初三上證明三總結(jié)

證明三本章總結(jié)

本章概念地圖

專題一數(shù)學思想方法

一.轉(zhuǎn)化思想

其本質(zhì)就是把未知的問題轉(zhuǎn)化成已知的問題，把未證的問題轉(zhuǎn)化成已證的問題，以達到解決問題的目的，將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決是本章最主要的思想方法，對于平行四邊形以及特殊平行四邊形，常常借助對角線來轉(zhuǎn)化；對于梯形，常常是通過作輔助線，將其轉(zhuǎn)化為三角形與平行四邊形問題來處理。

1.如圖3-C-1，在菱形ABCD中，E、F分別為BC、CD上的點，且∠B=∠EAF=600，若∠BAE=200.求：∠CEF的度數(shù).

二、代數(shù)方法

通過計算來解決幾何問題的方法即為代數(shù)方法，要全靈活運用代數(shù)方法解決幾何問題。

0

2.如圖3-C-2，在ABCD中，過點A作AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F，若∠EAF=60.求：（1）∠B與∠C的度數(shù)；（2）若AE=2cm，AF=3cm，求ABCD的面積。

三、變換思想

即運用平移、旋轉(zhuǎn)與對稱等變換來構(gòu)造圖形解決幾何問題的思想方法。

3.如圖3-C-3，在正方形ABCD中，E為AD上一點，BF平分∠CBE交DC于點F，求證：BE=CF+AE.四、基本圖形法

當題設(shè)中出現(xiàn)中點時，常構(gòu)造中位線、直線、三角形斜邊上的中線等基本圖形，應用相關(guān)定理解題，中位線定理是本章新探索的定理，利用它可以產(chǎn)生新的平行或數(shù)量關(guān)系，從而達到解題的目的。4.如圖3-C-4，AD為△ABC的高，∠B=2∠C，M為BC的中點，求證：DM=

專題二基本概念和基本定理

5.下列說法錯誤的個數(shù)為（）.

①一組鄰邊相等的矩形是正方形；②等腰梯形的對角線相等；③一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形；④三角形三條內(nèi)角平分線的交點到三個頂點的距離相等；⑤全等三角形對應角相等的逆命題是真命題。

A.1B.2C.3D.4

專題三平面圖形的有關(guān)證明

6.如圖3-C-5，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點E、F。（1）求證：DE=DF；

（2）只添加一個條件，使四邊形EDFA是正方形，請你至少寫出兩種不同的添加方法（不另外添加輔助線，無需證明）。

7.如圖3-C-6，正方形ABCD中，點E在AD上，點F在CD上，∠EBF=450，BG⊥EF于點G。求證：AB=BG。

8.如圖3-C-7，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB≠DC，點E、F分別是AD、BC的中點。求證：EF＜

1212AB。

（AB+CD）

專題四平面圖形的相關(guān)計算

9.如圖3-C-8，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的邊長為10cm，正方形A的邊長為6cm，正方形B的邊長為5cm，正方形C的邊長為5cm，則正方形D的邊長為.10.如圖3-C-9，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB⊥BC，AD=AB=BC，求∠BCD、∠BAD的度數(shù)。

綜合應用創(chuàng)新

11.如圖3-C-10.在菱形ABCD中，AB=1，∠BAD=600.E是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，則PE=PB的最小值是.

12.（探究題）如圖3-C-11，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點B落在邊AD上的點B′處，點A落在點A′處。

（1）求證：B′E=BF；（2）設(shè)AE=a，AB=b，BF=c，試猜想a，b，c之間的一種數(shù)量關(guān)系，并給予證明。

13.如圖3-C-12，正方形木框ABCD的邊長為1，四個角鉚釘連接著，一邊BC固定在桌面上，沿AD方向用力推，正方形變成四邊形A′BCD′，設(shè)A′D′交DC于點E，當E是DC的中點時，兩四邊形ABCD、A′BCD′重疊部分的面積是.

