高中數(shù)學(xué)人教版_必修五_不等式_知識點最完全精煉總結(jié)

1.兩實數(shù)大小的比較

abab0abab0abab0

2.基本不等式定理

a2b22ab1a2b2(ab)222ab整式形式ab22ab2ab2abab2根式形式2(a2b2)abba2(a,b同號）分式形式ab1a0a2a倒數(shù)形式1a0a2a

4.公式：5.解不等式

a121babab2a2b22(1)一元一次不等式(2)一元二次不等式：

△=b2-4acbxa(a0)axb(a0)bx(a0)a△>0△=0△0)yx1Oxx2Ox1yyxOx

ax2+bx+c=0有兩相異實根有兩相等實根b沒有實根(a>0)的根x1,x2(x10(y>0)的解集{x|xx2}{x|x1

注:解形如ax2+bx+c>0的不等式時分類討論的標(biāo)準(zhǔn)有：

1、討論a與0的大小；2、討論與0的大�。�3、討論兩根的大小；二、運用的數(shù)學(xué)思想：

1、分類討論的思想；2、數(shù)形結(jié)合的思想；3、等與不等的化歸思想(4)含參不等式恒成立的問題：

22例1．已知關(guān)于x的不等式x(3a)x2a10在(2，0)上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

例2．關(guān)于x的不等式y(tǒng)log2(ax2ax1)對所有實數(shù)x∈R都成

立，求a的取值范圍.例3.若對任意x0,

、函數(shù)1、分離參數(shù)后用最值23、用圖象x則a的取值范圍.a恒成立，2x3x12

(5)一元二次方程根的分布問題：

方法：依據(jù)二次函數(shù)的圖像特征從：開口方向、判別式、對稱軸、

函數(shù)值三個角度列出不等式組，總之都是轉(zhuǎn)化為一元二次不等式組求解.二次方程根的分布問題的討論：

1．x1

f(k)0bk2a0yx1kOx2x

y2．k

y3．x1

f(k)0kx1Oxx3

4．k1

yOk1x1k2x2xf(k1)0f(k2)0f(k1)00f(k)02kbk122a

6．k1

練習(xí)：1.求滿足|x|+|y|≤4的整點（橫、縱坐標(biāo)為整數(shù)）的個數(shù)。

2.求函f(x)2log12xlog(0x1)的最大值；2x34.f(x)=x+1x1（x4）的最小值4.求函數(shù)f(x)(x1)24x1(x1)的最小值.

5.已知兩個正數(shù)a,b滿足ab4,求使2a8bm恒成立的

m的取值范圍.61.已知x>0,y>0，且1x+9y=1，求x+y的最小值.

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一.不等式知識要點

1.兩實數(shù)大小的比較

abab0abab0abab02.不等式的性質(zhì)：8條性質(zhì).

a2b22aba2b21(ab)22ab23.基整式形式ab2本不a2b2ab2等式ab定理

根式形式ab2ab2(22ab)分式形式ba2(a,b同號）ab1a0a倒數(shù)形式a2a0a1a2

4.公式：2aba2b2a1b1ab22

1

3.解不等式

x(1)一元一次不等式axb(a0)x(2)一元二次不等式：

判別式△=b2-4acb(a0)ab(a0)a△0△=0y=ax2+bx+c的圖象(a>0)yx1Oxx2yyOx1xOx沒有實根ax2+bx+c=0有兩相異實根(a>0)的根有兩相等實根x1,x2(x10{x|xx2}{x|x≠(y>0)的解集2aRax2+bx+c

一元二次不等式的求解流程：

一化：化二次項前的系數(shù)為正數(shù).二判：判斷對應(yīng)方程的根.三求：求對應(yīng)方程的根.四畫：畫出對應(yīng)函數(shù)的圖象.

五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集.(3)解分式不等式：

高次不等式：

f(x)0f(x)g(x)0g(x)f(x)f(x)g(x)00g(x)0g(x)(xa1)(xa2)(xan)0

(4)解含參數(shù)的不等式：（1）

(x2)(ax2)>0

（2）x2(a+a2)x+a3>0；

（3）2x2+ax+2>0；

注:解形如ax2+bx+c>0的不等式時分類討論的標(biāo)準(zhǔn)有：

1、討論a與0的大小；2、討論與0的大�。�3、討論兩根的大小；

二、運用的數(shù)學(xué)思想：

1、分類討論的思想；2、數(shù)形結(jié)合的思想；3、等與不等的化歸思想

(4)含參不等式恒成立的問題：

22x(3a例1．已知關(guān)于x的不等式)x2a10

在(2，0)上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．例2．關(guān)于x的不等式

、函數(shù)12、分離參數(shù)后用最值3、用圖象ylog2(ax2ax1)對所有實數(shù)x∈R都成立，求a的取值范圍.

例3.若對任意

xx0,2a恒成立，x3x1則的取值范圍.

a

(5)一元二次方程根的分布問題：

方法：依據(jù)二次函數(shù)的圖像特征從：開口方向、判別式、對稱軸、函數(shù)值三個角度列出不等式組，總之都是轉(zhuǎn)化為一元二次不等式組求解.

二次方程根的分布問題的討論f(k)y1．x01

bk2ax1k0Oxx2yf(k)02．k

f(k)0kx1Oxx

：5

4．k1

yOk1x1k2x2xf(k1)0f(k2)0f(k1)00f(k)02kbk122a

6．k1

練習(xí)：1.求滿足|x|+|y|≤4的整點（橫、縱坐標(biāo)為整數(shù)）的個數(shù)。

2.求函f(x)2log12xlogx(0x1)的最大值；234.f(x)=x+1x1（x4）的最小值4.求函數(shù)f(x)(x1)x214(x1)

的最小值.

5.已知兩個正數(shù)a,b滿足ab4,求使28abm恒成立的m的取值范圍.

61.已知x>0,y>0，且1x+9y=1，求x+y的最小值.

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