高中數(shù)學(xué)必修1-4知識(shí)點(diǎn)歸納

高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測(cè)試必修1-4知識(shí)點(diǎn)總結(jié)高二數(shù)學(xué)組全體老師預(yù)祝同學(xué)們本次學(xué)業(yè)水平測(cè)試馬到成功！201*.1.10必修1數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)第一章、集合與函數(shù)概念 1.1.1、集合1、把研究的對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。集合三要素：確定性、互異性、無(wú)序性。2、只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，就稱這兩個(gè)集合相等。3、常見集合：正整數(shù)集合：N*或N，整數(shù)集合：Z，有理數(shù)集合：Q，實(shí)數(shù)集合：R.4、集合的表示方法：列舉法、描述法. 1.1.2、集合間的基本關(guān)系1、一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A、B，如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，則稱集合A是集合B的子集。記作AB.2、如果集合AB，但存在元素xB，且xA，則稱集合A是集合B的真子集.記作：AB.3、把不含任何元素的集合叫做空集.記作：.并規(guī)定：空集合是任何集合的子集.4、如果集合A中含有n個(gè)元素，則集合A有2n個(gè)子集. 1.1.3、集合間的基本運(yùn)算1、一般地，由所有屬于集合A或集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集.記作：AB.2、一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集.記作：AB.3、全集、補(bǔ)集？CUA{x|xU,且xU} 1.2.1、函數(shù)的概念1、設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有惟一確定的數(shù)fx和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f:AB為集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作：yfx,xA.2、一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域.如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則稱這兩個(gè)函數(shù)相等. 1.2.2、函數(shù)的表示法1、函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法、列表⑵arsarsa0,r,sQ；法. 1.3.1、單調(diào)性與最大（小）值⑶abrarbra0,b0,rQ.1、注意函數(shù)單調(diào)性證明的一般格式： 2.1.2、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)解：設(shè)x1,x2a,b且x1x2，則：1、記住圖象：yaxa0,a1fx1fx2=… 1.3.2、奇偶性1、一般地，如果對(duì)于函數(shù)fx的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有fxfx，那么就稱函數(shù) 2.2.1、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算1、axNlogaNx；fx為偶函數(shù).偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.2、alogaNa.2、一般地，如果對(duì)于函數(shù)fx的定義域內(nèi)任意3、loga10，logaa1.一個(gè)x，都有fxfx，那么就稱函數(shù)4、當(dāng)a0,a1,M0,N0時(shí)：fx為奇函數(shù).奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.第二章、基本初等函數(shù)（Ⅰ）⑴logaMNlogaMlogaN； 2.1.1、指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算M1、一般地，如果xn⑵a，那么x叫做a的n次logaNlogaMlogaN；方根。其中n1,nN.⑶logaMnnlogaM.2、當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，nana；5、換底公式：loglogcbablogac當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，nana.a0,a1,c0,c1,b0.3、我們規(guī)定：n6、logab1⑴ammanlogbaa0,m,nN*,m1；a0,a1,b0,b1. 2..2.2、對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)⑵an1ann0；1、記住圖象：ylogaxa0,a14、運(yùn)算性質(zhì)：⑴arasarsa0,r,sQ；-1- 2.3、冪函數(shù)1、幾種冪函數(shù)的圖象：

第三章、函數(shù)的應(yīng)用 3.1.1、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)1、方程fx0有實(shí)根函數(shù)yfx的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yfx有零點(diǎn).2、性質(zhì)：如果函數(shù)yfx在區(qū)間a,b上的

圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有

fafb0，那么，函數(shù)yfx在區(qū)間a,b內(nèi)有零點(diǎn)，即存在ca,b，使得

fc0，這個(gè)c也就是方程fx0的根.

3.1.2、用二分法求方程的近似解1、掌握二分法. 3.2.1、幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型 3.2.2、函數(shù)模型的應(yīng)用舉例1、解決問(wèn)題的常規(guī)方法：先畫散點(diǎn)圖，再用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)擬合，最后檢驗(yàn).必修2數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測(cè)試必修1-4知識(shí)點(diǎn)總結(jié)高二數(shù)學(xué)組全體老師預(yù)祝同學(xué)們本次學(xué)業(yè)水平測(cè)試馬到成功！201*.1.10⑴常見的多面體有：棱柱、棱錐、棱臺(tái)；常見的旋那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線。⑷一般式：AxByC02、兩圓位置關(guān)系：dO1O2轉(zhuǎn)體有：圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球。4、公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.⑵棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。⑶棱臺(tái)：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，5、定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。6、線線位置關(guān)系：平行、相交、異面。7、線面位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)、直線和平面平3、對(duì)于直線：l1:yk1xb1,l2:yk2xb2有：⑴外離：dRr；⑵外切：dRr；⑶相交：RrdRr；⑷內(nèi)切：dRr；⑸內(nèi)含：dRr.3、空間中兩點(diǎn)間距離公式：底面與截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺(tái)。2、空間幾何體的三視圖和直觀圖把光由一點(diǎn)向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影線交于一點(diǎn)；把在一束平行光線照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影線是平行的。3、空間幾何體的表面積與體積⑴圓柱側(cè)面積；S側(cè)面2rl⑵圓錐側(cè)面積：S側(cè)面rl⑶圓臺(tái)側(cè)面積：S側(cè)面rlRl⑷體積公式：VSh；V1柱體錐體3Sh；V1臺(tái)體3S上S上S下S下h⑸球的表面積和體積：S4R2球，V43球3R.第二章：點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1、公理1：如果一條直線上兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。2、公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。3、公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，

行、直線和平面相交。⑴l//lk1k212；8、面面位置關(guān)系：平行、相交。b1b29、線面平行：⑴判定：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平⑵l1和l2相交k1k2；行，則該直線與此平面平行。⑵性質(zhì)：一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線⑶lk1k21和l2重合；的任一平面與此平面的交線與該直線平行。b1b210、面面平行：⑴判定：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面⑷l1l2k1k21.平行，則這兩個(gè)平面平行。4、對(duì)于直線：⑵性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。l1:A1xB1yC10,11、線面垂直：l2:A2xB有：2yC20⑴定義：如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線，那么就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面垂直。⑴lA1B2A2B11//l2⑵判定：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都B1C2B；2C1垂直，則該直線與此平面垂直。⑶性質(zhì)：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。⑵l1和l2相交A1B2A2B1；12、面面垂直：⑴定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是⑶lA1B2A2B11和l2重合直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直。B1C2B；2C1⑵判定：一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面垂直。⑷l1l2A1A2B1B20.⑶性質(zhì)：兩個(gè)平面互相垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于5、兩點(diǎn)間距離公式：交線的直線垂直于另一個(gè)平面。22第三章：直線與方程P1P2x2x1y2y11、傾斜角與斜率：ktany2y1x6、點(diǎn)到直線距離公式：dAx0By0C2x1A2B22、直線方程：⑴點(diǎn)斜式：yy第四章：圓與方程0kxx01、圓的方程：⑵斜截式：ykxb⑴標(biāo)準(zhǔn)方程：xa2yb2r2yy2⑶兩點(diǎn)式：1xx1y⑵一般方程：xy2DxEyF0.2y1x2x1-2-