14.（操作題）如圖3-C-13（1），一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起，現(xiàn)正方形ABCD保持不動，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點O（點O也是BD中點）按順時針方向旋轉(zhuǎn)。

（1）如圖3-C-13（2），當EF與AB相交于點M，GF與BD相交于點N時，通過觀察或測量BM，F(xiàn)N的長度，猜想BM、FN滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（2）若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖3-C-13（3）所示的位置時，線段FE的延長線與AB的延長線交于點M，線段BD的延長線與GF的延長線交于點N，此時，（1）中的猜想還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。

中考命題方向

本章內(nèi)容是近幾年中考的主要內(nèi)容之一，常見的題型一般是先根據(jù)已知條件判定平行四邊形和特殊平行四邊形，然后再應用平行四邊形、特殊平行四邊形、梯形的性質(zhì)，計算或證明某一結(jié)論。運用三角形中位線進行計算，區(qū)分平行四邊形和特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)，也是常見的一種選擇題型。另外，有關(guān)的探索題、操作題的頻繁出現(xiàn)，也體現(xiàn)了新的考查趨向。

15.（仙桃中考）如圖3-C-14，四邊形3-C-14，四邊形ABCD是菱形，過點A作BD的平行線交CD的延長線于點E，則下列式子不成立的是（）.

0

A.DA=DEB.BD=CEC.∠EAC=90D.∠ABC=2∠E16.（濟南中考）如圖3-C-15。△ABC中，EF為△ABC的中位線，D為BC邊上一點（不與B、C重合），AD與EF交于點O，連接DE、DF，要使四邊形AEDF為平行四邊形，需要添加條件。（只添加一個條件）

17.（岳陽中考）如圖3-C-6，正方形ABCD的對角線相交于點O，∠BAC的平分線交BD于點G，交BCBC于點F，過O作OH∥BC交AF于點H，求證：OG=

12FG。

18.（南京中考）如圖3-C-17，在ABCD中，E、F為BC上兩點，且BE=CF，AF=DE。求證：（1）△ABF≌△DCE；（2）四邊形ABCD是矩形。

19.（茂名中考）如圖3-C-18，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AD=2，BC=4，延長BC到E，使CE=AD。

（1）寫出圖中所有與△DCE全等的三角形，并選擇其中一對說明全等的理由；

（2）探究當?shù)妊�梯形ABCD的高DF是多少時，對角線AC與BD互相垂直，請回答并說明現(xiàn)由。

本章測試

一、選擇題（每小題3分，共18分）

0

1.在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，BD⊥DC于D，∠C=60，AD=5，則CD的長度為（）.A.3B.4C.5D.62.在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠A=300，AC=3cm，則AB邊上的中線為（）.A.1cmB.2cmC.1.5cmD.

3cm3.等邊三角形一邊上高線長為23cm，那么么這個等腰三角形的中位線長為（）.

A.3cmB.2.5cmC.2cmD.4cm4.下列命題正確的是（）.

A.對角線互相垂直的四邊形是菱形B.兩角相等的四邊形是梯形

C.四邊相等且有一個角是直角的四邊形是正方形D.兩條對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形5.若順次連接四邊形各邊中點所得四邊形是矩形，則原四邊形一定是（）.

A.等腰梯形B.對角線相等的四邊形C.平行四邊形D.對角線互相垂直的四邊形6.如圖3-C-19，E、F分別是正方形ABCD的邊CD、AD上的點，且CE=DF，AE、BF相交于點O，下列結(jié)論：①AE=BF；②AE⊥BF；③OA=OE；④S△AOB=S四邊形DEOF中，錯誤的有（）.A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題（每小題3分，共24分）

7.已知菱形的周長為40cm，一條對角線長為16cm，則這個菱形的面積為.

8.如圖3-C-20，E、F是ABCD對角線BD上的兩點，請你添加一個適當?shù)臈l件：，使四邊形AECF是平行四邊形。

9.如圖3-C-21，在ABCD中，若AB=12，AB邊上的高DF為3，BC邊上的高DE為6，則ABCD的周長為.

10.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BD，若AD=3cm，BC=7cm，則梯形ABCD的高是cm。11.如圖3-C-22，四邊形ABCD的兩條對角線AC、BD，互相垂直，A1B1C1D1是四邊形ABCD各邊中點組成的四邊形，如果AC=8，BD=10，那么四邊形A1B1C1D1的面積為.

12.如圖3-C-23，請寫出等腰梯形ABCD（AB∥CD）特有而一般梯形不具有的三個特征：；；。

13.如圖3-C-24，若將四根木條釘成的矩形木框變?yōu)锳BCD的形狀，并使其面積為矩形面積的一半，則這個平行四邊形的一個最大內(nèi)角的值等于.

