初二上數(shù)學(xué)第一章勾股定理總結(jié)

勾股定理知識(shí)總結(jié)

制作人周宇峰一：勾股定理

222

直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a+b＝c）要點(diǎn)詮釋：

勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用：

（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊

（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊（3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問題二：勾股定理的逆定理

222

如果三角形的三邊長：a、b、c，則有關(guān)系a+b＝c，那么這個(gè)三角形是直角三角形。要點(diǎn)詮釋：

用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否是直角三角形應(yīng)注意：（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最長邊長為：c；

222222

（2）驗(yàn)證c與a+b是否具有相等關(guān)系，若c＝a+b，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形

222222

（若c>a+b，則△ABC是以∠C為鈍角的鈍角三角形；若c

擴(kuò)展閱讀：北師版八年級(jí)數(shù)學(xué)第一章.勾股定理知識(shí)點(diǎn)與常見題型總結(jié)及練習(xí)

北師版八年級(jí)數(shù)學(xué)第1章勾股定理

一．知識(shí)歸納１．勾股定理

內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；

表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2b2c2

勾股定理的由來：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理．我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦．早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后來人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方２.勾股定理的證明

勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是

①圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：方法一：4S1S正方形EFGHS正方形ABCD，42ab(ba)2c2，化簡可證．

DCHEFGbaAcB

方法二：

baaccbbccaab

四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．

四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為S412abc22abc2

大正方形面積為S(ab)2a22abb2所以a2b2c2

方法三：S12b)(ab)，S11梯形(a梯形2SADESABE22ab2c2，化簡得證

AaDbccBbEaC

３.勾股定理的適用范圍

勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對(duì)于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對(duì)象是直角三角形４.勾股定理的應(yīng)用

①已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊

在ABC中，C90，則ca2b2，bc2a2，ac2b2②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系③可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題５.勾股定理的逆定理

如果三角形三邊長a，b，c滿足a2b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中c為斜邊

①勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和a2b2與較長邊的平方c2作比較，若它們相等時(shí)，以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形；若a2b2c2，時(shí)，以a，b，c為三邊的三角形是鈍角三角形；若a2b2c2，時(shí)，以a，b，c為三邊的三角形是銳角三角形；

②定理中a，b，c及a2b2c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長a，b，c滿足a2c2b2，那么以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊

③勾股定理的逆定理在用問題描述時(shí)，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形６.勾股數(shù)

①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2b2c2中，a，b，c為正整數(shù)時(shí)，稱a，b，c為一組勾股數(shù)

②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代數(shù)式表示n組勾股數(shù)：n21,2n,n21（n2,n為正整數(shù)）；2n1,2n22n,2n22n1（n為正整數(shù)）m2n2,2mn,m2n2（mn,m，n為正整數(shù)）

７．勾股定理的應(yīng)用

勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計(jì)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題．在使用勾股定理時(shí)，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解．

８.．勾股定理逆定理的應(yīng)用

勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體

推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論．９.勾股定理及其逆定理的應(yīng)用

勾股定理及其逆定理在解決一些實(shí)際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個(gè)整體．通常既要通過逆定理判定一個(gè)三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對(duì)問題的解決．常見圖形：

CCC30°ABADBBDA

CBDA

題型一：直接考查勾股定理例１.在ABC中，C90．

⑴已知AC6，BC8．求AB的長⑵已知AB17，AC15，求BC的長分析：直接應(yīng)用勾股定理a2b2c2解：⑴ABAC2BC210

⑵BCAB2AC28

題型二：應(yīng)用勾股定理建立方程例２.

⑴在ABC中，ACB90，AB5cm，BC3cm，CDAB于D，CD＝⑵已知直角三角形的兩直角邊長之比為3:4，斜邊長為15，則這個(gè)三角形的面積為⑶已知直角三角形的周長為30cm，斜邊長為13cm，則這個(gè)三角形的面積為

分析：在解直角三角形時(shí)，要想到勾股定理，及兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．有時(shí)可根據(jù)勾股定理列方程求解解：

⑴ACAB2BC24，CDAACBC2.4ABDBC

3

⑵設(shè)兩直角邊的長分別為3k，4k(3k)2(4k)2152，k3，S54

1⑶設(shè)兩直角邊分別為a，b，則ab17，a2b2289，可得ab60Sab302cm2

例３.如圖ABC中，C90，12，CD1.5，BD2.5，求AC的長

CD12EAB

分析：此題將勾股定理與全等三角形的知識(shí)結(jié)合起來解：作DEAB于E，12，C90DECD1.5在BDE中

BED90,BEBD2DE22

RtACDRtAEDACAE

在RtABC中，C90

AB2AC2BC2，(AEEB)2AC242AC3

例4.如圖RtABC，C90AC3,BC4,分別以各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積

CAB

答案：6

題型三：實(shí)際問題中應(yīng)用勾股定理

例5.如圖有兩棵樹，一棵高8cm，另一棵高2cm，兩樹相距8cm，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵數(shù)的樹梢，至少飛了m

