中小學(xué)課改實(shí)驗(yàn)教材初中數(shù)學(xué)學(xué)科培訓(xùn)總結(jié)

中小學(xué)課改實(shí)驗(yàn)教材初中數(shù)學(xué)學(xué)科培訓(xùn)總結(jié)

劉鳳英

經(jīng)過這次中小學(xué)課改實(shí)驗(yàn)教材初中數(shù)學(xué)學(xué)科培訓(xùn)，我感觸很深，我的積極性被培訓(xùn)老師調(diào)動(dòng)的很高，我把我所學(xué)到的東西總結(jié)如下：

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課的教法，往往是老師講例題、分析過程、講完后讓學(xué)生練習(xí)鞏固，反復(fù)循環(huán)，學(xué)生的練習(xí)無非是例題的再版，使學(xué)生的學(xué)習(xí)乏味無趣，那么怎樣才能吸引學(xué)生呢？

1、新課的引入：創(chuàng)造豐富的問題情境，激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣。如平行線的引入時(shí)，可以引入鐵軌、滑雪、雙杠等實(shí)例。

2、注重知識(shí)的獲得過程，給予足夠的時(shí)間和空間，為學(xué)生提供探索的機(jī)會(huì)。新課改提倡學(xué)生合作學(xué)習(xí)、自主探究，我們?cè)趯?shí)踐中也作了嘗試，深感：（1）對(duì)小組的分工與合作，要多加以方法的指導(dǎo)和習(xí)慣的培養(yǎng)，使學(xué)生知道該如何與人合作；（2）對(duì)內(nèi)容要進(jìn)行選擇，應(yīng)該有一定的思維層次，有一定的挑戰(zhàn)性，突出方法和能力的問題作為合作的內(nèi)容；（3）對(duì)合作的方式要有設(shè)計(jì)。要有獨(dú)立的思考，使每個(gè)人在合作中都有話說；要有合作，使每個(gè)人在合作中都能從別人種學(xué)到東西；要有問題，是每個(gè)組合作的目的比較明確。

3、充分利用好教材，真正理解教材的編寫意圖。對(duì)于課本中的討論、思考、探究等欄目，不能只流于形式，要想好、做透徹、議透徹，給予學(xué)生充足的時(shí)間，真正做到做中學(xué)和學(xué)中做。

4、創(chuàng)建和諧的教學(xué)氛圍：教師要抓住討論、思考、探究的環(huán)節(jié)，積極地深入到學(xué)生之中，與學(xué)生進(jìn)行情感的溝，詢問、指導(dǎo)，也要讓學(xué)生發(fā)表自己的不同見解，可以向老師質(zhì)疑，老師要以心對(duì)心，以情對(duì)情，真誠平等的時(shí)學(xué)生自由的想象和創(chuàng)造，從而愉快的學(xué)習(xí)知識(shí)，發(fā)展能力。

5、校本課程的開發(fā)：我們的教師在每一章學(xué)習(xí)結(jié)束后，綜合各種練習(xí)冊(cè)，編制專題訓(xùn)練題，以達(dá)到復(fù)習(xí)鞏固的目的。如一次函數(shù)的學(xué)習(xí)結(jié)束后，我們編制了以下幾個(gè)專題：①專題1：求函數(shù)自變量的取值范圍；②專題2：函數(shù)的圖像；③專題3：正比例函數(shù)；④專題4：一次函數(shù)；⑤一次函數(shù)的應(yīng)用。

總之，我們廣大的一線教師都在努力的嘗試著、認(rèn)真的總結(jié)著，在今后的工作實(shí)踐中，我們會(huì)繼續(xù)用新的理念武裝自己，使自己的教學(xué)水平更適應(yīng)新時(shí)代的要求，做新時(shí)代合格的人民教師。

成績只能說明過去，課改并沒有結(jié)束，我將繼續(xù)努力，用新的理念指導(dǎo)著實(shí)際工作，為課改工作做出應(yīng)有的貢獻(xiàn)。

擴(kuò)展閱讀：初中數(shù)學(xué)學(xué)科基礎(chǔ) 重點(diǎn) 總結(jié)

第一章數(shù)與代數(shù)

數(shù)”的產(chǎn)生成為人類文明發(fā)展的一個(gè)重要的標(biāo)志。人類從識(shí)別事物多寡的原始的數(shù)覺能力，到抽象的“數(shù)”概念的形成，經(jīng)歷了一個(gè)緩慢漸進(jìn)的過程。第一次擴(kuò)充：分?jǐn)?shù)的引進(jìn)；第二次擴(kuò)充：0的引進(jìn)；第三次擴(kuò)充：負(fù)數(shù)的引進(jìn)；第四次擴(kuò)充：無理數(shù)的引進(jìn)；第五次擴(kuò)充：復(fù)數(shù)的引進(jìn)。

從原有數(shù)集擴(kuò)充到新數(shù)集所遵循的原則：原數(shù)集是擴(kuò)充后新數(shù)集的真子集；原數(shù)集定義的元素間的關(guān)系和運(yùn)算在新數(shù)集中同樣地被定義；原數(shù)集中的元素在新數(shù)集中定義的運(yùn)算結(jié)果與在原數(shù)集中的運(yùn)算結(jié)果一致，且基本運(yùn)算律保持；在原數(shù)集中不能施行或不能完全施行的某種運(yùn)算，在新數(shù)集中能夠施行；新數(shù)集是滿足上述四條的數(shù)集中的最小數(shù)集。擴(kuò)充方法：一種是把新引進(jìn)的數(shù)加到已建立的數(shù)系中而擴(kuò)充。另一種是從理論上創(chuàng)造一個(gè)集合，即通過定義等價(jià)類來建立新數(shù)系，然后指出新數(shù)系的一個(gè)部分集合與以前數(shù)，一種新的數(shù)，也就實(shí)現(xiàn)了數(shù)系的一次擴(kuò)張。引入了負(fù)數(shù)，就實(shí)現(xiàn)了這個(gè)數(shù)系關(guān)于加減運(yùn)算的自封閉。

有理數(shù)有一種簡單的幾何解釋在一條水平的直線上，確定一段線段為單位長度，把它的左、右端點(diǎn)分別標(biāo)設(shè)為0和1。正整數(shù)在0的右邊，負(fù)整數(shù)在0的左邊。對(duì)于分母q的有理數(shù)，就可以用把單位區(qū)間q等分的那些分點(diǎn)表示。每一個(gè)有理數(shù)都可以找到數(shù)軸上的一點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)。

無理數(shù)的引入正方形的邊長和對(duì)角線不可公度。實(shí)現(xiàn)了數(shù)系的又一次擴(kuò)張，可以滿足數(shù)學(xué)上開方運(yùn)算的需要，實(shí)現(xiàn)了實(shí)數(shù)系關(guān)于加減運(yùn)算的封閉性。戴德金闡述了有理數(shù)的有序性、稠密性和戴德金分割。戴德金分割是指,每個(gè)有理數(shù)都將全部有理數(shù)分為兩類，使得第一類中每個(gè)數(shù)都小于第二類中的任一個(gè)數(shù)，這個(gè)分類的有理數(shù)可以算在兩類的任何一類中。利用這個(gè)分割法可以得到無理數(shù)的定義。

所建立的數(shù)系是同構(gòu)的。

自然數(shù)的兩大基本理論：基數(shù)理論和序數(shù)理論

基數(shù)理論當(dāng)我們把所有表示數(shù)量的符號(hào)放在一起就得到了一個(gè)集合，我們稱之為“數(shù)集”，為了度量“數(shù)集”當(dāng)中表示數(shù)量的符號(hào)個(gè)數(shù)，我們首先要定義一個(gè)概念就是“基數(shù)”。19世紀(jì)中葉，數(shù)學(xué)家康托以集合理論為基礎(chǔ)提出了自然數(shù)的基數(shù)理論。等價(jià)集合的共同特征稱為基數(shù)。對(duì)于有限集合來說，基數(shù)就是元素的個(gè)數(shù)。自然數(shù)就有有限集合A的基數(shù)叫做自然數(shù)。記作“”。當(dāng)集合是有限集時(shí)，該集合的基數(shù)就是自然數(shù)�？占�的基數(shù)就是0。而一切自然數(shù)組成的集合，我們稱之為自然數(shù)集，記為N。

序數(shù)理論皮亞諾1889年建立了自然數(shù)的序數(shù)理論，進(jìn)而完全確立了數(shù)系的理論。是根據(jù)一個(gè)集合里某些元素之間有“后繼”這一基本關(guān)系和五條公理（皮亞諾公理），把自然數(shù)集里的元素按1、2、……這樣一種基本關(guān)系而完全確定下來。

定義非空集合N*中的元素叫做自然數(shù),如果N*的元素之間有一個(gè)基本關(guān)系“后繼”(b后繼于a,記為b=a′)，并滿足下列公理：（1）0∈N*；（2）0不是N*中任何元素的后繼元素；（3）對(duì)N*中任何元素a，有唯一的a′∈N；（4）對(duì)N*中任何元素a，如果a≠0，那么，a必后繼于N*中某一元素b；（5）（歸納公理）如果MN*，而且滿足條件:①0∈M；②若a∈M，則a′∈M.那么，M=N*.這樣，所構(gòu)成的系統(tǒng)稱為皮亞諾公理系統(tǒng)，它就是自然數(shù)系。

自然數(shù)0是作為空集的標(biāo)記。在空集中，“0”作為記數(shù)法中的空位，在位置制記數(shù)中是不可缺少的。

自然數(shù)系所蘊(yùn)含的思想

對(duì)應(yīng)思想（可數(shù)的集合）自然數(shù)建立在對(duì)應(yīng)概念之上，而且對(duì)應(yīng)的思想也成為自然數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)。一一對(duì)應(yīng)關(guān)系是集合論中建立兩個(gè)集合“相等”關(guān)系的一個(gè)重要概念。（導(dǎo)致了俗稱“理發(fā)師悖論”的羅素悖論的發(fā)現(xiàn)）德國策梅羅提出七條公理，建立了一種不會(huì)產(chǎn)生悖論的集合論，后又經(jīng)過德國弗芝克爾改進(jìn)形成了一個(gè)無矛盾的集合論公理系統(tǒng)（ZF公理系統(tǒng)）。數(shù)位思想

位置制記數(shù)法，就是運(yùn)用少量的符號(hào)，通過它們不同個(gè)數(shù)的排列，以表示不同的數(shù)。用十個(gè)記號(hào)來表示一切的數(shù)，每個(gè)記號(hào)不但有絕對(duì)的值，而且有位置的值。十進(jìn)位位置制記數(shù)之產(chǎn)生于中國，是與算籌的使用與籌算制度的演進(jìn)分不開的。

負(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)含義至少包括如下幾個(gè)方面：+a與-a表示一對(duì)相反意義的量。引入負(fù)

數(shù)學(xué)符號(hào)有兩種重要屬性：抽象性和形象性。數(shù)學(xué)符號(hào)的意義在于：有了數(shù)學(xué)符號(hào)，才使得抽象的數(shù)學(xué)概念有了具體的表現(xiàn)形式，才使得具有一般意義的推理和運(yùn)算、抽象的數(shù)學(xué)思維能以直觀的、簡約的形式表現(xiàn)出來。

字母代表數(shù)代數(shù)，原意就是指“文字代表數(shù)”的學(xué)問。使得許多算術(shù)問題可以轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程問題求解。根本的內(nèi)涵是“未知數(shù)的符號(hào)x可以和數(shù)一樣進(jìn)行四則運(yùn)算。文字代表數(shù)的真正價(jià)值在于：字母能夠和數(shù)字一起進(jìn)行四則運(yùn)算和乘方、開方，進(jìn)行指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角等運(yùn)算，乃至對(duì)字母進(jìn)行微分、積分運(yùn)算等等。

解析式數(shù)字、字母、運(yùn)算符號(hào)按照一定規(guī)律有意義地結(jié)合而成的符號(hào)組合。解析式中的字母可以有不同的含義不同的含義不影響它基本運(yùn)算規(guī)律和變形規(guī)則。解析式可以區(qū)分為兩大類：一類是只含有代數(shù)運(yùn)算的解析式叫代數(shù)式，沒有開方運(yùn)算的代數(shù)式稱為有理式，否則稱為無理式；沒有除法運(yùn)算的有理式稱為整式，否則稱為分式；沒有加、減運(yùn)算的整式稱為單項(xiàng)式，否則稱為多項(xiàng)式。另一類是包含初等超越運(yùn)算的解析式統(tǒng)稱為初等超越式，簡稱超越式。它包括指數(shù)式、對(duì)數(shù)式、三角函數(shù)式、反三角函數(shù)式。

解析式的恒等變形把一個(gè)給定的解析式變換為另一個(gè)與它恒等的解析式，叫做解析式的恒等變形。恒等是相對(duì)的。式的恒等變形也是可以連寫的，因?yàn)樗鼈儗?duì)一切數(shù)，代入式都相等。但是，解方程時(shí)的同解變形，不是恒等變形，。代數(shù)式數(shù)學(xué)的符號(hào)語言

代數(shù)式是在數(shù)系基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。在初等代數(shù)中，所涉及的運(yùn)算可分為兩大類：1代數(shù)運(yùn)算2初等超越運(yùn)算：指數(shù)是無理數(shù)的乘方、對(duì)數(shù)、三角、反三角運(yùn)算。

定義，在一個(gè)解析式中，如果對(duì)字母只進(jìn)行有限次代數(shù)運(yùn)算，那么這個(gè)解析式就稱為代數(shù)式；如果對(duì)字母進(jìn)行了有限次的初等超越運(yùn)算，那么這個(gè)解析式就稱為初等超越式，簡稱超越式。還可以進(jìn)一步分類：只含有加、減、乘、除、指數(shù)為整數(shù)的乘方運(yùn)算的代數(shù)式稱為有理式；其余的代數(shù)式稱為無理式；在有理式中，只含有加、減、乘運(yùn)算稱為整式（或多項(xiàng)式），其余的有理式稱為分式。

“數(shù)”發(fā)展到“式”的意義導(dǎo)致了運(yùn)算形式化、程序化及規(guī)則的公理化，包含了計(jì)算對(duì)象擴(kuò)大化，即數(shù)系的擴(kuò)大化問題。將抽象的符號(hào)運(yùn)算應(yīng)用到更一般的對(duì)象上，開辟了構(gòu)造數(shù)學(xué)的新方向，為抽象代數(shù)學(xué)的發(fā)展埋下了伏筆，成為近代數(shù)學(xué)的顯著特征。

數(shù)學(xué)符號(hào)具有重要的屬性一是它的抽象性。符號(hào)代表了事物本質(zhì)的特征，從而具有代表性和一般性。另一個(gè)重要的屬性在于它的形象性。數(shù)學(xué)符號(hào)不但精確地表示數(shù)學(xué)抽象，而且是抽象內(nèi)涵的簡約形象。等式和方程

（一）方程的含義“含有未知數(shù)的等式叫方程”。這個(gè)定義簡單明了，為大家所習(xí)用。不過，這個(gè)定義有不足�！胺匠淌菫榱藢で笪粗獢�(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來的等式關(guān)系。”把方程的核心價(jià)值提出來了，即為了尋求未知數(shù)。

判斷一個(gè)代數(shù)式等式是否是方程就是看等式中的字母是否是待求的未知數(shù)。方程的概念一般用于兩個(gè)領(lǐng)域：“求某個(gè)未知數(shù)的數(shù)”和“曲線與方程”在這兩個(gè)領(lǐng)域中“方程”的概念本身并沒有變化，而是研究的問題有所不同。前者的目的在于求方程的解，而后者則希望研究的是這些解的分布情況。方程解的個(gè)數(shù)（或解集的大小）與方程的存在域的大小有直接關(guān)系。

方程的分類依照方程解的個(gè)數(shù)分，可將方程分為無解方程（矛盾方程）、有唯一解、有多個(gè)解、有無窮多個(gè)解和全體實(shí)數(shù)解等。方程按照它所含有的未知數(shù)的個(gè)數(shù)來分類：集。兩個(gè)不等式的解集相同，則稱這兩個(gè)不等式是同解的。

不等式有三個(gè)基本性質(zhì)：1不等式兩邊同時(shí)加或減去同一個(gè)整式，不等號(hào)方向不變，2不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)大于0的整式，不等號(hào)方向不變3不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)小于0的整式，不等號(hào)方向改變。不等式的實(shí)際應(yīng)用在運(yùn)動(dòng)變化過程中，如果用函數(shù)模型刻畫運(yùn)動(dòng)變化的兩個(gè)變量x、y之間的關(guān)系，那么.方程模型刻畫的是x、y變化過程中某一瞬間的情況，而不等式模型刻畫的是變化過程中x、y之間的大小關(guān)系，是更普遍存在的狀態(tài)。不等式尤其在解決“最值”問題上具有廣泛的應(yīng)用。不等式蘊(yùn)含的思想

（一）模型思想與相等現(xiàn)象相比，不等現(xiàn)象是現(xiàn)實(shí)世界中更為普遍的現(xiàn)象，不等式是一元方程、二元方程、多元方程等。

方程借助用字母表示數(shù)的代數(shù)思想，將未知數(shù)同已知數(shù)一起描述問題的代數(shù)表達(dá)形式，形成了方程的基本思想。

方程思想具有很豐富的含義，其核心體現(xiàn)在：一是模型思想，二是化歸思想。學(xué)習(xí)方程內(nèi)容最主要的事情集中在兩個(gè)方面。一方面是建模，另一方面是會(huì)解方程。關(guān)于方程建模大自然的許多客觀規(guī)律都表現(xiàn)為量與量之間的某種關(guān)系，將它表示出來往往就是一個(gè)方程式。初中方程的教學(xué)不能過分地停留在數(shù)學(xué)層面上必須使學(xué)生真正體會(huì)到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活密不可分的聯(lián)系。體會(huì)方程是一種用數(shù)學(xué)符號(hào)提煉現(xiàn)實(shí)生活中的特定關(guān)系的過程。必須學(xué)會(huì)抽象將關(guān)系抽象為數(shù)學(xué)符號(hào)。

方程設(shè)計(jì)思想的思路先進(jìn)行生活中的提煉，然后到數(shù)學(xué)表達(dá)，到形式化的方程，再到最終解決方程問題。

初中數(shù)學(xué)方程的常見解法：換元法、因式分解法、圖像法、求根公式法。

等式與方程的關(guān)系建立方程是借助等式作為其上位概念來完成的。方程是一種特殊的等式，是在說明相等是怎么回事，等式可以是數(shù)字之間的相等，可以是恒等，而方程刻畫的可以是兩件事情之間的相等，可以是有條件的相等，也可以使一種隨機(jī)的相等。不等式

學(xué)習(xí)的意義不等式可以表示一種界限，本身就是一種規(guī)律。其次，研究不等式可以導(dǎo)致等式。最后，不等式在幾何上可以表示一個(gè)區(qū)域。

不等關(guān)系與相等關(guān)系既是矛盾獨(dú)立的，也是相互統(tǒng)一的。不等關(guān)系往往可以等價(jià)地轉(zhuǎn)化為相等關(guān)系加以解決。

不等式的含義兩個(gè)實(shí)數(shù)或代數(shù)式用符號(hào)連接起來的所得到的式子叫做不等式。如果不論用什么實(shí)數(shù)代替不等式中的字母，它都能夠成立，這樣的不等式叫絕對(duì)不等式，如果只用某些范圍內(nèi)的實(shí)數(shù)代替不等式中的字母，它才能夠成立，這樣的不等式叫條件不等式。如果不論用什么樣的實(shí)數(shù)值代替不等式中的字母，不等式都不能成立，這樣的不等式叫矛盾不等式。當(dāng)不等號(hào)兩邊的解析式都是代數(shù)式時(shí)，稱為代數(shù)不等式；兩邊的解析式至少有一個(gè)是超越式時(shí)，稱為超越不等式。不等式解集表示方法

不等式所有解的集合，叫做解集。求不等式解集的過程叫解不等式。不等式組中每一個(gè)不等式解集的交集叫做不等式組的解集。

一個(gè)不等式的解集表示方法1數(shù)軸表示法即在數(shù)軸上把不等式的解集表示出來。2集合表示法即用集合來表示不等式的解集。3區(qū)間表示法即用區(qū)間來表示不等式的解

刻畫不等現(xiàn)象的有力模型。通過分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，列出不等式，通過解不等式得到實(shí)際問題的答案，這就體現(xiàn)了不等式的模型思想。同時(shí)，這種模型經(jīng)常與函數(shù)、方程聯(lián)系在一起，三者都是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中量與量之間變化規(guī)律的重要模型，在解決實(shí)際問題時(shí)，要合理選擇這三種重要的數(shù)學(xué)模型。（二）辯證思想通過c=a-b的媒介作用，不等式a>b與等式a=b+c建立了一種“等價(jià)”關(guān)系。這是一種辯證關(guān)系。恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用這種思想可以輕松地化解相當(dāng)多的問題。（三）數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)題意可列出不等式組，運(yùn)用數(shù)軸表示不等式組的解集，可以直觀形象地解決問題。這種思想正是數(shù)形結(jié)合思想。函數(shù)

函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型。

1755年，歐拉首次給出了函數(shù)變量定義：“如果某些變量，以這樣一種方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面的變量變化時(shí)，前者的這些量也隨之變化，則將前面的變量稱之為后一些變量的函數(shù)�！庇纱搜葑�?yōu)槟壳暗暮瘮?shù)的“變量說”黎曼在1851定義：“我們假定z是一個(gè)變量，如果對(duì)它的每一個(gè)值，都有未知量W的每一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，則稱W是Z的函數(shù)�！�。1939年，布爾巴基學(xué)派主借用了笛卡兒積建立關(guān)系，進(jìn)而定義函數(shù)：

1）對(duì)

中每一個(gè)元素

，存在

，使

；

（2）若且，則。函數(shù)記作：”分別稱以上函數(shù)定義為變量說、對(duì)應(yīng)說和關(guān)系說。函數(shù)概念的核心思想

數(shù)學(xué)的核心是研究關(guān)系，即數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系和隨機(jī)關(guān)系。函數(shù)研究的是兩個(gè)變量之間的數(shù)量關(guān)系：一個(gè)變量的取值發(fā)生了變化，另一個(gè)變量的取值也發(fā)生變化，這就是函數(shù)表達(dá)的數(shù)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。其中有三點(diǎn)是重要的，一是變量的取值是實(shí)數(shù)；二是因變量的取值是唯一的；三是必須借助數(shù)字以外的符號(hào)表示函數(shù)。函數(shù)的表達(dá)方式一般有三種：解析式法，表格法，圖像法。