P221P2x2x1y2y1z22z1必修3數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)第一章：算法1、算法三種語(yǔ)言：自然語(yǔ)言、流程圖、程序語(yǔ)言；2、算法的三種基本結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)3、流程圖中的圖框：起止框、輸入輸出框、處理框、判斷框、流程線等規(guī)范表示方法；4、循環(huán)結(jié)構(gòu)中常見的兩種結(jié)構(gòu)：當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)、直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)第二章：統(tǒng)計(jì)1、抽樣方法：①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（總體個(gè)數(shù)較少）②系統(tǒng)抽樣（總體個(gè)數(shù)較多）③分層抽樣（總體中差異明顯）注意：在N個(gè)個(gè)體的總體中抽取出n個(gè)個(gè)體組成樣本，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)（概率）均為n。

N2、總體分布的估計(jì)：⑴一表二圖：①頻率分布表數(shù)據(jù)詳實(shí)②頻率分布直方圖分布直觀③頻率分布折線圖便于觀察總體分布趨勢(shì)注：總體分布的密度曲線與橫軸圍成的面積為1。⑵莖葉圖：①莖葉圖適用于數(shù)據(jù)較少的情況，從中便于看出數(shù)據(jù)的分布，以及中位數(shù)、眾位數(shù)等。②個(gè)位數(shù)為葉，十位數(shù)為莖，右側(cè)數(shù)據(jù)按照從小到大書寫，相同的藥重復(fù)寫。3、總體特征數(shù)的估計(jì)：⑴平均數(shù)：xx1x2x3xnn；取值為x1,x2,,xn的頻率分別為p1,p2,,pn，則其平均數(shù)為x1p1x2p2xnpn；

高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測(cè)試必修1-4知識(shí)點(diǎn)總結(jié)高二數(shù)學(xué)組全體老師預(yù)祝同學(xué)們本次學(xué)業(yè)水平測(cè)試馬到成功！201*.1.10注意：頻率分布表計(jì)算平均數(shù)要取組中值。⑴幾何概型的特點(diǎn)：4、誘導(dǎo)公式五：Px,y，那么：⑵方差與標(biāo)準(zhǔn)差：一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,,xn①所有的基本事件是無(wú)限個(gè)；sincos,②每個(gè)基本事件都是等可能發(fā)生。y2n2.siny,cosx,tan1方差：s2(xix)；xd的測(cè)度⑵幾何概型概率計(jì)算公式：P(A)；ni1D的測(cè)度cossin.2、設(shè)點(diǎn)Ax0,y0為角終邊上任意一點(diǎn)，那么：n2標(biāo)準(zhǔn)差：s1n(xix)i1注：方差與標(biāo)準(zhǔn)差越小，說(shuō)明樣本數(shù)據(jù)越穩(wěn)定。平均數(shù)反映數(shù)據(jù)總體水平；方差與標(biāo)準(zhǔn)差反映數(shù)據(jù)的穩(wěn)定水平。⑶線性回歸方程①變量之間的兩類關(guān)系：函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系；②制作散點(diǎn)圖，判斷線性相關(guān)關(guān)系③線性回歸方程：ybxa（最小二乘法）nxiyinxybi1n2x2inxi1aybx注意：線性回歸直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(x,y)。第三章：概率1、隨機(jī)事件及其概率：⑴事件：試驗(yàn)的每一種可能的結(jié)果，用大寫英文字母表示；⑵必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的特點(diǎn)；⑶隨機(jī)事件A的概率：P(A)mn,0P(A)1；2、古典概型：⑴基本事件：一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)基本結(jié)果；⑵古典概型的特點(diǎn)：①所有的基本事件只有有限個(gè)；②每個(gè)基本事件都是等可能發(fā)生。⑶古典概型概率計(jì)算公式：一次試驗(yàn)的等可能基本事件共有n個(gè)，事件A包含了其中的m個(gè)基本事件，則事件A發(fā)生的概率P(A)mn。3、幾何概型：

其中測(cè)度根據(jù)題目確定，一般為線段、角度、面積、體積等。（設(shè)rx220y0）4、互斥事件：⑴不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件稱為互斥事件；siny0x0y0r，cosr，tanx.0⑵如果事件A1,A2,,An任意兩個(gè)都是互斥事件，則稱事件AA3、sin，cos，tan在四個(gè)象限的符號(hào)和三1,2,,An彼此互斥。⑶如果事件A，B互斥，那么事件A+B發(fā)生的概角函數(shù)線的畫法.率，等于事件A，B發(fā)生的概率的和，4、誘導(dǎo)公式一：即：P(AB)P(A)P(B)sin2ksin,⑷如果事件A1,A2,,An彼此互斥，則有：cos2kcos,（其中：kZ）P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)tan2ktan.⑸對(duì)立事件：兩個(gè)互斥事件中必有一個(gè)要發(fā)生，則稱這兩個(gè)事件為對(duì)立事件。5、特殊角0°，30°，45°，60°，①事件90°，180°，270°的三角函數(shù)值.A的對(duì)立事件記作AP(A)P(A)1,P(A)1P(A)643②對(duì)立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是對(duì)立sin事件。cos必修4數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)tan第一章、三角函數(shù) 1.2.2、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 1.1.1、任意角1、平方關(guān)系：sin2cos21.1、正角、負(fù)角、零角、象限角的概念.2、與角終邊相同的角的集合：2、商數(shù)關(guān)系：tansincos.2k,kZ. 1.3、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 1.1.2、弧度制sinsin,1、把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧1、誘導(dǎo)公式二：coscos,度的角.tantan.2、lr.sinsin,3、弧長(zhǎng)公式：lnR2、誘導(dǎo)公式三：coscos,180R.tantan.4、扇形面積公式：SnR2sin,36012lR.sin3、誘導(dǎo)公式四：coscos, 1.2.1、任意角的三角函數(shù)tantan.1、設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)-3-