14.如圖3-C-25，在等邊三角形ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA邊上的中點，那么圖中有個等邊三角形，有個菱形。

三、作圖題（8分）

15.如圖3-C-26，在湖的兩岸A、B間建一棄權(quán)票觀賞橋，由于條件限制，無法直接度量A、B兩點間的距離，請你用學過的數(shù)學知識按以下要求設(shè)計一個測量方案。（1）畫出測量圖案；（2）寫出測量步驟；（測量數(shù)據(jù)用字母表示）（3）計算AB的距離。（寫出求解或推理過程，結(jié)果用字母表示）

四、解答題（共70分）

16（12分）如圖3-C-27，在ABCD中，E、F分別為AB、CD上的點，且∠DAF=∠BCE。（1）求證：△DAF≌BCE；

00

（2）若∠ABC=60，∠ECB=20，∠ABC的平分線BN交AF于點M，交AD于點N，求∠AMN的度數(shù)？

17.（10分）如圖3-C-28，點B、E、C、F在一條直線上，AB=DE，∠B=∠DEF，BE=CF。求證：（1）△ABC≌△DEF；（2）四邊形ABED是平行四邊形。

0

18.（12分）如圖3-C-29，在△ABC中，∠BAC=90，AD⊥BC于點D，CE平分∠ACB，交AD于點G，交AB于點E，EF⊥BC于點F，求證：四邊形AEFG是菱形。

19（12分）如圖3-C-30，四邊形ABCD，DEFG都是正方形，連接AE、CG。求證：AE=CG；（2）觀察圖形，猜想AE與CG之間的位置關(guān)系，并證明你的猜想。

20.（12分）如圖3-C-31，AD是△ABC中BC邊上的高線，F(xiàn)、E、G分別是AB、BC、AC的中點。求證：四邊形EDGF為等腰梯形。

21.（12分）如圖3-C-32，在正方形ABCD中，AE=BE，BF=CF，DF、CE交于點M，求證：AM=AD.

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鼎大教育九年級數(shù)學證明三

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專題一數(shù)學思想方法

一.轉(zhuǎn)化思想

其本質(zhì)就是把未知的問題轉(zhuǎn)化成已知的問題，把未證的問題轉(zhuǎn)化成已證的問題，以達到解決問題的目的，將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決是本章最主要的思想方法，對于平行四邊形以及特殊平行四邊形，常常借助對角線來轉(zhuǎn)化；對于梯形，常常是通過作輔助線，將其轉(zhuǎn)化為三角形與平行四邊形問題來處理。

1.如圖3-C-1，在菱形ABCD中，E、F分別為BC、CD上的點，且∠B=∠EAF=600，若∠BAE=200.求：∠CEF的度數(shù).

二、代數(shù)方法

通過計算來解決幾何問題的方法即為代數(shù)方法，要全靈活運用代數(shù)方法解決幾何問題。

0

2.如圖3-C-2，在ABCD中，過點A作AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F，若∠EAF=60.求：（1）∠B與∠C的度數(shù)；（2）若AE=2cm，AF=3cm，求ABCD的面積。

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三、變換思想

即運用平移、旋轉(zhuǎn)與對稱等變換來構(gòu)造圖形解決幾何問題的思想方法。

3.如圖3-C-3，在正方形ABCD中，E為AD上一點，BF平分∠CBE交DC于點F，求證：BE=CF+AE.

四、基本圖形法

當題設(shè)中出現(xiàn)中點時，常構(gòu)造中位線、直線、三角形斜邊上的中線等基本圖形，應用相關(guān)定理解題，中位線定理是本章新探索的定理，利用它可以產(chǎn)生新的平行或數(shù)量關(guān)系，從而達到解題的目的。4.如圖3-C-4，AD為△ABC的高，∠B=2∠C，M為BC的中點，求證：DM=

專題二基本概念和基本定理

5.下列說法錯誤的個數(shù)為（）.