解析式是最常用的方法，適用于表示連續(xù)函數(shù)或者分段函數(shù)。解析式有利于研究函數(shù)性質(zhì)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，但對(duì)初學(xué)者來說也是抽象的。列表法適用于表達(dá)變量取值是離散的情況。利用圖像法可以直觀地表述函數(shù)的形態(tài)，有利于分析函數(shù)的性質(zhì)，但作圖是比較困難的，用何種方法表達(dá)函數(shù)可因題而議。中學(xué)數(shù)學(xué)研究的函數(shù)性質(zhì)

數(shù)學(xué)中研究函數(shù)主要是研究函數(shù)的變化特征。中學(xué)階段主要研究函數(shù)的周期性，也涉及

奇偶性；在高中階段主要研究函數(shù)的單調(diào)性、周期性，也討論某些函數(shù)的奇偶性。（一）函數(shù)的周期性周期性反映了函數(shù)變化周而復(fù)始的規(guī)律。是中學(xué)階段學(xué)習(xí)函數(shù)的一個(gè)基本的性質(zhì)。周期函數(shù)是刻畫周期變化的基本函數(shù)模型，使我們集中研究函數(shù)在一個(gè)周期里的變化，了解函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的變化情況。

（二）函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性也是我們?cè)谥袑W(xué)階段學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)要研究的函數(shù)的性質(zhì)，但它不是最基本的性質(zhì)。奇偶性反應(yīng)了函數(shù)圖形的對(duì)稱性質(zhì)，可以幫助我們用對(duì)稱思想來研究函數(shù)的變化規(guī)律。

（三）函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性是討論函數(shù)“變化”的一個(gè)最基本的性質(zhì)。從幾何的角度看，就是研究函數(shù)圖像走勢的變化規(guī)律。函數(shù)與其它內(nèi)容的聯(lián)系

（一）函數(shù)與方程用函數(shù)的觀點(diǎn)看待方程可以把方程的根看成函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐．解析幾何的產(chǎn)生與發(fā)展

笛卡爾提出了平面坐標(biāo)系的概念，實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)與數(shù)對(duì)的對(duì)應(yīng)，將圓錐曲線用含有兩面三刀個(gè)求知數(shù)的方程來表示，并且形成了一系列全新的理論與方法，解析幾何就這樣產(chǎn)生了�，F(xiàn)代幾何的產(chǎn)生與發(fā)展

人們不斷發(fā)現(xiàn)《幾何原本》在邏輯上不夠嚴(yán)密之處，在嘗試用其他公理、公設(shè)證明第五公設(shè)“的失敗，促使人們重新考察幾何學(xué)的邏輯基礎(chǔ)，并取得了兩方面的突出研究成果。初中數(shù)學(xué)課程中的幾何學(xué)內(nèi)容

（一）直觀幾何幾何學(xué)是其中研究“形”的分支。幾何圖形可以直觀地表示出來，人們認(rèn)識(shí)圖形的初級(jí)階段，主要依靠形象思維�！靶蜗笏季S”也就是強(qiáng)調(diào)幾何直觀。

（二）演繹幾何幾何圖形本身具有抽象性和一般性，一種幾何概念可能包含無限多種不同的情形，因此，研究圖形的形狀、大小和位置關(guān)系時(shí)，不能僅僅依靠直觀實(shí)驗(yàn)的方法，標(biāo)，即零點(diǎn)的橫坐標(biāo)。方程可看作函數(shù)的局部性質(zhì)，求方程的根就變成了求函數(shù)圖形與x軸的交點(diǎn)問題。

（二）函數(shù)與數(shù)列數(shù)列是特殊的函數(shù)。它的定義域一般是指非負(fù)的正整數(shù)集，有時(shí)也可以為自然數(shù)集，或者自然數(shù)集的子集。數(shù)列通常稱為離散函數(shù)。等差數(shù)列是線性函數(shù)的離散化，而等比數(shù)列是指數(shù)函數(shù)的離散化。

（三）函數(shù)與不等式我們首先確定函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)（方程f(x)=0的解），再根據(jù)函數(shù)的圖像來求解不等式。

（四）函數(shù)與線性規(guī)劃是最優(yōu)化問題的一部分，從函數(shù)的觀點(diǎn)看，首先，要確定目標(biāo)函數(shù)，用目標(biāo)函數(shù)來刻畫“好、壞”或“大、小”等，接著，需要確定目標(biāo)函數(shù)的可行域。最后，討論目標(biāo)函數(shù)在可行域（由約束條件確定的定義域）內(nèi)的最值問題。

解線性規(guī)劃問題，可歸結(jié)為以下算法：第一步，確定目標(biāo)函數(shù)；第二步，確定目標(biāo)函數(shù)的可行域；第三步，確定目標(biāo)函數(shù)在可行域內(nèi)的最值。函數(shù)模型

函數(shù)是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的抽象，是建立思想模型的基礎(chǔ)，具有良好的普適性和代表意義。現(xiàn)實(shí)生活中，普遍存在著最優(yōu)化問題----最佳投資、最小成本等，常常歸結(jié)為函數(shù)的最值問題，通過建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，確定變量的限制條件，運(yùn)用函數(shù)建模的思想進(jìn)行解決。在運(yùn)用一次函數(shù)知識(shí)和方法建模解決時(shí)，有時(shí)要涉及到多種方案，通過比較，從中挑選出最佳的方案。

在實(shí)際的教學(xué)中，除了使學(xué)生了解所學(xué)習(xí)的函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中有豐富的“原型”之外，還應(yīng)通過實(shí)例介紹或讓學(xué)生通過運(yùn)算來體驗(yàn)函數(shù)模型的多樣性。

通過實(shí)例，讓學(xué)生體會(huì)、感受數(shù)據(jù)擬合在預(yù)測、規(guī)劃等方面的重要作用，使學(xué)生們學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的知識(shí)、思想方法、數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，提高運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力．要鼓勵(lì)學(xué)生收集一些社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型的實(shí)例進(jìn)行探索實(shí)踐．第二章圖形與幾何四個(gè)基本階段。

實(shí)驗(yàn)幾何的形成和發(fā)展

人們?cè)谟^察、實(shí)踐、實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上積累了豐富的幾何經(jīng)驗(yàn)，形成了一批粗略的概念，反映了某些經(jīng)驗(yàn)事實(shí)之間的聯(lián)系，形成了實(shí)驗(yàn)幾何。理論幾何的形成和發(fā)展

柏拉圖把邏輯學(xué)的思想方法引入幾何學(xué)，確立縝密的定義和明晰的公理作為幾何學(xué)的基礎(chǔ)，歐幾里德按照嚴(yán)密的邏輯系統(tǒng)編寫的《幾何原本》奠定了理論幾何的基礎(chǔ)。而需要具有一般性和抽象性的方法，其中包括邏輯推理。

以一些原始概念和公理為出發(fā)點(diǎn)，逐步對(duì)一些幾何概念做比較邏輯化的描述，進(jìn)行一些基本推理和論證。雖然也借助直觀和少量代數(shù)公理，但是，主要立足邏輯進(jìn)行幾何概念及其性質(zhì)的分析研究，這就是演繹幾何。

（三）度量幾何對(duì)一些圖形進(jìn)行度量，包括長度，面積，體積，角度等，適當(dāng)?shù)难由�。（四）變換幾何也叫運(yùn)動(dòng)幾何。這個(gè)領(lǐng)域主要討論平移、旋轉(zhuǎn)、反射等剛體運(yùn)動(dòng)，以及相似變換、拓?fù)渥儞Q，并借以研究圖形的全等、對(duì)稱等概念，了解變換之下的不變量。（五）坐標(biāo)幾何即解析幾何。在解析幾何中，首先是建立坐標(biāo)系。坐標(biāo)系將幾何對(duì)象和數(shù)、幾何關(guān)系和函數(shù)之間建立了密切的聯(lián)系，這樣就可以對(duì)空間形式的研究歸結(jié)成比較成熟也容易駕馭的數(shù)量關(guān)系的研究了。

經(jīng)驗(yàn)幾何所謂經(jīng)驗(yàn)幾何，通常是直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何的通稱，它特別關(guān)注學(xué)生幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，以及幾何直覺的發(fā)展。經(jīng)驗(yàn)幾何的作用

幾何學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界物體的形狀、大小和位置關(guān)系的學(xué)科,而后發(fā)展成為研究一般空間結(jié)構(gòu)、圖形關(guān)系的學(xué)科。

（一）經(jīng)驗(yàn)幾何則是發(fā)現(xiàn)幾何命題和定理的有效工具，在培養(yǎng)人的直覺思維和創(chuàng)造性思維方面起著重大的作用，而論證幾何在培養(yǎng)人的邏輯思維能力方面起著重要作用。（二）經(jīng)驗(yàn)幾何是學(xué)習(xí)推理論證幾何的必要前提。

學(xué)習(xí)的內(nèi)容是由非形式化的推理逐漸提升到形式化的推理，透過直觀幾何與實(shí)驗(yàn)幾何的充分學(xué)習(xí)，對(duì)幾何對(duì)象的熟悉及非形式化的推理，達(dá)到知覺性的了解、操作性的了解，進(jìn)而形成幾何推理。

另一方面，我們用來作為推理基礎(chǔ)的幾何性質(zhì)，一部分是利用實(shí)驗(yàn)歸納的方法得來的，另一部分則是利用已知的幾何性質(zhì)進(jìn)行“推論”而導(dǎo)出的結(jié)果。

（三）實(shí)驗(yàn)幾何是幾何學(xué)習(xí)的一個(gè)階段和一種認(rèn)知水平，更是一種幾何學(xué)習(xí)方法�？傊�，實(shí)驗(yàn)幾何作為幾何學(xué)習(xí)的一個(gè)階段，在學(xué)生幾何學(xué)習(xí)過程中起到承上啟下的銜接作用；同時(shí)，實(shí)驗(yàn)幾何是貫穿從直觀幾何到論證幾何學(xué)習(xí)的一種有益于發(fā)現(xiàn)真理、幾何直觀幾何直觀具有發(fā)現(xiàn)功能，同時(shí)也是理解數(shù)學(xué)的有效渠道。數(shù)學(xué)概念經(jīng)過多級(jí)抽象充分形式化后，有必要以相對(duì)直觀可信的數(shù)學(xué)對(duì)象為基礎(chǔ)進(jìn)行理性重建，從而達(dá)到思維直觀化的理想目標(biāo)和可應(yīng)用性要求,這要求數(shù)學(xué)的直觀與形式的統(tǒng)一，才使得數(shù)學(xué)的完美。

幾何直觀及其作用《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（修訂稿）指出，幾何直觀主要是指利用圖形描述

和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。

幾何直觀對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展非常重要：

首先，幾何直觀是一種創(chuàng)造性思維，是一種很重要的科學(xué)研究方式，在科學(xué)發(fā)現(xiàn)過程中起到不可磨滅的作用。對(duì)于數(shù)學(xué)中的很多問題，靈感往往來自于幾何直觀。數(shù)學(xué)家總是力求把他們研究的問題盡量變成可借用的幾何直觀問題，使他們成為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的向?qū)�，隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，幾何直觀在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、圖象處理、圖象控制等領(lǐng)域都有誘人的前景。

其次，幾何直觀是認(rèn)識(shí)論問題，是認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ),有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解。

借助于幾何直觀、幾何解釋，能啟迪思路,可以幫助我們理解和接受抽象的內(nèi)容和方法，抽象觀念、形式化語言的直觀背景和幾何形象，都為學(xué)生創(chuàng)造了一個(gè)自己主動(dòng)思考一般地，周長指封閉曲線一周的長度。（二）面積

物體的表面是一個(gè)二維的圖形，直觀地感覺它所占有的區(qū)域具有一定的大小，對(duì)一個(gè)二維圖形的表面進(jìn)行度量以后，用一個(gè)“數(shù)”標(biāo)志它的大小，稱這個(gè)數(shù)為該圖形的面積。人們約定，將邊長為1米的正方形的面積規(guī)定為1平方米。

于是，對(duì)于邊長為整數(shù)a米、b米的矩形，總可以將其剖分為若干個(gè)邊長為1米的正方形，進(jìn)而，這個(gè)矩形就由ab個(gè)單位正方形組成，從而，這個(gè)矩形的面積為ab平方米（整數(shù)）。如果矩形的邊長A，B是無理數(shù)，而且仍用邊長為1的正方形去度量，那么，還要使用極限過程，用一列有理數(shù)逼近無理數(shù)，an→A,bn→B。依據(jù)anbn→AB，以及有理數(shù)邊長的矩形面積公式，最后得出，矩形的面積也是AB。

這個(gè)過程實(shí)際上論證了“邊長相等的兩個(gè)矩形的面積的比，等于它們不相等邊的長度的的機(jī)會(huì)，揭示經(jīng)驗(yàn)的策略，創(chuàng)設(shè)不同的數(shù)學(xué)情景，使學(xué)生從洞察和想象的內(nèi)部源泉入手，通過自主探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，經(jīng)歷反思性循環(huán)，體驗(yàn)和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程；使學(xué)生從非形式化的、算法的、直覺相互作用與矛盾中形成數(shù)學(xué)觀。

最后，幾何直觀是揭示現(xiàn)代數(shù)學(xué)本質(zhì)的有力工具，有助于形成科學(xué)正確的世界觀和方法論。借助幾何直觀，揭示研究對(duì)象的性質(zhì)和關(guān)系，使思維很容易轉(zhuǎn)向更高級(jí)更抽象的空間形式，使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)創(chuàng)造性工作歷程，能夠開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造激情，形成良好的思維品質(zhì)。

直觀幾何主要包含哪些內(nèi)容

以大量豐富的實(shí)例為背景，通過觀察、操作來探索認(rèn)識(shí)基本圖形的性質(zhì)。這些基本圖形主要包括點(diǎn)、線、面、角、平行線、相交線、三角形四邊形、圓等，除此之外，還包括尺規(guī)作圖、視圖和投影等。這些內(nèi)容構(gòu)成直觀幾何的重要組成部分。經(jīng)驗(yàn)幾何的具體研究內(nèi)容

初中幾何的主要課程教學(xué)目標(biāo)在于，“積累幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展幾何直觀、空間觀念，進(jìn)一步感受幾何推理的魅力，體會(huì)幾何的美，初步掌握幾何推理的基本形式”，而發(fā)展幾何直觀、積累幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)空間觀念，則是經(jīng)驗(yàn)幾何的核心目標(biāo)。按照初中階段的經(jīng)驗(yàn)幾何認(rèn)識(shí)過程的不同，通�？梢詫⒔�(jīng)驗(yàn)幾何的學(xué)習(xí)內(nèi)容，分成認(rèn)識(shí)圖形、進(jìn)行立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)換、在運(yùn)動(dòng)與變換中研究幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)三部分。度量幾何幾何學(xué)起源于圖形大小的度量。根據(jù)圖形的維數(shù)，把度量一維圖形大小的數(shù)稱為長度，而將二維圖形的大小用面積來表示，體積則是標(biāo)志三維圖形大小的數(shù)。線段長度是一切度量的出發(fā)點(diǎn)。

長度的含義線段“兩端之間的距離”。所謂距離。羅蘭德（Rowland）首先使用光柵測量一公尺長度中的波長數(shù)。1960年以后，用激光定義“米”。

目前，國際上采用的長度單位，是在1983年10月確定的，即第十七屆國際權(quán)度大會(huì)重新把國際標(biāo)準(zhǔn)制（SI）中的長度單位──“米（meter）”定義為：光于299,792,458分之1秒內(nèi)在真空中所走的長度，稱為“米”。

如果可以用一個(gè)線段e衡量兩條線段M，N，使得M，N都是e的整數(shù)倍，我們稱兩個(gè)線段M，N是可公度的。

輾轉(zhuǎn)相除方法，用后次的an截取前次的an-1，即較長的那個(gè)線段減去短的那個(gè)線段，如此輾轉(zhuǎn)截取，直到兩個(gè)線段一樣長，這個(gè)長度就是公度量。古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，發(fā)現(xiàn)正方形的邊與其對(duì)角線不可公度3.周長“圓、橢圓或其它閉合的曲線的周界長度�！�

比”。

海倫-秦九韶公式

劉徽用割圓法求圓面積大膽地將極限思想和無窮小分割引入了數(shù)學(xué)證明。將圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)不斷加倍，則它們與圓面積的差越來越小，其極限值就是所要求的圓面積。印度圓取兩個(gè)相等的圓，把它們等分成相同的若干個(gè)全等扇形，然后把它們沿半徑剖開（但扇形的圓弧仍然連著）、展平成鋸齒條形然后，把兩個(gè)鋸齒形互相嵌入即成一個(gè)近似的矩形。份數(shù)分得愈多，其結(jié)果愈接近矩形，這個(gè)矩形的高為圓半徑r，底為圓周長c，面積為rc，從而得圓面積為.體積是指物質(zhì)或物體所占空間的大小。

（1）直接度量法。把一種叫做“單位正方體”的空間圖形盡可能地堆放在要度量的幾何體內(nèi)，如果被度量的幾何體恰好被a個(gè)正方體填滿，那么這個(gè)幾何體的體積就等于幾個(gè)單位體積。（2）間接度量法。量出被度量的幾何體中某些線段的長度，再利用有關(guān)公式計(jì)算出這個(gè)幾何體的體積�！懊娣e公理”與測度公理

既然圖形是一個(gè)集合，而相應(yīng)的圖形的面積是一個(gè)數(shù)，所以，面積是定義在“集合族”之上的一個(gè)函數(shù)。這個(gè)集合函數(shù)顯然是非負(fù)函數(shù)，而且正方形的面積是1。當(dāng)然，兩個(gè)不重疊的圖形之并的面積，必須等于兩個(gè)圖形的面積之和。最后，如果圖形經(jīng)過移動(dòng)、旋轉(zhuǎn)、反射，其面積應(yīng)該不變。這些性質(zhì)放在一起，就成為面積公理的內(nèi)容。對(duì)于周長一定的矩形來說，邊長相等時(shí)矩形面積最大，即正方形的面積最大。（2）對(duì)于面積一定的矩形來說，邊長相等時(shí)矩形周長最小，即正方形的周長最小。事實(shí)上，這個(gè)結(jié)論可以推廣為：在周長相等的情況下，越接近圓的圖形面積就越大，如，第四節(jié)變換幾何

變換就是一個(gè)集合到另一個(gè)集合的映射。幾何變換、變換群的概念

幾何變換，就是將幾何圖形按照某種法則或規(guī)律變成另一種幾何圖形的過程。它對(duì)于幾何學(xué)的研究有重要作用。

變換群。實(shí)際上是滿足一定條件的若干變換組成的集合：如果某種幾何變換的全體組成一個(gè)群，就有相應(yīng)的幾何學(xué)，而討論在某種幾何變換群下圖形保持不變的性質(zhì)與不變量，就是相應(yīng)幾何學(xué)的主要內(nèi)容。

在初等幾何中，變換主要包括全等變換，相似變換，反演變換。

全等變換

如果從平面(空間)到其自身的映射，對(duì)于任意兩點(diǎn)A、B和它們的像A/，B/總有A/B/=AB。則這個(gè)映射叫做平面（空間）的全等變換，或叫做合同變換。在平面內(nèi)存在兩種全等變換，第一種叫做正常全等變換第二種叫做反常全等變換（鏡像全等變換）,它把一個(gè)圖形變成與它反常全等的圖形,即對(duì)于兩個(gè)全等的圖形上每兩個(gè)對(duì)應(yīng)三角形有相反的方向，并且每兩個(gè)對(duì)應(yīng)的有向角有相反的方向。相似變換，第一種叫做真正相似變換（正相似變換），第二種叫做鏡像相似變換（負(fù)相似變換）。真正相似變換把一個(gè)圖形變換成與它真正相似(正相似)的圖形,即使得兩個(gè)相似圖形的每對(duì)對(duì)應(yīng)三角形有同一的方向,每對(duì)對(duì)應(yīng)角有同一方向。反演變換

在平面內(nèi)設(shè)有一半徑為R，中心為O的圓，對(duì)于任一個(gè)異于O點(diǎn)的點(diǎn)P，將其變從認(rèn)知規(guī)律看，幾何學(xué)習(xí)的基本途徑,主要是四步：直觀感知→操作確認(rèn)→演繹推理→度量計(jì)算。

歐幾里得與演繹幾何

公理化方法淵源于幾何學(xué)，而幾何學(xué)起源于埃及。

希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得編成了《幾何原本》一書。這本書內(nèi)容豐富，結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，對(duì)于幾何學(xué)的發(fā)展和幾何學(xué)的教學(xué)都起了巨大的作用，它被人們贊譽(yù)為歷史上的科學(xué)杰作。歐幾里得《原本》，原說有15卷，經(jīng)后人多方面考證，公認(rèn)只有13卷。歐幾里得《原本》對(duì)于幾何直觀、演繹推理進(jìn)行處理的利弊得失

《原本》作為教科書使用了兩千多年。在形成文字的教科書之中，無疑它是最成功的。歐幾里得的杰出工作，使以前類似的東西黯然失色。該書問世之后，很快取代了以前的幾何教科書，而后者也就很快在人們的記憶中消失了。在訓(xùn)練人的邏輯推理思維方面，換成該射線OP上一點(diǎn)P/，且使OP/OP=R，這個(gè)變換叫做平面反演變換。圓O叫做反演基圓，圓心O叫做反演中心或反演極，R叫做反演半徑或反演冪，反演變換將過反演中心的射線變成自身，且在此射線上建立對(duì)合對(duì)應(yīng)，它使位于圓內(nèi)的點(diǎn)變成圓外的點(diǎn),位于圓外的點(diǎn)變成圓內(nèi)的點(diǎn)，反演中心變成平面內(nèi)的無限遠(yuǎn)點(diǎn)。而反演圓上的點(diǎn)則保持不變。空間反演變換可以看作是平面反演變換繞反演基圓的直徑旋轉(zhuǎn)而得。反演變換下，將不過反演中心的直線或平面，分別變成過反演中心的圓或球面；將不過反演中心的圓或球面，分別變成另一個(gè)不過反演中心的圓或球面。反之，也成立。演變換是反向保角的，即使兩線（或兩面）所成的角度的大小保持不變，但方向相反。合同變換：平移，旋轉(zhuǎn)，反射平移、旋轉(zhuǎn)與反射的初步描述