2sincos,5、誘導(dǎo)公式六：2cossin.2 1.4.1、正弦、余弦函數(shù)的圖象1、記住正弦、余弦函數(shù)圖象：2、能夠?qū)φ請(qǐng)D象講出正弦、余弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)：定義域、值域、最大最小值、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心、奇偶性、單調(diào)性、周期性.3、會(huì)用五點(diǎn)法作圖. 1.4.2、正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)1、周期函數(shù)定義：對(duì)于函數(shù)fx，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有fxTfx，那么函數(shù)fx就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期. 1.4.3、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)1、記住正切函數(shù)的圖象：2、能夠?qū)φ請(qǐng)D象講出正切函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)：定義域、值域、對(duì)稱中心、奇偶性、單調(diào)性、周期性. 1.5、函數(shù)yAsinx的圖象1、能夠講出函數(shù)ysinx的圖象和函數(shù)yAsinxb的圖象之間的平移伸縮變換關(guān)系.2、對(duì)于函數(shù)：高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測(cè)試必修1-4知識(shí)點(diǎn)總結(jié)高二數(shù)學(xué)組全體老師預(yù)祝同學(xué)們本次學(xué)業(yè)水平測(cè)試馬到成功！201*.1.10振幅yAsinxbA0,0有：A，周期T率f1T2、平面向量共線定理：向量aa0與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba. 2.3.1、平面向量基本定理1、平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1,2，使3、aa.4、a5、abab0.22a2.212sin，2，初相，相位x，頻變形1：cos21cos2，22. 2.4.2、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角1、設(shè)ax1,y1,bx2,y2，則：變形2：sin21cos2.2第二章、平面向量 2.1.1、向量的物理背景與概念1、了解四種常見向量：力、位移、速度、加速度.3、tan2⑴abx1x2y1y22tan.21tan2、既有大小又有方向的量叫做向量. 2.1.2、向量的幾何表示1、帶有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.2、向量AB的大小，也就是向量AB的長(zhǎng)度（或稱模），記作AB；長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量；長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量叫做單位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共線向量）.規(guī)定：零向量與任意向量平行. 2.1.3、相等向量與共線向量1、長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 2.2.1、向量加法運(yùn)算及其幾何意義1、三角形法則和平行四邊形法則.2、ab≤ab. 2.2.2、向量減法運(yùn)算及其幾何意義1、與a長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做a的相反向量. 2.2.3、向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義1、規(guī)定：實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘.記作：a，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：⑴aa,⑵當(dāng)0時(shí),a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí),a的方向與a的方向相反.a1e12e2. 2.3.2、平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示1、axiyjx,y. 2.3.3、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1、設(shè)ax1,y1,bx2,y2，則：⑴abx1x2,y1y2，⑵abx1x2,y1y2，⑶ax1,y1，⑷a//bx1y2x2y1.2、設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則：ABx2x1,y2y1. 2.3.4、平面向量共線的坐標(biāo)表示1、設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，則⑴線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為x1x2y1y22,2，⑵△ABC的重心坐標(biāo)為x1x2x3y1y2y33,3. 2.4.1、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義1、ababcos.2、a在b方向上的投影為：acos.⑵ax221y1⑶abx1x2y1y202、設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則：ABx22x1y22y1.第三章、三角恒等變換 3.1.1、兩角差的余弦公式1、coscoscossinsin2、記住15°的三角函數(shù)值：sincostan2621264423 3.1.2、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式1、coscoscossinsin2、sinsincoscossin3、sinsincoscossin4、tantantan1tantan.5、tantantan1tantan. 3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、sin22sincos，變形：sincos12sin2.2、cos2cos2sin22cos21

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高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯總

總目錄：1．集合2．函數(shù)

3．基本初等函數(shù)4．立體幾何初步5．平面解析幾何初步6．基本初等函數(shù)7．平面向量8．三角恒等變換9．解三角形10.數(shù)列11.不等式

1集合

一定范圍的，確定的，可以區(qū)別的事物，當(dāng)作一個(gè)整體來(lái)看待，就叫做集合，簡(jiǎn)稱集，其中各事物叫做集合的元素或簡(jiǎn)稱元。如（1）阿Q正傳中出現(xiàn)的不同漢字（2）全體英文大寫字母集合的分類:

并集：以屬于A或?qū)儆贐的元素為元素的集合稱為A與B的并（集），記作A∪B（或B∪A），讀作—A并B‖（或—B并A‖），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}交集：以屬于A且屬于B的元素為元素的集合稱為A與B的交（集），記作A∩B（或B∩A），讀作—A交B‖（或—B交A‖），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}

差：以屬于A而不屬于B的元素為元素的集合稱為A與B的差（集）注:空集包含于任何集合，但不能說(shuō)—空集屬于任何集合注:空集屬于任何集合,但它不屬于任何元素.

某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，含有有限個(gè)元素叫有限集，含有無(wú)限個(gè)元素叫無(wú)限集，空集是不含任何元素的集，記做Φ。集合的性質(zhì)：確定性：每一個(gè)對(duì)象都能確定是不是某一集合的元素，沒(méi)有確定性就不能成為集合，例如—個(gè)子高的同學(xué)‖—很小的數(shù)‖都不能構(gòu)成集合。

互異性：集合中任意兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象。不能寫成{1，1，2}，應(yīng)寫成{1，2}。無(wú)序性：{a,b,c}{c,b,a}是同一個(gè)集合

集合有以下性質(zhì)：若A包含于B，則A∩B=A，A∪B=B

常用數(shù)集的符號(hào)：

（1）全體非負(fù)整數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N（2）非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集，也稱正整數(shù)集，記作N+（或N*）（3）全體整數(shù)的集合通常稱作整數(shù)集，記作Z

（4）全體有理數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱有理數(shù)集，記作Q（5）全體實(shí)數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱實(shí)數(shù)集，級(jí)做R

集合的運(yùn)算：1.交換律A∩B=B∩AA∪B=B∪A2.結(jié)合律

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)3.分配律

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

例題

已知集合A＝｛a2，a＋1，－3｝，B＝｛a－3，2a－1，a2＋1｝，且A∩B＝｛－3｝，求實(shí)數(shù)a的值．

∵A∩B＝｛－3｝∴－3∈B．

①若a－3＝－3，則a＝0，則A＝｛0，1，－3｝，B＝｛－3，－1，1｝∴A∩B＝｛－3，1｝與∩B＝｛－3｝矛盾，所以a－3≠－3．②若2a－1＝－3，則a＝－1，則A＝｛1，0，－3｝，B＝｛－4，－3，2｝此時(shí)A∩B＝｛－3｝符合題意，所以a＝－1．

2函數(shù)

函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮.