①一組鄰邊相等的矩形是正方形；②等腰梯形的對角線相等；③一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形；④三角形三條內(nèi)角平分線的交點到三個頂點的距離相等；⑤全等三角形對應角相等的逆命題是真命題。

A.1B.2C.3D.4

專題三平面圖形的有關(guān)證明

6.如圖3-C-5，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點E、F。（1）求證：DE=DF；

（2）只添加一個條件，使四邊形EDFA是正方形，請你至少寫出兩種不同的添加方法（不另外添加輔助線，無需證明）。

7.如圖3-C-6，正方形ABCD中，點E在AD上，點F在CD上，∠EBF=450，BG⊥EF于點G。求證：AB=BG。

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8.如圖3-C-7，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB≠DC，點E、F分別是AD、BC的中點。求證：EF＜

12（AB+CD）

專題四平面圖形的相關(guān)計算

9.如圖3-C-8，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的邊長為10cm，正方形A的邊長為6cm，正方形B的邊長為5cm，正方形C的邊長為5cm，則正方形D的邊長為.

10.如圖3-C-9，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB⊥BC，AD=AB=BC，求∠BCD、∠BAD的度數(shù)。

綜合應用創(chuàng)新

11.如圖3-C-10.在菱形ABCD中，AB=1，∠BAD=600.E是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，則PE=PB的最小值是.

12.（探究題）如圖3-C-11，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點B落在邊AD上的點B′處，點A落在點A′處。

（1）求證：B′E=BF；（2）設(shè)AE=a，AB=b，BF=c，試猜想a，b，c之間的一種數(shù)量關(guān)系，并給予證明。

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13.如圖3-C-12，正方形木框ABCD的邊長為1，四個角鉚釘連接著，一邊BC固定在桌面上，沿AD方向用力推，正方形變成四邊形A′BCD′，設(shè)A′D′交DC于點E，當E是DC的中點時，兩四邊形ABCD、A′BCD′重疊部分的面積是.

14.（操作題）如圖3-C-13（1），一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起，現(xiàn)正方形ABCD保持不動，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點O（點O也是BD中點）按順時針方向旋轉(zhuǎn)。

（1）如圖3-C-13（2），當EF與AB相交于點M，GF與BD相交于點N時，通過觀察或測量BM，F(xiàn)N的長度，猜想BM、FN滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（2）若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖3-C-13（3）所示的位置時，線段FE的延長線與AB的延長線交于點M，線段BD的延長線與GF的延長線交于點N，此時，（1）中的猜想還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。

中考命題方向

本章內(nèi)容是近幾年中考的主要內(nèi)容之一，常見的題型一般是先根據(jù)已知條件判定平行四邊形和特殊平行四邊形，然后再應用平行四邊形、特殊平行四邊形、梯形的性質(zhì)，計算或證明某一結(jié)論。運用三角形中位線進行計算，區(qū)分平行四邊形和特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)，也是常見的一種選擇題型。另外，有關(guān)的探索題、操作題的頻繁出現(xiàn)，也體現(xiàn)了新的考查趨向。

15.（仙桃中考）如圖3-C-14，四邊形3-C-14，四邊形ABCD是菱形，過點A作BD的平行線交CD的延長線于點E，則下列式子不成立的是（）.A.DA=DEB.BD=CE

0

C.∠EAC=90D.∠ABC=2∠E

16.（濟南中考）如圖3-C-15。△ABC中，EF為△ABC的中位線，D為BC邊上一點（不與B、C重合），AD與EF交于點O，連接DE、DF，要使四邊形AEDF為平行四邊形，需要添加條件。（只添加一個條件）

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17.（岳陽中考）如圖3-C-6，正方形ABCD的對角線相交于點O，∠BAC的平分線交BD于點G，交BCBC于點F，過O作OH∥BC交AF于點H，求證：OG=

12FG。

18.（南京中考）如圖3-C-17，在ABCD中，E、F為BC上兩點，且BE=CF，AF=DE。求證：（1）△ABF≌△DCE；（2）四邊形ABCD是矩形。

19.（茂名中考）如圖3-C-18，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AD=2，BC=4，延長BC到E，使CE=AD。

（1）寫出圖中所有與△DCE全等的三角形，并選擇其中一對說明全等的理由；

（2）探究當?shù)妊�梯形ABCD的高DF是多少時，對角線AC與BD互相垂直，請回答并說明現(xiàn)由。

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本章測試

一、選擇題（每小題3分，共18分）

0

1.在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，BD⊥DC于D，∠C=60，AD=5，則CD的長度為（）.A.3B.4C.5D.62.在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠A=300，AC=3cm，則AB邊上的中線為（）.A.1cmB.2cmC.1.5cmD.3.等邊三角形一邊上高線長為23cm，那么么這個等腰三角形的中位線長為（）.

