高二數(shù)學(xué)總結(jié)

運動的兩種基本分析方法的比較重慶市江津區(qū)吳灘中學(xué)周勇

對機械運動的分析是高中物理的重中之重。高中階段對于機械運動的基本分析方法可以分成這樣兩種：一、運用牛頓第二定律結(jié)合相應(yīng)的運動規(guī)律進行具體的分析。二、運用動量定理（包括動量守恒）及動能定理進行籠統(tǒng)的分析。不過這也使得不少同學(xué)覺得在解決具體問題時對該選用哪種方法來解題反而成了難題。特別是不少同學(xué)把牛頓第二定律、動量定理、動能定理割裂開來理解，認為三者是各不相關(guān)的三個定律，就更容易引起運用上的混亂，讓解題思路極不清晰，造成無法正確解出問題。?

基于此，我們先來辨析一下這三個定律的區(qū)別與聯(lián)系：?

首先，牛頓第二定律與動量定理可以互相推導(dǎo)出來：?

即?

從物理意義上來說，牛頓第二定律實際上是定義了：力是動量的變化率。?

這也就是說，在解決非轉(zhuǎn)動的低速機械運動問題時，牛頓第二定律與動量定理是等效的。?

但我們同時也要看到，“力是動量的變化率”反映出牛頓第二定律具有瞬時性，即：牛頓第二定律可運用于求瞬時性物理量，它是一個關(guān)于運動過程細節(jié)的物理定律。而動量定理卻是一個只反映運動結(jié)果的物理定律，運用時不必考慮運動過程細節(jié)情況。二者這方面上的差異使它們在運用時各擅勝場。?

然后，我們再來看看動量定理與動能定理的區(qū)別與聯(lián)系。?

從物理學(xué)史上我們可以了解到，笛卡兒根據(jù)研究碰撞中發(fā)現(xiàn)的動量守恒規(guī)律首先提出了動量的實質(zhì)質(zhì)量與速度的積（后來由牛頓命名為“動量”）并提議以此來度量機械運動。當然，牛頓第二定律就是在此基礎(chǔ)上確立起來的。然而，萊布尼茨反對這一觀點。他在1686年的論文中，對笛卡兒學(xué)派的這個度量方法提出了批評。他認為：“力必須由它所產(chǎn)生的效果來衡量，而不能用物體（質(zhì)量）與速度的乘積來衡量”。他建議用mv2而不是mv來度量物體運動的“力”。后來，由科里奧利建議以代替來度量機械運動。這樣，就引發(fā)了近半個世紀的大討論。直到19世紀中頁物理學(xué)家們都還沒有從“運動的度量”的爭論中擺脫出來。最后才由恩格斯從能量守恒角度總結(jié)出動量、動能是對運動不同方面的度量。?

這也就可以說，動量定理、動能定理都是運動的基本物理規(guī)律，雖然它們反映的是不同方面的內(nèi)容，但它們聯(lián)合起來運用，往往能反映出全面的物理內(nèi)容。況且，這兩個定律都是反映運動結(jié)果的物理定律，運用時都不必考慮運動過程細節(jié)情況。值得一提的是動量守恒只是系統(tǒng)動量定理的特殊情況而已，故而我們往往在運用動量守恒與動能定理一起來解決一些復(fù)雜的機械運動的問題時會感到比較方便快捷。?

由上面的分析我們可以得出這樣的解題經(jīng)驗：在求解與瞬時力相關(guān)的問題時，要運用牛頓第二定律結(jié)合具體的運動規(guī)律才能解出。而運動過程變化復(fù)雜的問題，則根據(jù)動量定理（包括動量守恒）結(jié)合動能定理來解，可避免繁雜的過程分析使問題簡單化。?

為了進一步認識清楚前面所提的兩種解法的同一性和獨特性，我們可以先來看看下面的一些實例分析。?

例1．以恒力F作用在質(zhì)量為m初速度為的物體上，經(jīng)時間后速度達多大？位移為多少？?

解法一：用牛頓運動定理結(jié)合勻加速直線運動規(guī)律來解：?

??又???再??

解法二：用動量定理結(jié)合動能定理解：?

?????得：?

??????

???得：?