如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2,當(dāng)x1y=kx+b

則此時(shí)稱y是x的一次函數(shù)。當(dāng)b=0時(shí)，y是x的正比例函數(shù)。即：y=kx（k為常數(shù)，k≠0）

例證明函數(shù)在上是增函數(shù)．

1．分析解決問(wèn)題針對(duì)學(xué)生可能出現(xiàn)的問(wèn)題，組織學(xué)生討論、交流．

證明：任取

,設(shè)元

求差

變形

,

斷號(hào)

∴∴

即

∴函數(shù)在上是增函數(shù)．定論

3基本初等函數(shù)

指數(shù)函數(shù)的一般形式為y=a^x(a>0且不=1)，從上面我們對(duì)于冪函數(shù)的討論就可以知道，要想使得x能夠取整個(gè)實(shí)數(shù)集合為定義域，則只有使得如圖所示為a的不同大小影響函數(shù)圖形的情況。在函數(shù)y=a^x中可以看到：

（1）指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)樗�有�?shí)數(shù)的集合，這里的前提是a大于0且不等于1，對(duì)于a不大于0的情況，則必然使得函數(shù)的定義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因此我們不予考慮，同時(shí)a等于０一般也不考慮。

（2）指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)榇笥?的實(shí)數(shù)集合。（3）函數(shù)圖形都是下凹的。

（4）a大于1，則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增；a小于1大于0，則為單調(diào)遞減的。

（5）可以看到一個(gè)顯然的規(guī)律，就是當(dāng)a從0趨向于無(wú)窮大的過(guò)程中（當(dāng)然不能等于0），函數(shù)的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置，趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負(fù)半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個(gè)過(guò)渡位置。

（6）函數(shù)總是在某一個(gè)方向上無(wú)限趨向于X軸,永不相交。（7）函數(shù)總是通過(guò)（0，1）這點(diǎn)（8）顯然指數(shù)函數(shù)無(wú)界。

（9）指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。

例1：下列函數(shù)在R上是增函數(shù)還是減函數(shù)？⑴y=4^x

因?yàn)?>1，所以y=4^x在R上是增函數(shù)；⑵y=(1/4)^x

因?yàn)?并且下凹。

（5）顯然對(duì)數(shù)函數(shù)無(wú)界。對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：

如果a〉0，且a不等于1,M>0,N>0，那么：（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);

（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M)（n屬于R）

4立體幾何初步

1.1.1構(gòu)成空間幾何體的基本元素柱1.1.2棱、棱錐和棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征1.1.3圓柱、圓錐和圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征1.1.4投影與直觀圖1.1.5三視圖

1.1.6棱柱、棱錐和棱臺(tái)的表面積1.1.7柱、錐和臺(tái)的體積

棱柱表面積A=L*H+2*S,體積V=S*H(L--底面周長(zhǎng),H--柱高,S--底面面積)

圓柱表面積A=L*H+2*S=2π*R*H+2π*R^2,體積V=S*H=π*R^2*H(L--底面周長(zhǎng),H--柱高,S--底面面積,R--底面圓半徑)球體表面積A=4π*R^2,體積V=4/3π*R^3(R-球體半徑)

圓錐表面積A=1/2*s*L+π*R^2,體積V=1/3*S*H=1/3π*R^2*H(s--圓錐母線長(zhǎng),L--底面周長(zhǎng),R--底面圓半徑,H--圓錐高)棱錐表面積A=1/2*s*L+S,體積V=1/3*S*H

(s--側(cè)面三角形的高,L--底面周長(zhǎng),S--底面面積,H--棱錐高)

長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=（長(zhǎng)+寬）×2正方形a邊長(zhǎng)C＝4aS＝a2長(zhǎng)方形a和b－邊長(zhǎng)C＝2(a+b)

S＝ab三角形a,b,c－三邊長(zhǎng)h－a邊上的高

s－周長(zhǎng)的一半A,B,C－內(nèi)角其中s＝(a+b+c)/2S＝ah/2＝ab/2sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2a2sinBsinC/(2sinA)四邊形d,D－對(duì)角線長(zhǎng)α－對(duì)角線夾角S＝dD/2sinα平行四邊形a,b－邊長(zhǎng)h－a邊的高α－兩邊夾角S＝ah＝absinα菱形a－邊長(zhǎng)α－夾角D－長(zhǎng)對(duì)角線長(zhǎng)d－短對(duì)角線長(zhǎng)S＝Dd/2＝a2sinα梯形a和b－上、下底長(zhǎng)h－高

m－中位線長(zhǎng)S＝(a+b)h/2＝mhd－直徑C＝πd＝2πrS＝πr2＝πd2/4扇形r扇形半徑正方形的周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)×4長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬正方形的面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)三角形的面積=底×高÷2平行四邊形的面積=底×高梯形的面積=（上底+下底）×高÷2直徑=半徑×2半徑=直徑÷2圓的周長(zhǎng)=圓周率×直徑=圓周率×半徑×2圓的面積=圓周率×半徑×半徑長(zhǎng)方體的表面積=（長(zhǎng)×寬+長(zhǎng)×高＋寬×高）×2長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高正方體的表面積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6正方體的體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)圓柱的側(cè)面積=底面圓的周長(zhǎng)×高圓柱的表面積=上下底面面積+側(cè)面積圓柱的體積=底面積×高圓錐的體積=底面積×高÷3長(zhǎng)方體（正方體、圓柱體）的體積=底面積×高平面圖形名稱符號(hào)周長(zhǎng)C和面積Sa圓心角度數(shù)C＝2r＋2πr×(a/360)S＝πr2×(a/360)

弓形l－弧長(zhǎng)b－弦長(zhǎng)h－矢高r－半徑α－圓心角的度數(shù)S＝r2/2(πα/180-sinα)＝r2arccos[(r-h)/r]-(r-h)(2rh-h2)1/2＝παr2/360-b/2[r2-(b/2)2]1/2＝r(l-b)/2+bh/2

≈2bh/3圓環(huán)R－外圓半徑r－內(nèi)圓半徑D－外圓直徑d－內(nèi)圓直徑S＝π(R2-r2)＝π(D2-d2)/4橢圓D－長(zhǎng)軸d－短軸S＝πDd/4

立方圖形名稱符號(hào)面積S和體積V正方體a－邊長(zhǎng)S＝6a2V＝a3長(zhǎng)方體a－長(zhǎng)b－寬c－高S＝2(ab+ac+bc)