A.3cmB.2.5cmC.2cmD.4cm4.下列命題正確的是（）.

A.對角線互相垂直的四邊形是菱形B.兩角相等的四邊形是梯形

C.四邊相等且有一個角是直角的四邊形是正方形D.兩條對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形5.若順次連接四邊形各邊中點所得四邊形是矩形，則原四邊形一定是（）.

A.等腰梯形B.對角線相等的四邊形C.平行四邊形D.對角線互相垂直的四邊形6.如圖3-C-19，E、F分別是正方形ABCD的邊CD、AD上的點，且CE=DF，AE、BF相交于點O，下列結(jié)論：①AE=BF；②AE⊥BF；③OA=OE；④S△AOB=S四邊形DEOF中，錯誤的有（）.A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題（每小題3分，共24分）

7.已知菱形的周長為40cm，一條對角線長為16cm，則這個菱形的面積為.

8.如圖3-C-20，E、F是ABCD對角線BD上的兩點，請你添加一個適當?shù)臈l件：，使四邊形AECF是平行四邊形。

9.如圖3-C-21，在ABCD中，若AB=12，AB邊上的高DF為3，BC邊上的高DE為6，則ABCD的周長為.

10.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BD，若AD=3cm，BC=7cm，則梯形ABCD的高是cm。11.如圖3-C-22，四邊形ABCD的兩條對角線AC、BD，互相垂直，A1B1C1D1是四邊形ABCD各邊中點組成的四邊形，如果AC=8，BD=10，那么四邊形A1B1C1D1的面積為.

12.如圖3-C-23，請寫出等腰梯形ABCD（AB∥CD）特有而一般梯形不具有的三個特征：；；。

13.如圖3-C-24，若將四根木條釘成的矩形木框變?yōu)锳BCD的形狀，并使其面積為矩形面積的一半，則這個平行四邊形的一個最大內(nèi)角的值等于.

14.如圖3-C-25，在等邊三角形ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA邊上的中點，那么圖中有個等邊三角形，有個菱形。

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三、作圖題（8分）

15.如圖3-C-26，在湖的兩岸A、B間建一棄權(quán)票觀賞橋，由于條件限制，無法直接度量A、B兩點間的距離，請你用學過的數(shù)學知識按以下要求設(shè)計一個測量方案。（1）畫出測量圖案；（2）寫出測量步驟；（測量數(shù)據(jù)用字母表示）（3）計算AB的距離。（寫出求解或推理過程，結(jié)果用字母表示）

四、解答題（共70分）

16（12分）如圖3-C-27，在ABCD中，E、F分別為AB、CD上的點，且∠DAF=∠BCE。（1）求證：△DAF≌BCE；

00

（2）若∠ABC=60，∠ECB=20，∠ABC的平分線BN交AF于點M，交AD于點N，求∠AMN的度數(shù)？

17.（10分）如圖3-C-28，點B、E、C、F在一條直線上，AB=DE，∠B=∠DEF，BE=CF。求證：（1）△ABC≌△DEF；（2）四邊形ABED是平行四邊形。

0

18.（12分）如圖3-C-29，在△ABC中，∠BAC=90，AD⊥BC于點D，CE平分∠ACB，交AD于點G，交AB于點E，EF⊥BC于點F，求證：四邊形AEFG是菱形。

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19（12分）如圖3-C-30，四邊形ABCD，DEFG都是正方形，連接AE、CG。求證：AE=CG；（2）觀察圖形，猜想AE與CG之間的位置關(guān)系，并證明你的猜想。

20.（12分）如圖3-C-31，AD是△ABC中BC邊上的高線，F(xiàn)、E、G分別是AB、BC、AC的中點。求證：四邊形EDGF為等腰梯形。

21.（12分）如圖3-C-32，在正方形ABCD中，AE=BE，BF=CF，DF、CE交于點M，求證：AM=AD.

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