）

例題2：已知斜率，求曲線的切線方程

與直線2xy40的平行的拋物線yx2的切線方程是（）

注意：此題所給的曲線是拋物線，故也可利用法加以解決，即設(shè)切線方程為y2xb，代入yx2，得x22xb0，又因?yàn)?，得b1，故選Ｄ．

例題3：已知過曲線上一點(diǎn)，求切線方程

過曲線上一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，故應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法．求過曲線yx32x上的點(diǎn)(1，1)的切線方程．

例題4：已知過曲線外一點(diǎn)，求切線方程

1求過點(diǎn)(2，0)且與曲線y相切的直線方程．

x4

練習(xí)題：已知函數(shù)yx33x，過點(diǎn)A(016)，作曲線yf(x)的切線，求此切線方程．看看幾個(gè)高考題

1.（201*全國(guó)卷Ⅱ）曲線yx在點(diǎn)1,1處的切線方程為2x122.（201*江西卷）設(shè)函數(shù)f(x)g(x)x，曲線yg(x)在點(diǎn)(1,g(1))處的切線方程為y2x1，則曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1))處切線的斜率為

3.（201*寧夏海南卷）曲線yxe2x1在點(diǎn)（0,1）處的切線方程為。4.（201*浙江）（本題滿分15分）已知函數(shù)f(x)x(1a)xa(a2)xb(a,bR)．（I）若函數(shù)f(x)的圖象過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率是3，求a,b的值；5.（201*北京）（本小題共14分）

設(shè)函數(shù)f(x)x3axb(a0).

（Ⅰ）若曲線yf(x)在點(diǎn)(2,f(x))處與直線y8相切，求a,b的值；

332x.1函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)

1．利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷函數(shù)單調(diào)性:一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo)，

如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)f(x)0，則yf(x)為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的；如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)f(x)0，則yf(x)為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的。2．利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性的步驟：

(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；

(3)解不等式f(x)＞0，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；解不等式f(x)＜0，得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．

5

""

【例題講解】

a)b)

確定函數(shù)f(x)=2x3－6x2+7在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是減函數(shù).

【課堂練習(xí)】

1．確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1)y=x3－9x2+24x(2)y=3x－x3

２．已知函數(shù)f(x)xlnx，則（）

A．在(0,)上遞增B．在(0,)上遞減

求證：yx1在(,0)上是增函數(shù)。

311ee32３．函數(shù)f(x)x3x5的單調(diào)遞增區(qū)間是_____________．

C．在0,上遞增D．在0,上遞減

6

函數(shù)圖象及其導(dǎo)函數(shù)圖象31.函數(shù)yf(x)在定義域(,3)內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如

2圖，記yf(x)的導(dǎo)函數(shù)為yf(x)，則不等式f(x)0的解集為_____________2.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(//3,3)，導(dǎo)函數(shù)2yf(x)

3f(x)在(,3)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)2的單調(diào)增區(qū)間是_____________

3.如圖為函數(shù)f(x)ax3bx2cxd的圖象，f"(x)為函數(shù)

f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式xf"(x)0的解集為______

-3yo3x

4.若函數(shù)f(x)xbxc的圖象的頂點(diǎn)在第四象限，則其導(dǎo)函數(shù)f"(x)的圖象是（）

2

5.函數(shù)yf(x)的圖象過原點(diǎn)且它的導(dǎo)函數(shù)f"(x)的圖象是如圖所示的一

條直線，則yf(x)圖象的頂點(diǎn)在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限6.(201*年廣東佛山)設(shè)f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),yf(x)的圖象如右圖所示，則yf(x)的圖象最有可能的是（）

yyy2yyf(x)

y

O12xO12A

xO12B

xO1CxO12Dx7.設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=f(x)的圖象如下左圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖象可能

為()

7

8.（安微省合肥市201*年高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)文科）函數(shù)yf(x)的圖像如下右圖

所示，則yf(x)的圖像可能是

（）

9.(201*年3月廣東省深圳市高三年級(jí)第一次調(diào)研考試文科)已

yox(x)ax2bxc的圖象如右圖，則知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)ff(x)的圖象可能是()

10.（201*年浙江省寧波市高三“十�！甭�(lián)考文科）如右圖所示是某一

容器的三視圖，現(xiàn)向容器中勻速注水，容器中水面的高度h隨時(shí)間t變化的可能圖象是（）hhhOtOtO

(A)(B)(C)

正視圖側(cè)視圖h俯視圖tOt"(D)

11.(201*廣州二模文、理)已知二次函數(shù)fx的圖象如圖1所示,則其導(dǎo)函數(shù)f象大致形狀是（）

x的圖

8

12.（201*湖南卷文）若函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù)，則函數(shù)yf(x)．．．

在區(qū)間[a,b]上的圖象可能是yyy

()yoabxoA．B．C．D．

a

obxa

obxa

bx

13.（福建卷11）如果函數(shù)yf(x)的圖象如右圖，那么導(dǎo)

函數(shù)yf(x)的圖象可能是()

14.（201*年福建卷12)已知函數(shù)y=f(x),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖，那么

y=f(x),y=g(x)的圖象可能是（）

15.(201*珠海一模文、理)設(shè)f"(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，將yf(x)和yf"(x)的圖

像畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是（）

9

A．

B．C．D．y

16.(湖南省株洲市201*屆高三第二次質(zhì)檢)已知函數(shù)

則（）yf(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖像如下，函數(shù)f(x)有1個(gè)極大值點(diǎn)，1個(gè)極小值點(diǎn)

f(x)有2個(gè)極大值點(diǎn)，2個(gè)極小值點(diǎn)

函數(shù)f(x)有3個(gè)極大值點(diǎn)，1個(gè)極小值點(diǎn)函數(shù)f(x)有1個(gè)極大值點(diǎn)，3個(gè)極小值點(diǎn)

函數(shù)

1xx2x3Ox4x

17.(201*珠海質(zhì)檢理)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/p>

(a,b)，其導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）

(A).1

(B).2(C).3(D).4

118.【湛江市文】函數(shù)f(x)lnxx2的圖象大致是

2

yOyyyxOxOxOxA．B．C．D．

219.【珠海文】如圖是二次函數(shù)f(x)xbxa的部分圖

象，則函數(shù)g(x)lnxf(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）

111422C.(1,2)D.(2,3)

A.(,)B.(,1)

20.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(4)1．f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，已知函數(shù)yf(x)的圖象如右圖所示.若兩正數(shù)a,b滿足yb2的取值范圍是（）f(2ab)1，則a210

Ox

1111)B．(,)3,C．(,3)D．(,3)A．(,22)ax3bx2cx在點(diǎn)x0處取得極大值5，

f"(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0)，(2,0)，如圖所

的值.11

3221.已知函數(shù)f(x其導(dǎo)函數(shù)y示.求：

（Ⅰ）x0的值；（Ⅱ）a,b,c

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