評析：解法一解這種問題當然很簡單，但它必需要用到特定的運動規(guī)律（此題涉及的是勻加速直線運動）。而解法二并沒有管物體做怎樣的運動，仍然得出同樣的結(jié)果，可見一樣涵蓋了相關(guān)的這些物理內(nèi)容。?

從兩種解法對此例的解析看來，只要是求運動的最終結(jié)果，它們是等效的。?

不過，此例顯然沒有顯示出牛頓運動定律對求過程中瞬時性物理量的優(yōu)勢，也沒有顯示出對復(fù)雜的運動過程的分析牛頓運動定律的劣勢。那么，讓我們繼續(xù)看下面幾例吧。?

例2．一個質(zhì)量為m的小球在半徑為R的豎直光滑圓環(huán)內(nèi)恰能繞圓環(huán)作圓周運動，求：（1）小球通過圓環(huán)最高點的速度？（2）小球通過圓環(huán)最低點時對圓環(huán)的壓力？?

解：（1）設(shè)小球在最高點處速度為。小球在圓環(huán)最高點恰能作圓周運動，則在該點小球自身的重力作為向心力，故由牛頓第二定律得：又由圓周運動規(guī)律得?

（2）小球由最高點運動到最低點過程，僅小球重力做功。設(shè)小球在最低點處速度為，由動能定理得：?代入解得：；由圓周運動規(guī)律得，再由牛頓第二定律得，又所以：?

評析：此題所涉運動為圓周運動，圓周運動中向心力具有瞬時性，高中階段只能用牛頓第二定律得到向心加速度再與圓周運動規(guī)律相結(jié)合來解。動量定理不適于求物理過程中的瞬時量。至于動能定理，由于它是對運動過程能量轉(zhuǎn)化方面的反映，故只要涉及動能改變的情況都適用。?

例3．如圖1所示，光滑水平面上停著一只木球和載人小車，人與車的總質(zhì)量為，木球質(zhì)量為，而且知道＝16。人以速度沿水平方向?qū)⒛厩蛲葡蜇Q直墻，球又以速率彈回，人接球后再以速率將木球推向墻，如此反復(fù)。問：（1）人經(jīng)幾次推木球后，再也不能接住木球？（2）在此過程中，人總共做了多少功？??

解：（1）把人車與球總體作為研究對象（是一個系統(tǒng)作為研究對象）。由系統(tǒng)動量定理可知：墻對球的作用力作為研究系統(tǒng)的外力，它的沖量改變著研究系統(tǒng)的動量。而每次墻對球的沖量都為。設(shè)n次后人不能接到球，此時人車速度為。依題意有：（1）又由動量定理有：故：（2），（1）（2）兩式結(jié)合解得：代入?得：?依題意，n應(yīng)取9。?

（2）由上面分析可知，球與墻碰9次后，人車速度?

由于墻在每次碰撞中都沒有對球做功，故被研究系統(tǒng)的動能來源于人所做的功，即由動能定理得：?

評析：此例由于墻與球、人與球的作用過程中力是變力且作用時間無法知道，故而細節(jié)內(nèi)容無法探究。所以根本無法用牛頓第二定律結(jié)合運動規(guī)律分析，只能采用動量定理和動能定理來解。?

例4．在光滑水平面上停有一質(zhì)量為M的小平板車A，車左端放上一初速度為，方向向右，質(zhì)量為m的厚度不計的滑塊B�；瑝K與小車上表面間的摩擦因數(shù)為，要使滑塊不至于滑出小車，小車長至少多長？??

解法一：用牛頓運動定理結(jié)合勻加速直線運動規(guī)律來解：?

滑塊B在小車A上向右滑行時，由于滑動摩擦力的作用，會帶動小車同時向右運動。相對于地面而言，滑塊向左做勻減速運動，它的加速度：；小車向右做勻加速運動，它的加速度：。要使滑塊恰不從小車上滑落，即要求滑塊滑到小車右端時，它與小車的末速度相等。即：，可得：?即：?

那么，；?

????依題意有：??

解法二：運用動量守恒與動能定理解：?

設(shè)A、B末速度為，由A．B系統(tǒng)動量守恒可得：，可得：?

又由動能定理得：，故：??