圖形相似的思想方法體現(xiàn)在圖形相似的概念、性質(zhì)和處理問題的手段之中。我們可以將其歸結(jié)為如下五個(gè)方面：（1）圖形相似問題的核心往往在于三角形相似與成比例線段，體現(xiàn)出化歸思想（2）圖形相似是反映大自然奧秘的一個(gè)窗口，圖形相似在自然、社會(huì)和人類生活中具有廣泛的普適性。（3）結(jié)構(gòu)相同，即“同構(gòu)”，是圖形相似的重要特征之一。相似可以幫助我們從局部來研究整體。（4）圖形相似提供了認(rèn)識(shí)三角形的另一個(gè)途徑，三角形相似的判別方法可以強(qiáng)化我們對(duì)三角形構(gòu)成元素的認(rèn)識(shí)。（5）借助必要的工具和手段是學(xué)好圖形相似的必要前提。平面圖形初等變換之間的關(guān)系

（一）平移、旋轉(zhuǎn)、反射變換是全等變換（二）平移、旋轉(zhuǎn)都可以由若干次反射（軸對(duì)稱）的復(fù)合而得到。

對(duì)于平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱（反射）來說，雖然三者都是全等變換，但是，容易發(fā)現(xiàn)，其中，軸對(duì)稱（變換）更為基本。

（1）對(duì)同一個(gè)圖形連續(xù)進(jìn)行兩次軸對(duì)稱，如果兩個(gè)對(duì)稱軸互相平行，那么，這兩次軸對(duì)稱的結(jié)果等同于一次平移；

（2）對(duì)同一個(gè)圖形連續(xù)進(jìn)行兩次軸對(duì)稱，如果兩個(gè)對(duì)稱軸相交，那么，這兩次軸對(duì)稱的結(jié)果等同于一次旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)中心就是兩條對(duì)稱軸的交點(diǎn)。反過來，對(duì)一個(gè)圖形實(shí)施一次平移，都可以通過連續(xù)的兩次軸對(duì)稱來替代完成；對(duì)一個(gè)圖形實(shí)施一次旋轉(zhuǎn)，可以通過連續(xù)的兩次軸對(duì)稱來完成。

（3）任意一個(gè)合同變換至多可表示為三個(gè)反射的乘積。第五節(jié)演繹幾何《原本》比亞里土多德的任何一本有關(guān)邏輯的著作影響都大得多。在完整的演繹推理結(jié)構(gòu)方面，這是一個(gè)十分杰出的典范。正因?yàn)槿绱�，自本書問世以來，思想家們�(yōu)橹�而傾倒。公正地說，歐幾里得的這本著作是現(xiàn)代科學(xué)產(chǎn)生的一個(gè)主要因素�？茖W(xué)絕不僅僅是把經(jīng)過細(xì)心觀察的東西和小心概括出來的東西收集在一起而已�？茖W(xué)上的偉大成就，就其原因而言，一方面是將經(jīng)驗(yàn)同試驗(yàn)進(jìn)行結(jié)合；另一方面，需要細(xì)心的分析和演繹推理�？梢钥隙ǖ卣f，這并非偶然。毫無疑問，像牛頓、加利略、白尼和凱普勒這樣的卓越人物所起的作用是極為重要的。也許一些基本的原因，可以解釋為什么這些出類拔革的人物都出現(xiàn)在歐洲，而不是東方�；蛟S，使歐洲人易于理解科學(xué)的一個(gè)明顯的歷史因素，是希臘的理性主義以及從希臘人那里流傳下來的數(shù)學(xué)知識(shí)。對(duì)于歐洲人來講，只要有了幾個(gè)基本的物理原理，其他都可以由此推演而來的想法似乎是很自然的事。因?yàn)樵谒麄冎�前有歐里得作為典范。

歐幾里得對(duì)牛頓的影響尤為明顯。牛頓的《數(shù)學(xué)原理》一書，就是按照類似于《原本》的“幾何學(xué)”的形式寫成的。自那以后，許多西方的科學(xué)家都效仿歐幾里得，說明他們的結(jié)論是如何從最初的幾個(gè)假設(shè)邏輯地推導(dǎo)出來的。許多數(shù)學(xué)家，像伯莎德羅素、阿爾弗雷德懷特海，以及一些哲學(xué)家，如斯賓諾莎也都如此。同中國進(jìn)行比較，情況尤為令人矚目。多少個(gè)世紀(jì)以來，中國在技術(shù)方面一直領(lǐng)先于歐洲。但是，從來沒有出現(xiàn)一個(gè)可以同歐幾里得對(duì)應(yīng)的中國數(shù)學(xué)家。其結(jié)果是，中國從未擁有過歐洲人那樣的數(shù)學(xué)理論體系（中國人對(duì)實(shí)際的幾何知識(shí)理解得不錯(cuò)，但他們的幾何知識(shí)從未被提高到演繹體系的高度）。直到1600年，歐幾里得才被介紹到中國來。此后，又用了幾個(gè)世紀(jì)的時(shí)間，他的演繹幾何體系才在受過教育的中國人之中普遍知曉。

如今，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到，歐幾里得的幾何學(xué)并不是能夠設(shè)計(jì)出來的惟一的一種內(nèi)在統(tǒng)一的幾何體系。在過去的150年間，人們已經(jīng)創(chuàng)立出許多非歐幾里得幾何體系。自從愛因斯坦的廣義相對(duì)論被接受以來，人們的確已經(jīng)認(rèn)識(shí)到，在實(shí)際的宇宙之中，歐幾里得的幾何學(xué)并非總是正確的。便如，在黑洞和中子星的周圍，引力場極為強(qiáng)烈。在這種情況下，歐幾里得的幾何學(xué)無法準(zhǔn)確地描述宇宙的情況。但是，這些情況是相當(dāng)特殊的。在大多數(shù)情況下，歐幾里得的幾何學(xué)可以給出十分近似于現(xiàn)實(shí)世界的結(jié)論。不管怎樣，人類知識(shí)的這些最新進(jìn)展都不會(huì)水削弱歐幾里得學(xué)術(shù)成就的光芒。也不會(huì)因此貶低他在數(shù)學(xué)發(fā)展和建立現(xiàn)代科學(xué)必不可少的邏輯框架方面的歷史重要性。愛因斯坦更是認(rèn)為，“如果歐幾里得未激發(fā)你少年時(shí)代的科學(xué)熱情，那你肯定不是天才科學(xué)家�！庇纱丝梢�，《原本》一書對(duì)人類科學(xué)思維的影響是何等巨大。

從數(shù)學(xué)教育的角度看，歐幾里得的邏輯結(jié)構(gòu)是串聯(lián)型而不是放射型的，《原本》的每一節(jié)都那么重要，一節(jié)學(xué)不好，繼續(xù)前進(jìn)的路就斷了，更令人頭痛的是它沒有提供一套強(qiáng)有力的、通用的解題方法。主要解題工具是三角形的全等和相似，而許多幾何圖形中不包含全等或相似三角形，因此，往往要作輔助線，從而幾何被公認(rèn)為難學(xué)的一門課程。值得一提的是，歐式幾何幾乎是歷次中外數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革的焦點(diǎn)。《原本》幾乎包括了中小學(xué)所學(xué)習(xí)的平面幾何、立體幾何的全部內(nèi)容。如此古老的幾何內(nèi)容，自然成了歷次數(shù)學(xué)課程改革關(guān)注的焦點(diǎn)。其中，最為激進(jìn)的，如法國布爾巴基學(xué)派主要人物狄奧東尼，甚至喊出了“歐幾里得滾出去”的口號(hào)。但是，改來改去，歐幾里得幾何的一些內(nèi)容，仍然構(gòu)成了多數(shù)國家中小學(xué)數(shù)學(xué)幾何部分的主要內(nèi)容。有人稱之為“不倒翁現(xiàn)象”。這是因?yàn)椋瑲W氏幾何從數(shù)學(xué)的視角，提供了現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)基本模型，非常直觀地反映了我們?nèi)祟惖纳�存空間，刻畫了我們視覺所觀察到的物體形狀及其相互位置關(guān)系。所以，這個(gè)模型的基本內(nèi)容是學(xué)生能夠理解和掌握的，而且應(yīng)用廣泛的基礎(chǔ)知識(shí)。它比三種幾何的關(guān)系

歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區(qū)別的幾何。這三中幾何各自所有的命題都構(gòu)成了一個(gè)嚴(yán)密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨(dú)立性。因此，這三種幾何都是正確的。在我們這個(gè)不大不小、不遠(yuǎn)不近的空間里，也就是在我們的日常生活中，歐式幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實(shí)際；在地球表面研究航海、航空等實(shí)際問題中，黎曼幾何更準(zhǔn)確一些。

義務(wù)教育階段幾何課程內(nèi)容的基本定位義務(wù)教育階段幾何課程設(shè)計(jì)的特點(diǎn)簡析義務(wù)教育階段幾何課程設(shè)計(jì)的特點(diǎn)與以往的綜合幾何課程設(shè)計(jì)風(fēng)格相比，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》下的幾何已經(jīng)將直觀幾何和實(shí)驗(yàn)幾何的觸角伸向了小學(xué)低年級(jí)，同時(shí)歐氏幾何的體系和內(nèi)容整體上還是基本保留的。只不過，具體的要求有所降低了，這種降低一方面體現(xiàn)在對(duì)推理幾何的難度要求有所限較適合中小學(xué)生學(xué)習(xí)，也有利于引導(dǎo)中小學(xué)生從形的角度去認(rèn)識(shí)我們周圍的物體和生活空間。

盡管歐氏幾何仍然具有難以替代的學(xué)習(xí)價(jià)值，但在以往的教學(xué)中，它又確實(shí)逐步暴露出一些問題，例如，內(nèi)容體系比較封閉，脫離實(shí)際，教學(xué)代價(jià)太大等等。①這些問題需要數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)者與數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐者共同去面對(duì)、去解決。一條途徑是教學(xué)法方面的改進(jìn)。首先是內(nèi)容的精簡與演繹體系的通俗化。如精選一些具有實(shí)用價(jià)值和對(duì)繼續(xù)學(xué)習(xí)發(fā)揮基礎(chǔ)作用的內(nèi)容，打破封閉的公理體系，擴(kuò)大公理系統(tǒng)，降低證明難度等等。其次是突出幾何事實(shí)與幾何應(yīng)用，重視幾何直觀，以及合情推理對(duì)于演繹推理的互補(bǔ)作用等非形式化策略。另一條途徑是，用近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，高屋建瓴地處理傳統(tǒng)的內(nèi)容。其中幾何圖形的運(yùn)動(dòng)變換觀點(diǎn)就是這樣的重要觀點(diǎn)之一。

從國際上數(shù)學(xué)課程改革的歷程來看，第二次世界大戰(zhàn)以后，特別是在上世紀(jì)60年代的“新數(shù)學(xué)”改革的浪潮中，將運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)引入幾何，成了一種時(shí)尚。確實(shí)，圖形的變換是研究幾何問題的有效工具，引進(jìn)變換能使圖形動(dòng)起來，有助于發(fā)現(xiàn)圖形的幾何性質(zhì)。相關(guān)的許多實(shí)驗(yàn)，有的因觀點(diǎn)太高而失敗，但也有許多成功的嘗試。特別是平移、旋轉(zhuǎn)以及軸對(duì)稱、中心對(duì)稱等觀念已被不少國家的中小學(xué)教材所吸收，并放在比較重要的位置。如果說，集合與對(duì)應(yīng)思想的滲透，在某種意義上給傳統(tǒng)算術(shù)與代數(shù)注入了新的血液，那么，運(yùn)動(dòng)變換觀點(diǎn)的滲透，則在一定程度上給歐氏幾何提供了更高的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)和更新的研究視野。

對(duì)第五公設(shè)是否獨(dú)立的研究導(dǎo)致了非歐幾何的發(fā)現(xiàn)。

非歐幾何，即非歐幾里得幾何，是一門大的數(shù)學(xué)分支，一般來講，它有廣義、狹義、通常意義這三個(gè)方面的不同含義。廣義式泛指一切和歐幾里得幾何不同的幾何學(xué)，狹義的非歐幾何只是指羅氏幾何來說的，至于通常意義的非歐幾何，就是指羅氏幾何和黎曼幾何這兩種幾何。羅巴切夫斯基幾何

家羅巴切夫斯基發(fā)現(xiàn)非歐幾何--羅氏幾何為止，肯定了第五公設(shè)與歐氏系統(tǒng)的其余公理是獨(dú)立無關(guān)的。黎曼幾何

歐氏幾何與羅氏幾何中關(guān)于結(jié)合公理、順序公理、連續(xù)公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共點(diǎn)(交點(diǎn))。在黎曼幾何學(xué)中不承認(rèn)平行線的存在，它的另一條公設(shè)講：直線可以無限延長，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個(gè)經(jīng)過適當(dāng)“改進(jìn)”的球面。制，另一方面體現(xiàn)在，弱化了相似形和圓的證明部分。同時(shí)，弱化了的部分也還會(huì)在高中繼續(xù)出現(xiàn)。

新理念下義務(wù)教育階段幾何課程設(shè)計(jì)的突出特點(diǎn)體現(xiàn)為：以“立體平面立體”為主要線索，強(qiáng)調(diào)與學(xué)生生活的聯(lián)系；適當(dāng)?shù)赝貙捇顒?dòng)領(lǐng)域，包括圖形的認(rèn)識(shí)，圖形的變換，圖形與位置等方面；以實(shí)際操作、測量、簡單推理為具體處理方式，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的直觀體驗(yàn)學(xué)習(xí)的方法；注重發(fā)展的空間觀念，發(fā)展對(duì)圖形的審美能力；強(qiáng)調(diào)幾何真理的發(fā)現(xiàn)和幾何論證并舉，主張建立在幾何直觀和豐富幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的幾何推理的學(xué)習(xí)。

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中，而且在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。

推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推測某些結(jié)果。演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）出發(fā)，按照規(guī)定的法則證明（包括邏輯和運(yùn)算）結(jié)論。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論的正確性。

直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何課程設(shè)計(jì)特點(diǎn)與綜合幾何的差異

與綜合幾何相比，直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何有著更現(xiàn)實(shí)的意義和課程設(shè)計(jì)的特色：1．不同的課程目標(biāo)和價(jià)值取向

從課程設(shè)計(jì)的角度看，直觀幾何與實(shí)驗(yàn)幾何更接近于認(rèn)知發(fā)展取向的課程設(shè)計(jì)模式，而綜合幾何屬于典型的學(xué)術(shù)主義價(jià)值取向的課程設(shè)計(jì)模式。2．不同的教育學(xué)、心理學(xué)基礎(chǔ)和不同的師生關(guān)系

以論證為主的綜合幾何課程設(shè)計(jì)，立足于行為主義心理學(xué)，主張師生之間建立“以教為主、以教促學(xué)”的師生關(guān)系。相比之下，直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何課程設(shè)計(jì)觀認(rèn)為，有意義的幾何教學(xué)應(yīng)當(dāng)建立在學(xué)生的主觀意愿和知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，依賴學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐、自主探索和交流合作，教師在教學(xué)中的角色應(yīng)該定位在學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者、參與者，注意學(xué)生在學(xué)習(xí)中所處的不同文化環(huán)境、教室文化、社區(qū)文化、家庭文化及自身思維模式的共性與差異，師生之間、學(xué)生之間應(yīng)該努力構(gòu)建一種和諧、互動(dòng)的新關(guān)系。3．不同的課程設(shè)計(jì)風(fēng)格

在課程論中，課程有學(xué)科型課程與經(jīng)驗(yàn)型課程之分。除了學(xué)科型課程和經(jīng)驗(yàn)型課程外，大多數(shù)課程介于兩者之間。直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何屬于典型的經(jīng)驗(yàn)型課程，而綜合幾何屬于典型的學(xué)科型課程。當(dāng)前，我國實(shí)行的義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書大多介于學(xué)科型課程與經(jīng)驗(yàn)型課程之間，只不過，有的更靠近后者，即比較“前衛(wèi)”，而有的更靠近前者，“中規(guī)中矩”。4．不同的教學(xué)要求

在直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何課程實(shí)施過程中，學(xué)生的直觀感受和幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)習(xí)的基本出發(fā)點(diǎn)和必不可少的載體，而且直觀教學(xué)變得十分重要。在這種課程設(shè)計(jì)時(shí)，有的是在抽象的學(xué)科主線中不斷閃現(xiàn)出內(nèi)容豐富的情景問題，有的是把豐富的情景問題沿幾何的主線逐步鑲嵌與展開。幾何學(xué)是研究平面圖形的形狀、大小和位置關(guān)系的科學(xué)，培養(yǎng)和提高學(xué)生識(shí)圖、作圖能力是學(xué)好幾何的必要環(huán)節(jié)。因而，在直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何課程設(shè)計(jì)模式下，采用直觀教學(xué)至關(guān)重要，可使學(xué)生一開始便進(jìn)入到直觀教學(xué)所創(chuàng)設(shè)的情盡管全國初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書彼此之間都有差異，但是，發(fā)展幾何直觀與推理

能力是普遍趨勢。第三章統(tǒng)計(jì)與概率

準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)、概率、統(tǒng)計(jì)之間的關(guān)系

（一）研究問題的出發(fā)點(diǎn)不同數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出來的數(shù)和圖形。數(shù)學(xué)研究問題必須有定義，即數(shù)學(xué)研究問題的出發(fā)點(diǎn)是定義，沒有定義無法進(jìn)行數(shù)學(xué)的研究。統(tǒng)計(jì)研究所依賴的是模型，構(gòu)建一些模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究。但是，統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系，我們拿來數(shù)學(xué)的很多知識(shí)、思想方法作為統(tǒng)計(jì)分析的工具。

（二）研究問題的立論基礎(chǔ)不同從數(shù)量和數(shù)量關(guān)系這個(gè)角度考慮，數(shù)學(xué)是建立在概念和符號(hào)的基礎(chǔ)上的。而統(tǒng)計(jì)學(xué)是建立在數(shù)據(jù)和模型的基礎(chǔ)上，雖然概念和符號(hào)對(duì)于統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展也是重要的，但是統(tǒng)計(jì)學(xué)在本質(zhì)上是通過數(shù)據(jù)和模型進(jìn)行推斷的。

境之中，耳濡目染，受到感染，教師若采用圖片直觀，便可展現(xiàn)情景，給學(xué)生以鮮明生動(dòng)的形象，學(xué)生的注意力很快被吸引到圖片所展示的情境中。如何理解初中幾何及推理

新理念下義務(wù)教育階段幾何課程設(shè)計(jì)的突出特點(diǎn)體現(xiàn)為：以“立體平面立體”為主要線索，強(qiáng)調(diào)與學(xué)生生活的聯(lián)系；適當(dāng)?shù)赝貙捇顒?dòng)領(lǐng)域，包括圖形的認(rèn)識(shí)，圖形的變換，圖形與位置等方面；以實(shí)際操作、測量、簡單推理為具體處理方式，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的直觀體驗(yàn)（幾何課與實(shí)際活動(dòng)課有天然的聯(lián)系）學(xué)習(xí)的方法（即“操作”+“推理”）；注重發(fā)展的空間觀念，發(fā)展對(duì)圖形的審美能力；強(qiáng)調(diào)幾何真理的發(fā)現(xiàn)和幾何論證并舉，主張建立在幾何直觀和豐富幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的幾何推理的學(xué)習(xí)。

初中階段屬于從直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何逐步過渡到綜合幾何、論證幾何的關(guān)鍵階段，七年級(jí)仍是直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何，但包含一點(diǎn)點(diǎn)說理，而九年級(jí)已經(jīng)是綜合幾何、推理幾何，雖然其公理體系與歐式公理體系有所不同。

在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)下，“圖形與幾何”主要內(nèi)容有：空間和平面基本圖形的認(rèn)識(shí)，圖形的性質(zhì)、分類和度量；圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱、相似和投影；平面圖形基本性質(zhì)的證明；運(yùn)用坐標(biāo)描述圖形的位置和運(yùn)動(dòng)。

在“圖形與幾何”的核心課程教學(xué)在于：幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力。

如何理解初中幾何的核心目標(biāo)發(fā)展幾何直觀與推理能力

在“圖形與幾何”的教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力�？臻g觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；依據(jù)語言描述畫出圖形等。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中，而且在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推測某些結(jié)果。演繹推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，按照規(guī)定的法則證明結(jié)論。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論的正確性�；�于此，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》把認(rèn)識(shí)或把握空間與圖形作為主旋律，以圖形的認(rèn)識(shí)、圖形與變換、圖形與位置（坐標(biāo)）、圖形與證明四條線索展開空間與圖形的內(nèi)容。（三）研究問題的方法不同與概念和符號(hào)相對(duì)應(yīng)，數(shù)學(xué)的推理依賴的是公理和假設(shè)，是一個(gè)從一般到特殊的方法，而統(tǒng)計(jì)學(xué)的推斷依賴的是數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景，強(qiáng)調(diào)根據(jù)背景尋找合適的推斷方法，是一個(gè)從特殊到一般的方法。

（四）研究問題的判斷原則不同數(shù)學(xué)在本質(zhì)上是確定性的，它對(duì)結(jié)果的判斷標(biāo)準(zhǔn)是對(duì)與錯(cuò)，從這個(gè)意義上說，數(shù)學(xué)是一門科學(xué)，而統(tǒng)計(jì)學(xué)是通過數(shù)據(jù)來推斷數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景，即便是同樣的數(shù)據(jù)，也允許人們根據(jù)自己的理解提出不同的推斷方法，給出不同的推斷結(jié)果，統(tǒng)計(jì)學(xué)對(duì)結(jié)果的判斷標(biāo)準(zhǔn)是好與壞，從這個(gè)意義上說，統(tǒng)計(jì)學(xué)不僅是一門科學(xué)，也是一門藝術(shù)。

數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法的基本步驟建立數(shù)學(xué)模型，收集整理數(shù)據(jù)，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷、預(yù)測和決策。當(dāng)然，這些環(huán)節(jié)不能截然分開，也不一定按上述次序，有時(shí)是互相交錯(cuò)的。

（1）模型的選擇和建立。模型是指關(guān)于所研究總體的某種假定，一般是給總體分布規(guī)定一定的類型。建立模型要依據(jù)概率的知識(shí)、所研究問題的專業(yè)知識(shí)、以往的經(jīng)驗(yàn)以及從總體中抽取的樣本。（2）數(shù)據(jù)的收集。其方法主要包括全面觀測、抽樣觀測和安排特定的實(shí)驗(yàn)3種方式。全面觀測又稱普查，即對(duì)總體中每個(gè)個(gè)體都加以觀測，測定所需要的指標(biāo)。抽樣觀測又稱抽查，是指從總體中抽取一部分，測定其有關(guān)的指標(biāo)值。這方面的研究內(nèi)容構(gòu)成數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一個(gè)分支學(xué)科。叫抽樣調(diào)查。