V＝abc棱柱S－底面積h－高V＝Sh棱錐S－底面積

h－高V＝Sh/3棱臺(tái)S1和S2－上、下底面積h－高V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3

擬柱體S1－上底面積S2－下底面積S0－中截面積h－高V＝h(S1+S2+4S0)/6圓柱r－底半徑h－高C底面周長(zhǎng)

S底底面積S側(cè)側(cè)面積S表表面積C＝2πrS底＝πr2S側(cè)＝ChS表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr2h空心圓柱R－外圓半徑r－內(nèi)圓半徑

h－高V＝πh(R2-r2)直圓錐r－底半徑h－高V＝πr2h/3圓臺(tái)r－上底半徑R－下底半徑

h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3球r－半徑

d－直徑V＝4/3πr3＝πd2/6球缺h－球缺高r－球半徑

a－球缺底半徑V＝πh(3a2+h2)/6＝πh2(3r-h)/3a2＝h(2r-h)球臺(tái)r1和r2－球臺(tái)上、下底半徑

h－高V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6圓環(huán)體R－環(huán)體半徑

D－環(huán)體直徑r－環(huán)體截面半徑d－環(huán)體截面直徑V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4

桶狀體D－桶腹直徑d－桶底直徑h－桶高V＝πh(2D2＋d2)/12(母線是圓弧形,圓心是桶的中心)

V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15(母線是拋物線形)三視圖的投影規(guī)則是：

主視、俯視長(zhǎng)對(duì)正主視、左視高平齊左視、俯視寬相等

點(diǎn)線面位置關(guān)系

公理一：如果一條線上的兩個(gè)點(diǎn)在平面上則該線在平面上公理二：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)則它們有一條公共直線且所有的公共點(diǎn)都在這條直線上公理三：三個(gè)不共線的點(diǎn)確定一個(gè)平面推論一：直線及直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面推論二：兩相交直線確定一個(gè)平面推論三：兩平行直線確定一個(gè)平面公理四：和同一條直線平行的直線平行異面直線定義：不平行也不相交的兩條直線

判定定理：經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過(guò)該店的直線是異面直線。等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，且方向相同，那么這兩個(gè)角相等

線線平行→線面平行如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。

線面平行→線線平行如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行。

線面平行→面面平行如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。

面面平行→線線平行如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。線線垂直→線面垂直如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。

線面垂直→線線平行如果連條直線同時(shí)垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。線面垂直→面面垂直如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。線面垂直→線線垂直線面垂直定義：如果一條直線a與一個(gè)平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線a垂直于平面α。

面面垂直→線面垂直如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。

三垂線定理如果平面內(nèi)的一條直線垂直于平面的血現(xiàn)在平面內(nèi)的射影，則這條直線垂直于斜線。例題

對(duì)于四面體ABCD,(1)若AB=AC,BD=CD如何證明BC垂直于AD?(2)若AB垂直于CD,BD垂直于AC,如何證明BC垂直于AD?

證明：

(1).取BC的中點(diǎn)F,連結(jié)AF,DF,則∵AB=AC,BD=CD，

∴△ABC與△DBC是等腰三角形，AF⊥BC,DF⊥BC.而AF∩DF=F,

∴BC⊥面AFD.又AD在平面AFD內(nèi)，∴BC

(2).設(shè)A在面BCD上的射影為O.連結(jié)BO,CO,DO.則∵CD⊥AB,CD⊥AO,AB∩AO=A,∴CD⊥面ABO.而BO在平面ABO內(nèi)，∴BO⊥CD.

同理，DO⊥BC.因此，O是△BCD的垂心，因此有CO⊥BD.

∵BD⊥CO,BD⊥AO,CO∩AO=O,∴BD⊥面AOC.而AC在平面AOC內(nèi)，∴BD⊥AC.

5平面解析幾何初步

兩點(diǎn)距離公式：根號(hào)[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]中點(diǎn)公式：X=(X1+X2)/2Y=(Y1+Y2)/2直線的斜率傾斜角不是90°的直線`，它的傾斜角的正切，叫做這條直線的斜率.通常用k來(lái)表示，記作：k=tga(0°≤a＜180°且a≠90°)傾斜角是90°的直線斜率不存在，傾斜角不是90°的直線都有斜率并且是確定的．

點(diǎn)斜式:y-y1=k(x-x1)；斜截式：y=kx+b；截距式：x/a+y/b=1

直線的標(biāo)準(zhǔn)方程：Ax+Bx+C=0圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2《2表示平方》圓與圓的位置關(guān)系：

1點(diǎn)在圓上(點(diǎn)到半徑的距離等于半徑)點(diǎn)在圓外(點(diǎn)到半徑的距離大于半徑)點(diǎn)在圓內(nèi)(點(diǎn)到半徑的距離小于半徑)2(1)相切:圓心到直線的距離等于半徑(2)相交:圓心到直線的距離小于半徑(3)相離:圓心到直線的距離大于半徑

3圓的切線是指垂直于半徑,直線到圓心距離等于半徑的直線,垂足叫切點(diǎn)4圓心距為Q大圓半徑為R小圓半徑為r兩圓外切Q=R+r

兩圓內(nèi)切Q=R-r(用大減小)兩圓相交QR+r兩圓內(nèi)含Qr,反之d>r則相離,相切則d=r,反之d=r則相切,相交則d空間中兩點(diǎn)P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)，中點(diǎn)P坐標(biāo)[（x1+x2）/2,(y1+y2)/2,(z1+z2)/2]

例題：

1直線L與直線3x+4y-7=0平行，且和兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為24，求直線L的方程。

解：

直線L與3x+4y-7平行，所以斜率相等，同為-3/4設(shè)直線的方程是y=(-3/4)x+b

它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,b),(4b/3,0)和兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為24(1/2)*|b|*|4b/3|=24|b|=36b=±6

直線L有兩條，方程分別是y=(-3/4)x+6或y=(-3/4)x-6

2求兩點(diǎn)(-5,-1),(-3,4)連成線段的垂直平分線的方程.解

設(shè)y=k1x+b1過(guò)兩點(diǎn)(-5,-1)(-3,4)得{-1=-5k1+b1{4=-3k1+b1解之得{k1=5/2；b1=23/2y=5x/2+23/2因?yàn)閗1*k2=-1

所以k2=-2/5(x1+x2)/2=(-5-3)/2=-4

(y1+y2)/2=(-1+4)/2=3/2(-4,3/2)過(guò)所求方程y=k2x+b3/2=-2/5*(-4)+bb=-1/10

所以y=-2x/5-1/10化簡(jiǎn)4x+10y+1=0

6基本初等函數(shù)