評析：當一個系統(tǒng)多個物體同時在運動時，運用牛頓運動定律來解需要對每個物體的具體運動情況都進行分析，很顯然這種解法會顯得較繁難。而系統(tǒng)動量定理及系統(tǒng)動能定理可對整個系統(tǒng)進行籠統(tǒng)處理，用這種解法來處理這類問題當然往往顯得簡便得多。?

綜上所述，我們可以看出：若是單個物體運動且過程簡單，或所求問題必須涉及過程中加速度的時候，應(yīng)選用牛頓第二定律結(jié)合相應(yīng)的運動規(guī)律來解；如果運動過程復(fù)雜、多個物體形成運動系統(tǒng)，則運用動量定理（動量守恒）結(jié)合動能定理來解。當然，只要涉及動能變化，外力做功的情況，動能定理都可用。

擴展閱讀：高二數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法

1.4數(shù)學(xué)歸納法

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，啟動思維

情境一、財主兒子學(xué)寫字的笑話、“小明弟兄三個，大哥叫大毛”的腦筋急轉(zhuǎn)彎等；

教師總結(jié)：財主的兒子很傻很天真，但他懂一樣思想方法，是什么？以上都是由特殊情況歸納出一般情況的方法---歸納法，這就是今天的課題.人們通常也會用歸納法思考問題，小孩也會由此總結(jié)出什么年齡人該叫爺爺，什么年齡人叫阿姨，叫哥哥或姐姐.情境二：華羅庚的“摸球?qū)嶒灐?/p>

1、這里有一袋球共12個，我們要判斷這一袋球是白球，還是黑球，請問怎么判斷？

啟發(fā)回答:

方法一：把它全部倒出來看一看．特點：方法是正確的，但操作上缺乏順序性．

方法二：一個一個拿，拿一個看一個．

比如結(jié)果為：第一個白球，第二個白球，第三個白球，，第十二個白球，由此得到：這一袋球都是白球．特點：有順序，有過程．

2、如果想象袋子有足夠大容量，球也無限多？要判斷這一袋球是白球，還是黑球，上述方法可行嗎？

情境三:回顧等差數(shù)列an通項公式推導(dǎo)過程：

a1a1a2a1da3a12da4a33dana1(n1)d

設(shè)計意圖：首先設(shè)計情境一,分析情境，自然引出課題----歸納法，談笑間進入正題.再通過情境二的交流激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性．情境三點出兩種歸納法的不同特點.通過梳理我們熟悉的一些問題，很自然為本節(jié)課主題與重點引出打下伏筆.二、師生互動，探究問題

承上啟下：以上問題的思考和解決，用的都是歸納法.什么是歸納法？歸納法特點是什么？上述歸納法有什么不同呢？學(xué)生回答以上問題，得出結(jié)論：

1.歸納法：由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法.特點：由特殊→一般；

2.完全歸納法:把研究對象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法；

3.不完全歸納法:根據(jù)事物的部分(而不是全部)特例得出一般結(jié)論的推理方法.

在生活和生產(chǎn)實際中，歸納法有著廣泛的應(yīng)用．例如氣象工作者、水文工作者，地震工作者依據(jù)積累的歷史資料作氣象預(yù)測，水文預(yù)報，地震預(yù)測用的就是歸納法．

4.引導(dǎo)學(xué)生舉例：

⑴不完全歸納法實例：如歐拉發(fā)現(xiàn)立體圖形的歐拉公式:VEF2(V為頂點數(shù),E為棱數(shù),F為面數(shù))

⑵完全歸納法實例：如證明圓周角定理時，分圓心在圓周角內(nèi)部、外部及一邊上三種情況討論．

設(shè)計意圖：從生活走向數(shù)學(xué)，與學(xué)生一起回顧以前學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，并在這里我安排學(xué)生舉完全歸納法的實例和不完全歸納法實例，進一步體會歸納意識，同時讓學(xué)生感受到我們以前的學(xué)習(xí)中其實早已接觸過歸納法，并引導(dǎo)學(xué)生積極投入到探尋論證方法過程的氛圍中.三、借助史料,引申思辨

問題1：已知an＝(n25n5)2（n∈N），

(1)分別求a1；a2；a3；a4．

(2)由⑴你會有怎樣的一個猜想？這個猜想正確嗎？問題2：費馬（Fermat）是17世紀法國著名的數(shù)學(xué)家，他是解析幾何的發(fā)明者之一，是對微積分的創(chuàng)立作出貢獻最多的人之一，是概率論的創(chuàng)始者之一，他對數(shù)論也有許多貢獻．他曾認為，當n∈N時，22n1一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對n＝0，1，2，3，4作了驗證后得