（3）安排特定實(shí)驗(yàn)以收集數(shù)據(jù)，這些特定的實(shí)驗(yàn)要有代表性，并使所得數(shù)據(jù)便于進(jìn)行分析。（4）數(shù)據(jù)整理。目的是把包含在數(shù)據(jù)中的有用信息提取出來。一種形式是制定適當(dāng)?shù)膱D表，如散點(diǎn)圖，以反映隱含在數(shù)據(jù)中的粗略的規(guī)律性或一般趨勢。另一種形式是計(jì)算若干數(shù)字特征，以刻畫樣本某些方面的性質(zhì)，如樣本均值、樣本方差等簡單描述性統(tǒng)計(jì)量。（5）統(tǒng)計(jì)推斷。指根據(jù)總體模型以及由總體中抽出的樣本，做出有關(guān)總體分布的某種論斷。數(shù)據(jù)的收集和整理是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的必要準(zhǔn)備，統(tǒng)計(jì)推斷是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的主要任務(wù)。（6）統(tǒng)計(jì)預(yù)測。統(tǒng)計(jì)預(yù)測的對(duì)象，是隨機(jī)變量在未來某個(gè)時(shí)刻所取的值，或設(shè)想在某種條件下對(duì)該變量進(jìn)行觀測時(shí)將取的值。（7）統(tǒng)計(jì)決策。依據(jù)所做的統(tǒng)計(jì)推斷或預(yù)測，并考慮到行動(dòng)的后果而制定的一種行動(dòng)方案。初中統(tǒng)計(jì)與概率的課程內(nèi)容主要內(nèi)容包括：

描述統(tǒng)計(jì)的進(jìn)一步擴(kuò)展----描述統(tǒng)計(jì)的基本目標(biāo)在于以最簡單而直觀的形式最大限度地容納有用的數(shù)據(jù)。

滲透數(shù)理統(tǒng)計(jì)思想----數(shù)理統(tǒng)計(jì)與描述統(tǒng)計(jì)的根本區(qū)別在于總體與樣本概念的引入，它的基本思想是通過對(duì)樣本的分析來推斷總體的特性。這部分的一個(gè)核心的內(nèi)容是抽樣，如何抽樣、抽樣的過程、樣本的多少是收集數(shù)據(jù)的一個(gè)關(guān)鍵問題。學(xué)習(xí)概率的初步內(nèi)容-----包括運(yùn)用列表、畫樹狀圖、制作面積模型、簡單計(jì)算等方法得到一些事件發(fā)生的概率；通過實(shí)驗(yàn)，獲得事件發(fā)生的頻率；知道大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)頻率可作為事件發(fā)生概率的估計(jì)值；通過大量豐富的實(shí)例，進(jìn)一步豐富對(duì)概率的認(rèn)識(shí)，并能解決一些實(shí)際的問題。

普查：為了一定的目的而對(duì)考察對(duì)象進(jìn)行的全面調(diào)查，稱為普查.總體：所考察對(duì)象的全體稱為總體。個(gè)體：組成總體的每一個(gè)考察對(duì)象稱為個(gè)體。抽樣調(diào)查：從總體中抽取部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查，這種調(diào)查稱為抽樣調(diào)查。樣本：從總體中抽取部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本。樣本容量：樣本中個(gè)體的數(shù)量叫樣本容量。隨機(jī)事件和樣本空間

在一定條件實(shí)現(xiàn)后，可能產(chǎn)生也可能不產(chǎn)生的現(xiàn)象，人們稱之為隨機(jī)現(xiàn)象。具備以下三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)：

信息。眾數(shù)只與其在數(shù)據(jù)中重復(fù)的次數(shù)有關(guān)，而且往往不是唯一的。但不能充分利用所有的數(shù)據(jù)信息，而且當(dāng)各個(gè)數(shù)據(jù)的重復(fù)次數(shù)大致相等時(shí)，眾數(shù)往往沒有特別的意義。數(shù)據(jù)的離散程度

極差是指一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值所得的差。它可以反映一組數(shù)據(jù)的變化范圍。方差是指一組數(shù)據(jù)中的平均數(shù)與每一個(gè)數(shù)據(jù)之差的平方和的平均數(shù)。

樣本數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是衡量一個(gè)樣本波動(dòng)大小的量，樣本方差或樣本標(biāo)準(zhǔn)差越大，樣本數(shù)據(jù)的波動(dòng)就越大。加權(quán)平均數(shù)的概念

加權(quán)平均數(shù)是不同比重?cái)?shù)據(jù)的平均數(shù)，加權(quán)平均數(shù)就是把原始數(shù)據(jù)按照合理的比例來計(jì)算，即一組數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)乘以它的權(quán)重后所得積的總和。平均數(shù)稱之為算術(shù)平均數(shù)，是加權(quán)平均數(shù)的一種特殊情況，加權(quán)平均數(shù)包含算術(shù)平均數(shù)，(1)可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；〔2)每次試驗(yàn)可出現(xiàn)不同的結(jié)果，最終出現(xiàn)哪種結(jié)果，試驗(yàn)之前不能確定；(3)事先知道試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果。隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果稱為一個(gè)隨機(jī)事件

樣本空間由樣本空間的子集可描述隨機(jī)試驗(yàn)中所對(duì)應(yīng)的一切隨機(jī)事件。數(shù)據(jù)的收集

數(shù)據(jù)收集方法有兩種：調(diào)查和實(shí)驗(yàn)。在現(xiàn)實(shí)生活中原來就有的數(shù)據(jù)，人們通過調(diào)查獲得，例如，普查，即為一特定目的而對(duì)所有考察對(duì)象的全面調(diào)查；抽樣調(diào)查，即為一特定目的而對(duì)部分考察對(duì)象作調(diào)查。三種常用抽樣方法是：隨機(jī)抽樣法、分層抽樣法和系統(tǒng)抽樣法。

數(shù)據(jù)的隨機(jī)性主要有兩層涵義：一方面，對(duì)于同樣的事情，每次收集到的數(shù)據(jù)可能會(huì)是不同的；另一方面，只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。數(shù)據(jù)的整理和分析

數(shù)據(jù)分析觀念主要體現(xiàn)在三個(gè)方面：第一，了解在現(xiàn)實(shí)生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析作出判斷，體會(huì)數(shù)據(jù)中是蘊(yùn)含著信息的；第二，了解對(duì)于同樣的數(shù)據(jù)可以用多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；第三，通過數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性。

理解兩種估計(jì)方法，一種是用樣本的頻率分布來估計(jì)總體的分布，另一種是用樣本的集中趨勢（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)）和離散程度（極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差）來估計(jì)總體的集中程度和離散程度。頻數(shù)和頻率

我們稱每個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)為頻數(shù)，也稱次數(shù)。頻數(shù)也稱“次數(shù)”，對(duì)總數(shù)據(jù)按某種標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分組，統(tǒng)計(jì)出各個(gè)組內(nèi)含個(gè)體的個(gè)數(shù)。而頻率則每個(gè)小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值。數(shù)據(jù)的集中趨勢在統(tǒng)計(jì)學(xué)中是指一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的程度，它反映了一組數(shù)據(jù)中心點(diǎn)的位置所在。反映數(shù)據(jù)集中趨勢的度量包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等。平均數(shù)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是用這組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)得到的值。中位數(shù)，就是將這組數(shù)據(jù)從小到達(dá)排列后，位于正中間的數(shù)（或中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）。眾數(shù)，是指一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)就是這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻數(shù)最多的數(shù)。平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別

聯(lián)系：從不同角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢。區(qū)別：計(jì)算平均數(shù)時(shí)，所有數(shù)據(jù)都參加運(yùn)算，它能充分利用數(shù)據(jù)所提供的信息，但容易受極端值的影響。它應(yīng)用最為廣泛。中位數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡單，只與其在數(shù)據(jù)中的位置有關(guān)。但不能充分利用所有的數(shù)據(jù)當(dāng)加權(quán)平均數(shù)中的權(quán)相等時(shí)，就是算術(shù)平均數(shù)。

統(tǒng)計(jì)表不僅反映某一類事物的具體數(shù)據(jù)，而且還能說明有關(guān)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系。統(tǒng)計(jì)圖是借助于幾何線、形(線段、長方形、三角形、圓形等)以及事物的形象等形式，顯示收集到的數(shù)據(jù)信息，直觀地反映其規(guī)模、水平、構(gòu)成、相互關(guān)系、發(fā)展變化趨勢和分布狀況，即是根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所繪制的圖形。條形圖是以簡單的幾何圖形，即等寬條形的長短或高低來比較數(shù)據(jù)所隱含信息的統(tǒng)計(jì)圖示法分為單式條形圖、復(fù)式條形圖、分段條形圖、對(duì)稱條形圖、距限條形圖、累積條形圖等。

直方圖有兩種，頻數(shù)直方圖和頻率直方圖。頻數(shù)直方圖與頻率直方圖既有聯(lián)系，又有區(qū)別。

扇形圖用圓和扇形分別表示關(guān)于總體和各個(gè)組成部分?jǐn)?shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖叫做扇形統(tǒng)計(jì)圖。扇形圖能直觀地、生動(dòng)地反映各部分在總體中所占的比例。

扇形統(tǒng)計(jì)圖具有四個(gè)特點(diǎn)：一是利用圓和扇形來表示總體和部分的關(guān)系，二是圓代表總體，各個(gè)扇形分別表示總體中不同的部分；三是扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小，四是各個(gè)扇形所占的百分比之和為1；最后，在不同的統(tǒng)計(jì)圖中，不能簡單地根據(jù)百分比的大小來比較部分量的大小。折線統(tǒng)計(jì)圖

用一個(gè)單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少描出各點(diǎn)，然后把各點(diǎn)用線段順次連接起來，折線統(tǒng)計(jì)圖不但可以表示出數(shù)量的多少，還能夠清楚地表示出數(shù)量的增減變化情況，并且可以進(jìn)行簡單的預(yù)測。折線統(tǒng)計(jì)圖可分為單式折線圖或復(fù)式折線圖。統(tǒng)計(jì)是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律歸納的研究，而概率是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律演繹的研究，在解決實(shí)際問題時(shí)，二者是相輔相成、互相關(guān)聯(lián)的

隨機(jī)事件的概率，實(shí)質(zhì)上是指在客觀世界中，這個(gè)事件發(fā)生可能性大小的一個(gè)數(shù)量刻畫。

概率的定義

頻率是指事件發(fā)生的次數(shù)在全部試驗(yàn)次數(shù)中占的比例，所以頻率能夠反映該事件發(fā)生的可能性大小。即一般地，在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率總是趨近某個(gè)常數(shù)，在它附近擺動(dòng)，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A).概率的公理化定義樣本點(diǎn)全集叫做必然事件，空集叫做不可能事件。正確理解隨機(jī)性與概率

（1）隨機(jī)性和規(guī)律性。2）概率和機(jī)會(huì)。從某種意義說來，概率描述了某件事

情發(fā)生的機(jī)會(huì)（3）有些概率是無法精確推斷的。（4）有些概率是可以估計(jì)的。隨機(jī)結(jié)果也具有規(guī)律，而且有可能通過試驗(yàn)等方法來推測其規(guī)律。我們就是要通過觀測數(shù)據(jù)，在隨機(jī)性中尋找用概率和數(shù)學(xué)模型描述的規(guī)律性

小概率原理是統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)（統(tǒng)計(jì)中的反證法）的基礎(chǔ)和依據(jù)。小概率原理是指在一次試驗(yàn)中，小概率事件幾乎不可能發(fā)生�！稊�(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》認(rèn)為，“統(tǒng)計(jì)與概率”應(yīng)當(dāng)是初中課程內(nèi)容的重要組成部分。不僅如此，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》將“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容從第一學(xué)段連續(xù)編排到初中，并且規(guī)定，在初中，學(xué)生將從事數(shù)據(jù)的收集、整理與描述的過程，體會(huì)抽樣的必要性以及用樣本估計(jì)總體的思想，進(jìn)一步學(xué)習(xí)描述數(shù)據(jù)的方法，進(jìn)一步體會(huì)概率的意義，能計(jì)算簡單事件發(fā)生的概率。《大綱》沒有涉及“概率”內(nèi)容，僅僅在初中階段引入“統(tǒng)計(jì)初步”，并且將“統(tǒng)計(jì)初步”放入“代數(shù)的第（十三）部分”在《大綱》中，“統(tǒng)計(jì)初步”的定位是：使學(xué)生了解統(tǒng)計(jì)的展這一活動(dòng)，有以下幾個(gè)步驟：

第一，學(xué)生觀察一件物體或一種現(xiàn)象，或者操作某些學(xué)具。

第二，學(xué)生在研究所觀察的物體或現(xiàn)象的過程中進(jìn)行思考，與同伴進(jìn)行討論和交流，以彌補(bǔ)他們?cè)趩渭兊挠^察和操作活動(dòng)中的不足。

第三，老師按一定的順序給學(xué)生們推薦活動(dòng)，學(xué)生可從中作出選擇并實(shí)施這些活動(dòng)，學(xué)生在選擇中有較強(qiáng)的自主性。

第四，這一活動(dòng)可以以課內(nèi)外相結(jié)合的形式進(jìn)行，學(xué)生每周至少花兩個(gè)小時(shí)進(jìn)行同一個(gè)主題的活動(dòng)，并應(yīng)保證這些活動(dòng)在整個(gè)學(xué)習(xí)進(jìn)程中的持續(xù)性和穩(wěn)定性。

第五，每個(gè)學(xué)生都記錄活動(dòng)過程。通過這一活動(dòng)，學(xué)生逐漸學(xué)會(huì)操作，同時(shí)加強(qiáng)和鞏固口頭和書面表達(dá)能力，發(fā)展解決問題的能力，增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)的理解力。如何理解數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)

思想，掌握一些常用的數(shù)據(jù)處理方法，能夠用統(tǒng)計(jì)的初步知識(shí)解決一些簡單的實(shí)際問題。簡單的平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)

所謂加權(quán)平均數(shù)，是指各個(gè)數(shù)據(jù)的“份量”不同，有的重要些，有的輕些，將它們的重要性用“權(quán)重”表示，即加上各個(gè)數(shù)據(jù)在全體數(shù)據(jù)中占有的比例（頻率）再作和。數(shù)學(xué)期望的定義事前預(yù)期的好處，就叫做這件事情的期望值。第四章實(shí)踐與綜合

設(shè)置“實(shí)踐與綜合”領(lǐng)域目的在于體現(xiàn)其橋梁作用（即，數(shù)學(xué)不同領(lǐng)域之間的橋梁作用以及數(shù)學(xué)與外部之間橋梁作用）和綜合價(jià)值，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思想、方法等解決現(xiàn)實(shí)問題，幫助學(xué)生積累直接的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生的綜合能力。關(guān)于“實(shí)踐與綜合”的教育價(jià)值和課程目標(biāo)

教育價(jià)值實(shí)踐與綜合領(lǐng)域的存在，溝通了現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)學(xué)與課堂上的數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系。另一方面，綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題也必將給學(xué)生的學(xué)習(xí)方式帶來改變。使學(xué)生發(fā)展了意志力、自信心和不斷質(zhì)疑的態(tài)度，發(fā)展了運(yùn)用數(shù)學(xué)進(jìn)行思考和交流的能力。

課程目標(biāo)《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)這個(gè)領(lǐng)域的課程設(shè)計(jì)提出了的總的要求：幫助學(xué)生綜合運(yùn)用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過自主探索和合作交流，解決與生活經(jīng)驗(yàn)密切聯(lián)系的、具有一定挑戰(zhàn)性和綜合性的問題，以發(fā)展他們解決問題的能力，加深對(duì)“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容的理解，體會(huì)各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系�！皩�(shí)踐與綜合”在不同階段不同的呈現(xiàn)形式第一學(xué)段以“實(shí)踐活動(dòng)”為主題，第二學(xué)段以“綜合應(yīng)用”為主題，第三學(xué)段(即初中階段)以“課題學(xué)習(xí)”為主題。

在初中數(shù)學(xué)中，課題學(xué)習(xí)的主要形式有三種基本方式：

數(shù)學(xué)小調(diào)查。數(shù)學(xué)小調(diào)查是指學(xué)生在教師指導(dǎo)下，從學(xué)習(xí)生活和社會(huì)生活中選擇和確定調(diào)查專題，主動(dòng)獲得信息、分析信息并做出決策的學(xué)習(xí)活動(dòng)。數(shù)學(xué)調(diào)查可以包括三個(gè)階段，第一，進(jìn)入問題情境階段；第二，收集信息的階段；第三，表達(dá)和交流階段。這種活動(dòng)具有開放性、問題性和社會(huì)性的特點(diǎn)。

小課題研究。活動(dòng)基本過程如下：各小組確定活動(dòng)目標(biāo)；根據(jù)目標(biāo)確定本組活動(dòng)內(nèi)容；在老師指導(dǎo)下實(shí)際調(diào)查。合作交流。

動(dòng)手做(Handson)的活動(dòng)。意思是動(dòng)手活動(dòng)，目的在于讓學(xué)生以更科學(xué)的方法學(xué)習(xí)知識(shí)，尤其強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)方法、思維方法、學(xué)習(xí)態(tài)度的培養(yǎng)�；�本過程是：提出問題動(dòng)手做實(shí)驗(yàn)觀察記錄解釋討論得出結(jié)論表達(dá)陳述。具體地說，開

數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)主要針對(duì)我國中學(xué)教育中出現(xiàn)的若干弊端，為實(shí)施以創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力為重點(diǎn)的素質(zhì)教育而提出來的，其根本目的是讓學(xué)生親歷研究過程，獲得對(duì)客觀世界的體驗(yàn)和正確認(rèn)識(shí)，通過自由、自主的探究過程，綜合性地提高整體素質(zhì)和能力。因此，研究性學(xué)習(xí)的重點(diǎn)在“學(xué)習(xí)”，研究是手段、途徑，而不是目的。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的內(nèi)涵

以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力為目的，它主要通過與數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容相關(guān)的課題，在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生為主體地參與、體驗(yàn)問題提出和解決的全過程。使學(xué)生不但發(fā)展了思維能力，而且逐漸領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)科學(xué)研究的基本過程和方法，提高學(xué)生的科數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的目的

1.讓學(xué)生經(jīng)歷科學(xué)研究的過程，獲得親身參與研究和探索的體驗(yàn)。2.了解科學(xué)研究的方法，提高發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。3.學(xué)會(huì)與人溝通和合作，學(xué)會(huì)分享。合作的意識(shí)和能力，是現(xiàn)代人所應(yīng)具備的基本素質(zhì)，而研究性學(xué)習(xí)提供了一個(gè)有利于人際溝通與合作的良好空間。4.增強(qiáng)探究和創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度、科學(xué)精神和科學(xué)道德。在研究性學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生不可避免地會(huì)遇到一系列的問題和困難，學(xué)生必須學(xué)會(huì)從實(shí)際出發(fā)，通過認(rèn)真踏實(shí)地探究，事實(shí)求是地得出結(jié)論，并且養(yǎng)成尊重他人的想法和成果的正確態(tài)度，同時(shí)培養(yǎng)不斷追求的進(jìn)取精神、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度、克服困難的意志品質(zhì)等。5.培養(yǎng)學(xué)生對(duì)社會(huì)的責(zé)任心和使命感形成積極的人生態(tài)度。6.促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)，掌握和運(yùn)用一種現(xiàn)代學(xué)習(xí)方式。7.激活各科學(xué)習(xí)中的知識(shí)儲(chǔ)備，嘗試相關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用。8.促進(jìn)教師教學(xué)觀念和教學(xué)行為的變化，提升教師的綜合素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，推進(jìn)素質(zhì)教育的全面實(shí)施。

初中數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)主題分為建模探究型、圖表探究型、調(diào)查探究型、開放探究型四種類型。

（1）建模探究型：以學(xué)生動(dòng)手操作、合作探討、設(shè)計(jì)制作模型為主，教師給予指導(dǎo)、總結(jié)、評(píng)價(jià)。（2）圖表探究型：以學(xué)生觀察、分析數(shù)學(xué)圖表、探究解決問題的方法為主，教師提示結(jié)合相關(guān)知識(shí)分析、探究、解決問題。例如，數(shù)學(xué)圖表的制作：“制作人口圖”。（3）開放探究型：以學(xué)生自主分析、小組討論交流、大膽猜想、探究論證為主，教師給予必要的概括、提升和拓展。例如，趣味數(shù)學(xué)問題：猜想、證明、拓廣。（4）調(diào)查探究型：以學(xué)生調(diào)查實(shí)踐、自主分析、探究實(shí)踐的方式和方法為主，教師適時(shí)引導(dǎo)、提示、總結(jié)。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的特點(diǎn)

1.探究性。探究是人類認(rèn)識(shí)世界的一種基本方式，處于基礎(chǔ)教育階段的初中生對(duì)外部

世界仍充滿強(qiáng)烈的新奇感和探究欲，數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)正好適應(yīng)學(xué)習(xí)者個(gè)體發(fā)展的需要和認(rèn)識(shí)規(guī)律。2.全員參與性。研究性學(xué)習(xí)主張全體學(xué)生的積極參與，它有別于培養(yǎng)天才兒童的超常教育。全員參與的另一層含義是共同參與。研究性學(xué)習(xí)的組織形式是獨(dú)立學(xué)習(xí)與合作學(xué)習(xí)的結(jié)合，其中合作學(xué)習(xí)占有重要的地位。3.開放性。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)是一種開放性、參與性的教學(xué)形式，為了研究有關(guān)生活中的數(shù)學(xué)問題或從數(shù)學(xué)角度對(duì)其它學(xué)科中出現(xiàn)的問題進(jìn)行研究。4.過程性。要求學(xué)生把自己所得出的結(jié)論運(yùn)用到現(xiàn)實(shí)生活中去，解決現(xiàn)實(shí)生活中涉及到的數(shù)學(xué)問題，強(qiáng)調(diào)學(xué)生參與的過程。5.應(yīng)用性。學(xué)以致用是研究性學(xué)習(xí)的又一基本特征。研究性學(xué)習(xí)重在知識(shí)技能的應(yīng)用，而不在于掌握知識(shí)的量。6.體驗(yàn)性。研究性學(xué)習(xí)不僅重視學(xué)習(xí)過程中的理性認(rèn)識(shí)，如方法的掌握、能力的提高等，還十分重視感性認(rèn)識(shí)，即學(xué)習(xí)的體驗(yàn)。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的實(shí)施保持和進(jìn)一步提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。

（3）在實(shí)施過程中，要采取有效的手段對(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)進(jìn)行監(jiān)控；指導(dǎo)學(xué)生寫好研究數(shù)學(xué)日記，及時(shí)記載研究情況，真實(shí)記錄個(gè)體體驗(yàn)，為以后進(jìn)行和評(píng)價(jià)提供依據(jù)。