從其中一個(gè)頂點(diǎn)向一個(gè)邊引一條線，交另一邊上某一點(diǎn)，則這個(gè)圖形變成有一條公共邊且另一組邊在同一直線上的兩個(gè)三角形。有六個(gè)內(nèi)角，其中公共邊與另一組在同一直線上的邊相交形成的兩個(gè)角中，每一個(gè)角都是一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角，且是另一個(gè)三角形的一個(gè)外角……

另外還有大于平角小于周角的角。正弦函數(shù)sinθ=y/r余弦函數(shù)cosθ=x/r正切函數(shù)tanθ=y/x余切函數(shù)cotθ=x/y正割函數(shù)secθ=r/x余割函數(shù)cscθ=r/y

同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式：平方關(guān)系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)積的關(guān)系：sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα倒數(shù)關(guān)系：tanαcotα=1sinαcscα=1cosαsecα=1

一個(gè)園,弧長(zhǎng)和半徑相等時(shí)所對(duì)應(yīng)的角度是1弧度.弧度和角度的換算關(guān)系:弧度*180/(2*π)=角度

誘導(dǎo)公式★

常用的誘導(dǎo)公式有以下幾組：公式一：

設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：

設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)

函數(shù)類型第一象限第二象限第三象限第四象限正弦++余弦++正切++余切++

正弦函數(shù)的性質(zhì)：解析式：y=sinx圖像

波形圖像（由單位圓投影到坐標(biāo)系得出）定義域R(實(shí)數(shù))值域：

[-1，1]最值：①最大值：當(dāng)x=(π/2)+2kπ時(shí)，y(max)=1②最小值：當(dāng)x=-(π/2)+2kπ時(shí)，y(min)=-1

值點(diǎn)：(kπ,0)對(duì)稱性：

1)對(duì)稱軸：關(guān)于直線x=(π/2)+kπ對(duì)稱2)中心對(duì)稱：關(guān)于點(diǎn)(kπ,0)對(duì)稱周期：2π奇偶性：奇函數(shù)單調(diào)性：

在[-(π/2)+2kπ,(π/2)+2kπ]上是增函數(shù)，在[(π/2)+2kπ,(3π/2)+2kπ]上是減函數(shù)

余弦函數(shù)的性質(zhì)：余弦函數(shù)

圖像：波形圖像定義域：R值域：[-1，1]最值：

1）當(dāng)x=2kπ時(shí),y(max)=12）當(dāng)x=2kπ+π時(shí),y(min)=-1零值點(diǎn)：(π/2+kπ,0)

對(duì)稱性：

1）對(duì)稱軸：關(guān)于直線x=kπ對(duì)稱2）中心對(duì)稱：關(guān)于點(diǎn)(π/2+kπ,0)對(duì)稱

周期：2π

奇偶性：偶函數(shù)單調(diào)性：

在[2kπ-π,2kπ]上是增函數(shù)在[2kπ,2kπ+π]上是減函數(shù)

定義域：{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}值域：R

最值：無(wú)最大值與最小值零值點(diǎn)：(kπ,0)對(duì)稱性：軸對(duì)稱：無(wú)對(duì)稱軸

中心對(duì)稱：關(guān)于點(diǎn)(kπ,0)對(duì)稱周期：π

奇偶性：奇函數(shù)

單調(diào)性：在(-π/2+kπ,π/2+kπ)上都是增函數(shù)

7平面向量

坐標(biāo)表示法

平面向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底。由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量可表示成，由于與數(shù)對(duì)(x,y)是一一對(duì)應(yīng)的，因此把(x,y)叫做向量的坐標(biāo)，記作=(x,y)，其中x叫作在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)。

在數(shù)學(xué)中，我們通常用點(diǎn)表示位置，用射線表示方向．在平面內(nèi)，從任一點(diǎn)出發(fā)的所有射線，可以分別用來(lái)表示平面內(nèi)的各個(gè)方向

向量的表示向量常用一條有向線段來(lái)表示，有向線段的長(zhǎng)

度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向．向量也可用字母a①、b、c等表示，或用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示．

向量的大小，也就是向量的長(zhǎng)度(或稱模)，記作|a|長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記作0．長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫做單位向量．

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．向量a、b、c平行，記作a∥b∥c．0向量長(zhǎng)度為零，是起點(diǎn)與終點(diǎn)重合的向量，其方向不確定，我們規(guī)定0與任一向量平行．

長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a與b相等，記作a=b．零向量與零向量相等．任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段來(lái)表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)．

向量的運(yùn)算

1、向量的加法：AB+BC=AC

設(shè)a=（x,y）b=(x",y")則a+b=(x+x",y+y")

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。向量加法的性質(zhì)：交換律：a+b=b+a結(jié)合律：

(a+b)+c=a+(b+c)a+0=0+a=a2、向量的減法AB-AC=CBa-b=(x-x",y-y")若a//b則a=eb

則xy`-x`y=0若a垂直b則ab=0

則xx`+yy`=03、向量的乘法

設(shè)a=（x,y）b=(x",y")ab(點(diǎn)積）=xx"+yy"=|a||b|*cos夾角

1、向量有關(guān)概念：

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來(lái)表示，注意不能說(shuō)向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），則把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））

（2）零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；（3）單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；（4）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；（5）平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：‖，規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線,但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無(wú)傳遞性�。ㄒ�?yàn)橛?；④三點(diǎn)共線共線；（6）相反向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是

例題：

1.已知點(diǎn)A(1,1),B(-1,5)及AC向量=1/2AB向量，AD向量=2AB向量，AE向量=-1/2AB向量，求點(diǎn)C，D，E的坐標(biāo)。

設(shè)C點(diǎn)(x，y)，則AB＝(－2，4)，AC＝(x－1，y－1).由AC＝1/2AB得：x－1＝1/2×(－2)＝－1，y－1＝1/2×4＝2

所以，x＝0，y＝3，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,3)

設(shè)D點(diǎn)(x，y)，則AD＝(x－1，y－1).由AD＝2AB得：x－1＝2×(－2)＝－4，y－1＝2×4＝8

所以，x＝－3，y＝9，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)是(－3,9)

設(shè)E點(diǎn)(x，y)，則AE＝(x－1，y－1).由AE＝－1/2AB得：x－1＝－1/2×(－2)＝1，y－1＝－1/2×4＝－2

所以，x＝2，y＝－1，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2,－1)