AEBDC

分析：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，如圖AB8m，CD2m，BC8m，過點(diǎn)D作DEAB，垂足為E，則AE6m，DE8m

在RtADE中，由勾股定理得ADAE2DE210

答案：10m

題型四：應(yīng)用勾股定理逆定理，判定一個(gè)三角形是否是直角三角形

例6.已知三角形的三邊長為a，b，c，判定ABC是否為Rt①a1.5，b2，c2.5②a52，b1，c43解：①a2b21.52226.25，c22.526.25

ABC是直角三角形且C90

②b2c21325，a2，b2c2a2ABC不是直角三角形916例7.三邊長為a，b，c滿足ab10，ab18，c8的三角形是什么形狀？

解：此三角形是直角三角形

理由：a2b2(ab)22ab64，且c264a2b2c2所以此三角形是直角三角形

題型五：勾股定理與勾股定理的逆定理綜合應(yīng)用

例8.已知ABC中，AB13cm，BC10cm，BC邊上的中線AD12cm，求證：ABAC

證明：

ABDC

AD為中線，BDDC5cm

在ABD中，AD2BD2169，AB2169AD2BD2AB2，ADB90，AC2AD2DC2169，AC13cm，ABAC

一、選擇題

1、在Rt△ABC中，∠C=90°，三邊長分別為a、b、c，則下列結(jié)論中恒成立的是()A、2abc2D、2ab≤c2

2、已知x、y為正數(shù)，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的長為直角邊作一個(gè)直角三角形，那么以這個(gè)直角三角形的斜邊為邊長的正方形的面積為（）A、5B、25C、7D、15

3、直角三角形的一直角邊長為12，另外兩邊之長為自然數(shù)，則滿足要求的直角三角形共有（）A、4個(gè)B、5個(gè)C、6個(gè)D、8個(gè)

4、下列命題①如果a、b、c為一組勾股數(shù)，那么4a、4b、4c仍是勾股數(shù)；②如果直角三角形的兩邊是3、4，那么斜邊必是5；③如果一個(gè)三角形的三邊是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一個(gè)等腰直角三角形的三邊是a、b、c，（a>b=c），那么a2∶b2∶c2=2∶1∶

1。其中正確的是（）

A、①②B、①③C、①④D、②④

5、若△ABC的三邊a、b、c滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，則此△為（）

A、銳角三角形B、鈍角三角形C、直角三角形D、不能確定

6、已知等腰三角形的腰長為10，一腰上的高為6，則以底邊為邊長的正方形的面積為（）

A、40B、80C、40或360D、80或360

7、如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D為AC上一點(diǎn)，且DA=DB=5，又△DAB的面積為10，那么DC的長是（）A、4B、3C、5D、4.5ADBACCDE

A′D′

CB

BADB′第7題圖

C′第8題圖第9題圖

8、如圖，一塊直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6，BC=8�，F(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于（）

A、2B、3C、4D、5

9.一只螞蟻從長、寬都是3，高是8的長方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長是_____________。

10.在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面1米，陣風(fēng)吹來，紅蓮被吹到一邊，花朵齊及水面，已知紅蓮移動(dòng)的水平距離為2米，問這里水深是________m。二.解答題

1.如圖，某沿海開放城市A接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，在該市正南方向260km的B處有一臺(tái)風(fēng)中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移動(dòng)，已知城市A到BC的距離AD=100km，那么臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過多長時(shí)間從B點(diǎn)移到D點(diǎn)？如果在距臺(tái)風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺(tái)風(fēng)的破壞的危險(xiǎn)，正在D點(diǎn)休閑的游人在接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)后的幾小時(shí)內(nèi)撤離才可脫離危險(xiǎn)？C

A

D第1題圖

B

2、數(shù)組3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；……都是勾股數(shù)，若奇數(shù)n為直角三角形的一直角邊，用含n的代數(shù)式表示斜邊和另一直角邊。并寫出接下來的兩組勾股數(shù)。

3、一架方梯長25米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，（1）這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米？（3）當(dāng)梯子的頂端下滑的距離與梯子的底端水平滑動(dòng)的距離相等時(shí)，這時(shí)梯子的頂端距地面有多高？A

A′

4.如圖，A、B兩個(gè)小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，分別到河的距離為AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬，請(qǐng)你在河流CD上選擇水廠的位置M，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省，并求出總費(fèi)用是多少？

答案：

1-5DCACC9、10

6-8CBB10、1.5BACDL

第4題圖

7

友情提示：本文中關(guān)于《初二上數(shù)學(xué)第一章勾股定理總結(jié)》給出的范例僅供您參考拓展思維使用，初二上數(shù)學(xué)第一章勾股定理總結(jié)：該篇文章建議您自主創(chuàng)作。

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