（4）要爭取家長和社會(huì)有關(guān)方面的關(guān)心、理解和參與，與學(xué)生一起開發(fā)對(duì)實(shí)施研究性學(xué)習(xí)有價(jià)值的校內(nèi)外教育資源，為學(xué)生開展研究性學(xué)習(xí)提供良好條件。

（5）能夠根據(jù)學(xué)校與班級(jí)實(shí)施研究性學(xué)習(xí)的不同目標(biāo)定位和主客觀條件，在不同時(shí)段選擇不同的切入口，形成不同年級(jí)的操作特點(diǎn)。

數(shù)學(xué)模型一般是指由數(shù)字、字母或其它數(shù)學(xué)符號(hào)組成的，描述現(xiàn)實(shí)對(duì)象(原型)數(shù)量規(guī)律和空間特征的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型可以敘述為：對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，為了實(shí)施要求：①全員參與，而非只關(guān)注少數(shù)數(shù)學(xué)尖子學(xué)生競爭，給每個(gè)學(xué)生有鍛煉與參與的機(jī)會(huì)；②任務(wù)驅(qū)動(dòng)。要向?qū)W生提出有明確具體要求的任務(wù)，發(fā)揮它對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過程的引導(dǎo)作用；③重在學(xué)習(xí)過程而非研究的結(jié)果；④重在知識(shí)技能的應(yīng)用而非掌握知識(shí)的數(shù)量；⑤重在親身參與探索性實(shí)踐活動(dòng)，獲得感悟和體驗(yàn)，而非一般地接受別人傳授的經(jīng)驗(yàn)；⑥形式上靈活多樣，強(qiáng)調(diào)課內(nèi)外結(jié)合。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)模式有三種：

（1）理論實(shí)踐模式。是指師生在共同學(xué)習(xí)研究性學(xué)習(xí)理論的基礎(chǔ)上，學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)理論來研究、解決數(shù)學(xué)問題，體驗(yàn)研究性學(xué)習(xí)課程理論的價(jià)值，提高綜合能力的一種教學(xué)模式。

（2）數(shù)學(xué)問題探討模式。師生圍繞數(shù)學(xué)問題的分析與探討展開的教學(xué)活動(dòng)，構(gòu)成了問題探討教學(xué)模式。其基本理念在于：以激勵(lì)、強(qiáng)化學(xué)生在教學(xué)過程中的主體參與意識(shí)為著眼點(diǎn)，以幫助學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)和分析問題，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性解決問題的能力為宗旨，創(chuàng)設(shè)一種開放而又活潑的學(xué)習(xí)氛圍。其教學(xué)策略是：將問題或案例呈現(xiàn)給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生共同探討，構(gòu)建師生平等、互動(dòng)的學(xué)習(xí)環(huán)境。一般來說，教師要選擇典型的數(shù)學(xué)問題或案例，不可平鋪直敘地搬給學(xué)生，而要?jiǎng)?chuàng)造性地加以取舍，主動(dòng)設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)能力。

3）數(shù)學(xué)課題研究模式。數(shù)學(xué)課題研究模式是指教師提供課題或由學(xué)生根據(jù)興趣設(shè)計(jì)研究課題，并在教師的指導(dǎo)下自主探索、實(shí)施研究計(jì)劃、完成課題目標(biāo)、提高社會(huì)實(shí)踐能力的一種教學(xué)模式。（

組織形式有三種類型：小組合作研究、個(gè)人獨(dú)立研究、全班集體研究。其中一致認(rèn)為小組合作研究是最基本、最有效、經(jīng)常被采用的一種組織形式。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)實(shí)施的一般程序

一般可以分為三個(gè)階段：1）進(jìn)入問題情境階段（準(zhǔn)備階段）。主要任務(wù)是背景知識(shí)的準(zhǔn)備；指導(dǎo)學(xué)生確定數(shù)學(xué)研究課題；組織課程小組、制定研究方案。（2）實(shí)踐體驗(yàn)階段（實(shí)施階段）。本階段學(xué)生要進(jìn)入具體的解決問題過程。（3）表達(dá)交流階段（結(jié)題階段）。學(xué)生將自己或小組經(jīng)過實(shí)踐、體驗(yàn)所取得的收獲進(jìn)行歸納整理、總結(jié)提煉，形成書面或口頭報(bào)告材料，得出結(jié)論，并進(jìn)行成果交流和總結(jié)反思。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)實(shí)施中的教師指導(dǎo)

（1）在初中不同的學(xué)段和年級(jí)，教師的指導(dǎo)工作內(nèi)容和方法應(yīng)該有所不同。

（2）在數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)實(shí)施過程中，教師要及時(shí)了解學(xué)生開展活動(dòng)的情況，有針對(duì)性地進(jìn)行指導(dǎo)、點(diǎn)撥；要組織靈活多樣的交流、研討活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生自我教育，幫助他們

一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設(shè)后，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模教學(xué)的目

使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與自然及人類社會(huì)的密切聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心；使學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)，去解決日常生活中的問題，進(jìn)而形成勇于探索、勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神；使學(xué)生學(xué)會(huì)以數(shù)學(xué)建模為手段，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，團(tuán)結(jié)合作，建立良好的人際關(guān)系、相互合作的工作能力；以數(shù)學(xué)建模方法為載體，使學(xué)生獲得適應(yīng)未來社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)事實(shí)以及基本的思想方法和必要的應(yīng)用技能。數(shù)學(xué)建模的教學(xué)意義

1.培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的能力合作能力是信息社會(huì)中每個(gè)人必須具備的基本素質(zhì)。2.培養(yǎng)學(xué)生處理信息的能力數(shù)學(xué)建模活動(dòng)則為學(xué)生學(xué)習(xí)如何選擇信息、獲取信息和加工信息提供了一個(gè)有效的途徑。3.有利于學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀數(shù)學(xué)建�；顒�(dòng)的開展使學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀成為可能。4.有利于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的聯(lián)系5.激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣6.發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)數(shù)學(xué)建模的具體實(shí)施1.選題

鼓勵(lì)學(xué)生自主提出問題，可以從以下幾個(gè)方面人手：①讓學(xué)生了解選題的重要性和基本要求，②指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合自己的生活經(jīng)驗(yàn)尋找課題，也可由教師介紹往屆學(xué)生的選題并加以點(diǎn)評(píng)，或者請(qǐng)本班同學(xué)介紹自己的選題計(jì)劃，教師和學(xué)生一起分析其可行性，③教師創(chuàng)設(shè)一個(gè)問題環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生自主提出問題、確定課題。這時(shí)教師的指導(dǎo)應(yīng)該是有啟發(fā)性的，不要代替學(xué)生確定課題，而是啟發(fā)學(xué)生自己去延展、開拓問題鏈，讓學(xué)生自己提出要解決的問題和解決問題的方案。2.實(shí)施

在課題學(xué)習(xí)的實(shí)施中，我們強(qiáng)調(diào)開放學(xué)生的思維，強(qiáng)化過程體驗(yàn)，師生和生生的情感交流和成果共享。3.指導(dǎo)

在課題學(xué)習(xí)中，教師如何指導(dǎo)學(xué)生，這是一個(gè)令不少教師感到困惑甚至苦惱的問題。課題學(xué)習(xí)過程中，問題形式與內(nèi)容的變化，問題解決方法的多樣性、新奇性，問題解決過程的不確定性，結(jié)果呈現(xiàn)層次的豐富性，無疑是對(duì)參與者創(chuàng)造力的一種激發(fā)、挑戰(zhàn)和有效的鍛煉。教師在陌生的問題面前感到困難，失去相對(duì)于學(xué)生的優(yōu)勢是自然的、常常出現(xiàn)的。4.評(píng)價(jià)

評(píng)價(jià)過程具體涉及以下幾個(gè)方面：①調(diào)查、求解的過程和結(jié)果要合理、清楚、簡捷；②要有自己獨(dú)到的思考和發(fā)現(xiàn)；③能夠恰當(dāng)?shù)厥褂霉ぞ?如網(wǎng)絡(luò)和計(jì)算工具)；④采用合理、簡捷的算法；⑤提出有價(jià)值的求解設(shè)計(jì)和有見地的新問題；⑥發(fā)揮每個(gè)組員的特長，合作學(xué)習(xí)得有效果。5.建立和擴(kuò)張資源

對(duì)教育資源的認(rèn)識(shí)應(yīng)該走出靜態(tài)的誤區(qū)，要看到身邊許多動(dòng)態(tài)的教育教學(xué)資源。此外，通過查找相關(guān)的刊物和網(wǎng)站也可以發(fā)現(xiàn)大批的可用資源。我們還應(yīng)有意識(shí)地建立自己個(gè)性化的信息資源庫，它包括：前幾屆學(xué)生做的課題成果，如論文、研究報(bào)告、程序、制作的作品，以及活動(dòng)過程的照片、研究課的錄音或錄像、其它學(xué)校學(xué)生的優(yōu)秀成果等。生和發(fā)展而成。這種抽象可以脫離具體的實(shí)物模型，形成一種具有層次性的體系。形式化使用特定的數(shù)學(xué)符號(hào)來表示數(shù)學(xué)概念，使概念形式化。邏輯化在一個(gè)特定的數(shù)學(xué)體系中，孤立的數(shù)學(xué)概念是不存在的，它們之間往往存在著某種關(guān)系；這些關(guān)系稱之為數(shù)學(xué)概念的邏輯關(guān)系。這種邏輯關(guān)系使得數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)化、公理化。簡明化數(shù)學(xué)概念具有高度的抽象性，借助數(shù)學(xué)符號(hào)語言，使得一定事物的本質(zhì)簡明的形式表現(xiàn)出來，這種簡明化使人們?cè)谳^短時(shí)間內(nèi)領(lǐng)會(huì)。概念的外延與內(nèi)涵

概念反映了事物的本質(zhì)屬性，也就反映了具有這種本質(zhì)屬性的事物。

一個(gè)概念所反映的對(duì)象的總和，稱為這個(gè)概念的外延是指適合這個(gè)概念的一切對(duì)象，即符合這一概念所有對(duì)象的集合。換言之，是指這個(gè)概念的延用范圍。一個(gè)概念所反映的對(duì)象的本質(zhì)屬性的總和稱為這個(gè)概念的內(nèi)涵。概念的內(nèi)涵是說一個(gè)概念所反映的事物培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、數(shù)學(xué)應(yīng)用能力

實(shí)際教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主探索、合作交流和操作實(shí)踐等學(xué)習(xí)方式。

1）充分發(fā)揮學(xué)生的主體性。在學(xué)習(xí)過程中，教師可以向?qū)W生推薦活動(dòng)，讓學(xué)生在選擇中有較強(qiáng)的自主性；同時(shí)，讓學(xué)生獨(dú)立思考和合作交流，在此基礎(chǔ)上教師進(jìn)行有針對(duì)性的指導(dǎo)。

（2）強(qiáng)凋?qū)W生學(xué)習(xí)方法、思維方法、學(xué)習(xí)態(tài)度的養(yǎng)成，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程。課題學(xué)習(xí)活動(dòng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，不宜強(qiáng)調(diào)對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)，而且更重要的是強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)方法、思維方法、學(xué)習(xí)態(tài)度的養(yǎng)成。

（3）創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情景，鼓勵(lì)學(xué)生思考方法的多樣化。在課題學(xué)習(xí)活動(dòng)過程中，教師應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)與尊重學(xué)生的獨(dú)立思考，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論與交流，培養(yǎng)學(xué)生良好的思考習(xí)慣和合作意識(shí)。鼓勵(lì)算法多樣化，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新思維是十分必要的。（4）對(duì)課題學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)應(yīng)該以質(zhì)的評(píng)價(jià)為主。一般說來，對(duì)學(xué)生實(shí)踐與綜合應(yīng)用活動(dòng)的評(píng)價(jià)要強(qiáng)調(diào)過程性評(píng)價(jià)。重點(diǎn)在于促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新精神的培養(yǎng)和實(shí)踐能力的提高，具備與人溝通及有良好的人際交往能力。而不是把學(xué)生貼上優(yōu)秀、良好、不及格的標(biāo)簽。數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)對(duì)建立學(xué)生發(fā)展性評(píng)價(jià)有哪些有益的啟示

（1）研究性學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)更重視過程。研究性學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)學(xué)生研究成果的價(jià)值取向重點(diǎn)是學(xué)生的參與研究過程。（2）研究性學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)更重視理解中的應(yīng)用。強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生把學(xué)到的基礎(chǔ)知識(shí)、掌握的基本技能，應(yīng)用到實(shí)際問題的提出和解決中去既促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)價(jià)值的反思，又加深對(duì)知識(shí)內(nèi)涵理解和掌握，形成知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)和結(jié)構(gòu)。3）研究性學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)強(qiáng)調(diào)學(xué)生在探究過程中的體驗(yàn)。（4）研究性學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)更重視全員參與。研究性學(xué)習(xí)的價(jià)值取向強(qiáng)調(diào)每個(gè)學(xué)生都有充分學(xué)習(xí)的潛能，為他們進(jìn)行不同層次的研究性學(xué)習(xí)提供了可能性，也為個(gè)別化的評(píng)價(jià)方式創(chuàng)造了條件。第五章初中數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)

客觀事物都有各自的許多性質(zhì)，或者稱為屬性。經(jīng)過比較、分析、綜合、概括，抽象出一種事物所獨(dú)有而其它事物所不具有的屬性，稱為這種事物的本質(zhì)屬性。反映事物本質(zhì)屬性的思維形式叫做概念。數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系。反映數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的思維形式叫做數(shù)學(xué)概念。數(shù)學(xué)概念具有抽象化、形式化等鮮明的特點(diǎn)。

抽象化數(shù)學(xué)概念反映一類事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性。有些可以直接從客觀事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映得來，而大多數(shù)概念排除對(duì)象具體的物質(zhì)內(nèi)容，抽象出內(nèi)在的、本質(zhì)的屬性，甚至在已有數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上，經(jīng)過多級(jí)的抽象過程才產(chǎn)的本質(zhì)屬性。

概念的內(nèi)涵和外延之間相互依存，二者是一對(duì)矛盾，共處于統(tǒng)一體的概念之中。它們之間有著相互依存、相互制約的關(guān)系。概念反映了事物的本質(zhì)屬性，也就反映了具有這種本質(zhì)屬性的事物。一個(gè)概念所反映的對(duì)象的總和，稱為這個(gè)概念的外延。一個(gè)概念所反映的對(duì)象的本質(zhì)屬性的總和稱為這個(gè)概念的內(nèi)涵。一個(gè)概念的內(nèi)涵和外延分別從質(zhì)和量兩個(gè)方面刻劃了這個(gè)概念，每個(gè)概念都是其內(nèi)涵與外延的統(tǒng)一體．概念的內(nèi)涵嚴(yán)格確定了概念的外延，反之，概念的外延完全確定了概念的內(nèi)涵。概念的外延和內(nèi)涵是主觀對(duì)客觀的認(rèn)識(shí)，由于人們對(duì)客觀事物的認(rèn)識(shí)是發(fā)展變化的，概念的外延和內(nèi)涵必然相應(yīng)地發(fā)生變化，但是在發(fā)展變化的過程中有其相對(duì)的穩(wěn)定性．在數(shù)學(xué)科學(xué)體系的確定的階段，每一個(gè)數(shù)學(xué)概念的外延和內(nèi)涵都是確定的，二者是相互確定的。初中數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)1、初中數(shù)學(xué)概念并非都是通過定義給出的2.初中數(shù)學(xué)概念的層次性數(shù)學(xué)概念本身具有層次性。3.數(shù)學(xué)概念是理想概念4.數(shù)學(xué)概念是“過程”與“對(duì)象”的統(tǒng)一體數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系

1.同一關(guān)系兩個(gè)外延完全相同的概念之間的關(guān)系，叫做同一關(guān)系。同一關(guān)系，敘述上常用連接詞“即”、“就是”等表示。在一個(gè)判斷過程中，具有同一關(guān)系的兩個(gè)概念可以互相代替。

2.交叉關(guān)系兩個(gè)外延部分相同的概念之間的關(guān)系，叫做交叉關(guān)系.敘述上常用“有的”、“有些”等表示。

3.從屬關(guān)系兩個(gè)外延具有包含關(guān)系的概念之間的關(guān)系，叫做從屬關(guān)系。其中外延范圍大的概念A(yù)叫做上位概念或種概念，外延范圍小的概念B叫做下位概念或類概念。4.矛盾關(guān)系兩個(gè)概念的外延互相排斥，但外延之和等于它們最鄰近的種概念的外延，這樣兩個(gè)概念之間的關(guān)系，叫做矛盾關(guān)系。

5.對(duì)立關(guān)系兩個(gè)概念的外延互相排斥，但外延之和小于它們最鄰近的種概念的外延，這樣兩個(gè)概念之間的關(guān)系，叫做對(duì)立關(guān)系。

把一個(gè)屬概念分成若干個(gè)種概念，揭示概念外延的邏輯方法叫做概念的劃分。在數(shù)學(xué)中常用劃分把概念系統(tǒng)化。正確的劃分應(yīng)符合下列條件：

第一，所分成的種概念之間應(yīng)是全異關(guān)系，即任兩個(gè)種概念的外延的交集應(yīng)是空集；第二，劃分應(yīng)是相稱的，即是說所分成的全異種概念的外延的并集等于屬概念的外延；第三，每次劃分都應(yīng)按照同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行。在一次劃分中用不同的根據(jù)就造成了混亂；第四，劃分不應(yīng)越級(jí)。應(yīng)把屬概念分為最鄰近的種概念

數(shù)學(xué)概念的定義與要求

定義是建立概念的邏輯方法人們?cè)谡J(rèn)識(shí)事物的過程中，經(jīng)過抽象，形成概念，就要借助語言或符號(hào)，加以明確、固定和傳遞，這就要給概念下定義。定義的功能是為了明確討論問題的對(duì)象。常常是在抽象出事物的本質(zhì)屬性之后，運(yùn)用邏輯的方法和精練的語言或符號(hào)揭示出對(duì)象的本質(zhì)屬性。常用的定義方法:

1.“種+類差”定義法屬概念加種差定義法就是，用被定義概念最鄰近的屬概念，連同被定義的概念與同一屬概念下其它種概念之間的差別（即種差），來進(jìn)行定義的方法。2.發(fā)生式定義法不直接揭示概念的基本內(nèi)涵或外延，而是通過指出概念所反映的對(duì)象產(chǎn)生的過程，由此來定義概念的方法，叫做發(fā)生式定義法。

3.外延定義法這是一種給出概念外延的定義法，又叫歸納定義法。真時(shí)，P假；當(dāng)P假時(shí)，P真。

2.選言判斷。選言判斷是由兩個(gè)或兩個(gè)以上判斷用連接詞“或者”構(gòu)成的判斷，一般記成AVB，讀作“A或B”。

3.聯(lián)言判斷。聯(lián)言判斷是用連接詞“且”構(gòu)成的判斷，表明幾個(gè)事物情況都存在，一般記成A∧B，讀作“A且B”。4假言判斷。假言判斷又叫蘊(yùn)含判斷，它是判斷P為另一判斷Q存在條件的判斷，P、Q分別叫做該假言判斷的前件和后件(或題設(shè)和題斷，條件和結(jié)論)，一般用“若……，則……”，或“如果……，那么……”的形式表示，記成P→Q。解命題的涵義

關(guān)于數(shù)學(xué)對(duì)象及其屬性的判斷叫做數(shù)學(xué)判斷。判斷要借助于語句，表示判斷的語句叫命題。

4.約定式定義法由于某種特殊的需要，通過約定的方法來定義的。

5．關(guān)系定義法這是以事物間的關(guān)系作為種差的定義，它指出這種關(guān)系是被定義事物所具有而任何其他事物所不具有的特有屬性。

此外，中學(xué)數(shù)學(xué)中還有描述性定義法(如現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)中關(guān)于等式、極限的定義)、遞推式定義法(如n階行列式、n階導(dǎo)數(shù)、n重積分的定義)，借助另一對(duì)象來進(jìn)行定義(如借助指數(shù)概念定義對(duì)數(shù)概念)等等。定義數(shù)學(xué)概念的基本要求

1.定義應(yīng)當(dāng)相稱。即定義概念的外延與被定義概念的外延必須是相同的，既不能擴(kuò)大也不能縮小2.定義不能循環(huán)。即在同一個(gè)科學(xué)系統(tǒng)中，不能以A概念來定義B概念，而同時(shí)又以B概念來定義A概念。

3.定義應(yīng)清楚、簡明。定義中列舉的屬性對(duì)于揭示概念反映的對(duì)象的本質(zhì)屬性來說應(yīng)是必不可少的。所謂必不可少是指每一個(gè)屬性都是獨(dú)立的，不能由列舉出的其它屬性推出。

定義要揭示概念所反映對(duì)象的本質(zhì)屬性，而否定形式一般不能做到這一點(diǎn)。數(shù)學(xué)概念的形成

數(shù)學(xué)概念形成是從大量的實(shí)際例子出發(fā)，經(jīng)過比較、分類，從中找出一類事物的本質(zhì)屬性，然后通過具體的例子對(duì)所發(fā)現(xiàn)的屬性進(jìn)行檢驗(yàn)與修正，最后通過概括得到定義并用符號(hào)表達(dá)出來。

數(shù)學(xué)概念形成的過程有以下幾個(gè)階段：

1.觀察實(shí)例。2.分析共同屬性。分析所觀察實(shí)例的屬性，通過比較得出各實(shí)例的共同屬性。3.抽象本質(zhì)屬性。從上面得出的共同屬性中提出本質(zhì)屬性的假設(shè)。4.確認(rèn)本質(zhì)屬性。通過比較正例和反例檢驗(yàn)假設(shè)。確認(rèn)本質(zhì)屬性。5.概括定義。在驗(yàn)證假設(shè)的基礎(chǔ)上，從具體實(shí)例中抽象出本質(zhì)屬性推廣到一切同類事物，概括出概念的定義。6.符號(hào)表示。7.具體運(yùn)用。使新概念與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念建立起牢固的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系。把所學(xué)的概念納入到相應(yīng)的概念體系中。

判斷是人們對(duì)事物情況有所肯定或否定的比概念高一級(jí)的思維形式。判斷是屬于主觀對(duì)客觀的認(rèn)識(shí)，因此，判斷有真有假，其真假要由實(shí)踐來檢驗(yàn)，在數(shù)學(xué)中要進(jìn)行證明。如實(shí)反映事物情況的判斷，叫真判斷；不符合事物情況的判斷，叫假判斷。在一個(gè)判斷中，如果不包含其他的判斷，叫做簡單判斷。簡單判斷又分為性質(zhì)判斷和關(guān)系判斷。復(fù)合判斷是由兩個(gè)或兩個(gè)以上的簡單判斷用連接詞構(gòu)成的判斷。1.負(fù)判斷。負(fù)判斷是用連接詞“非”構(gòu)成的判斷，一般記為┑P，讀作“非P”，當(dāng)P如何理解命題的分類