8三角恒等變換

兩角和差公式

⒉兩角和與差的三角函數(shù)公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtanα＋tanβ

（α＋β）＝1－tanαtanβtanα－tanβtan（α－β）＝1＋tanαtanβ

倍角公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式（升冪縮角公式）sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)2tanαtan2α＝1－tan^2(α)

半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降冪擴(kuò)角公式）1－cosαsin^2(α/2)＝21＋cosαcos^2(α/2)＝21－cosαtan^2(α/2)＝1＋cosα

萬(wàn)能公式⒌萬(wàn)能公式

2tan(α/2)sinα＝1＋tan^2(α/2)1－tan^2(α/2)cosα＝1＋tan^2(α/2)2tan(α/2)tanα＝1－tan^2(α/2)

和差化積公式

⒎三角函數(shù)的和差化積公式α＋βα－βsinα＋sinβ＝2sin----cos---

22α＋βα－βsinα－sinβ＝2cos----sin----22

α＋βα－βcosα＋cosβ＝2cos-----cos-----22α＋βα－βcosα－cosβ＝－2sin-----sin-----

22

積化和差公式

⒏三角函數(shù)的積化和差公式

sinαcosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]cosαsinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]cosαcosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]sinαsinβ＝－0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]

9解三角形

步驟1.

在銳角△ABC中，設(shè)三邊為a，b，c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)DCH=asinBCH=bsinA∴asinB=bsinA得到

a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC步驟2.

證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.

因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠DAB=90度因?yàn)橥�弧所�?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC＝c/sinD=BD=2Ra/SinA=BC/SinD=CD=2R類似可證其余兩個(gè)等式。

二.正弦定理的變形公式

(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c;

a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosAb^2=a^2+c^2-2*a*c*CosBc^2=a^2+b^2-2*a*b*CosCCosC=(a^2+b^2-c^2)/2abCosB=(a^2+c^2-b^2)/2acCosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc

證明：

∵如圖，有a+b=c∴cc=(a+b)(a+b)∴c^2=aa+2ab+bb∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

整理得到c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：這里用到了三角函數(shù)公式）再拆開，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

同理可證其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是將CosC移到左邊表示一下。

例題：

1已知（B+C）：（C+A）：（A+B）=4：5：6，求此三角形的最大內(nèi)角解：設(shè)b+c=4x，可得a=7x/2,b=5x/2,c=3x/2,再用余弦定理

cosA=-1/2,即A=120

21.在三角形ABC中,已知(b+c);(c+a);(a+b)=4;5;6,則sinA;sinB;sinC=_________解：、a/sinA=b/sinB=c/sinC(b+c);(c+a);(a+b)=4;5;6

(sinB+sinC):(sinC+sinA):(sinA+sinB)=4k:5k:6k解得sinA=7k/2sinB=5k/2sinC=3k/2所以sinA:sinB:sinC=7:5:10數(shù)列

一、等差數(shù)列

如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示。等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an=a1+(n-1)d(1)前n項(xiàng)和公式為：

Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)

從(1)式可以看出，an是n的一次數(shù)函(d≠0)或常數(shù)函數(shù)(d=0)，(n，an)排在一條直線上，由(2)式知，Sn是n的二次函數(shù)(d≠0)或一次函數(shù)(d=0，a1≠0)，且常數(shù)項(xiàng)為0。

在等差數(shù)列中，等差中項(xiàng)：一般設(shè)為Ar，Am+An=2Ar,所以Ar為Am，An的等差中項(xiàng)。且任意兩項(xiàng)am，an的關(guān)系為：an=am+(n-m)d

它可以看作等差數(shù)列廣義的通項(xiàng)公式。

從等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式還可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有am+an=ap+aq

Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1

Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差數(shù)列，等等。和＝（首項(xiàng)＋末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2項(xiàng)數(shù)＝（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差＋1首項(xiàng)=2和÷項(xiàng)數(shù)-末項(xiàng)末項(xiàng)=2和÷項(xiàng)數(shù)-首項(xiàng)等差數(shù)列的應(yīng)用：

日常生活中，人們常常用到等差數(shù)列如：在給各種產(chǎn)品的尺寸劃分級(jí)別時(shí)，當(dāng)其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時(shí)，常按等差數(shù)列進(jìn)行分級(jí)。若為等差數(shù)列，且有an=m,am=n.則a(m+n)＝0。

等比數(shù)列

如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示。（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是：An=A1*q^（n－1）若通項(xiàng)公式變形為an=a1/q*q^n(n∈N*),當(dāng)q＞0時(shí)，則可把a(bǔ)n看作自變量n的函數(shù)，點(diǎn)(n,an)是曲線y=a1/q*q^x上的一群孤立的點(diǎn)。（2）求和公式：Sn=nA1(q=1)Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=(a1-a1q^n)/(1-q)

=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n(即A-Aq^n)(前提：q不等于1)

任意兩項(xiàng)am，an的關(guān)系為an=amq^(n-m)

（3）從等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式可以推出：a1an=a2an-1=a3an-2=…=akan-k+1，k∈{1,2,…,n}（4）等比中項(xiàng)：aqap=ar*2，ar則為ap，aq等比中項(xiàng)。記πn=a1a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

另外，一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列各項(xiàng)取同底數(shù)數(shù)后構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列；反之，以任一個(gè)正數(shù)C為底，用一個(gè)等差數(shù)列的各項(xiàng)做指數(shù)構(gòu)造冪Can，則是等比數(shù)列。在這個(gè)意義下，我們說(shuō)：一個(gè)正項(xiàng)等比數(shù)列與等差數(shù)列是—同構(gòu)‖的。性質(zhì)：

①若m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，則aman=apaq；②在等比數(shù)列中，依次每k項(xiàng)之和仍成等比數(shù)列.—G是a、b的等比中項(xiàng)‖—G^2=ab（G≠0）‖.(5)等比數(shù)列前n項(xiàng)之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)在等比數(shù)列中，首項(xiàng)A1與公比q都不為零.注意：上述公式中A^n表示A的n次方。等比數(shù)列在生活中也是常常運(yùn)用的。如：銀行有一種支付利息的方式---復(fù)利。即把前一期的利息赫本金價(jià)在一起算作本金，

在計(jì)算下一期的利息，也就是人們通常說(shuō)的利滾利。

按照復(fù)利計(jì)算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期

例題

1已知數(shù)列：（An),Sn=3an+2,求證，An是等比數(shù)列。解：當(dāng)n=1時(shí)a1=3a1+2得a1=-1當(dāng)n>=2時(shí)有Sn=3an+2………………1式

S(n-1)=3a(n-1)+2（括號(hào)代表下標(biāo)下同）…………2式1式-2式得an=3an-3a(n-1)【an=Sn-S(n-1)】所以3a(n-1)=2anan=3/2a(n-1)

所以{an}是以-1為首項(xiàng)以3/2為公比的等比數(shù)列

2已知等差數(shù)列{AN}的前N項(xiàng)和為SN，且A3=5，S15=225.數(shù)列{BN}是等比數(shù)列，B3=A2+A3，B2B5=128.