5到的．后來，18世紀偉大的瑞士科學(xué)家歐拉（Euler）卻證明了221＝4294967297＝6700417×641，從而否定了費馬的推測．沒想到當n＝5這一結(jié)論便不成立．

教師總結(jié):有人說，費馬為什么不再多算一個數(shù)呢？今天我們是無法回答的．但是要告訴同學(xué)們，失誤的關(guān)鍵不在于多算一個數(shù)上！

問題3：f(n)n2n41,當n∈N時，f(n)是否都為質(zhì)數(shù)？

驗證：f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，

f（9）＝131，f（10）＝151，，f（39）＝1601．但是f（40）

＝1681＝412，是合數(shù)．

承上啟下：這里算了39個數(shù)不算少了吧，但還是不行！我們介紹以上兩個資料，不是說世界級大師還出錯，我們有錯就可以原諒，也不是說歸納法不行，不去學(xué)了，而是要找出運用歸納法出錯的原因，并研究出對策來,尋求數(shù)學(xué)證明.

教師設(shè)問：,不完全歸納法為什么會出錯？如何彌補不足？怎么給出證明呢？

設(shè)計意圖：在生活引例與已學(xué)數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上，進一步引導(dǎo)學(xué)生看數(shù)學(xué)史料，能夠讓學(xué)生多方位多角度體會歸納法，感受使用歸納法的普遍性．同時引導(dǎo)學(xué)生進行思辨：在數(shù)學(xué)中運用不完全歸納法常常會得到錯誤的結(jié)論，不管是我們還是數(shù)學(xué)大師都有可能如此．那么，不完全歸納法價值體現(xiàn)在哪里？不足之處如何去彌補呢？結(jié)論正確性怎樣給出證明？學(xué)生一定會帶著許多問題進入下一階段探究.四、實例再現(xiàn)，激發(fā)興趣

1、演示多米諾骨牌游戲視頻.

師生共同探討多米諾骨牌全部依次倒下的條件：⑴第一塊要倒下;

⑵當前面一塊倒下時，后面一塊必須倒下;

當滿足這兩個條件后，多米諾骨牌全部都倒下.

再舉例：再舉幾則生活事例：推倒自行車,早操排隊對齊等．2、學(xué)生類比多米諾骨牌依順序倒下的原理，探究出證明有關(guān)正整數(shù)命題的方法（建立數(shù)學(xué)模型）.

設(shè)計意圖：布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論認為，“有指導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”強調(diào)知識發(fā)生發(fā)展過程．這里通過類比多米諾骨牌過程，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法的雛形，是一種再創(chuàng)造的發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)．另外，這個環(huán)節(jié)里，我在培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想、類比概括能力方面實踐的不夠好．應(yīng)該讓學(xué)生在類比多米諾骨牌游戲的基礎(chǔ)上說出數(shù)學(xué)歸納法原理，教師給予肯定和補充即可。事實上，情境的設(shè)計都是為學(xué)生更好的知識遷移而服務(wù)的。概括能力是思維能力的核心．魯賓斯坦指出：思維都是在概括中完成的．心理學(xué)認為“遷移就是概括”，這里知識、技能、思維方法、數(shù)學(xué)原理的遷移，突破口就是學(xué)生的概括過程．

五、類比聯(lián)想，形成概念

1、類比多米諾骨牌過程,證明等差數(shù)列通項公式

ana1(n1)d(師生共同完成,教師強調(diào)步驟及注意點)

(1)當n＝1時等式成立；(2)假設(shè)當n＝k時等式成立,即ak則ak1akda1(k1)d,

=a1[(k1)1]d,即n＝k＋1時等式也成立．

a1(n1)d于是,我們可以下結(jié)論：等差數(shù)列的通項公式an何n∈N*都成立．

2．數(shù)學(xué)歸納法原理(學(xué)生表述,教師補正)：

對任

（1）（遞推奠基）：n取第一個值n0(例如n01)時命題成立；

（2）（遞推歸納）：假設(shè)當n=k(k∈N*，且k≥n0)時結(jié)論正確；（歸納假設(shè)）

利用它證明當n=k+1時結(jié)論也正確.（歸納證明）

由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確，這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法．