所謂性質(zhì)命題，是指斷定某事物具有（或不具有）某種性質(zhì)的命題。性質(zhì)命題由主項(xiàng)、謂項(xiàng)、量項(xiàng)和聯(lián)項(xiàng)四部分組成。關(guān)系命題關(guān)系命題是斷定事物與事物之間關(guān)系的命題，關(guān)系命題由主項(xiàng)、謂項(xiàng)和量項(xiàng)三部分組成.復(fù)合命題命題真值的概念。

對(duì)于命題A、B，如果A是一個(gè)真命題，我們就說A的真值等于1，記成A=1；如果B是一個(gè)假命題，我們就說B的真值等于0，記成B=0。一個(gè)命題或真或假，而不能既真又假。因此，一個(gè)命題的真值只能是1或0，不能既為1，又為0，或非l又非0。

復(fù)合命題的分類

復(fù)合命題由于所采用的連接詞不同，可分為下列五種形式。

否定式。給定一個(gè)命題A，用連接詞“非”組成一個(gè)復(fù)合命題“非A”，

析取式。給定兩個(gè)命題A與B，用連接詞“或”組成一個(gè)復(fù)合命題“A或B”，合取式。給定兩個(gè)命題A與B，用連接詞“且”組成一個(gè)復(fù)合命題“A且B”蘊(yùn)含式。給定兩個(gè)命題A與B，用連接詞“若……，則……”組成一個(gè)復(fù)合命題“若A則B”，記作AB

等值式。給定兩個(gè)命題A與B，用連接詞“等值”組成一個(gè)復(fù)合命題“A等值B”，記作“AB”公理與定理

不加證明而被承認(rèn)其真實(shí)性的命題叫做“公理”。原始概念和公理是組成數(shù)學(xué)理論的主要基礎(chǔ)。公理雖然不能加以證明，但有其合理性，它是從大量客觀事物與現(xiàn)象中抽象出來的，符合客觀規(guī)律。

任何公理體系都必須滿足相容性、完備性和獨(dú)立性。相容性是指該體系的各公理之間沒有矛盾。完備性是指該分支的形成除了相應(yīng)的公理體系外，不依賴于任何別的東西。獨(dú)立性是指該體系中各公理是相互獨(dú)立的，沒有一個(gè)可以由其他公理推出。獨(dú)立性對(duì)整個(gè)公理體系而言，具有錦上添花的作用。

經(jīng)過證明為真實(shí)的命題叫做定理，可由定理直接得出的真命題叫做推論。推論和定理的含義沒有什么本質(zhì)的區(qū)別。一個(gè)定理的逆命題、偏逆命題都未必為真，如果證明了是真實(shí)的，則分別稱為原定理的“逆定理”、“偏逆定理”。形式邏輯的基本規(guī)律

1.同一律：在同一時(shí)間、同一地點(diǎn)、同一思維的過程中，所使用的概念和判斷必須確

定，且前后保持一致。公式是：A→A，即A是A。它有兩點(diǎn)具體要求：一是思維的對(duì)象應(yīng)保持同一。二是表示同一事物的概念應(yīng)保持同一。

2.矛盾律：在同一時(shí)間，同一地點(diǎn)，同一思維的過程中，不能既肯定它是什么，又否定它是什么，即在同一思維過程中的兩個(gè)互相矛盾的判斷，不能同真，必有一假。公式是：A∧A，即A不是A。

3.排中律：在同一時(shí)間、同一地點(diǎn)、同一思維的過程中，對(duì)同一對(duì)象，必須作出明確的肯定或否定的判斷。即在同一思維過程中，兩個(gè)互相矛盾的概念或判斷不能同假，必有一真，而排除第三種可能。公式是：A∨，即A或。

排中律和矛盾律既有聯(lián)系，又有區(qū)別。其聯(lián)系在于：它們都是關(guān)于兩個(gè)互相矛盾的判斷，都指出兩個(gè)矛盾判斷不能同時(shí)并存，其中必有一個(gè)是假。但如何進(jìn)一步確定誰真誰假，它們本身都無能為力，只有借助其他知識(shí)，進(jìn)行具體分析，才能正確地予以回答。3．演繹推理是一種由一般到特殊的推理，即以某類事物的一般判斷為前提，作出這類事物的個(gè)別、特殊事物判斷的思維形式。

演繹推理的前提與結(jié)論之間有必然的聯(lián)系，只要前提是真實(shí)的，推理是合乎邏輯的，就一定能得到正確的結(jié)論。因此。演繹推理可以作為數(shù)學(xué)中一種嚴(yán)格的推理方法使用。簡單的演繹推理往往是通過三段論的形式來實(shí)現(xiàn)的。三段論的結(jié)構(gòu)包括大前提反映一般原理的判斷，小前提反映個(gè)別對(duì)象與一般原理聯(lián)系的判斷，以及結(jié)論三個(gè)判斷。

數(shù)學(xué)中的證明

應(yīng)用邏輯方法來判斷數(shù)學(xué)命題真實(shí)性的過程叫做數(shù)學(xué)證明。數(shù)學(xué)證明的過程往往表現(xiàn)為一系列的推理。

任何邏輯證明都是由論題、論據(jù)、論證三個(gè)部分組成的。

其區(qū)別在于：矛盾律指出兩個(gè)互相矛盾的判斷，不能同真，必有一假；排中律則指出兩個(gè)互相矛盾的判斷，不能同假，必有一真。矛盾律只能由真推假，不能由假推真；而排中律既能由真推假，也能由假推真，所以，矛盾律是否定判斷的邏輯基礎(chǔ)，而排中律是反證法的邏輯基礎(chǔ)。

4.充足理由律是：任何一個(gè)真判斷，必須有充足理由，即對(duì)于任何事物的肯定或否定，都要有充分的理由和根據(jù)�？杀硎緸椋喝粲蠦，則必有A，使得由B可以推出A。充足理由律是進(jìn)行推理和證明的邏輯基礎(chǔ)，它與判斷有著密切的聯(lián)系。

充足理由律和前面三個(gè)規(guī)律有著密切的聯(lián)系。同一律、矛盾律和排中律是為了保持同一判斷(或概念)本身的確定性和無矛盾性；充足理由律則是為了保持判斷之間的聯(lián)系有充分根據(jù)和說服力。因此，在思維過程中，如果違反了同一律、矛盾律和排中律，那么就必然導(dǎo)致違反充足理由律。

數(shù)學(xué)推理、證明必須要求對(duì)象確定(同一律)，判斷不自相矛盾(矛盾律)，不模棱兩可(排中律)，有充分根據(jù)(充足理由律)。數(shù)學(xué)推理的類別

1．歸納推理是一種由特殊到一般的推理，且根據(jù)前提與結(jié)論所作判斷的范圍是否相同，又分為完全歸納法與不完全歸納法。

完全歸納法如果歸納推理的前提中一個(gè)或幾個(gè)判斷范圍的總和等于結(jié)論中判斷的范圍，這種歸納推理叫做完全歸納法。

不完全歸納法如果歸納推理的前提判斷范圍的總和小于結(jié)論判斷的范圍，這種歸納推理叫做不完全歸納法。

因?yàn)橥耆珰w納法是在考察事物的各種情形之后得出有關(guān)事物的結(jié)論的，所以只要考察各種情形得出的結(jié)論是真實(shí)的，則最后所得結(jié)論也必定是真實(shí)的。因此，完全歸納法可以作為數(shù)學(xué)的嚴(yán)格推理方法。用完全歸納法進(jìn)行推理時(shí)，要注意對(duì)考察事物的各種特殊情形都要進(jìn)行討論，不要重復(fù)也不要遺漏。在完全歸納法的實(shí)施過程中，分類是最為重要、往往也是最為困難的，關(guān)于分類問題的詳細(xì)地討論可以在附錄中找到。

用不完全歸納法作為邏輯推理是不嚴(yán)密的，因而在數(shù)學(xué)證明中并不采用。但不完全歸納法在探索的過程中能幫助我們比較迅速地去發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律，給我們提供研究方向和線索的作用是不容忽視的�？茖W(xué)上的很多發(fā)現(xiàn)，往往就是通過觀察、分析、歸納、猜想得出，然后又加以證明驗(yàn)證得到的。2．類比推理是一種由特殊到特殊的推理，即根據(jù)兩個(gè)(或兩類)事物的某些相同或相似的性質(zhì)，判斷它們?cè)趧e的性質(zhì)上也可能相同或相似。數(shù)學(xué)證明習(xí)慣上分成已知、求證、證明三個(gè)部分來寫。其中論據(jù)是包括論題給定的條件和證明論題時(shí)所引用的那些論據(jù)，以及已知的公理、定理、公式、定義、法則、性質(zhì)等命題；求證就是論題的結(jié)論，即有待于證明具有真實(shí)性的命題；證明就是論證，即證明論題真實(shí)性的推理過程。數(shù)學(xué)中常用的證明方法1.分析法與綜合法

在數(shù)學(xué)證明中，如果推理方向是從求證追溯到已知，或者是從未知到已知，這種思考方法叫做分析法，簡謂“由果索因”。反之，如果推理的方向是從已知到求證，或者是從已知到未知，這種思考方法叫做綜合法，簡謂“由因?qū)Ч�”�?/p>

2.直接證法與間接證法從正面證明論題真實(shí)性的證明方法，叫做直接證法。凡是用演繹法證明命題真實(shí)性的都是直接證法。不是直接證明論題的真實(shí)性，而是通過證明論題的否定論題不真實(shí)，或者證明它的等效命題成立，從而肯定論題真實(shí)性的證明方法，叫做間接證法。間接證法主要有反證法與同一法。反證法欲證命題“A→B”為真，從反面人手，改證明其反命題“→B”為假，從而肯定“A→B”為真；或改證明其等效命題“→”為真，這種證明的方法叫做反證法。同一法兩個(gè)互逆或互否的命題不一定是等效的，只有當(dāng)一個(gè)命題的條件和結(jié)論都唯一存在，且它們所指的概念是同一概念時(shí)，該命題與其逆命題(或否命題)才等效，這個(gè)原理叫做同一原理。對(duì)于符合同一原理的命題，當(dāng)直接證明有困難時(shí)，可以改證與它等效的逆命題，這種證明方法叫做同一法。反證法與同一法都是間接證法的主要區(qū)別：①方法不同。反證法先否定結(jié)論，然后再予以反駁；同一法先作出(設(shè)定)符合命題結(jié)論的圖形(或算式)，然后推證所作圖形(或算式)與已知圖形(或關(guān)系式)相同。②根據(jù)不同。反證法的邏輯依據(jù)是排中律，利用原命題與其逆否命題的等價(jià)性來證明的；同一法的邏輯依據(jù)是同一律，利用原命題與其逆命題的等價(jià)性來證明的。③適用范圍不同。反證法是從否定命題的結(jié)論出發(fā)，只要能推出矛盾就行，而這個(gè)矛盾不一定是由于圖形(或關(guān)系式)的“唯一存在性”引起的。因此，反證法可適用于各種命題，而同一法只適用于符合同一法則的命題。第六章數(shù)學(xué)抽象

具體是指對(duì)客觀存在著的各種事物或在認(rèn)識(shí)中的整體的反映，是特定事物多方面屬性、特點(diǎn)、聯(lián)系和關(guān)系的統(tǒng)一。抽象指從具體事物中被抽象出來的相對(duì)獨(dú)立的各個(gè)屬性、特征、聯(lián)系和關(guān)系。抽象是正確反映客觀事物本質(zhì)，形成概念、范疇的一種思維方法。它是在對(duì)事物的屬性進(jìn)行分析、綜合、比較的基礎(chǔ)上，抽取出事物的本質(zhì)屬性，撇開非本

質(zhì)屬性，從而形成對(duì)某一事物的概念

科學(xué)的抽象必須具備客觀性、實(shí)在性和可檢驗(yàn)性，都是客觀事物所具有的某種屬性、關(guān)系的反映，不是空洞的、荒謬的、神秘的虛構(gòu)。數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)的抽象程度大大超過了其他科學(xué)，全部數(shù)學(xué)都具有抽象的特征。數(shù)學(xué)的抽象，主要是指思維運(yùn)動(dòng)中的抽象。數(shù)學(xué)的抽象具有明顯的層次性，這也是數(shù)學(xué)抽象與一般抽象的本質(zhì)區(qū)別。

數(shù)學(xué)抽象的層次性

就數(shù)學(xué)抽象的深度而言，大體上分為三個(gè)層次：1）把握事物的本質(zhì)，把繁雜問題簡單化、條理化，能夠清晰地表達(dá)，我們稱其為簡約階段。2）去掉具體的內(nèi)容，利用概等加以描述�？梢哉J(rèn)為，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)就是能夠描述極限的一種結(jié)構(gòu)。

結(jié)構(gòu)主義數(shù)學(xué)的抽象的弱點(diǎn)（1）數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法不可能統(tǒng)一數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法并不是數(shù)學(xué)的唯一方法。（2）數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義重視結(jié)構(gòu)，不崇尚技巧，象數(shù)論中的技巧方法、函數(shù)論的精密估值、概率統(tǒng)計(jì)中的詳細(xì)計(jì)算都不能納入布爾巴其學(xué)派的體系，這種現(xiàn)象也對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展帶來影響。（3）過份提升結(jié)構(gòu)主義，在教學(xué)中尤其在中小學(xué)的數(shù)學(xué)教育中運(yùn)用結(jié)構(gòu)主義觀點(diǎn)，會(huì)忽略對(duì)學(xué)生認(rèn)知心理的正確判斷。在美國上世紀(jì)50年代到60年代興起的“新數(shù)學(xué)”運(yùn)動(dòng)中，就在初中的數(shù)學(xué)中運(yùn)用結(jié)構(gòu)主義的觀點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)的改革，結(jié)果表明“新數(shù)學(xué)”運(yùn)動(dòng)并不符合學(xué)生的心理發(fā)展水平，脫離了社會(huì)和學(xué)生的生活實(shí)際。

圖形與圖形關(guān)系的抽象數(shù)學(xué)在本質(zhì)上表現(xiàn)為對(duì)概念的抽象和對(duì)證明的抽象。圖形抽象的典范（一）歐式幾何念、圖形、符號(hào)、關(guān)系表述包括已經(jīng)簡約化了的事物在內(nèi)的一類事物，我們稱其為符號(hào)階段。（3）通過假設(shè)和推理建立法則、模式或者模型，并能夠在一般意義上解釋具體事物，我們稱其為普適階段。數(shù)學(xué)抽象的方法

1．理想化的抽象。由實(shí)際的事物或現(xiàn)象引出抽象概念的方法，其中包括對(duì)于真實(shí)事物或現(xiàn)象的簡化與完善化，從而得出的數(shù)學(xué)概念與現(xiàn)實(shí)原型未必完全符合。

2．強(qiáng)抽象與弱抽象。弱抽象也可以稱作“概念擴(kuò)張式抽象”，即從原型（或已有概念）中選取某一特征（側(cè)面）加以抽象，從而獲得比原結(jié)構(gòu)更廣的結(jié)構(gòu)，使原結(jié)構(gòu)成為后者的特例。

3．存在性抽象。作為人類思維能動(dòng)性的一種重要表現(xiàn)形式，有時(shí)可以假設(shè)一個(gè)原先認(rèn)為不存在的“對(duì)象”的存在性，也即引進(jìn)所謂的“理想元素”，并由此而發(fā)展起一定的數(shù)學(xué)理論。

數(shù)學(xué)研究對(duì)象的抽象性

數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象的東西，因?yàn)橹挥型ㄟ^抽象才能得到抽象的東西。對(duì)于數(shù)學(xué)的抽象而言，我們應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注數(shù)量關(guān)系的抽象、空間形式的抽象、論證形式的抽象和模型模式的抽象。

數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象

數(shù)量的本質(zhì)是多與少，數(shù)來源于對(duì)數(shù)量本質(zhì)的抽象，而其過程可以分為計(jì)數(shù)和符號(hào)兩個(gè)抽象過程。數(shù)量關(guān)系的抽象一）加法的抽象過程（二）乘法、減法和除法法則的抽象過程（三）從算術(shù)到代數(shù)的抽象過程，抽象到符號(hào)體系后的結(jié)果具有一般性，因而也就具有了廣泛的適用性。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的抽象

在完成數(shù)量和數(shù)量運(yùn)算法則的抽象歷史過程中，實(shí)數(shù)理論經(jīng)過了漫長的完善過程。與此同時(shí)又抽象出負(fù)數(shù)、四元數(shù)、八元數(shù)以及其運(yùn)算法則等等，最終發(fā)展到數(shù)量在整個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)意義上的抽象。

（一）代數(shù)結(jié)構(gòu)一般是指一個(gè)集合的代數(shù)運(yùn)演體系，即一個(gè)集合上規(guī)定了一種運(yùn)算，并且能夠使兩個(gè)元素按照運(yùn)算得到另外一個(gè)元素，這種結(jié)構(gòu)就稱之為代數(shù)結(jié)構(gòu)。二）序結(jié)構(gòu)集合中的某些元素之間有了先后的排序關(guān)系，就稱為有了序結(jié)構(gòu)。

（三）拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)鄰域、連續(xù)、極限、連通性、維數(shù)等構(gòu)成一般拓?fù)鋵W(xué)的研究對(duì)象。拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)用來表述連續(xù)性、分離性、附近、邊界等這些空間位置。拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是在一個(gè)集合A中分出一族子集作鄰域，用鄰域去研究極限過程。這種結(jié)構(gòu)可用鄰域公理、開集公理歐幾里得的《原本》吸收了當(dāng)時(shí)古希臘數(shù)學(xué)的許多成果，它是當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)成果的系統(tǒng)整理�！对�本》獨(dú)特的演繹結(jié)構(gòu)表現(xiàn)，被后世稱之為公理化方法或公理化模式的典范，這無疑是歐幾里得的巨大貢獻(xiàn)。歐幾里得的《原本》奠定了幾何學(xué)的公理體系的基本結(jié)構(gòu)，其影響是深遠(yuǎn)的，給后來的數(shù)學(xué)甚至物理學(xué)等自然科學(xué)的確立做出了楷模。從公理化方法的角度看，《原本》還是一種實(shí)質(zhì)公理學(xué)的代表作2.非歐幾何

對(duì)《原本》及公理化方法的研究，尤其是對(duì)第五公設(shè)的研究，引起了數(shù)學(xué)家們極大的興趣�？梢哉f，在歐幾里得之后的兩千多年時(shí)間里，大數(shù)學(xué)家們幾乎都在這個(gè)問題上花費(fèi)了自己不少的心血。在尋求對(duì)于這個(gè)公設(shè)更合理的解釋的過程中，往往需要更加一般的抽象，這便是數(shù)學(xué)的第二步抽象。而這第二步抽象使人們恍然大悟，可以人為地建立起不同的幾何體系，而這些幾何體系又都是合理的、現(xiàn)實(shí)的。1．歐幾里得幾何：過直線外一點(diǎn)有且只有一條平行線。2．羅巴切夫斯基幾何（雙曲幾何）：過直線外一點(diǎn)有無數(shù)多條平行線。3．黎曼幾何（橢圓幾何）：過直線外一點(diǎn)不存在平行線。非歐幾何的的影響。

第一，在非歐幾何建立的過程中，由公設(shè)的不可證明使人們認(rèn)識(shí)到，作為公理體系中的獨(dú)立命題，人們可以采取一個(gè)與之相反的公理并發(fā)展成為另一個(gè)新的公理體系。這種方法是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的方法。

第二，非歐幾何的建立，為公理化方法的推廣和建立新的理論提供了依據(jù)，大大提高了公理化方法在數(shù)學(xué)中的地位。公理化方法受到了人們的高度重視，許多數(shù)學(xué)家開始致力于公理化方法的研究。第三，非歐幾何已經(jīng)不像《原本》那樣依賴感性直觀的實(shí)質(zhì)性公理系統(tǒng)。非歐幾何的建立標(biāo)志著從實(shí)質(zhì)性公理化方法向形式化公理化方法的過渡。第四，非歐幾何的成功，使人們對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)從直觀空間上升到抽象空間，人們開始改變那種“一個(gè)公理系統(tǒng)只有一個(gè)論域”的觀念。非歐幾何的成功也開始使人們對(duì)一個(gè)公理系統(tǒng)有不同的解釋，實(shí)際上人們已經(jīng)從公理化方法的過程中看到，數(shù)學(xué)中存在著一個(gè)不與任何具體直觀內(nèi)容相結(jié)合的形式化的公理系統(tǒng)。圖形抽象的升華（一）幾何的公理化

無須賦予不定義概念以明確涵義，公理雖然是由經(jīng)驗(yàn)提升出來的，但它必須脫離直觀而看作是任意的，公理在表述事物或?qū)ο箨P(guān)系時(shí)，可以具有非具體意義的任意性

通常我們把《幾何基礎(chǔ)》稱為形式化公理體系，把構(gòu)成《幾何基礎(chǔ)》的公理化方法，稱為形式化公理方法。

公理體系的合理性和公理化方法提出三個(gè)基本的要求：(1)協(xié)調(diào)性要求。(2)獨(dú)立性要求。（3）完備性要求。（二）幾何的統(tǒng)一化F克萊因是近代數(shù)學(xué)史中非常有名的數(shù)學(xué)家，他的重要貢獻(xiàn)之一，就是透過數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的方法為眾多幾何學(xué)分支找到一種內(nèi)在的結(jié)構(gòu)規(guī)律。表面互不相干的幾何學(xué)被F克萊因用變換群聯(lián)系到一起，同時(shí)變換群的任何一個(gè)分類也對(duì)應(yīng)幾何學(xué)的一種分類。F克萊因用群的結(jié)構(gòu)與理論統(tǒng)一幾何學(xué)的方法，是抽象結(jié)構(gòu)方法的重要成就，是數(shù)學(xué)第二次抽象威力的具體體現(xiàn)。。模型模式的抽象

粗略地說，數(shù)學(xué)模型是針對(duì)或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量關(guān)系，采用形式化數(shù)學(xué)實(shí)上，義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教育是一種公民教育，它給學(xué)生帶去的絕不僅僅是會(huì)解更多