（1）求數(shù)列{AN}的通項(xiàng)AN及數(shù)列{BN}的前9項(xiàng)的和T9

解1.設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d；等比數(shù)列首項(xiàng)b1,公比為qa3=a1+2d=5

s15=(a1+a15)*15/2=(a1+a1+14d)*15/2=225解出a1=1d=2

所以數(shù)列an通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d=2n-1可以求出a2=3,a3=5,所以b3=8b3=b1q^2=8

b2b5=(b1q)*(b1q^4)=b1^2*q^5=128解出b1=1q=2

所以bn=b1*q^(n-1)=2^(n-1)tn=a1(1-q^n)/(1-q)=2^n-1所以t9=2^9-1=511

11不等式

不等式(inequality)

用不等號(hào)將兩個(gè)解析式連結(jié)起來(lái)所成的式子。例如2x＋2y≥2xy，sinx≤1，ex＞0，2x＜3等。根據(jù)解析式的分類也可對(duì)不等式分類，不等號(hào)兩邊的解析式都是代數(shù)式的不等式，稱為代數(shù)不等式；只要有一邊是超越式，就稱為超越不等式。例如lg(1＋x)＞x是超越不等式。

通常不等式中的數(shù)是實(shí)數(shù)，字母也代表實(shí)數(shù)，不等式的一般形式為F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z)（其中不等號(hào)也可以為＜，≥，＞中某一個(gè)），兩邊的解析式的公共定義域稱為不等式的定義域，不等式既可以表達(dá)一個(gè)命題，也可以表示一個(gè)問(wèn)題。

不等式的最基本性質(zhì)有：①如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；②如果x＞y，y＞z；那么x＞z；③如果x＞y，而z為任意實(shí)數(shù)，那么x＋z＞y＋z；④如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；⑤如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz。由不等式的基本性質(zhì)出發(fā)，通過(guò)邏輯推理，可以論證大量的初等不等式，其中比較有名的有：柯西不等式：對(duì)于2n個(gè)任意實(shí)數(shù)x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn，恒有（x1y1＋x2y2＋…＋xnyn）2≤（x12＋x22＋…＋xn2）（y12＋y22＋…＋yn2）。

排序不等式：對(duì)于兩組有序的實(shí)數(shù)x1≤x2≤…≤xn，y1≤y2≤…≤yn，設(shè)yi1，yi2，…，yin是后一組的任意一個(gè)排列，記S＝x1yn＋x2yn-1＋…＋xny1，M＝x1yi1＋x2yi2＋…＋xnyin，L＝x1y1＋x2y2＋…＋xnyn，那么恒有S≤M≤L。

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，也可以推出解不等式可遵循的一些同解原理。主要的有：①不等式F（x）＜G（x）與不等式G（x）＞F（x）同解。②如果不等式F（x）＜G（x）的定義域被解析式H（x）的定義域所包含，那么不等式F（x）＜G（x）與不等式F（x）＋H（x）＜G（x）＋H（x）同解。③如果不等式F（x）＜G（x）的定義域被解析式H（x）的定義域所包含，并且H（x）＞0，那么不等式F(x)＜G（x）與不等式H（x）F（x）＜H（x）G（x）同解；如果H（x）＜0，那么不等式F（x）＜G（x）與不等式H(x)F（x）＞H（x）G（x）同解。④不等式F（x）G（x）＞0與不等式同解；不等式F（x）G（x）＜0與不等式同解。

不等式分為嚴(yán)格不等式與非嚴(yán)格不等式。一般地，用純粹的大于號(hào)、小于號(hào)—＞‖—＜‖連接的不等式稱為嚴(yán)格不等式，用不小于號(hào)（大于或等于號(hào)）、不大于號(hào)（小于或等于號(hào)）—≥‖—≤‖連接的不等式稱為非嚴(yán)格不等式，或稱廣義不等式。

在一個(gè)式子中的數(shù)的關(guān)系,不全是等號(hào),含不等符號(hào)的式子，那它就是一個(gè)不等式.

如:甲大于乙(甲>乙),就是一個(gè)不等式.不等式不一定只有「>」,「0,即A>B.又同理可證:A>C,A>D.所以,A最大.

不等式是不包括等號(hào)在內(nèi)的式子比如：（不等號(hào)大于等于號(hào)，小于等于號(hào)）只要用這些號(hào)放在式子里就是不等式咯．．

1.符號(hào)：不等式兩邊都乘以或除以一個(gè)負(fù)數(shù)，要改變不等號(hào)的方向。2.確定解集：

比兩個(gè)值都大，就比大的還大；比兩個(gè)值都小，就比小的還��；比大的大，比小的小，無(wú)解；

比小的大，比大的小，有解在中間。

三個(gè)或三個(gè)以上不等式組成的不等式組，可以類推。3.另外，也可以在數(shù)軸上確定解集：把每個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)，數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個(gè)數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集。有幾個(gè)就要幾個(gè)。

1.不等式的基本性質(zhì):

性質(zhì)1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的傳遞性).性質(zhì)2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).

性質(zhì)3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,cd,那么a+c>b+d.性質(zhì)5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.

性質(zhì)6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.性質(zhì)7:如果a>等于bc>b那么c大于等于a

均值不等式

A+B/2>=根號(hào)下aba+b>=2倍根號(hào)下ab(a>0,b>0)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，式中等號(hào)成立一元二次不等式

含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2次的的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c=0時(shí)，二次三項(xiàng)式，ax^2+bx+c有兩個(gè)實(shí)根，那么ax^2+bx+c總可分解為a(x-x1)(x-x2)的形式。這樣，解一元二次不等式就可歸結(jié)為解兩個(gè)一元一次不等式組。一元二次不等式的解集就是這兩個(gè)一元一次不等式組的解集的并集。還是舉個(gè)例子吧。2x^2-7x+6=2(x^2-3.5x)+6

=2(x^2-3.5x+3.0625-3.0625)+6=2(x^2-3.5x+3.0625)-6.125+6=2(x-1.75)^2-0.125

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