3、數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)：無窮的歸納→有限的演繹（遞推關(guān)系）設(shè)計意圖：至此，由生活實例出發(fā)，與學(xué)生一起解析歸納原理,揭示遞推過程.教師強調(diào)數(shù)學(xué)歸納法特點.數(shù)學(xué)歸納法實際上是一種以數(shù)學(xué)歸納法原理為依據(jù)的演繹推理，它將一個無窮的歸納過程轉(zhuǎn)化為一個有限步驟的演繹過程，是處理自然數(shù)有關(guān)問題的有力工具，一種具普遍性的方法.

六、討論交流，深化認識

an1an例1、數(shù)列an中,a1＝1,an1是什么？你是怎么得到的？

(n∈N*),an通項公式

探討一：觀察數(shù)列an特點，變形解出.

探討二：先計算a2，a3，a4的值，再推測通項an的公式,最后用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論．

設(shè)計意圖：通過典型例題使學(xué)生探究嘗試，一方面體驗“觀察歸納猜想證明”完整過程，既能鞏固歸納法和數(shù)學(xué)歸納法，也能使他們體驗數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生獨立研究數(shù)學(xué)問題的意識和能力．不同的方法也體現(xiàn)解決問題的靈活性.

七、反饋練習(xí),鞏固提高

（請兩位同學(xué)板演以下兩題，教師指正）

1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋3＋5＋＋（2n－1）＝n2．2、首項是a1，公比是q的等比數(shù)列的通項公式是a3、用數(shù)學(xué)歸納法證明：2462nn2是否正確，說出理由？

證明：假設(shè)nkna1qn1．

n1時，下列推證

時，等式成立

kk1成立

2就是2462k那么2462k2k1k2k12k1=k1k11

2這就是說當nk1時等式成立，

所以nN*時等式成立.

4、判斷下列推證是否正確，若是不對，如何改正.求證：

12＋122＋12＋＋312n1n1()21

1證明：①當n=1時，左邊＝

211右邊＝122，等式成立.

②設(shè)n=k時，有

12＋122＋123＋＋12k1k1()2那么，當n=k+1時，有

k1111k1221，即1121212＋122＋12＋＋312k12k1n=k+1時，命題

成立

根據(jù)①②可知，對n∈N＊，等式成立.

設(shè)計意圖：練習(xí)題1，2的證明難度不大，套用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟不難解答，通過這兩個練習(xí)能看到學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法證題步驟的掌握情況．這樣既可以檢驗學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，保證不盲目拔高，同時不沖淡本節(jié)課的重點，對例題是一個很好的對比與補充．通過3，4的易錯辨析，進一步體會數(shù)學(xué)歸納法證題時的兩個步驟、一個結(jié)論，“遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉”.八、總結(jié)歸納，加深理解

1、本節(jié)課的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法；

2、歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種，枚舉法僅局限于有限個元素，而不完全歸納法得出的結(jié)論不一定具有可靠性，數(shù)學(xué)歸納法屬于完全歸納法；

3、數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，其基本思想是遞推(遞歸)思想，使用要點可概括為：兩個步驟一結(jié)論，遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉；

4、本節(jié)課所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有：遞推思想、類比思想、分類思想、歸納思想、辯證思想．九、布置作業(yè),課外延伸十、書面作業(yè)：見教材P56課后思考題：

1.是否存在常數(shù)a、b、c使得等式：

132435......n(n2)16n(an2bnc)

對一切自然數(shù)n都成立并證明你的結(jié)論.

2.是否存在常數(shù)

1222a、b、c，使得等式

223.....n(n1)n(n1)12(an2bnc)

對一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論（a=3,b=11,c=10）

設(shè)計意圖:思考題則起著承上啟下的作用,它既是“觀察歸納猜想證明”的完整思維探究過程的再體驗，也是對下節(jié)課內(nèi)容的鋪墊與伏筆．

友情提示：本文中關(guān)于《高二數(shù)學(xué)總結(jié)》給出的范例僅供您參考拓展思維使用，高二數(shù)學(xué)總結(jié)：該篇文章建議您自主創(chuàng)作。

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