的數(shù)學(xué)題了。這些學(xué)生的未來會(huì)遇到不同的挑戰(zhàn)一些人需要學(xué)習(xí)或研究更多的數(shù)學(xué)，對(duì)他們而言，是否能夠“思考數(shù)學(xué)”非常重要；另一些人（他們是受教育的學(xué)生中的絕大多數(shù)）就業(yè)以后基本上不需要解純粹的數(shù)學(xué)題（除了參加數(shù)學(xué)考試），對(duì)他們而言，“思考數(shù)學(xué)”是一種需要，但更多的或許是能夠進(jìn)行“數(shù)學(xué)的思考”，即在面臨各種問題情境（特別是非數(shù)學(xué)問題）時(shí)，能夠從數(shù)學(xué)的角度去思考問題、能夠發(fā)現(xiàn)其中所存在的數(shù)學(xué)現(xiàn)象、并將之抽象為數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)與方法去解決問題。對(duì)所有的未來公民來說，抽象思維和形象思維水平，歸納推理與演繹推理能力等都是不可缺少的。這個(gè)教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)也不能僅僅通過研究“純粹抽象”的數(shù)學(xué)現(xiàn)象來進(jìn)行，而應(yīng)當(dāng)在研究多種現(xiàn)象與問題（數(shù)學(xué)的、非數(shù)學(xué)的）的過程中逐步完成。具體說來，就是讓學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和圖形描述現(xiàn)實(shí)世界的過程，建立初步的數(shù)感和符號(hào)感，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象思語言，概括地或近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)建構(gòu)。所謂數(shù)學(xué)建構(gòu)，是指使用數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)語言等表述出來的被研究對(duì)象的純關(guān)系結(jié)構(gòu)�！凹儭笔侵敢褤P(yáng)棄了一切與關(guān)系無本質(zhì)聯(lián)系的屬性，只保留與研究目的有關(guān)的本質(zhì)特征。具體地說，數(shù)學(xué)模型有廣義的解釋和狹義的解釋。

（一）廣義解釋數(shù)學(xué)模型是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來的，是客觀事物的某些屬性的一種近似反映。（二）狹義解釋數(shù)學(xué)模型是將具體屬性抽象出來構(gòu)成一種特定的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)，只有那些反映特定問題或特定事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)才叫數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型的抽象過程

具體的抽象過程我們可以總結(jié)為如下幾個(gè)關(guān)鍵步驟：

首先，分析問題的各種關(guān)系，全面地掌握了問題中各種因素之間的聯(lián)系。其次，確定了各關(guān)系之間的本質(zhì)屬性。第三，建立一筆畫的數(shù)學(xué)模型，第四，把數(shù)學(xué)模型返回到實(shí)際問題之中。檢驗(yàn)正確，那么這個(gè)抽象的數(shù)學(xué)模型就可以廣泛地加以應(yīng)用。中小學(xué)數(shù)學(xué)常見數(shù)學(xué)模型的抽象(一)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型的抽象

在人類的生產(chǎn)生活中，有許多實(shí)際問題可以用初等數(shù)學(xué)來解決，對(duì)這些具體問題的抽象處理就形成了許多有關(guān)這些方面的數(shù)學(xué)模型。這些問題主要表現(xiàn)在工程進(jìn)度、人口增長、收入變等方面。這些問題運(yùn)用的數(shù)學(xué)工具大多是代數(shù)方程、指數(shù)函數(shù)以及其它相關(guān)的函數(shù)概念。這一類的數(shù)學(xué)模型在現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見，中小學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以這些為例深入淺出地抽象、構(gòu)造及運(yùn)用這些模型。（二）運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型的抽象

一些事物在運(yùn)動(dòng)中表現(xiàn)出速度、加速度、時(shí)間、距離之間的關(guān)系，這類問題構(gòu)成了帶有運(yùn)動(dòng)特征的數(shù)學(xué)模型。

（三）邏輯程序數(shù)學(xué)模型的抽象

邏輯推理形式一直是數(shù)學(xué)運(yùn)用的最基本的思想方法，從數(shù)學(xué)模型的抽象角度把它看作是一種數(shù)學(xué)方法和結(jié)構(gòu)模型還是近代才引起人們重視的。對(duì)于初等數(shù)學(xué)教育而言，我們以前的數(shù)學(xué)教育只是在學(xué)習(xí)幾何知識(shí)時(shí)才開始強(qiáng)化邏輯推理方面的教育，這種數(shù)學(xué)教育也由于對(duì)定義、定理的推導(dǎo)而忽視對(duì)邏輯程序自身的注意。近年來，由于計(jì)算機(jī)的迅速普及使得邏輯程序方面（或算法）的教育就顯得越來越重要。結(jié)合初中教學(xué)實(shí)際談一談你對(duì)數(shù)學(xué)抽象的理解。

數(shù)學(xué)抽象的教學(xué)應(yīng)當(dāng)直接指向?qū)W生在與數(shù)學(xué)相關(guān)問題上的一般思維水平方面的發(fā)展。事維。

教學(xué)的主要目的在于使學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)的語言去刻畫現(xiàn)實(shí)世界，去發(fā)現(xiàn)隱藏在具體事物背后的一般性規(guī)律。相對(duì)于不同學(xué)段的學(xué)生而言著重點(diǎn)不一樣：

對(duì)第一學(xué)段的學(xué)生來說，能夠用數(shù)和簡單的圖表刻畫一些現(xiàn)實(shí)生活中的簡單現(xiàn)象，就是目標(biāo)；對(duì)第二學(xué)段的學(xué)生而言，應(yīng)當(dāng)包括既能夠用數(shù)和簡單的圖表刻畫一些現(xiàn)實(shí)生活中的現(xiàn)象，還應(yīng)當(dāng)包含對(duì)某些數(shù)字信息做出合理的解釋；對(duì)于第三學(xué)段的學(xué)生來說，除去在較復(fù)雜的層面上能夠完成前面的任務(wù)，重點(diǎn)應(yīng)當(dāng)是能夠用各種數(shù)學(xué)關(guān)系（方程、不等式、函數(shù)等）去刻畫具體問題，建立合適的數(shù)學(xué)模型。第七章數(shù)學(xué)推理

思維模式下對(duì)推理的理解哲學(xué)對(duì)推理的理解為：推理是從一個(gè)或幾個(gè)判斷推出一個(gè)新的判斷的思維形式。常見的推理有歸納推理，演繹推理和類比推理。

推理模式下對(duì)推理的理解對(duì)于數(shù)學(xué)而言，本質(zhì)上有兩種推理模式，一種是演繹推理，一種是歸納推理。

基本推理是指由一個(gè)命題或者幾個(gè)命題出發(fā)，得到另一個(gè)命題的思維路徑，其中所謂的命題是指一種可以肯定或者否定的語句。

推理的基礎(chǔ)一個(gè)數(shù)學(xué)論證過程是由一系列基本推理構(gòu)成的，討論基本推理是分析數(shù)學(xué)論證過程的基礎(chǔ)�；�本推理中所涉及的基本概念包括語言、命題和定義，其中，語言是推理的工具，命題是推理的對(duì)象，定義是命題的基礎(chǔ)。

推理的工具：語言語句是指：表達(dá)一個(gè)完整思想的語言單位。如果不涉及論證過程，數(shù)學(xué)上的語句通常以命題的形式出現(xiàn)。

推理的對(duì)象：命題命題是指：或者可以通過分析，或者可以通過經(jīng)驗(yàn)證實(shí)的語句，也就是說，命題是一種可以進(jìn)行是非判斷的語句。數(shù)學(xué)命題的核心是敘述研究對(duì)象之間的關(guān)系，即把關(guān)系概念應(yīng)用于對(duì)象概念。數(shù)學(xué)推理過程中的命題必須簡捷準(zhǔn)確，不能引發(fā)歧義。

命題的基礎(chǔ)：定義準(zhǔn)確的定義對(duì)于命題的判斷是非常重要的，在這個(gè)意義上，定義是命題的基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)定義大概分為兩種：一種是名義定義，一種是實(shí)質(zhì)定義。所謂名義定義是對(duì)某些事物標(biāo)明符號(hào)，或者是對(duì)某類事物指明稱謂。所謂實(shí)質(zhì)定義是指揭示所研究問題對(duì)象內(nèi)涵的邏輯方法，通過對(duì)許多所要研究問題的對(duì)象進(jìn)行具體分析，歸納出共性、抽象出定義。定義與命題之間的關(guān)系：定義的功能是為了明確討論問題的對(duì)象，命題的功能是為了表

述所討論問題的實(shí)質(zhì)，論證的功能是分析條件和結(jié)果之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)推理過程中需要把握三個(gè)基本原則，即同一律、矛盾律和排中律。演繹推理的一般含義

我們初步定義數(shù)學(xué)中的演繹推理為：按照某些規(guī)定了的法則所進(jìn)行的、前提與結(jié)論之間有必然聯(lián)系的推理。又因?yàn)閿?shù)學(xué)的結(jié)論大體上可以分為命題結(jié)論和運(yùn)算結(jié)論，那么針對(duì)數(shù)學(xué)的演繹推理而言，大體就可以分成兩個(gè)部分：命題推理和運(yùn)算推理。

一演繹推理在數(shù)學(xué)中有多種形式(如聯(lián)合推理、選言推理、假言推理等)，但數(shù)學(xué)中最常用的是直言三段論式的演繹推理。數(shù)學(xué)中常稱之為“三段論”式的演繹推理。直言三段論具有傳遞關(guān)系的推理

三段論是一個(gè)包括大前提、小前提和結(jié)論三個(gè)部分的論證形式，這是一個(gè)基本推理的模式。其基本模式為：

對(duì)前提的確認(rèn)，通過邏輯推理帶來對(duì)結(jié)論的確認(rèn)，每一步推理都是可靠的、無可置疑的，因而這種邏輯推理確認(rèn)了邏輯上可靠的數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)也建立了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)體系。實(shí)際上，這種數(shù)學(xué)的邏輯構(gòu)造只是數(shù)學(xué)建構(gòu)后的表現(xiàn)形式，而在形成這種演繹形式之前，數(shù)學(xué)的理論必有一個(gè)探索發(fā)現(xiàn)的過程。這個(gè)探索發(fā)現(xiàn)的過程作為一種思維方式，作為一種數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法，是非邏輯演繹的，是一種合乎情理的、似真的推理過程，即合情推理。作為數(shù)學(xué)中的創(chuàng)造性思維，它面臨的是一個(gè)前人沒有論證過的問題。因此按照合乎情理的方向，按照自己認(rèn)為可能是正確的方向去進(jìn)行推理，探索可能得到的結(jié)論，探索可能運(yùn)用的方法，是合情推理發(fā)揮作用的地方。對(duì)于一個(gè)想把數(shù)學(xué)作為終身事業(yè)的學(xué)生而言，它必須學(xué)會(huì)邏輯論證推理。因?yàn)檫@是他未來的工作，也是數(shù)學(xué)科學(xué)思維發(fā)展中的一個(gè)特征。數(shù)學(xué)家為了取得成就，也必須學(xué)會(huì)合情推理，因?yàn)檫@是他創(chuàng)造性工作賴以進(jìn)行的那種推理。

大前提：一切M都是(或不是)P，小前提：S是M，

結(jié)論：S是(或不是)P。

數(shù)學(xué)的推理與證明過程，就是一連串的三段論式推理的有序組合。

直言三段論的本質(zhì)是命題的可傳遞性，或者說，命題所對(duì)應(yīng)的集合之間可以形成包含關(guān)系。

這樣就可以得到結(jié)論：對(duì)于數(shù)學(xué)的推理而言，全稱肯定、全稱否定、特稱否定這三種形式的直言三段論是有效的，也是經(jīng)常被使用的。

用集合的語言對(duì)直言三段論表述如下：直言三段論表述的是集合之間的包含關(guān)系，這種關(guān)系具有傳遞性。其中關(guān)于“包含關(guān)系具有傳遞性”這個(gè)命題，應(yīng)當(dāng)是人們?cè)陂L期的日常生活和生產(chǎn)實(shí)踐中總結(jié)出來的公理，人們從遠(yuǎn)古的時(shí)候就會(huì)知道：一個(gè)人屬于家庭，家庭屬于族群，那么，這個(gè)人屬于族群。這個(gè)命題的正確性是不需要證明的，并且，“具有傳遞性”這個(gè)命題應(yīng)當(dāng)作為人們可能進(jìn)行邏輯推理的基礎(chǔ)。

歸納推理是由已知為真的命題做前提，引出可能真實(shí)命題做結(jié)論的推理。

歸納推理的前提與結(jié)論之間具有必要條件關(guān)系。首先，歸納推理的前提必須是真實(shí)的、可靠的，否則，歸納也就失去了意義。前提的真實(shí)性對(duì)于歸納推理來說是必要的。人們根據(jù)考察對(duì)象涉及的是某類事物的一部分還是全體，又把具有遞推關(guān)系的歸納推理分為不完全歸納推理和完全歸納推理。

（一）不完全歸納推理不完全歸納推理是根據(jù)某類事物的部分對(duì)象具有的(或不具有)某種屬性，推出該事物的全體具有(或不具有)這種屬性的思維方式。（二）完全歸納推理

完全歸納推理是從某類事物每個(gè)對(duì)象都具有(或不具有)某種屬性，推出這類事物的全體具有(或不具有)某種屬性的思維方法。由于這類方法考察了某類事物的全部對(duì)象，所以得出的結(jié)論必定是正確。1．窮舉法窮舉法是數(shù)學(xué)中常用的一種完全歸納法。它是對(duì)具有有限個(gè)對(duì)象的某類事物進(jìn)行研究時(shí)，把所有的對(duì)象的屬性分別討論，從肯定它們都具有某一屬性得到這類事物都具有這一屬性(全稱判斷)的歸納推理。一個(gè)比窮舉法更一般的方法被稱為簡單枚舉法。2．類分法在考察中需要先對(duì)研究的對(duì)象按前提中可能存在的情況進(jìn)行分類，再按類分別證明。合情推理

結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際，談?wù)労锨橥评碓跀?shù)學(xué)上的意義

數(shù)學(xué)是一個(gè)邏輯推理構(gòu)成的體系，在思維進(jìn)程的意義上它是從一般到特殊的推理論證。作為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，如果我們要求學(xué)生運(yùn)用自己掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決問題，那么作為學(xué)生的個(gè)體經(jīng)驗(yàn)，他必然有一個(gè)自我形式的合情推理過程，即按照自己認(rèn)為可能合乎情理、可能正確的方向來試一下，嘗試一下自己的方法、想法是否正確。從這種意義上來說，對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者，對(duì)于數(shù)學(xué)的解題過程而言，合情推理就是一個(gè)必須學(xué)會(huì)運(yùn)用的思維方式。

合情推理實(shí)際上強(qiáng)調(diào)了一種思維的主動(dòng)性、情感性和試錯(cuò)性。所謂主動(dòng)性是說，合情推理不受數(shù)學(xué)自身嚴(yán)格演繹推理的束縛，可以向自己認(rèn)為合乎情理的方向主動(dòng)思考，盡管這種思考可能與數(shù)學(xué)本身的要求有差距。所謂情感性是說，合情推理可以按照自己認(rèn)為似真的方向進(jìn)行探索。這實(shí)際上只是一種探索性的思考，盡管這種思考可能與數(shù)學(xué)的真正演繹證明有一些差異。所謂試錯(cuò)性是說，合情推理是一個(gè)學(xué)習(xí)、論證的試錯(cuò)過程，正是通過不斷的主觀積極的試錯(cuò)才使問題得到最終的解決。數(shù)學(xué)中合情推理的方式是各式各樣的，在這些合情推理中最常用的是類比推理和歸納推理兩種。

類比推理是指根據(jù)兩個(gè)不同對(duì)象的某些方面相同或相似，推導(dǎo)出或猜出它們?cè)谄渌�方面可能具有相同或相似的思維形式。它是思維進(jìn)程中由特殊到特殊的推理方式。波利亞在論及類比合情推理的作用時(shí)，認(rèn)為它可以在三個(gè)方面發(fā)揮作用：(1)可以提出新問題和獲得新發(fā)現(xiàn)；(2)可以在求解問題中得到應(yīng)用；(3)可以用來對(duì)猜測進(jìn)行檢驗(yàn)。應(yīng)當(dāng)指出的是，類比推理只是一種合情推理，它不能提供嚴(yán)格準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)邏輯證明。它獲得的結(jié)論的正確與否，還必須經(jīng)過嚴(yán)格的證明。因此類比推理是一種創(chuàng)造性、啟發(fā)性較強(qiáng)而可靠性較弱的方法。合情推理中的歸納

合情推理中所說的歸納是歸納推理思維方式中的不完全歸納推理，又稱之為經(jīng)驗(yàn)歸納法或稱之為實(shí)驗(yàn)歸納法。這是一種從個(gè)別到一般，從經(jīng)驗(yàn)事實(shí)或?qū)嶒?yàn)事實(shí)到理論的一種尋找真理和發(fā)現(xiàn)真理的方法。

1．用經(jīng)驗(yàn)歸納法發(fā)現(xiàn)問題的結(jié)論對(duì)于數(shù)學(xué)問題而言，運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)歸納法可以由一個(gè)特殊的事實(shí)來猜測可能存在的結(jié)論。

2．用經(jīng)驗(yàn)歸納發(fā)現(xiàn)解決數(shù)學(xué)問題的路徑在經(jīng)驗(yàn)歸納的合情推理中，可以由一個(gè)特殊處理問題的數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)方法或解題思路中歸納推導(dǎo)出對(duì)一般問題的處理公式、方法或思路。

合情推理中，類比推理與歸納推理差異是明顯的。歸納推理是從特殊到一般的推理，是一種縱向思維；類比推理則是借助兩個(gè)系統(tǒng)某些部分的相似性或一致性進(jìn)行的橫向思維。在實(shí)際問題中，兩種推理形式互相促進(jìn)，成為合情推理中相互配合、相互利用的重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法。而作為合情推理，作出創(chuàng)造性思維有時(shí)需要不同思維方式的相互配合。

數(shù)學(xué)猜想介于歸納與演繹之間

數(shù)學(xué)猜想，是指人們根據(jù)已知的某些數(shù)學(xué)知識(shí)和某些事實(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)的某些理論、方法等提出一些猜測性的推斷。1．由歸納提出數(shù)學(xué)猜想

由某類數(shù)學(xué)對(duì)象中的個(gè)別對(duì)象具有的屬性，進(jìn)而猜想該類對(duì)象全體都具有這種屬性，這是不完全歸納的基本思維方法。利用不完全歸納的思維方法提出數(shù)學(xué)猜想是構(gòu)成創(chuàng)造性思維的一個(gè)重要方面。2．由類比產(chǎn)生的數(shù)學(xué)猜想

培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力不僅要注意層次性，而且要關(guān)注學(xué)生的差異。要使每一個(gè)學(xué)生都能體會(huì)證明的必要性，從而使學(xué)習(xí)演繹推理成為學(xué)生的自覺要求，克服“為了證明而證明”的盲目性；又要注意推理論證“量”的控制，以及要求的有序、適度。第八章數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是近年來在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的修訂過程中提出的新觀點(diǎn)、新概念，目前已經(jīng)變成支撐我國初中數(shù)學(xué)課程的“四基”之一，即基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和基本思想。

“經(jīng)驗(yàn)”的基本含義在通常意義下，所謂經(jīng)驗(yàn)，就是按照事實(shí)原樣而感知到的內(nèi)容�！度�日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（修訂稿）指出，“義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)在于，獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)類比是產(chǎn)生數(shù)學(xué)猜想的一個(gè)重要思維方法，許多數(shù)學(xué)家通過類比獲得了一種靈感、一種直覺，進(jìn)而提出數(shù)學(xué)猜想。

但是，我們要清楚的知道，一個(gè)數(shù)學(xué)猜想的證明歷程并不是容易的事情。演繹推理與歸納推理的關(guān)系演繹推理的定義：按照某些規(guī)定了的法則所進(jìn)行的、前提與結(jié)論之間有必然聯(lián)系的推理。歸納推理的定義：按照某些法則所進(jìn)行的、前提與結(jié)論之間有或然聯(lián)系的推理。比較可以看到，歸納推理比演繹推理要靈活得多，這是因?yàn)椋涸谕评磉^程中，“法則”是必要的，但不需要事先規(guī)定；前提與結(jié)果之間的“聯(lián)系”是必要的，但這種聯(lián)系是或然的而不是必然的。正因?yàn)闅w納推理具有這種靈活性，才可能從事物（事情和實(shí)物）的現(xiàn)實(shí)出發(fā)，對(duì)事物的過去或者未來進(jìn)行推斷。雖然通過推斷得到的結(jié)論不一定是必然的，但卻是實(shí)用的，因?yàn)樵谌粘Ｉ�活和生產(chǎn)實(shí)踐中，人們對(duì)事情決策所遵循的原則并不要求必然成立，只是希望在大多數(shù)情況下成立。對(duì)于數(shù)學(xué)而言，如果說演繹推理是為了證明的推理，那么歸納推理就是為了推斷的推理，把這兩種推理模式結(jié)合起來，就得到了數(shù)學(xué)的推理的全部過程：從條件出發(fā)，借助歸納推理“推斷”數(shù)學(xué)結(jié)果的可能性，借助演繹推理“驗(yàn)證”數(shù)學(xué)結(jié)果的必然性；或者進(jìn)行一個(gè)相反的推理過程：從結(jié)果出發(fā)，借助歸納推理“推斷”數(shù)學(xué)條件的可能性，借助演繹推理“驗(yàn)證”數(shù)學(xué)條件的必要性。談?wù)勀銓?duì)數(shù)學(xué)推理教學(xué)的理解。

長期以來數(shù)學(xué)教學(xué)注重采用“形式化”的方式，發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力，忽視了合情（歸納）推理能力的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)不僅需要演繹推理，同樣、甚至有時(shí)更需要合情（歸納）推理�？茖W(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)往往發(fā)端于對(duì)事物的觀察、比較、歸納、類比……，即通過合情（歸納）推理提出猜想，然后再通過演繹推理證明猜想正確或錯(cuò)誤。演繹推理和合情（歸納）推理是既不相同又相輔相成的兩種推理。

《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)推理能力的主要表現(xiàn)作了如下的闡述：“能通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例”。這就是說，學(xué)生獲得數(shù)學(xué)結(jié)論應(yīng)當(dāng)經(jīng)歷合情（歸納）推理演繹推理的過程。合情（歸納）推理的實(shí)質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)”，因而關(guān)注歸納推理能力的培養(yǎng)有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神。當(dāng)然，由合情（歸納）推理得到的猜想常常需要證實(shí)，這就要通過演繹推理給出證明或舉出反例，《標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)一些公式、法則、定理的證明，也規(guī)定了相應(yīng)的論證的要求。推理能力的培養(yǎng)，必須充分考慮學(xué)生的身心特點(diǎn)和認(rèn)知水平，注意層次性。即使如此，《標(biāo)準(zhǔn)》在“學(xué)段目標(biāo)”的“數(shù)學(xué)思考”部分的表述中，三個(gè)學(xué)段仍然有著一定的層次。

驗(yàn)�！边@里的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)際上是指“學(xué)生親自或間接經(jīng)歷了活動(dòng)過程而獲得的經(jīng)驗(yàn)”。

基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的含義

是指，圍繞特定的數(shù)學(xué)課程教學(xué)目標(biāo)，學(xué)生經(jīng)歷了與數(shù)學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容密切相關(guān)的數(shù)學(xué)活動(dòng)之后，所留下的、有關(guān)數(shù)學(xué)活動(dòng)的直接感受、體驗(yàn)和個(gè)人感悟。

基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是經(jīng)驗(yàn)的一種，由于經(jīng)驗(yàn)的層次、水平所限，個(gè)體之間的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)有較大差異，即使在同一個(gè)活動(dòng)中，不同的個(gè)體所獲得的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)也會(huì)有所不同，這往往取決于個(gè)體對(duì)活動(dòng)的感知水平與反思能力。學(xué)生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)包含三類基本內(nèi)容：1．一種體驗(yàn)性的內(nèi)容

這種經(jīng)驗(yàn)成分更多地表現(xiàn)為，學(xué)生在經(jīng)歷了活動(dòng)之后在自己的情感、意志世界所形成的有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)科活動(dòng)的、穩(wěn)定的心理傾向。2．一種方法性內(nèi)容

即學(xué)生獲得了這種活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)之后，積累了開展類似活動(dòng)的一種或幾種基本的方法。這種策略既有方法學(xué)知識(shí)的意味，更有學(xué)生對(duì)這些策略、方法的自我詮釋、自我解讀。它屬于典型的個(gè)體知識(shí)，而不是作為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)出現(xiàn)的一般知識(shí)。

3．一種模式性、策略性的內(nèi)容這種內(nèi)容與第二類類似，都是在學(xué)生獲得了這種活動(dòng)的初步經(jīng)驗(yàn)之后，經(jīng)過個(gè)人反省而提升出來的、開展類似活動(dòng)的一種或幾種基本模式、基本策略。它仍屬于典型的個(gè)體知識(shí)。

從哲學(xué)上講，在數(shù)學(xué)學(xué)科教、學(xué)中，讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，本質(zhì)上是讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)學(xué)科直觀，這是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)發(fā)展的源泉。無論是作為普適性方法而出現(xiàn)的經(jīng)驗(yàn)，還是作為模式性、策略性內(nèi)容出現(xiàn)的經(jīng)驗(yàn)，都是建立在直接的、感性的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，經(jīng)過個(gè)體的自我反�。ǚ此迹┒�形成的，它們帶有明顯的“再抽象”、再加工痕跡，都是基于個(gè)體對(duì)活動(dòng)過程的再現(xiàn)所致。因而，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須誘發(fā)學(xué)生主動(dòng)參與，積極思考，教師的使命和責(zé)任在于幫助學(xué)生建構(gòu)其數(shù)學(xué)理解�；�本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與相關(guān)概念的關(guān)系

基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)活動(dòng)、基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想的關(guān)系

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的個(gè)體反映，是個(gè)體針對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的直接感知及其之上的自我反省的結(jié)果。數(shù)學(xué)課程教學(xué)不僅要教給學(xué)生知識(shí)，更要幫助學(xué)生形成智慧。知識(shí)的主要載體是書本，智慧則形成于經(jīng)驗(yàn)的形成和積累的過程之中，形成于經(jīng)歷的數(shù)學(xué)活動(dòng)之中，諸如教師為學(xué)生創(chuàng)造的思考的過程、探究的過程、抽象的過程、預(yù)測的過程、推理的過程、反思的過程等。智慧形成于學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的各類知識(shí)，發(fā)現(xiàn)問題、提出數(shù)學(xué)問題并加以分析和解決問題的各種教育教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)之中。因而，數(shù)學(xué)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)直接來源于數(shù)學(xué)活動(dòng)之中。在經(jīng)歷同一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)過程之中，不同的人所獲得的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)往往有所不同，往往存在著個(gè)體差異。這些差異，一方面來自于個(gè)體的感覺、知覺的水平差異，另一方面，這些差異與個(gè)體針對(duì)感覺、知覺到的內(nèi)容的自我反省的水平和深廣度密切相關(guān)。與其同時(shí)，這些差異也與個(gè)體參與活動(dòng)的參與程度有著必然的關(guān)聯(lián)。基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與活動(dòng)過程的關(guān)系

基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的個(gè)體反映，是個(gè)體針對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的直接感知及其之上的自我反省的結(jié)果。經(jīng)歷、體驗(yàn)、經(jīng)驗(yàn)的區(qū)別和聯(lián)系

們帶著自己原有的知識(shí)背景、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和理解走進(jìn)學(xué)習(xí)活動(dòng)，并通過自己的自主與主動(dòng)的活動(dòng)，包括獨(dú)立思考，與他人交流和反思等，去建構(gòu)對(duì)數(shù)學(xué)的理解。因此，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程可以說是一種再創(chuàng)造過程，而且是真正意義上的再創(chuàng)造（指主觀意義上，非客觀意義上）：學(xué)生從事對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的提煉和組織---通過對(duì)低層次活動(dòng)本身的分析，把低層次的知識(shí)變?yōu)楦咭患?jí)層次的常識(shí)，再經(jīng)過提煉和組織而形成更高一級(jí)的知識(shí)，如此循環(huán)往復(fù)；再把數(shù)學(xué)放到現(xiàn)實(shí)中去加以使用。在這活動(dòng)過程之中，獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的分析與理解，和對(duì)獲得過程以及活動(dòng)方式的反思（元認(rèn)知），至關(guān)重要。

（五）有些經(jīng)驗(yàn)直接派生出智慧、方法、思維模式，特別是，積累學(xué)生全面的學(xué)科活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，有助于全面提高學(xué)生的思維水平，更好地培養(yǎng)創(chuàng)新性人才�；�本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的成分與類別

基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與經(jīng)歷、體驗(yàn)密切相關(guān)，而彼此又有一些區(qū)別和關(guān)聯(lián)。

人的經(jīng)歷可以分兩種，即直接經(jīng)歷與和間接經(jīng)歷，其中，前者是主體親身見過、做過或遭遇過某事件的過程而獲得的經(jīng)歷，后者是主體從他人處聽說或從其他媒介得到他人的經(jīng)歷。

而體驗(yàn)是一種感受經(jīng)歷的過程，是通過主體親身體驗(yàn)事件發(fā)生的過程，從而獲得經(jīng)歷，讓主體在實(shí)踐中實(shí)現(xiàn)自我領(lǐng)域的充實(shí)，感受經(jīng)歷的產(chǎn)生，領(lǐng)悟經(jīng)歷產(chǎn)生的意義，并在反思中進(jìn)行情感的升華，因而，體驗(yàn)必須從直接經(jīng)歷中得到。

體驗(yàn)具有很強(qiáng)的、個(gè)體的情感色彩，停留在經(jīng)歷本身的感性的層面。

經(jīng)歷是為了進(jìn)行體驗(yàn)，而體驗(yàn)不是目的，是為了獲得直接的經(jīng)驗(yàn)和感受，增強(qiáng)對(duì)知識(shí)、技能的理解，實(shí)現(xiàn)主體在情感、態(tài)度、價(jià)值觀上的升華和發(fā)展，同時(shí)，能夠?qū)χ�識(shí)技能的理解和認(rèn)識(shí)予以強(qiáng)化。然而，并不是所有的體驗(yàn)都會(huì)抽象提升為經(jīng)驗(yàn)，若沒有對(duì)體驗(yàn)抽象提取，也可能只是將情感升華為信念。主體在情感升華過程中，會(huì)和其對(duì)事件的原有興趣進(jìn)行對(duì)比，如果情感升華與原有興趣一致，那么，其信念將會(huì)被強(qiáng)化，反之，則會(huì)被弱化。也就是說，體驗(yàn)其實(shí)也不是萬能的�；�本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的教育價(jià)值與基本功能解基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基本功能

（一）有些經(jīng)驗(yàn)的獲得可以強(qiáng)化對(duì)有關(guān)知識(shí)、技能的理解，個(gè)體的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是構(gòu)建個(gè)人理解、形成理解性掌握不可缺少的重要素材一方面，基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得，時(shí)�？梢源龠M(jìn)、強(qiáng)化有關(guān)知識(shí)的理解和掌握。另一方面，基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的派生物，對(duì)于那些技能性的學(xué)習(xí)內(nèi)容而言，技能性的操作活動(dòng)本身就可以積淀一些經(jīng)驗(yàn)，而這些經(jīng)驗(yàn)往往與相應(yīng)的技能密不可分。

（二）基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)可以強(qiáng)化動(dòng)機(jī)、情感、態(tài)度、價(jià)值觀，而有些學(xué)科的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)有助于凈化心靈、完善人格基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的課程教學(xué)價(jià)值

（一）獲得必要的學(xué)科活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和與學(xué)科學(xué)習(xí)有關(guān)的生活經(jīng)驗(yàn)，是進(jìn)行科學(xué)建構(gòu)、實(shí)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)科上的全面發(fā)展的基本前提。

（二）一定數(shù)量的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，是實(shí)現(xiàn)過程與方法目標(biāo)的基本載體（三）獲得基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，是“實(shí)踐與綜合”領(lǐng)域的基本目標(biāo)之一

（四）獲得基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，是情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的必要前提，也有助于知識(shí)技能目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)

從本質(zhì)上來說，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是一個(gè)自主構(gòu)建自己對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解的過程：他我們大體上可以把經(jīng)驗(yàn)分為感性經(jīng)驗(yàn)和邏輯經(jīng)驗(yàn)。感性經(jīng)驗(yàn)也依賴思考，但更多的是依賴觀察；邏輯經(jīng)驗(yàn)也依賴觀察，但更多的是依賴思考。這是關(guān)于活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的最基本的分類。

基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的“基本”的含義及其具體表現(xiàn)

這里的“基本”是相對(duì)于具體的學(xué)科而言的，一般而言，每個(gè)學(xué)科的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)都包括基本的操作經(jīng)驗(yàn)、本學(xué)科特有的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、綜合運(yùn)用本學(xué)科內(nèi)容進(jìn)行問題解決的經(jīng)驗(yàn)、思考的經(jīng)驗(yàn)等類型。

在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程中，數(shù)學(xué)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)具體表現(xiàn)在，基本的幾何操作經(jīng)驗(yàn)，基本的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的經(jīng)驗(yàn)，以及思考的經(jīng)驗(yàn)等若干方面。

基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的主要類別

數(shù)學(xué)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，按照數(shù)學(xué)內(nèi)部的分類標(biāo)準(zhǔn)，可以劃分基本的操作經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)特有的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、綜合運(yùn)用本數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行問題解決的經(jīng)驗(yàn)、思考的經(jīng)驗(yàn)等類型，按照思維科學(xué)的分類標(biāo)準(zhǔn)，可以區(qū)分為行為操作的經(jīng)驗(yàn)、思考經(jīng)驗(yàn)、探索的經(jīng)驗(yàn)和復(fù)合經(jīng)驗(yàn)。

基本的操作經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)學(xué)科所特有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要組成部分，其核心內(nèi)容在于，體現(xiàn)本學(xué)科基本思維特征，全面反映數(shù)學(xué)學(xué)科的思維方式和學(xué)科屬性。

數(shù)學(xué)學(xué)科特有的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。每個(gè)學(xué)科都有其特有的思維活動(dòng)，這些思維活動(dòng)集中反映了本學(xué)科的學(xué)科屬性，體現(xiàn)本學(xué)科研究的側(cè)重點(diǎn)和研究手法。使學(xué)生獲得更為豐富的學(xué)科思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，是實(shí)現(xiàn)學(xué)生在本學(xué)科上的全面、可持續(xù)發(fā)展的關(guān)鍵。在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程中，最具代表性的數(shù)學(xué)學(xué)科思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，主要包括代數(shù)歸納的經(jīng)驗(yàn)，數(shù)據(jù)分析、統(tǒng)計(jì)推斷的經(jīng)驗(yàn)，以及幾何推理的經(jīng)驗(yàn)。特別地，在當(dāng)前的初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，通常有三種推理方式，典型的不完全歸納推理，其結(jié)論仍是“猜想”，這種推理常常用來佐證、猜想；借助圖形直觀的操作（圖形運(yùn)動(dòng)），有時(shí)可以用來進(jìn)行不嚴(yán)格意義下的證明，在某些條件下也可以用來進(jìn)行嚴(yán)格的證明，這種推理形式常常用來說理；典型的演繹證明

數(shù)學(xué)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的復(fù)合性具體表現(xiàn)為：

（1）數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，專指對(duì)具體、形象的事物進(jìn)行具體操作所獲得的經(jīng)驗(yàn)，以區(qū)別于廣義的數(shù)學(xué)思維所獲得的經(jīng)驗(yàn)。由于數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是思想材料，可以完全在抽象的層面上進(jìn)行。抽象的數(shù)學(xué)思維的成果，可以為更抽象的思維提供經(jīng)驗(yàn)，例如，自然數(shù)為學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)提供經(jīng)驗(yàn)，矩形為平行四邊形提供經(jīng)驗(yàn)。但是，這類數(shù)學(xué)活動(dòng)是純粹的數(shù)學(xué)思

維活動(dòng)，屬于廣義的數(shù)學(xué)活動(dòng)，不是我們所要討論的與具體事物相關(guān)的“基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。

（2）數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，是人們的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”最貼近現(xiàn)實(shí)的部分。人們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，逐步形成了個(gè)人的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)。數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)象一座金字塔，從與生活現(xiàn)實(shí)密切相關(guān)的底層開始，一步步抽象，直到上層的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，可以和具體的生活現(xiàn)實(shí)找不到原型，例如，哥德巴赫猜想，已經(jīng)沒有直接的生活原型了。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，要把握從生活現(xiàn)實(shí)上升為數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的完整認(rèn)識(shí)過程，即從感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)的全過程，這是抽象數(shù)學(xué)活動(dòng)的前提和基礎(chǔ)。

（3）數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)來源于日常生活經(jīng)驗(yàn)，卻高于日常經(jīng)驗(yàn)。比如，同樣是折紙，可以是美學(xué)欣賞，可以是技能訓(xùn)練，但也可以是數(shù)學(xué)操作。作為數(shù)學(xué)活動(dòng)的折紙，其目的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，包括學(xué)習(xí)軸對(duì)稱概念，圖形的運(yùn)動(dòng)，圖形的不變特征等等。沒有數(shù)學(xué)目類比（推理）是人們經(jīng)常應(yīng)用的一種推理方法，類比推理是一種由特殊到特殊的推理，即根據(jù)兩個(gè)（或兩類）事物的某些相同或相似的性質(zhì)，判斷它們?cè)趧e的性質(zhì)上也可能相同或相似。

3．思考的經(jīng)驗(yàn)

主要指在思維操作中開展活動(dòng)而獲得的經(jīng)驗(yàn)，即，思維操作的經(jīng)驗(yàn)。不借助任何直觀材料而在頭腦中進(jìn)行歸納、類比、證明等思維活動(dòng)而獲得的經(jīng)驗(yàn)。它既可以是直接經(jīng)驗(yàn)，也可以是間接經(jīng)驗(yàn)�；�本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的類別（一）（行為）操作的經(jīng)驗(yàn)

這里的操作主要是指行為的操作，而不是指思維的操作。這種操作是進(jìn)行抽象的直接素材，一般是直接經(jīng)驗(yàn)。這種操作的直接價(jià)值取向不是問題的解決，而是獲得第一手的直標(biāo)的活動(dòng)，不是數(shù)學(xué)活動(dòng)。

正是由于數(shù)學(xué)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的復(fù)合性，才使得人們對(duì)于基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的生疏，其實(shí)，在初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，這種復(fù)合性幾乎是處處存在的1．代數(shù)歸納的經(jīng)驗(yàn)

2.數(shù)據(jù)分析、統(tǒng)計(jì)推斷的經(jīng)驗(yàn)

數(shù)據(jù)分析、統(tǒng)計(jì)推斷的過程，獲得相應(yīng)的直接經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而發(fā)展其數(shù)據(jù)分析觀念，是統(tǒng)計(jì)與概率學(xué)習(xí)的核心目標(biāo)，對(duì)于學(xué)生獲得數(shù)學(xué)上的全面發(fā)展，具有其他數(shù)學(xué)內(nèi)容所不能替代的作用。

3.幾何推理的經(jīng)驗(yàn)

幾何推理是幾何課程內(nèi)容的核心內(nèi)容之一，學(xué)生是否獲得了幾何推理的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于掌握幾何推理的技能、形成推理能力，具有十分重要的促進(jìn)作用。這里的推理包含兩部分，一是歸納推理，一個(gè)是演繹推理。

演繹推理又稱三段論推理，是由兩個(gè)前提和一個(gè)結(jié)論組成，所謂歸納推理，就是從個(gè)別性知識(shí)推出一般性結(jié)論的推理。一般地，根據(jù)前提所考察對(duì)象范圍的不同，把歸納推理分為完全歸納推理和不完全歸納推理。完全歸納推理考察了某類事物的全部對(duì)象，不完全歸納推理則僅僅考察了某類事物的部分對(duì)象。更進(jìn)一步，還可以根據(jù)前提是否揭示對(duì)象與其屬性間的因果聯(lián)系，把不完全歸納推理分為簡單枚舉歸納推理和科學(xué)歸納推理。歸納推理的前提是其結(jié)論的必要條件：首先，歸納推理的前提必須是真實(shí)的，否則，歸納就失去了意義。其次，歸納推理的前提是真實(shí)的，但結(jié)論卻未必真實(shí)，而可能為假。綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容進(jìn)行數(shù)學(xué)問題解決的經(jīng)驗(yàn)、思考的經(jīng)驗(yàn)

這部分內(nèi)容主要包含兩層含義：一方面，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容發(fā)現(xiàn)問題、提出學(xué)科問題，并加以分析和解決的經(jīng)驗(yàn)。這是問題解決在本學(xué)科中的綜合體現(xiàn)；二是作為各個(gè)學(xué)科所共有的思維方法層面的經(jīng)驗(yàn)，諸如類比的經(jīng)驗(yàn)、思考的經(jīng)驗(yàn)。1．發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的直接經(jīng)驗(yàn)

發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，比分析問題、解決問題更重要，難度也更高。這種發(fā)現(xiàn)對(duì)教師可能是微不足道的，但是對(duì)于學(xué)生卻是難得的，因?yàn)檫@是一種自我超越，可以獲得成功的體驗(yàn)和必要的經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生可以在這個(gè)發(fā)現(xiàn)的過程中領(lǐng)悟很多東西，可以逐漸積累創(chuàng)新和創(chuàng)造的經(jīng)驗(yàn)。更重要的是，可以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，樹立進(jìn)步的信心，激發(fā)創(chuàng)造的激情�？梢约ぐl(fā)學(xué)生的智慧，調(diào)動(dòng)學(xué)生的身心進(jìn)入活動(dòng)狀態(tài)。逐漸形成創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力。2．類比的經(jīng)驗(yàn)

接感受、體驗(yàn)和經(jīng)驗(yàn)，亦即，在實(shí)際的外顯操作活動(dòng)中來自感官、知覺的經(jīng)驗(yàn)。（二）思考的經(jīng)驗(yàn)在思維操作中開展活動(dòng)而獲得的經(jīng)驗(yàn)，即，思維操作的經(jīng)驗(yàn)，

（三）探究的經(jīng)驗(yàn)這里的“探究”指的是，立足已有的問題，圍繞問題的解決而開展的活動(dòng)，這里的活動(dòng)既有外顯行為的操作活動(dòng)，也有思維層面的操作活動(dòng)，但是，無論如何，這種操作活動(dòng)并沒有完全脫離行為操作，而是融行為操作與思維操作于一體。同時(shí)，這種探究的直接價(jià)值取向是問題解決，而不僅僅為了獲取第一手的直接感受、體驗(yàn)和經(jīng)驗(yàn)，但是，探索所獲得的經(jīng)驗(yàn)一般是直接經(jīng)驗(yàn)。

（四）復(fù)合的經(jīng)驗(yàn)指兼有上面所述的（行為）操作的經(jīng)驗(yàn)、思考的經(jīng)驗(yàn)、探究的經(jīng)驗(yàn)等三種類型中的兩種以上的經(jīng)驗(yàn)。

基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)在課程教材中的地位和作用

（一）使學(xué)生獲取基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是問題驅(qū)動(dòng)式教材呈現(xiàn)方式的基本目的之一

作為義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書的基本結(jié)構(gòu)之一，“問題情境→建立模型→解釋應(yīng)用→拓展反思”成為問題驅(qū)動(dòng)式教材呈現(xiàn)方式的具體表現(xiàn)形式。其中的問題情境乃至整個(gè)活動(dòng)設(shè)計(jì)，旨在促進(jìn)學(xué)生在獨(dú)立思考、自主探索的過程之中真正理解和掌握相應(yīng)的知識(shí)、技能、思想，同時(shí)獲得廣泛的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（二）基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生獲得學(xué)科理解的催化劑和粘合劑

基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)作為學(xué)生親自或間接經(jīng)歷了活動(dòng)過程而獲得的經(jīng)驗(yàn)，它是學(xué)生獲得學(xué)科理解的重要載體，起到催化劑和粘合劑的作用。例如，（三）基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是過程性目標(biāo)的內(nèi)容之一

作為新課程的“知識(shí)與技能、過程與方法、情感態(tài)度價(jià)值觀”三維目標(biāo)之一，“過程與方法”一直未能得到很好的落實(shí)，其中的一個(gè)重要原因在于，與知識(shí)與技能目標(biāo)相比，這個(gè)目標(biāo)沒有“抓手”，不便于課程實(shí)施中的實(shí)際把握。

事實(shí)上，過程與方法目標(biāo)實(shí)際上體現(xiàn)了課程對(duì)于學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)、學(xué)科能力的要求，而這些要求完全可以通過積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)來完成。

結(jié)合初中數(shù)學(xué)的不同領(lǐng)域的內(nèi)容特點(diǎn)，分別培養(yǎng)學(xué)生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

積累學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，需要教師精心設(shè)計(jì)，不僅需要深刻體會(huì)課程標(biāo)準(zhǔn)的有關(guān)規(guī)定要求，而且需要細(xì)心揣摩教科書的編寫意圖，在深刻了解學(xué)生原有的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)恼n堂教學(xué)設(shè)計(jì)。

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